初中数学重难点及易错点分析学习资料
自学初中数学资料 代数式中的易错题分析
自学资料一、代数式【知识探索】1．字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数．总之，字母可以简明地将数量关系表示出来．【注意】（1）在省略乘号时，要把数字写在字母的前面；（2）当数字是带分数时，常写成假分数；（3）数字和字母之间的乘号用“· ”或省略不写；（4）数字和字母的除法通常用“”表示；（5）是数字不是字母．【错题精练】例1．已知x2+3x+5的值是7，那么多项式3x2+9x-2的值是（）A. 6B. 4C. 2D. 0第1页共10页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训例2．如图是2007年5月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（）A. 27B. 36C. 40D. 54例3．已知香蕉，苹果，梨的价格分别为a，b，c（单位：元/千克），用20元正好可以买三种水果各1千克；买1千克香蕉，2千克苹果，3千克梨正好花去42元，若设买b千克香蕉需w元，则w=．（用含c的代数式表示）例4．某城市自来水费实行阶梯水费，收费标准如下表：超过20吨的部分月用水量不超过12吨的部分超过12吨不超过20吨的部分收费标准（元/吨）a a+14（1）某用户十二月份用水30吨，用含a的代数式表示该用户十二月份所交的水费；（2）若a=1.5元，某用户十二月份交了30元水费，求该用户十二月份的用水量．例5．如图，某长方形广场的四个角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地，若圆形的半径为r米，长方形长为a米，宽为b米．（1）分别用代数式表示草地和空地的面积；（2）若长方形长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米，求广场空地的面积（计算结果保留到整数）．例6．如图是由边长分别为a和b的两个正方形组成的图形．（1）请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积．（2）若a=6，b=1.5，则阴影部分的面积为多少？第2页共10页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【举一反三】1．某企业今年1月份产值为x万元，2月份比1月份增加了10%，3月份比2月份减少了20%，则3月份的产值是（）万元．A. (1+10%)(1−20%)x；B. (1+10%+20%)x；C. (x+10%)(x−20%)；D. (1+10%−20%)x．2．若x=3时，代数式ax3+2x2+bx+5的值为2017；则x=-3时，求此代数式的值．3．我国出租车收费标准因地而异．甲市为：起步价（行驶路程不超过3千米）6元，3千米后每千米（不足1千米，按1千米计算）价格1.5元；乙市为：起步价10元，3千米后每千米价格1.2元．（1）试问在甲、乙两市乘坐出租车s（s＞3）千米的价钱差是多少元？（2）如果在甲、乙两市乘坐出租车的路程都是10千米，那么哪个市的收费标准高？高多少？4．某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表所示：进价（元/只）售价（元/只）甲型2530乙型4560（1）若商场购进的甲型节能灯500只，则购买甲、乙两种节能灯共需多少元？（2）若商场购进甲型节能灯x只，则购买甲、乙两种节能灯共需______元；（用含x的代数式表示）（3）如何进货，商场销售完节能灯时恰好获利30%，此时利润为多少元？5．如图，长为50cm，宽为xcm的大长方形被分割为8小块，除阴影A，B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为acm．（1）从图可知，每个小长方形较长一边长是______cm（用含a的代数式表示）．第3页共10页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训（2）求图中两块阴影A，B的周长和（可以用含x的代数式表示）．6．“囧”（jiǒng）是近时期网络流行语，像一个人脸郁闷的神情．如图所示，一张边长为20的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为x、y，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为x、y．（1）用含有x、y的代数式表示下图中“囧”的面积；（2）当y=6，x=8时，求此时“囧”的面积．二、整式【知识探索】1．两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即；．这两个公式叫做完全平方公式．2．两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即．这个公式叫做平方差公式．【说明】公式中的、可以是任意的数或代数式．3．去括号法则：括号前面是“＋”号，去掉“＋”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“－”号，去掉“－”号和括号，括号里的各项都变号．【注意】如果括号前是“﹣”号，那么去括号时，括号内的每一项都要改变符号．第4页共10页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【错题精练】例1．已知x和y的多项式ax2+2bxy-x2-2x+2xy+y合并后不含二次项，求3a-4b的值．例2．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？（2）会存在第n个图形中有且只有2014颗黑色棋子吗？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．【举一反三】1．若要使代数式2x4-2mx2-x2+3合并同类项后不再出现含x2的项，计算m的值．2．一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．那么需要多少张餐桌拼在一起可坐90人用餐？若设需要这样的餐桌x张，可列方程为______．三、因式分解【知识探索】1．由平方差公式反过来可得：．这个公式叫做因式分解的平方差公式．由完全平方公式反过来可得：，．这两个公式比较作因式分解的完全平方公式．【错题精练】例1．下列提取公因式分解因式中，正确的是（）第5页共10页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训A. 2x2-4xy=x（2x-4y）B. a3+2a2+a=a（a2+2a）C. -2a-2b=2（a+b）D. -a2+a=-a（a-1）例2．下列多项式不能用平方差分解的是（）a2−b2 C. -a2+25b2 D. -4-b2A. 25a2-b2B. 14例3．因式分解：(a−b)2−(b−a)=．例4．计算：a−3a=．例5．分解因式：（1）25-26a+a2；（2）a2-9ab+14b2；（3）x2-3xy+2y2；（4）y2-13yb+36b2．【举一反三】1．（浙江杭州市中考12）分解因式：__________ ．2．因式分解a3−a= ．3．分解因式：ax2−4ax+4a= ．4．用十字相乘法分解因式：（1）x2+9x+20；（2）x2-7x+12；（3）x2-7x-8；（4）x2+3x-18；（5）a2+7ab+12b2；（6）（a+b）2-5（a+b）-14．第6页共10页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训第7页共10页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训2．式子-√−ax3（a＞0）化简的结果是（）A. x√−axB. -x√−axC. x√axD. -x√ax3．把代数式（a-1）√11−a中的a-1移到根号内，那么这个代数式等于（）A. -√1−a B. √a−1 C. √1−a D. -√a−1 4．下列运算结果正确的是（）A. √（−9）2=-9B. （−√2）2=2C. √6÷√2=3D. √25=±55．计算：（3√18+16√72−4√18）÷4√2．1．设m2+m-1=0，则m3+2m2+1997=______．2．若代数式2ax2y+3xy-4-5x2y-7x-7ax2y+m中，化简后不含x2y项，则a2010-4=______．3．一件童装每件的进价为a元（a＞0），商家按进价的3倍定价销售了一段时间后，为了吸引顾客，又在原定价的基础上打六折出售，那么按新的售价销售，每件童装所得的利润用代数式表示应为______元．