四川省成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学(理)试卷(带答案)

成都石室中学2019届高三上学期入学考试

数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设i i

i

z 211++-=

，则=||z A ．0 B ．

1

2

C ．1

D 2 2.设集合{})2(log |2x y x A -==，若全集A U =，{}21|<<=x x B ，则U C B = A ． (),1-∞

B ．(],1-∞

C ．()2,+∞

D ．[

)2,+∞

3.命题“0x ?>，1

ln 1x x

≥-”的否定是 A ．0x ?>，1

ln 1x x

<-

B ．00x ?>，001ln 1x x <-

C ．00x ?≤，001ln 1x x <-

D ． 0x ?>，1

ln 1x x

≤- 4.在如图的程序框图中，若输入77,33m n ==，则输出的n 的值是 A ．3 B ．7 C ．11 D ．33

5.在区间[0，2]上随机取一个数x ，使2

3

2

sin

≥

x π

的概率为 A ．13 B ．12

C ．23

D ．34

6. 《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑

堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的体积为

A. 2

B.

3

2

C. 1

D. 462+ 7.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，2531=+a a 且4542=+a a ，则=n

n a S A ．14n - B ．41n - C ．12n - D ．21n -

8.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，()()11f x f x +=-+，且当01x ≤≤时，()1

1cos f x x

=-，则下列结论正确的是 A. ()32129f f f ????-

<< ? ????? B. ()19322f f f ????

-<< ? ?????

C. ()22913f f f ????<<-

? ????? D. ()19223f f f ????

<-< ? ?????

9．已知约束条件为32402020x y x y x y --≤??

-+≥??++≥?

，若目标函数y kx z +=取最大值时的最优解有无数多个,则k 的值为

A. 1

B. 1-

C. 3

2

- D. 1-或1

10.已知抛物线x y 42=的一条弦AB 经过焦点,F O 为坐标原点，点M 在线段OB 上，且3OB OM =，点N 在射线OA 上，且3ON OA =，过,M N 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,C D ,则CD 的最小值为

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

11.向量c b,a,满足：||4=a ，||42=b ，b 在a 上的投影为4，()()0-?-=a c b c ，则?b c 的最大值是

A. 24

B. 2824-

C. 2824+

D. 28

12．已知函数()(1)(2)e e x f x m x x =----，若关于x 的不等式0)(>x f 有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为

A ．3e e 2

+

B ．2e e 2+

C ．3e e 2

-

D ．2e e 2

-

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.若n

x

x )1(-的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 ．

14. 直线:2(5)l y x =过双曲线)0,0(1:22

22>>=-b a b

y a x C 的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共

点，则C 的离心率为 ．

15.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若134,12AB AC AB AC AA ==⊥=,,,则球O 的直径为 ．

16.函数2

()32cos (0)2x

f x x ωωω=->，已知()f x 在区间2(,)33

ππ

-恰有三个零点，则ω的范围为 . 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分

17.（本小题满分12分）

某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成如下频率分布直方图，已知实体店与网店销售量相互独立.

实体店销售量（单位：件）

频率组距

0.0400.0340.0320.0240.0200.0140.012

70

6560555045403530250频率组距

网店销售量（单位：件）

70656055504540350.068

0.0460.044

0.020

0.0100.0080.004

（Ⅰ）若将上述频率视为概率，已知实体店每天销售量不低于50件可盈利，网店每天销量不低于45件可盈利，求任取一天,实体店和网店都盈利的概率；

（Ⅱ）根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值（精确到0.01）． （Ⅲ）若将上述频率视为概率，记该服装店未来三天实体店销售量不低于40件的天数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.

18.（本小题满分12分）

如图，在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知

4,2,2cos ,c b c C b === ,D E 分别为线段BC 上的点，且

BD CD =，BAE CAE ∠=∠．

(I)求线段AD 的长； (II)求ADE ?的面积．

19.（本小题满分12分）

直播答题是最近很热门一款游戏，其答题规则如下：每次都有12道题，每题三个选项中恰有一个正确选项，若中途答错，则退出游戏，若正确回答完12题就可以平分当期奖金. 随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如下表：

男

女

认为直播答题模式可持续 360 280 认为直播答题模式不可持续

240

120

(I)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过0.5%的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？

(II)随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次.已知某网友拥有复活卡，在某期的答题游戏中，前8个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项.求该网友本场答题个数X 的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率.

