北理电路分析基础 第四章

uoc u
b

M

uoc b
(b)
图4-42

a
N0
Rab Ro

a

戴维南定理
(c)
b
i a
N

u
i a
M

b
(a)
N
(b)

u
b

a
i
a
N

u

i
=
N (c)
uoc +

b
a

N0
Rabi


b
i
b
根据叠加定理
图4-45
u uoc Rabi
戴维南定理的证明
i a
N

u

b
(a)


u
R1
R2

u

例4-10
图 4-22
b
解：外施电压u，则由KCL及欧姆定律可得 此单口网络的VCR
u u u i (G 2 G1 G1)u [(1 )G1 G 2]u (4-13) R2 R1
由此可得输入电阻应为
u 1 Ri i (1 )G1 G 2
由图(c)可得
a
15.56 i mA 0.946 mA 12 4.45


4.45 K

12 K
i
15.56V
(c)

b
例4-14 试说明：若含源单口网络的开路电压为 uoc ，短路电流为 isc 则戴维南等效电阻
N
uoc


uoc Ro isc
Ro


uoc
uoc

(a)开路电压

i
( 4.45 20 )V 15 .55V

20V
(a)


10V

b
为求得R0，应把图(a)中 的两个独立电压源用短路代 替，得图(b)显然，ab两端等 效电阻为
a
8K
10 K
Rab
b
10 8 Rab k 4.45k 10 8
(b)
Ro 4.45k
由
8 4i 28 16i
得
i 1A
12 10 A 0.4 A （4）以12V电压源置换N1,可得： i1 5 以-1A电流源置换N2,可得: u2 12V
代入任一VCR，得 u=12V
等效的定义：
如果一个单口网络N和另一个单 口网络N´的电压和电流关系即VCR完 全相同，亦即它们在u－i平面上的伏 安特性曲线完全重叠，则这两单口网 络便是等效的。尽管这两个网络可以 具有完全不同的结构，但对任一外电 路M来说，它们却具有完全相同的影 响，没有丝毫差别。
联立后解得
(4-1)
(4-3)
u Ri
US i R
(4-2)
(4-4)
u US
也可绘出这两个元件的伏安特性曲线，用曲线相交法求得解答。
1）将给定的网络分解成两个单口网络N1和N2; 2）分别求出N1和N2的VCR；计算或测量。
3）联立两个单口网络的VCR或由它们的VCR 曲线求交点，求出N1和N2的端口电压u和端口 电流i。
例4-9
解 设想在单口网络两端外接电源，其电流为i，则可求得 其端口电压
u 1000 (i 0.5i) 1000 i 10 1500 i 10
图(b)所示电路具有同样的VCR，故为其等效电路，且又无 法再行化简，即为所求结果。（还有其他解答么？）
例4-10 含受控电压源的单口网络如图4-22所示，该受控 源的电压受端口电压u的控制，系VCVS。试求单口网络的输 入电阻Ri。 i a
4）利用端口电压u和端口电流i分别求出N1和 N2内部各支路的电压和电流。
例4-1 试求图4-3所示含电压源和电阻的单口网络的VCR。
i1
i 1
1


10V

5 20
u

例4-1
X
பைடு நூலகம்解:
图4-3
10 5i1 u
u 20(i1 i ) 消去i1可得
u 8 4i
此即为在所设u、i参考方向下的VCR 如果设想X是一个电流源i（设方向向下），且两端电压 为u（设正极在上），则由节点法可以更方便地求得结果。

(a) N1



N2 (b)

图4-10 (a)用电压为端口电压值 的电压源置换N2, (b)用电压为端口电压值 的电压源置换N1

(a) N1




N2
(b)
图4-11 (a)用电流为端口电流值 的电流源置换N2 (b)用电流为端口电流值 的电流源置换N1
例4-5 电路如图4-12所示，试用分解方法求i1和u2 0.5i
8K
10V
a
10 K
i
12 K

20V
20 10 i mA 0.556 mA 8 10
uoc (10 k)i 10V (5.56 10 )V 15.56V

R1


图 4-43 例 4-13
8K
b
得
10 K

uoc
a
或 uoc (8k)i 20V
(4-11)
两个电阻并联
R1 R 2 R R1 R 2
(4-12)
例4-7 求例4-1所示单口网络的最简单的等效电路。 解 由例4-1已知该单口的VCR为
u 8 4i
图4-18(a)所示电路也具有同样的VCR，其电路由两个元件 组成，是可能具有的最简单形式，这就是所求等效电路。如 把VCR改写为 1
M
uoc


Rab Ro
a i
M
u
b
(d)
图(a)含源线性单口网络N可等效为电压源串联电阻支路
图4-45 戴维南定理的证明
例4-13 求图4-43 电阻电路中12KΩ电阻的电流 i 。 解 虚线框所构成的含源单口 网络可以化简为一个电压源uOC与 电阻Ro相串联。 图(a)中电流 i’ 为

a
i R1
u

R2
R3
N

a
i
R
R4
（ a）
u
b
b
N’
图4-17 串联等效电阻 设有两个单口网络N和N’如图4-17，N由电阻R1、R2、R3、 R4串联， N’只含一个电阻R。对N来说，由KVL可得它的 VCR为 u R1i R2i R3i R4i ( R1 R2 R3 R4)i（4-7） 对N’来说，它的VCR 为 如果
电路分析基础
i
N1