4．如图图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，第8页共10页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训（1）按此规律，图案⑦需______根火柴棒；第n个图案需______根火柴棒．（2）用2017根火柴棒能按规律拼搭而成一个图案？若能，说明是第几个图案：若不可能，请说明理由．5．如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（）A. 2a-3bB. 4a-8bC. 2a-4bD. 4a-10b6．若√a3+a2=-a√a+1，那么实数a的取值范围是（）A. a≥-1B. a≤1C. 0＜a≤1D. -1≤a≤07．某市为了鼓励节约用水，对居民生活用水实行阶梯水价．收费标准如下：超过24吨的部分月用水量16吨及以下部分超过16吨不超过24吨的部分收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00（1）某用户5月份用水21吨．则该用户5月份应缴的水费是多少？（2）某用户8月份缴水费为55元，则该用户8月份的用水量是多少？（3）若某用户的月用水量为a吨，用含a的代数式表示该用户所缴纳的水费．8．把下列各式因式分解（1）-5a2+25a；（2）a2-9b2；（3）2x（a-3）-y（3-a）；（4）3x3-12x2y+12xy2．第9页共10页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训第10页共10页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训。
浙教版七上数学重难点分析
浙教版七上数学重难点分析一、课程内容难度分析浙教版七上数学课程内容根据教学大纲进行编排，主要包括数学的基本概念、算术运算、代数式与方程、百分数与利率、平面图形与空间几何、数据处理等内容。
整体来说，课程内容的难度逐渐递增，前面的内容较为简单，后面的内容较为复杂。
1.数学的基本概念：这部分主要包括数的概念、整数与有理数的概念等基础知识。
对于初中一年级的学生来说，这部分内容相对简单，属于基础要求。
2.算术运算：算术运算包括加减乘除运算，其中除法运算需要注意余数的处理。
在这部分内容中，加减法运算较为简单，乘除法运算则需要学生掌握相应的计算方法。
3.代数式与方程：这部分是初中数学的基础内容，主要包括代数式的定义与计算、方程的解法等。
对于学生来说，这部分内容相对较难，需要学生掌握代数式的展开与因式分解等基本技巧。
4.百分数与利率：百分数与利率是初中数学中的重点内容，也是实际生活中常用的计算方法。
对于学生来说，这部分内容相对较难，需要学生掌握百分数与小数的相互转换、百分数与比例的关系等知识。
5.平面图形与空间几何：这部分包括平面图形的性质、面积与周长的计算、空间几何中的体积计算等内容。
对于学生来说，这部分内容相对较难，需要学生熟练计算各种图形的面积、体积，同时掌握图形的性质与判断题型。
6.数据处理：数据处理包括统计与概率等内容，主要是对数据的整理、分析与处理。
对于学生来说，这部分内容较为抽象，需要学生具备一定的数据分析与推理能力。
二、重点知识点分析根据上述课程难度分析，可以总结出以下几个重点知识点：1.整数与有理数的概念：学生需要了解整数与有理数的定义与性质。
2.代数式的展开与因式分解：学生需要掌握代数式的展开与因式分解的基本方法。
3.百分数与小数的相互转换：学生需要熟练掌握百分数与小数的相互转换方法。
4.图形的面积与体积计算：学生需要熟练计算各种图形的面积与体积。
5.数据的分析与处理：学生需要具备一定的数据分析与推理能力。
[初中数学]+列代数式表示数量关系+考点梳理及难点突破+课件+人教版(2024)数学七年级上册
![[初中数学]+列代数式表示数量关系+考点梳理及难点突破+课件+人教版(2024)数学七年级上册](https://img.taocdn.com/s3/m/2232635917fc700abb68a98271fe910ef12dae35.png)
分 笔 y 元，小红买了 6 支钢笔和 3 支铅笔，共付了（6x+3y）
析
元钱.（答案不唯一）
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解题通法
代数式的实际意义就是将代数式中的字母
易
错
易 及运算符号赋予具体的含义.代数式要与实际问题中的数量
混 关系保持一致.
分
析
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易 ■题型二 列代数式解决实际问题
错
例 2
某地居民生活用水收费标准： 若每月用水量不
［错因］ 写代数式时，遗漏括号.
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易错警示 当乘、除、乘方对和或差作用时，要加上括
易
错
易 号，避免计算失误.
混
分
领悟提能 根据叙述列代数式时，要认真审题，抓关键
析
词语，如“除”与“除以”“平方的差（或平方差）”与
“差的平方”等词义的区分，再根据题意列出代数式．
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易
错
易
混
分
析
第二课时 反比例关系
易
混 0.9x 元；
分
析
（3）长方形面积=长×宽，面积为 20，宽为 x，则长为
；
（4）根据相反数的定义求解，n 的相反数是-n.
［答案］（1）mn （2）0.9x（3）
（4）-n
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易
错
易
混
分
析
■考点二
定义
举例
代 数 式
用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子
称为代数式.单独的一个数或字母也是代数式
易
混 超过 10 m3，则收费为 a 元/m3；若超过 10 m3，则超过部
分
析 分收费为（a+1.5）元/m3，该地区某用户上月用水量为 16
初中数学重难点易错专题 相似三角形中的“8”字模型(3种题型)(解析版)
相似三角形中的“8”字模型(3种题型)一、【知识梳理】8字_平行型条件：CD∥AB,结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;四边形ABCD为一般梯形.条件：CD∥AB,PD=PC.结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似)ΔPAD≅ΔPBC左右全等；四边形ABCD为等腰梯形；8字_不平行型条件：∠CDP=∠BAP.结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似);ΔAPD∼ΔBPC(左右相似);二、【考点剖析】8字-平行型1.直接利用“8”字型解题1如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，若DE :EC =1:2，则BF :BE =．【答案】3:5．【解析】DE :EC =1:2，可知CE CD =CE AB =23，由CE ⎳AB ，可知BF EF =AB CE=32，故BF :BE =3:5．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型．2如图，P 为▱ABCD 对角线BD 上任意一点．求证：PQ ∙PI =PR ∙PS ．【解析】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ⎳CD ，AD ⎳BC ，∴RB ⎳DI ，SD ⎳BQ ．根据三角形一边平行线的性质定理，则有PI PR =PD PB =PS PQ，∴PQ ⋅PI =PR ⋅PS ．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．3如图，在平行四边形ABCD 中，CD 的延长线上有一点E ，BE 交AC 于点F ，交AD 于点G ．求证：BF 2=FG ∙EF ．【解析】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ⎳CD ，AD ⎳BC ，∴AB ⎳CE ，AG ⎳BC ．根据三角形一边平行线的性质定理，则有：EF BF =CF AF=BF FG ，∴BF 2=FG ∙EF ．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．4如图，点C 在线段AB 上，ΔAMC 和ΔCBN 都是等边三角形．