参考公式： ()

()()()()

2

2n ad bc K a b c d a c b d -=

++++．

临界值表：

()20

P K k ≥

0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

20.（本小题满分12分）

如图O 为坐标原点，圆 2

2

:4,O x y +=点 ),(),,(030321F F -，以线段M F 1为直径的圆N 内切于圆O ，切点为P ，记点M 的轨迹为曲线C .

（I ）证明：12||||F M F M +为定值，并求曲线C 的方程；

（II ）设Q 为曲线C 上的一个动点，且Q 在x 轴的上方，过2F 作直线

Q F l 1//，记l 与曲线C 的上半部分交于R 点，求四边形21F RQF 面积的取

值范围.

21.（本小题满分12分）

已知函数()ln m x

f x x

=

，()()1g x n x =-+，其中0mn ≠. （I ）若m n =，讨论()()()h x f x g x =+的单调区间； （II ）若()()0f x g x +=的两根为12,x x ，且12x x >，证明：()1212

2

0g x x m

x x ++

<+.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xoy 中，曲线041=-+y x C :，曲线为参数）θθθ

(sin 1cos :2?

??+==y x C ，以坐标原点

O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．

（I ）求曲线21C C ,的极坐标方程； （II ）射线),(:2

00π

αραθ<

<≥=l 分别交21C C , 于N M ,两点，求|||

|OM ON 的最大值．

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数()13f x x x =-+-．

（I ）解不等式()1f x x ≤+；

（II ）设函数()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：11

12

2≥+++b b a a ．

石室中学高2019届2018~2019学年上期入学考试

数学参考答案（理科）

1-5：CBBCA 6-10：ADDBA 11-12：CA 13、-20 14、5 15、13 16、7

(3,]2

17解：（Ⅰ）由题意，任取一天，实体店盈利的概率1(0.0320.0200.0122)50.38P =++??= 网店盈利的概率21(0.0040.020)50.88P =-+?= 由实体店和网店销售量相互独立， 故任取一天,实体店和网店都盈利的概率0.380.880.3344.P =?= .…………3分 （Ⅱ）因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为

()0.0040.0200.04450.340.5++?=<，

销售量低于55的直方图面积为

()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++?=>

故网店销售量的中位数的估计值为0.5-0.34

50+

552.350.34

?≈（件）…………6分

（Ⅲ）由题意，实体店销售量不低于40件的概率3

1(0.0120.0140.024)54

P =-++?=……7分 故3

~(3,)4

X B ,X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为

()30

3

3101464

P X C ??==?-= ???, ()2

133********P X C ??==?-=

???, ()22333272()14464()P X C ==?-=, ()3

333273()464

P X C ==?=,

分布列为

X 0 1 2 3 P

1

64

964

2764

2764

…………11分

因为3~(3,)4X B ,所以期望为39

(X)344

E =?=.…………12分

18.解：（1）根据题意，2=b ，4=c ，b C c =cos 2，则4

1

2cos ==

c b C ；

又由4

1

41642cos 2222=-+=-+=a a ab c b a C ，

解可得4=a

即4=BC ，则2=CD ， 在ACD ?中，

由余弦定理得：6cos 2222=?-+=C CD AC CD AC AD ， 则6=

AD ；…………………（6分）

（2）根据题意，AE 平分BAC ∠，

则

2

1

==AB AC BE CE ， 变形可得：3

4

31==BC CE ，

41cos =

C ，则4

15sin =C ， 6

15

=

-=???ACE ACD ADE S S S …………………（12分） 19、解析：（I ）依题意，2K 的观测值()

2

1000360120240280125

7.879600400640360

12

k ??-?=

=

>???， 故可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为对直播大题模式的态度与性别有关系；…………5分 （Ⅱ）由题意X 的取值为10,11,12，且后四个题每个题答对的概率为1

3

.………………6分 224(X 10);339P ==?=2121228

(X 11)33333327P ==??+??=；

2233

331217(X 12)()()33327

P C C ==?+=.