1
N2
u

1
图4-1 大网络看成两个单口网络组成
像N1、N2这种由元件组成、对外只有两 个端钮的网络称为二端网络或单口网络。
i
1


u
u
US
2
Q
1

N1
US

1
R
O
US / R
N2 图4-2（a）电压及电阻的串联电路 （b）伏安特性曲线相交求解图a电路
i
由元件的VCR得
u US
iS


(4-18)
u
两个电流源并联及其等效电路
iS
i

u
i iS u

iS
图4-27

两个相同电流源串联及其等效电路

uS
i
N’
u


i

u

uS

图4-28
电压源与多余元件并联时的等效电路
u uS
i
N’
对所有的电流 i
(4-21)

i is
is
图4-29
u

u

电流源与多余的元件串联时的等效电路
u [12 (6 10) 1] [6 5 (1 0.5)10]i 28 16i
N2即例4-1中的单口网络,其VCR为:
u 8 4i
0.5i 6

12V

u2
10
i

u
5
5 i1
1A

20
N2


N1


10V
图4-12 例4-5
（3）联立两者的VCR，解u，i
1 1 1 ( )u ( )10 i 5 20 5 1 u 2 i 即 u 8 4i 4
例4-2 求图4-4 所示含电源、电阻和受控源的单口网络的VCR。
i
R1

i
us

R2 is
R3
图4-4 例4-2

u

i
解 设想在电路两端施加电流源i，由观察即可写出
u (i is i ) R2 (i is ) R1 us iR3 [us ( R1 R2)is ] [ R1 R3 (1 ) R2]i
R R
(4-25)
uS RiS
(4-26)
图(a)和图(b)两电路等效。
求10V电压源的功率
？
4 4A 2


1A
10V
4 3

3 8V

求10V电压源的功率
？
4 4A 2



1A
10V
4 3

3 8V

16V
4


1A
10V
4 3


1A
10V


1A
此即为所求VCR。由本例和上例可见含独立电源单口网络的 VCR总可以表示为 u A Bi 的形式，以后将得到证明。
例 4-3 求图4-5所示只含电阻的单口网络的VCR。 解 外施电压源u，如图中虚线部分所示。由网孔法 可知：
i
3i1 i 2 i3 u i1 3i 2 i3 0 i1 i 2 4i3 0
(4-15)


i
uS 1

u

i
uS

u

uS 2



图4-24 两个电压源串联及其等效电路
uS uS 1 uS 2
uS
(4-17)

i

uS u



i
uS


u
图4-25 两个相同电压源并联及其等效电路
i
iS 1
图4-26
iS 2

u
i

iS iS1 iS 2
8V

i 2 u 4
4
i

i

u

(a)
u

图4-18 例4-7
2A
(b)
4

则显然可见图(b)所示电流源与电阻并联的电路也具有同样 的VCR,也是本题的解答。
例4-9 试化简4-21（a）所示单口网络。
0.5i
i
1.5k
i
10V


1k
1k
u

(a)
10V




u (b)
图4-21
6

12V

u2
10
i

u
5
5 i1
1A

20
N2


N1


10V
图4-12 例4-5 解（1）自图中虚线处把电路分为两个单口网络N1和N2,端口电 压u和电流i的参考方向如图所示。 （2）求N1和N2的VCR; 注意到N1与例4-2所示单口网络完全 相同，可利用该例结果，得N1的VCR为：
戴维南定理：线性含源单口网络N，就其端口来看， 可等效为一个电压源串联电阻支路。电压源的电压等于 该网络的开路电压uOC ；串联电阻等于该网络中所有独 立源为零值时所得网络N0的等效电阻Rab。其VCR表示 为 (4-27) u uOC R0i i a i a
N
u
b
N

R0
M (a)

i iS
对所有的电流 u
R
(a)
i


i
(b) is
us
图4-30
u
R
u

电压源、电流源串并联电阻电路
图(a)电压源串联电阻
u uS Ri
u RiS Ri
(4-22)
图(b)电流源并联电阻
u i iS R
(4-23)
(4-24)
比较(4-22)与(4-24)可得，若满足
N
isc
Ro uoc
isc
(b)短路电流 图4-46 用来确定戴维南等效电路的两个数据
uoc isc Ro
uoc Ro isc
(4-29)
例4-16 求图4-50所示电路的戴维南等效电路 解 在例4-9（图4-21）中曾求过该电 路的VCR，并得出它的等效电路。 现在用戴维南定理来求等效电路。
10V
6A
8V
4 4 3


6A
1
思考题 4-5 （1）图4-36所示两电路是否等效？ （2）两电路都接上8Ω电阻，电压源和电流源是否都提供一 样大的功率？ （3）如果两电路都接10V电压源（+极在a端），电路中2Ω 电阻是否都接受同样的功率？ a a

10V
2

b
5A
2
b
图4-36 思考题4-5
（b）
u Ri R R1 R2 R3 R4
（4-8）
（4-9）
则N和N’的VCR完全相同，因而N和N’便是等效的。
（4-9）式称为两网络的等效条件，这是大家熟知的等效串联 电阻公式。
1 1 1 1 1 R R1 R2 R3 R4
或
(4-10)
G G1 G2 G3 G4
u


1 i1
1
i2
1
1 1 i 3 2
图4-5 例4-3
11 求解 i1 得 i1 u 而i1即i，故得 24 11 24 i u 或 u i 24 11
i
N1

u

N2
N1 N2
i
u



图4-6
N1

N1


置换定理
若网络N由两个单口网络N1和N2联结组成，且各 支路电压和电流均有唯一解。设已知端口电压和电流 值分别为 和 ,则N2(或N1)可以用一个电压为 电压 源或电流为 电流源置换，不影响N1(或N2)内各支路 电压、电流原有数值。
0.5i

10V
i a
1k
1k
uoc uab 10V
求短路电流 iSC
0.5isc
a

b
图4-50 例4-16

isc
risc
a

10V
1k
1k

10V
1k
1k

b

b
isc
1 10 2000 isc 500isc 0 1500 isc 10 得 isc 150 A uoc Ro 1500 根据(4-29)式，得 isc