求证：(1)MD DC =AM CN；(2)MD ∙EB =ME ∙DC ．【解析】证明：(1)∵ΔAMC 和ΔCBN 是等边三角形，∴∠ACM =∠NCB =∠AMC =60°．∵点C 在线段AB 上，∴∠MCN =180°-∠ACM -∠NCB =60°=∠AMC ．∴AM ⎳CN ，∴MD DC =AM CN．(2)同(1)易证得CM ⎳BN ，则有ME EB =MC NB．∵ΔAMC 和ΔCBN 是等边三角形，∴MC =AM ，NB =CN ，∴MD DC=ME EB ，∴MD ∙EB =ME ∙DC ．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．5如图，已知AB ⎳CD ⎳EF ．AB =m ，CD =n ，求EF 的长．(用m 、n 的代数式表示)．【答案】mn m +n ．【解析】由AB ⎳CD ⎳EF ，则有EF AB =CF BC ，EF CD =BF BC ，即EF m +EF n =1，得EF =mn m +n．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．6如图，E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，AE EC=13，BE 的延长线交CD 的延长线于点G ，交AD 于点F ，求BF :FG 的值．【答案】1:2．【解析】由AF ⎳BC ，可得AF BC =AE EC =13，即AF AD=13，故AF FD =12，由AB ⎳DG ，可得：BF :FG =AF :FD =1:2．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．7如图，l 1⎳l 2，AF :FB =2:5，BC :CD =4:1，求AE :EC 的值．【答案】2:1．【解析】由l 1⎳l 2，得：AG BD =AF FB =25，又BC :CD =4:1，可得AG CD=21，故AE :EC =AG :CD =2:1．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．2.添加辅助线构造“8”字模型解题8过ΔABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 、E ．求证：AE ED =2AF FB．【解析】过点D 作DG ⎳AB 交CF 于点G ．∵DG ⎳AB ∴AE ED =AF GD ，DG BF =CD CB ；∵AD 是中线， ∴BC =2CD ， ∴DG BF =12；∴AE ED =2AF BF．【总结】题考查三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．9如图，AD 是ΔABC 的内角平分线．求证：AB AC=BD DC ．【解析】过点C作CM⎳AB交AD的延长线于点M．∵CM⎳AB ∴AB CM=BDDC，∠BAD=∠M∵AD是角平分线∴∠BAD=∠DAC；∴∠M=∠DAC∴AC=CM∴AB AC=BD DC．【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．8字-不平行型1如图，∠BEC=∠CDB，下列结论正确的是()A.EF•BF=DF•CFB.BE•CD=BF•CFC.AE•AB=AD•ACD.AE•BE=AD•DC【分析】结合图形利用8字模型相似三角形证明△EFB∽△DFC，然后利用等角的补角相等得出∠AEC=∠ADB，最后证明△ABD∽△ACE，利用相似三角形的对应边成比例逐一判断即可．【解答】解：∵∠BEC=∠CDB，∠EFB=∠DFC，∴△EFB∽△DFC，∴EF DF=FB FC，∴EF•FC=DF•FB，故A不符合题意：∵△EFB∽△DFC，∴BE CD=BF FC，∴BE•CF=CD•BF，故B不符合题意；∵∠BEC=∠CDB，∠BEC+∠AEC=180°，∠BDC+∠ADB=180°，∴∠AEC=∠ADB，∴△ABD∽△ACE，∴AB AC=AD AE，∴AB•AE=AD•AC，故C符合题意；因为：AE，BE，AD，CD组不成三角形，也不存在比例关系，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．1.【过关检测】一、选择题(共3小题)1(2023•静安区校级一模)如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE．下列结论成立的是()A. B. C. D.【分析】由AD，BE是△ABC的中线，得到DE是△ABC的中位线，推出△DEG∽△ABG，△CDE∽△CBA，由相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：AD，BE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE=AB，∴△DEG∽△ABG，∴DG：AG=DE：AB=1：2，BG：EG=AB：DE，==，∴DG=AG，∵BG：EG=AB：DE=2：1，∴GB：BE=2：3，∴S△AGB：S△AEB=2：3，∵AE=EC，∴S△AEB=S△ABC，∴S△AGB=S△ABC，∵△CDE∽△CBA，∴==，∴S △CDE =S △ABC ，∴=，结论成立的是=，故选：C ．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质．2(2023•徐汇区一模)如图，点D 在△ABC 边AB 上，∠ACD =∠B ，点F 是△ABC 的角平分线AE 与CD 的交点，且AF =2EF ，则下列选项中不正确的是()A. B. C. D.【分析】过C 作CG ∥AB 交AE 延长线于G ，由条件可以证明△ACF ≌△GCE (ASA )，得到AF =EG ，CF =CE ，由△ADF ∽△GCF ，再由平行线分线段成比例，即可解决问题．【解答】解：过C 作CG ∥AB 交AE 延长线于G ，∴∠G =∠BAE ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =∠CAE ，∴∠G =∠CAE ，∴CG =CA ，∵∠ACD =∠B ，∠ECG =∠B ，∴∠ACF =∠ECG ，∴△ACF ≌△GCE (ASA )，∴CF =CE ，AF =EG ，∵AF =2FE ，∴EG =2FE ，令EF =k ，则AF =EG =2k ，AE =GF =3k ，∵△ADF∽△GCF，∴AD：CG=AF：FG=2k：(3k)=2：3，∴=，故A正确．∵AB∥CG，∴CE：BE=GE：AE=2k：(3k)=2：3，∴=，故B正确．∵∠ACD=∠B，∠DAC=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴==，故C正确．∵=，AC和BD不一定相等，∴不一定等于．故选：D．【点评】本题考查角的平分线，相似三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造相似三角形．3(2022秋•闵行区期末)如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB．如果==3，且量得CD=4cm，则零件的厚度x为()A.2cmB.1.5cmC.0.5cmD.1cm【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．【解答】解：∵==3，∠COD=∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD=2，∵CD=4cm．∴AB=8cm．∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：(10-8)÷2=1(cm)，故选：D．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．二、填空题(共8小题)4(2022秋•奉贤区期中)如图，已知点D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若，BC=8，则AE的长为4．【分析】由AE∥BC，可得△AEG∽△BFG，△AED∽△CFD推出==，又有BC的值，再由==1，得出AE=CF，代入即可求解AE的长．【解答】解：∵AE∥BC，∴△AEG∽△BFG，△AED∽△CFD，∴==，==1，即AE=CF，又BC=8，∴=AE=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握．