故X 的分布列为

…………………………………………9分

记该网友当期可平分奖金为事件A ，则

3344

441211()()()3339

P A C C =?+=.

X

10 11 12 P

49

827

727

故该网友当期可平分奖金的概率为1

9

. ………………………12分 20、解：（1）由题知：O ，P ，N 三点共线，连2MF

则4222221=+=+=+||||||||||||ON NP ON MN MF MF ， 所以点M 的轨迹是以21F F ,为焦点，长轴长为4的椭圆，其中，，

，

，

则动点M 的轨迹方程是

．……………………………………4分

（2）如图：PR F QPR PQMR F PQF S S S S 1212

1

===

………………………………6分 因为l 不与y 轴垂直，设PR ：3+=ty x ， ),(),,(2211y x Q y x P

所以

?????=++=14

322

y x ty x 消去x 有：

0132422=-++ty y t )(

由弦长公式可得：4

144161612

22

22

++=++?+=

t t t t t PR )(||

又因为点1F 到直线l 的距离2

132t

d +=

所以S ＝131344

1

3421222

2++

+=++?=?t t t t d PR ||……………10分

因为R t ∈，所以321

312

2

≥++

+t t （当2=

t 等号成立）

所以],

(20∈S ……………………12分

21、解:（Ⅰ）由已知得()()()ln (

1)x

h x =f x +g x =m x x

--，

所以()22

21ln 1(1ln )x h'x =m =x x x x

m

-??---

???，……………2分 当01x <<时，2

2

10,ln 0,1ln 0x x x x ->->∴-->Q ；

当1x >时，2

2

10,ln 0,1ln 0x x x x -<-<∴--，)(h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；

若0m <，)(h x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞．……………5分 （Ⅱ）依题意()1

11

ln 1x m n x x =+， ()

2111ln ...+m x n x x ∴=①， 同理，()

22

22+ln ...m x n x x =②

由①-②得，()

()()221

112212122

l 1+n

x m n x x x x n x x x x x =--=-++，……………7分 ()()

121212ln

1x m x n x x x x ∴++=-，()1

1212221ln g (1)x

x x n x x x m m x x +-++==

-，……………8分

要证

()1212

2

0g x x m

x x ++<+，即证：122112

ln 20x

x x x x x +<-+，

即证：1

12

1

2

2

21ln

+01x x x x x x -

>+（）

，……………9分 令121x t x =

>，即证()1ln +20,11

t p t t t t -=>?>+． ()()()()2

22

114'011t p t t t t t -=-=>++Q ，……………10分

()p t ∴在区间[)1,∞+上单调递增，

()()10,1p t p t ∴>=?>成立．故原命题得证．……………12分

22. 解：（1） 因为

，

，

，

所以 的极坐标方程为04=-+θρθρsin cos ， 因为 的普通方程为

，

即

，对应极坐标方程为

．……………………5分

（2）因为射线),(:2

00π

αραθ<

<≥=l ，则),(),,(αραρ21N M ，

则αρα

αρsin ,cos sin 24

21=+=

，所以

)cos (sin sin ||||αααρρ+==2112ON OM ＝

4

1

4242+-)sin(πα 又

，),

(4

34

4

2π

π

π

α-

∈-

， 所以当 2

4

2π

π

α=

-，即8

3πα=

时，|||

|ON OM 取得最大值 4

1

2+……10分

23、解：①当1

②当31≤≤x 时，不等式可化为12+≤x ，1≥x ． 又∵31≤≤x ，∴31≤≤x ．

③当3>x 时，不等式可化为142+≤-x x ，5≤x ． 又∵3>x ，∴53≤

∴原不等式的解集为]5,1[．…………………（5分）

（Ⅱ）证明：由绝对值不等式性质得，|1||3||(1)(3)|2x x x x -+-≥-+-=， ∴2=c ，即2=+b a ．

令m a =+1，n b =+1，则1>m ，1>n ，1,1-=-=n b m a ，4=+n m ，

n

n m m b b a a 2

222)1()1(11-+

-=+++n m n m 114++-+=mn 4=1)2

(4

2=+≥n m ， 原不等式得证．…………………（10分）