5(2022•浦东新区校级模拟)如图，已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC．DE：BC=2：3，设=，试用向量表示向量，=- ．【分析】由DE∥BC可得△ADE∽△ACB，由DE：BC=2：3，可得DA=CD，即可表示，从而得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∵DE：BC=2：3，∴DA：CA=DE：BC=2：3，∵CD=DA+CA，∴DA=CD，∵=，∴=，∴=-，故答案为：-．【点评】本题考查向量的运算，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和向量的运算的解题的关键．6(2022•静安区二模)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AB、CD的中点，AO：OC=1：4，设=，那么= ．(用含向量的式子表示)【分析】由相似三角形性质可得=4=4，再根据梯形中位线定理即可求得答案．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴==，∴=4=4，∵点E、F分别是边AB、CD的中点，∴=(+)=(+4)=，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形中位线定理，平面向量等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．7(2023•静安区校级一模)在矩形ABCD内作正方形AEFD(如图所示)，矩形的对角线AC交正方形的边EF于点P．如果点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC)，且PE=2，那么PF= -1．【分析】先根据黄金分割的定义可得=，再利用正方形的性质可得：DF∥AE，DF=AE，从而可得=，然后证明8字模型相似三角形△CFP∽△AEP，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC)，∴==，∵四边形AEFD是正方形，∴DF∥AE，DF=AE，∴=，∵DC∥AB，∴∠FCP=∠PAE，∠CFP=∠AEP，∴△CFP∽△AEP，∴==，∵PE=2，∴PF=-1，故答案为：-1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，黄金分割，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．8(2022春•浦东新区校级期中)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果△BCD的面积是△ABD面积的2倍，那么△BOC与△BDC的面积之比是2：3．【分析】过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点B作BN⊥AD，交DA的延长线于点N，根据已知易得DM=BN，再根据S△BCD=2S△ABD，从而可得BC=2AD，然后再证明8字模型相似三角形△AOD∽△COB，利用相似三角形的性质可得==，从而可得=，最后根据△BOC与△BDC 的高相等，即可解答．【解答】解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点B作BN⊥AD，交DA的延长线于点N，∵AD∥BC，∴BN=DM，∵S△BCD=2S△ABD，∴BC•DM=2×AD•BN，∴BC=2AD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠ACB，∴△AOD∽△COB，∴==，∴=，∵△BOC与△BDC的高相等，∴==，故答案为：2：3．【点评】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9(2022秋•虹口区校级月考)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，点E为边BC的中点，点F在边CD上且3CF=CD，EF交对角线AC于点G，则AG：GC=7：2．【分析】如图，连接DE，交AC于M，过M作MH∥EF交CD于H，首先利用AD∥BC，，点E 为边BC的中点，可以得到AD：EC=AM：CM=DM：ME=3：2，然后利用MH∥EF，DH：HF= DM：ME=3：2=6：4，最后利用又3CF=CD即可求解．【解答】解：如图，连接DE，交AC于M，过M作MH∥EF交CD于H，∵AD∥BC，，点E为边BC的中点，∴△ADM∽△CME，∴AD：EC=AM：CM=DM：ME=3：2，∵MH∥EF，∴DH：HF=DM：ME=3：2=6：4，又3CF=CD，∴DF=2CF，∴CF：HF=5：4，∴CG：MG=5：4，∴CG=CM，MG=CM，而AM：CM=3：2，∴AM=CM，∴AG=AM+MG=CM，∴AG：GC=CM：CM=7：2．故答案为：7：2．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质于判定，同时也利用了平行线的性质，解题的关键是会进行比例线段的转换，有一定的难度．10(2022秋•黄浦区期末)如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10cm，为求出它的厚度x，现用一个交叉卡钳(AC和BD的长相等)去测量零件的内孔直径AB．如果==，且量得CD的长是3cm，那么零件的厚度x是0.5cm．的值．【解答】解：∵==，∠COD=∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD=3，∵CD=3cm．∴AB=9cm．∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：(10-9)÷2=0.5(cm)，故答案为：0.5．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．11(2022春•闵行区校级月考)如图，梯形ABCD中，∠D=90°，AB∥CD，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果AB=4，且=，那么梯形ABCD的中位线等于7．【分析】过点B作BG⊥EC，利用同高的两个三角形的面积的比先求出EF：BF，再利用相似三角形的性质求出ED、EG，最后利用梯形中位线与上下底的关系得结论．【解答】解过点B作BG⊥EC，垂足为G∵=，∴=．∵AB∥CD，∴△EDF∽△BAF．∴==，∴ED=2，=．∵AD∥BG，∴=．∴EG=6．∵CB绕着点B按顺时针方向旋转，点C落在CD延长线上的点E处，∴BE=BC．∵BG⊥EC，∴EG=GC=6．∴DC=DG+CG=4+6=10．∴梯形ABCD的中位线=(AB+CD)=(4+10)=7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握等腰三角形的三线合一、等高的两个三角形的面积比等于底边的比、梯形的中位线等于上下底的和的一半是解决本题的关键．三、解答题(共12小题)1(2023•普陀区一模)如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一点，AE∥CD，AE、BD相交于点F，EF：CD=1：3．(1)求的值；(2)联结FC，设，，那么= ，= .(用向量、表示)【分析】(1)根据题意可证明四边形AECD为平行四边形，得到AE=CD，则EF：AE=1：3，EF：AF=1：2，易证明△BEF∽△DAF，由相似三角形的性质即可求解；(2)由AF=2EF得，，由三角形法则求出和，再求出，最后利用三角形法则即可求出．【解答】解：∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE=CD，∵EF：CD=1：3，∴EF：AE=1：3，EF：AF=1：2，∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴；(2)联结FC，如图，由(1)可得AF=2EF，∵，∴，，∴=，=，∵，AD=EC，∴，∴==，∴==．故答案为：，．【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平面向量，熟练三角形法则是解题关键．2(2023•奉贤区一模)已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在对角线BD上，∠EAD=∠BDC．(1)求证：AE•BD=AD•DC；(2)如果点F在边DC上，且，求证：EF∥BC．【分析】(1)利用平行线的性质证明∠ADB=∠DBC，然后利用已知条件可以证明△ADE∽△DBC，由此即可解决问题；(2)利用(1)的结论和已知条件可以证明△DEF∽△DBC，接着利用相似三角形的在即可求解．【解答】证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，又∵∠EAD=∠BDC，∴△ADE∽△DBC，∴AE：AD=DC：BD，∴AE•BD=AD•DC；(2)∵AE：AD=DC：BD，且，∴=，而∠EDF=∠BDC，∴△DEF∽△DBC，∴∠DEF=∠DBC，∴EF∥BC．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了平行线的性质，比例的基本性质，有一定的综合性．3(2023•青浦区一模)如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，射线BA、CF相交于点E，DF=2AF．(1)求EA：AB的值；(2)如果，，试用、表示向量．【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，易证△AEF∽△DCF，则=，由DF=2AF即可求解；(2)先算出，再根据即可求解．【解答】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△AEF∽△DCF，∴，∴，∵DF=2AF，∴，∴；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵DF=2AF，∴，∵，，∴，，∴．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题关键．4(2022秋•金山区校级期末)已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC 分别相交于点F、G，AF2=FG•FE．(1)求证：△CAD∽△CBG；(2)联结DG，求证：DG•AE=AB•AG．【分析】(1)通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG=∠E，由平行线的性质可得∠E=∠EBC=∠FAG，且∠ACD=∠BCG，可证△CAD∽△CBG；(2)由相似三角形的性质可得=，且∠DCG=∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得=，由平行线分线段成比例可得=，可得结论．【解答】证明：(1)∵AF2=FG⋅FE．∴=，∵∠AFG=∠EFA，∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG=∠E，∵AE∥BC，∴∠E=∠EBC，∴∠EBC=∠FAG，∵∠ACD=∠BCG，∴△CAD∽△CBG；(2)∵△CAD∽△CBG，∴=，∵∠DCG=∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴=，∵AE∥BC，∴=，∴=，∴=，∴DG•AE=AB•AG．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．5(2022•松江区二模)已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．(1)求证：；(2)如果BE2=BF•BD，求证：DF=BE．【分析】(1)根据已知易证△DAB∽△EBC，然后利用相似三角形的性质可得∠DAB=∠EBC，=，从而可得AD∥EB，进而证明8字模型相似三角形△ADF∽△EBF，最后利用相似三角形的性质可得=，即可解答；(2)根据已知易证△BFE ∽△BED ，从而利用相似三角形的性质可得∠BEF =∠BDE ，进而可得∠DAF =∠BDE ，然后利用(1)的结论可证△ADF ≌△DBE ，再利用全等三角形的性质即可解答．【解答】证明：(1)∵DA =DB ，EB =EC ，∴=，∵∠ADB =∠BEC ，∴△DAB ∽△EBC ，∴∠DAB =∠EBC ，=，∴AD ∥EB ，∴∠DAF =∠AEB ，∠ADF =∠DBE ，∴△ADF ∽△EBF ，∴=，∴；(2)∵BE 2=BF •BD ，∴=，∵∠DBE =∠EBF ，∴△BFE ∽△BED ，∴∠BEF =∠BDE ，∵∠DAF =∠AEB ，∴∠DAF =∠BDE ，∵∠ADF =∠DBE ，AD =DB ，∴△ADF ≌△DBE (ASA )，∴DF =BE ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．6(2023•宝山区二模)如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，OB =OC ．(1)求证：AB =CD ；(2)E 是边BC 上一点，联结DE 交AC 于点F ，如果AO 2=OF •OC ，求证：四边形ABED 是平行四边形．【分析】(1)由等腰三角形的性质和判定及平行线的性质，说明△AOB 和△DOC 全等，利用全等三角形的性质得结论；(2)先说明△AOB∽△FOD，再说明AB∥DE，结合已知由平行四边形的判定可得结论．【解答】证明：(1)∵OB=OC，∴∠DBC=∠ACB．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC．∴∠DAC=∠ADB．∴OA=DO．在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC(SAS)．∴AB=CD．(2)∵AO2=OF•OC，OA=OD，OC=OB，∴AO•OD=OF•OB，即．∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△FOD．∴∠BAO=∠DFO．∴AB∥DE．又∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．【点评】本题主要考查了三角形全等和相似，掌握全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质及平行四边形的判定是解决本题的关键．7(2022秋•徐汇区期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，DB平分∠ADC，且AB2=BE•BD．(1)求证：△ABE∽△DCE；(2)AE•CD=BC•ED．【分析】(1)根据相似三角形的判定可得△ABE∽△DBA；所以∠BAC=∠BDC，由此可得出△ABE ∽△DCE；(2)由(1)中的相似可得出AE：DE=BE：CE，再由∠BEC=∠AED可得△ADE∽△BCE，所以∠EAD=∠EBC，∠ADE=∠BDC=∠BCE，可得△BCD∽△ADE，进而可得结论．【解答】证明：(1)∵AB2=BE•BD，∴AB：BE=BD：AB，∵∠ABE=∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴∠BAC=∠BDC，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠BDC=∠BAC，∴△ABE∽△DCE；(2)由(1)中相似可得，AE：DE=BE：CE，∵∠BEC=∠AED，∴△ADE∽△BCE，∴∠EAD=∠EBC，∠ADE=∠BDC=∠BCE，∴△BCD∽△AED，∴BC：AE=CD：ED，AE•CD=BC•ED．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与安定，涉及A字型相似，8字型相似等相关内容，熟练掌握相关判定是解题关键．8(2022春•杨浦区校级期中)如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E=∠ABC．(1)求证：AB2=AC•AE；(2)如图2，D在BC上且BD=3CD，延长AD交BE于F，若=，求的值．【分析】(1)利用两角相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△AEB，然后利用相似三角形的性质即可解答；(2)过点E作EH∥CB，交AF的延长线于点H，利用(1)的结论可得===，先AC=2a，AB=3a，从而求出AE的长，进而求出的值，再根据已知设CD=m，BD=3m，从而求出BC，BE的长，然后证明A字模型相似三角形△ACD∽△AEH，利用相似三角形的性质可得EH=m，再证明8字模型相似三角形△BDF∽△EHF，利用相似三角形的性质可得=，从而求出EF的长，进行计算即可解答．【解答】(1)证明：∵∠E=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△AEB，∴=，∴AB 2=AC •AE ；(2)解：过点E 作EH ∥CB ，交AF 的延长线于点H ，∵△ABC ∽△AEB ，∴===，∴设AC =2a ，AB =3a ，∴=，∴AE =a ，∴==，∵BD =3CD ，∴设CD =m ，则BD =3m ，∴BC =CD +BD =4m ，∴=，∴EB =6m ，∵EH ∥CD ，∴∠ACD =∠AEH ，∠ADC =∠AHE ，∴△ACD ∽△AEH ，∴==，∴EH =m ，∵EH ∥BD ，∴∠BDF =∠DHE ，∠DBF =∠FEH ，∴△BDF ∽△EHF ，∴===，∴EF =BE =m ，∴==，∴的值为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9(2023•崇明区二模)已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，M是边DC延长线上的一点，联结AM，与边BC交于F，与对角线BD交于点G．(1)求证：AG2=GF•GM；(2)联结CG，如果∠BAG=∠BCG，求证：平行四边形ABCD是菱形．【分析】(1)由平行线的性质和相似三角形的平行判定法，可得到△ABG∽△MDG、△ADG∽△FBG，再利用相似三角形的性质得结论；(2)利用“两角对应相等”先说明△GCF∽△GMC，再利用等腰三角形的三线合一说明BD⊥AC，最后利用菱形的判定方法得结论．【解答】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DM，AD∥BC．∴△ABG∽△MDG，△ADG∽△FBG．∴=，=．∴=．∴AG2=GF•GM．(2)∵AB∥DM，∴∠BAG=∠M．∵∠BAG=∠BCG，∴∠M=∠BCG．∵∠MGC=∠FGC，∴△GCF∽△GMC．∴=，即CG2=GF•GM．∵AG2=GF•GM，∴CG2=AG2．∴CG =AG ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE =CE ．∴GE ⊥AC ，即BD ⊥AC ．∴平行四边形ABCD 是菱形．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定方法、等腰三角形的判定和性质等知识点是解决本题的关键．10(2021秋•虹口区期末)如图，在梯形ABCD 中，∠ABC =90°，AD ∥BC ，BC =2AD ，对角线AC 与BD 交于点E ．点F 是线段EC 上一点，且∠BDF =∠BAC ．(1)求证：EB 2=EF •EC ；(2)如果BC =6，sin ∠BAC =，求FC 的长．【分析】(1)先由AD ∥BC 得到△EAD ∽△ECB ，从而得到，然后由∠BDF =∠BAC 、∠AEB =∠DEF 得证△EAB ∽△EDF ，进而得到，最后得到结果；(2)先利用条件得到AC 、AB 的长，然后利用BC =2AD 得到AD 、BD 的长，再结合相似三角形的性质得到EB 、EC 的长，进而得到EF 的长和FC 的长．【解答】(1)证明：∵AD ∥BC ，∴△EAD ∽△ECB ，∴，即，∵∠BDF =∠BAC ，∠AEB =∠DEF ，∴△EAB ∽△EDF ，∴，∴，∴EB2=EF•EC．(2)解：∵BC=6，sin∠BAC==，BC=2AD∴AC=9，AD=3，∵∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠BAD=90°，∴AB===3，∴BD===3，∵△EAD∽△ECB，∴，∴EC=AC=×9=6，EB=BD=×3=2，∵EB2=EF•EC，即(2)2=6EF，∴EF=4，∴FC=EC-EF=6-4=2．【点评】本题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟知“8”字模型相似三角形的判定与性质．11(2021秋•嘉定区期末)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在线段AD上，CE与BD相交于点H，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE：AE=2：3，BC=4DE，CE=10．求EH、GE的长．【分析】根据题目的已知并结合图形分析8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∠DEC=∠ECB，∴△DEH∽△BCH，∴，∵BC=4DE，∴，∵CE=10，∴HC=10-EH，∴，∴EH=2，∵BC=4DE，DE：AE=2：3，∴，∵AD∥BC，∴∠GAE=∠GBC，∠GEA=∠GCB，∴△GAE∽△GBC，∴，∵CE=10，∴GC=10+GE，∴，∴GE=6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，梯形，熟练掌握8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形是解题的关键．12(2021秋•杨浦区期末)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5，点D为射线AB上一动点，且BD<AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．(1)当点D在边AB上时，①求证：∠AFC=45°；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；(2)联结CE、BE，如果S△ACE=12，求S△ABE的值．【分析】(1)①如图1，连接CE，根据轴对称的性质可得：EC=BC，∠ECF=∠BCF，设∠ECF=∠BCF=α，则∠BCE=2α，∠ACE=90°-2α，再利用等腰三角形性质即可证得结论；②如图2，连接BE，CE，由△EBG∽△BDC，可得出∠G=∠BCD=22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，推出CH=DH=BD，再根据CH+BH=BC=5，建立方程求解即可；(2)分两种情况：Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可．【解答】解：(1)①证明：如图1，连接CE，∵点B关于直线CD的对称点为点E，∴EC=BC，∠ECF=∠BCF，设∠ECF=∠BCF=α，则∠BCE=2α，∴∠ACE=90°-2α，∵AC=BC，∴AC=EC，∴∠AEC=∠EAC=[180°-(90°-2α)]=45°+α，∵∠AEC=∠AFC+∠ECF=∠AFC+α，∴∠AFC=45°；②如图2，连接BE，CE，∵B、E关于直线CF对称，∴CF垂直平分BE，由(1)知：∠AFC=45°，∴∠BEF=45°，∵△EBG与△BDC相似，∠BEG=∠DBC=45°，∵∠EBG与∠BDC均为钝角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G=∠BCD=∠BAG，∵∠G+∠BAG=∠ABC=45°，∴∠G=∠BCD=22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，∴DH=BD，BH=BD，∠BHD=45°，∵∠CDH=∠BHD-∠BCD=45°-22.5°=22.5°=∠BCD，∴CH=DH=BD，∵CH+BH=BC=5，∴BD+BD=5，∴BD==5-5，∴线段BD的长为5-5；(2)Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，∵AC=EC=BC=5，∴AM=EM=AE，∴①AM2+CM2=AC2=25，∵S△ACE=AE•CM=12，∴②AM•CM=12，①+②×2，得：(AM+CM)2=49③，①-②×2，得：(AM-CM)2=49③，∵CM>AM>0，∴AM=3，CM=4，∴AE=6，由(1)知：∠AFC=45°，BE⊥CF，∴∠BEF=45°，∵∠AFC=∠ABC=45°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠AFB+∠ACB=180°，∴∠AFB=90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，设EF=BF=x，则AE=x+6，在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，∴(x+6)2+x2=50，解得：x=1或x=-7(舍去)，∴BF=1，∴S△ABE=AE•BF=×6×1=3；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，由(1)知：∠AFC=45°，CF垂直平分BE，∴∠BEF=45°，BF=EF，∴∠EBF=∠BEF=45°，∴∠BFE=90°，∵AC=EC=BC=5，∴AM=EM=AE，与Ⅰ同理可得：AM=EM=4，CM=3，AE=8，设BF=EF=y，则AF=8-y，在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，∴(8-y)2+y2=50，解得：y=1或y=7(舍去)，∴BF=1，∴S△ABE=AE•BF=×8×1=4；综上，S△ABE的值为3或4．【点评】本题考查了三角形面积，等腰直角三角形性质和判定，相似三角形的判定和性质，轴对称变换的性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．。
初一数学上册必考知识点及重难点
初一数学上册必考知识点及重难点第一章有理数1.正数和负数2.有理数3.有理数的加减4.有理数的乘除5.有理数的乘方重点：数轴、相反数、绝对值、有理数运算、科学计数法、有效数字难点：绝对值易错点：绝对值、有理数运算中考必考：科学计数法、相反数(选择题)第二章整式的加减1.整式2.整式的加减重点：单项式与多项式的概念及系数和次数的确定、同类项、整式加减难点：单项式与多项式的系数和次数的确定、合并同类项易错点：合并同类项、运算失误、整数次数的确定中考必考：同类项、整数系数次数的确定、整式加减第三章一元一次方程1.从算式到方程2.解一元一次方程----合并同类项与移项3.解一元一次方程----去括号去分母4.实际问题与一元一次方程重点：一元一次方程(定义、解法、应用)难点：一元一次方程的解法(步骤)易错点：去分母时，不含有分母项易漏乘、解应用题时，不明白如何找等量关系第四章图形认识实步1.多姿多彩的图形2.直线、射线、线段3.角4.课题实习----设计制作长方形形状的包装纸盒要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确仿照，才能不断地把握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我专门重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清晰，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，如此能引起幼儿的注意。
当我发觉有的幼儿不用心听别人发言时，就随时夸奖那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们用心听，用心记。
平常我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，如此幼儿学得生动爽朗，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了经历，又进展了思维，为说打下了基础。
重点：直线、射线、线段、角的认识、中点和角平分线的相关运算、余角和补角，方位角等难点：中点和角平分线的相关运算、余角和补角的应用我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
人教版初一上册数学易错点和难点总结
高中数学作为初中数学的延伸，承上启下，在学习过程中往往会遇到一些易错点和困难点。
在人教版初一上册的数学教材中，也有一些常见的易错点和难点，下面将针对这些内容进行总结和回顾，帮助学生更好地理解和掌握这些知识。
一、整数在初一上册的数学教材中，整数是一个重要的内容。
易错点主要集中在整数的加减法、乘除法以及应用题中。
在加减法中，学生往往容易出现负数的运算错误，尤其是对负数的理解和运用不够熟练。
在乘除法中，学生常常出现忽略符号、计算错误的情况。
在应用题中，对于正负数的理解和运用也是一个困难点。
二、分数分数是初中数学中的一个基础知识点，但在实际运用中常常出现错误。
易错点主要包括分数的加减乘除、分数的化简和扩展、分数在应用题中的运用等。
学生往往在运算中出现符号忽略、计算错误，对于分数的化简和扩展也缺乏深入的理解。
三、代数方程在初一上册的数学教材中，代数方程也是一个难点内容。
易错点主要包括一元一次方程的解法、方程的应用题以及方程与图形的联系等。
学生往往对于方程的解法和应用题中的参数化不够熟练，对于方程与图形的联系也缺乏深入的理解。
四、几何几何是初中数学中的一个重要内容，但在初一上册的教材中，也存在一些易错点和难点。
主要包括角的性质、相似三角形、平行线和相交线等内容。
学生往往在运用角的性质和相似三角形的知识时出现错误，对于平行线和相交线的性质也理解不够深入。
初一上册数学教材中存在着一些易错点和难点，但只要学生能够认真总结和回顾这些知识，勤加练习，相信一定能够克服这些困难，更好地掌握数学知识。
希望同学们能够在学习中坚持不懈，勇敢面对困难，不断提高自己的数学水平。
高中数学作为初中数学的延伸，承上启下，是学生学习数学的关键阶段之一。
在学习高中数学的过程中，学生往往会遇到更加复杂的数学内容和问题，因此对初中数学知识的掌握和理解尤为重要。
在人教版初一上册的数学教材中，整数、分数、代数方程和几何是一些常见的易错点和难点。
一、整数在高中数学中，整数的运算不仅仅局限于加减乘除，还涉及到整数的乘方、开方、整数的分数指数和分数根等。
初中数学10大重点难点专题知识点讲解
专题一实数知识要点1.实数的有关概念(1)实数分类整数实数有理数'正整数零负整数分数正分数负分数(有限小数和无限循环小数)无理数一无限不循环小数实数还可以分为：正实数、零、负实数；有理数还可以分为：正有理数、零、负有理数。
解题中需考虑数的取值范围时，常常用到这种分类方法。
特别要注意0是自然数。
(2)数轴数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。
实数与数轴上的点是一一对应的，这种一•对应关系是数学中把数和形结数总比左边的数大。
(3)绝对值合起来的重要基础。
在数轴上表示的两个数，右边的a(a>0)0(a=0)-a(a<0)|a|=绝对值的代数意义：绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。
(4)相反数、倒数相反数以及倒数都是成对出现的，零的相反数是零，零没有倒数。
“任意一对相反数的和是零”和“互为倒数的两个数的积是1”的特性常作为计算与变形的技巧。
(5)三种非负数(a>0)形式的数都表示非负数。
“几个非负数的和(积)仍是非负数”与“几|a|、个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简求值。
(6)平方根、算术平方根、立方根的概念(7)易错知识辨析(1)近似数、有效数字如0.030是2个有效数字(3,0)精确到千分位；3.14X105是3个有效数字；精确到千位.3.14万是3个有效数字(3,1,4)精确到百位.(2)绝对值|x|=2的解为x=±2；而|-2|=2,但少部分同学写成|-2|=±2.(3)在已知中，以非负数a\|a|,%(aNO)之和为零作为条件，解决有关问题.2.实数的运算(1)实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算，整数指数籍的运算。
(2)有理数的运算法则在实数范围仍然适用；实数的运算律、运算顺序。
(3)加法及乘法的运算律可用于实数运算的巧算。
(4)近似数的精确度、有效数字、科学记数法的形式为ax10"(其中lJa|<10‘n为整数)。
【初中数学】+数+轴+考点梳理及难点突破+课件+人教版(2024)数学七年级上册
考点梳理及难点突破
1.2.2 数 轴
● 考点清单解读
● 重难题型突破
● 易错易混分析
● 方法技巧点拨
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考
点
清
单
解
读
■考点一
数轴的定义及画法
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数
定义
轴；原点将数轴（原点除外）分成两部分，其
中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一
侧的部分叫作数轴的负半轴
A． 文具店
B． 玩具店
C． 文具店西 40 m 处
D． 玩具店西 60 m 处
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解题通法
根据运动的方向和距离在数轴上表示出每
重
难
题 次运动结束的位置，运用转化思想将复杂的实际问题转化
型 成数学问题，借助数轴上的点与有理数的对应关系简单直
突
破 观地解答.
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易 ■忘记分类讨论，导致漏解图示三要素原点、正方向和单位长度
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续表
考
点
清
单
解
读
步骤
（1）画：画一条水平（或竖直）
的直线
（2）取：在直线上任取一个点
画法
表示数0，这个点叫作原点
（3）定：通常规定直线上从原
点向右（或上）为正方向，用
箭头表示出来
图示
返回目录
考
点
清
单
解
读
续表
步骤
画法
（4）选：选取适当的长度为单
位长度
图示
返回目录
明跑步用的时间是9 000÷250=36（min）．
答：小明跑步一共用了 36 min．
返回目录
变式衍生 文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西
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二次函数
二次函数的表达式及三种方式的表示；二次函数的几个参量，如：顶点坐标，对称轴，开口方向等。
理解二次函数的顶点式；最值的求法；二次函数与其他知识的综合。
二次函数的二次项不为零；顶点坐标，对称轴，开口方向等；待定系数法求表达式。
三
圆
圆的有关性质（垂径定理与其推论，圆周角与圆心角的关系）；直线与圆，圆与圆的关系。
初中数学重难点及易错点分析
七年级数学教材分析（北师版）
章节
上册
教学内容
重点
难点
易错点
一
丰富的图形世界
展开与折叠；三视图；图形的认识。
抽象思维：求某个图形的展开图；告诉某三视图求物体的个数等。
三视图的抽象思维；展开图的形状。
二
有理数及其运算
正数、负数的认识；有理数的分类；数轴、相反数及有理数的运算。
关于绝对值的计算；有理数的混合运算，符号情况。
平行线的探索和平行线的性质；余角、补角和尺规作图。
理解同旁内角互补；准确理解判断两条平行线平行的条件和特征。
条件和特征的因果关系。
三
变量之间的关系
理解和掌握变量之间的关系并会区分自变量、因变量之间的关系。
通过实例中找寻变量，理清变量之间的关系。
自变量和因变量是相对的。
四
三角形
与三角形有关的线段认识；三角形全等的判定与探索；利用三角形全等解决实际问题。
特殊的平行四边形的证明；特殊四边形中的动点问题。
各定理之间的判别；特殊四边形的性质的区分。
二
一元二次方程
用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；
用配方法解一元二次方程；实际问题中的一元二次方程。
利用因式分解法及公式法解方程。
三
概率分的进一步认识
用树状图或表格求概率；频率与概率的定义
理解用一个事件发生的频率来估计这一事件的概率的概念。
关于一元一次方程的应用题。
去分母、去括号过程中
六
数据的收集与整理
科学计数法；扇形统计图
扇形圆心角的确定
科学计数法
章节
下册
教学内容
重点
难点
易错点
一
整式的乘除
整式的概念，幂的运算，乘法公式。
整式的除法；平方差公式、完全平方公式综合考察；找同类项。
完全平方公式的运用,注意完全平方公式与平方和的区别。
二
相交线与平行线
求取最大公分母分式方程应用题。
注意：分式方程的应用题必须检验有无增根。
六
平行四边形
平行四边形的性质及判定；三角形中位线的性质及应用。
平行四边形的性质与判别；多边形的外角和推导过程。
平行四边形的判定。
九年级数学教材分析（北师版）
章节
上册
教学内容
重点
难点
易错点
一
特殊的平行四边形
菱形、矩形、正方形的性质与判定；中点四边形；三角形的中位线定理。
通过定理证明两线平行。
章节下册
教学内容
重点
难点
易错点
一
三角形的证明
等腰三角形，直角三角形；线段的垂直平分线；角平分线的证明。
线段的垂直平分线以及角平分线的应用。
线段的垂直平分线定理，角平分线定理的定理及逆定理的辨别。
二
一元一次不等式和一元一次不等式组
不等式的基本性质；一元一次不等式的解法。
解元一次不等式组取解集；用一元一次不等式处理问题。
符号的运算，数轴的表示。
三
字母表示数
代数式、代数式的值，同类项的合并。
合并同类项及去括号。
去括号
四
基本平面图形
线段、直线、射线的认识；线段、角的度量与比较；平行和垂直的概念。
线段、直线、射线的区别；角度的大小比较；垂直的概念
线段、直线、射线的认识；垂直的概念。
五
一元一次方程
等式的基本性质及一元一次方程的解法。
五
二元一次方程组
用代入法，加减法解二元一次方程组。
二元一次方程组的应用题；二元一次方程组和一次函数。
二元一次方程组的解法及应用题。
六
数据的分析
平均数、中位数与众数概念的理解；计算器求平均数。
加权平均数、中位数的理解。
中位数、平均数的计算；用计算器求平均数。
六
平行线的证明
了解证明平行的意义以及过程。
理解平行线的判定和性质；三角形内角和定理。
圆心角与弧、弦、圆周角之间的关系；不共线的三点确定一个圆。
切线的概念理解，圆锥的侧面积；弧长的计算。
不等式的基本性质；不等式组解集的确定。
三
图形的平移与旋转
平移的特征；简单的平移作图，旋转特征的了解。
掌握中心对称；旋转作图；图案的设计。
简单的平移作图，旋转作图。
四
因式分解
用提公因式法,公式法进行的因式分解
综合应用两种方法进行的因式分解。
运用公式法注意其准确性。
五
分式与分式方程分式Fra bibliotek意义及用分式的基本性质解题；分式的运算.
探索三角形全等的条件的过程。
准确把握三角形全等的条件，以避免条件不完全的判定。
五
生活中的轴对称
轴对称图形的概念和性质；角平分线的性质；垂直平分线的性质。
区分轴对称图形和轴对称的概念。
对称轴是一条直线而非线段
六
概率
概率的定义，及利用概率解题
会根据实际情况来确定某件事发生的概率
判定游戏的公平性；确定某事件在实际情况下的概率。
无理数是无限循环小数是有理数；理解平方根有两个。
三
位置与坐标
平面直角坐标系的理论；坐标的变化。
物体变化位置的确定及坐标变化后物体的变化。
平面直角坐标系中坐标的表示；坐标变化的情况。
四
一次函数
一次函数解析式及其图象；一次函数的概念和性质；待定系数法。
变量与函数对应关系的理解；一次函数图象的应用。
一次函数的表达式及用待定系数法确定一次函数的表达式。
频率是在一个样本中出现的，而概率是整个事件来说的。
四
图形的相似
成比例线段；相似三角形的比例和性质。
利用相似三角形解决实际问题。
相似比的平方等于面积比。
五
视图与投影
某个物体的三视图与投影。
理解平行投影与中心投影的区别。
三视图的理解；中心投影与平行投影的区别。
六
反比例函数
反比例函数的表达式；反比例函数的图象与性质。
反比例函数的应用；猜想证明与拓广。
注意反比例函数的图象与X、Y轴无交点，且越来越逼近。
章节下册
教学内容
重点
难点
易错点
一
直角三角形的边角关系
特殊角的三角函数及三角函数的有关计算；用三角函数的定义解直角三角形；计算器的使用
用三角函数联系实际解决实际问题；用边角关系处理实际生活中的问题。
特殊角三角函数值记错；计算器的使用及函数值的意义。
八年级数学教材分析（北师版）
章节上册
教学内容
重点
难点
易错点
一
勾股定理
勾股定理的内容及应用；判定怎样得到直角三角形。
勾股定理的应用；圆柱的展开，勾股定理的逆定理。
侧面展开图后直角三角形的理解和应用。
二
实数
平方根、立方根的概念、实数的定义。
计算器的使用
理解无理数是无限不循环小数；实数运算的某些技巧掌握如：分母有理化。