四川省成都市石室中学2020届高三上学期入学考数学(文)试题
A． B． C． D．
7．一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”，下图是由三个半圆构成的图形最大半圆的直径为6，若在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为 ，则阴影部分图形的“周积率”为（）
A．2B．3C．4D．5
8．某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为 ，其内切球的表面积为 ，且 ，则 （）
（Ⅱ）射线 分别交 ， 于M，N两点，求 的最大值．
参考答案
一、选择题：
1-5：ABCCC 6-10：DBDAA 11-12：BD
二、填空题：
13．414． 15．416．
三、解答题：
17．解：（1）由已知： ，
，
， ，中位数估计值为171.74分
（2）由已知，笔试成绩高的第3、4、5组的人数之比为 ，现用分层抽样的方法选6名学生．故第3、4、5组每组各抽学生人数为3、2、l．7分
合计
100
1.000
（Ⅰ）求频率分布表中n，p的值，并估计该组数据的中位数（保留l位小数）；
（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率．
21．（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）若 ，在 上单调递减，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当 时， 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中，曲线 ，曲线 （ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线 ， 的极坐标方程；
设 ．
19．解：（1）由题设得 ，即 ．
又因为 ，所以 是首项为1，公比为 的等比数列．3分
（3）在（2）的前提下，记第3组的3名学生为 ， ， ，
第4组的2名学生为 ， ，第5组的1名学生为 ，且“第4组至少有1名学生被甲考官面试”为事件A．
则所有的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，一共15种．
A事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ，一共9种．
答：第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率为 ．12分
18．（1）因为 ，所以F是AP的中点，又因为N是PB的中点，所以 ，由四边形ABCD是矩形，得 ，故 ，
；6分
（2）连接PM，过M作 交BC于E，由 是等边三角形，得 ， ，8分
因为N是PB的中点，所以N到面CDM的距离等于P到面CDM的距离的一半，
A．1 B． C． D．
9．如图，在 中，D是BC的中点，E在边AB上， ，若 ，则 的值是（）
A． B．2 C． D．3
10．定义在R上的函数 满足 ，且 、 有 ，若 ，实数a满足 则a的最小值为（）
A． B．1C． D．2
11．在 中，已知 ， ， ，D是边AC上一点，将 沿BD折起，得到三棱锥 ．若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设 ，则x的取值范围为（）
14．已知圆 截y轴所得的弦长为 ，过点 且斜率为k的直线l与圆C交于A、B两点，若 ，则 ________．
15．已知抛物线 的一条弦AB经过焦点F，O为坐标原点，点M在线段OB上，且 ，点N在射线OA上，且 ，过M、N向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C、D，则 的最小值为________．
16．对于函数 ，若存在区间 ，当 时的值域为 ，则称 为k倍值函数，若 是k倍值函数，则实数k的取值范围是________．
（Ⅰ）证明： 是等比数列， 是等差数列；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前n项和 ．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆 上任意一点到其两个焦点 ， 的距离之和等于 ，焦距为2c，圆 ， ， 是椭圆的左、右顶点，AB是圆O的任意一条直径，四边形 面积的最大值为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，若直线 与圆O相切，且与椭圆相交于M，N两点，直线 与 平行且与椭圆相切于P（O，P两点位于 的同侧），求直线 ， 距离d的取值范围．
成都石室中学高2020届2019～2020学年上期入学考试
数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足 ，其中i为虚数单位，则 （）
A． B． C． D．
2．己知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
3．下列判断正确的是（）
A． B． C． D．
12．设双曲线 的左，右顶点为A、B，P是双曲线上不同于A、B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m、n，则当 取得最小值时，双曲线C的离心率为（）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中 ________．
A．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B．函数 的最小值为2
C．“ ”是“ ”的充要条件
D．若 ，则向量 与 夹角为钝角
4．对于函数 ，下列结论不正确的是（）
A．在 上单调递增B．图像关于y轴对称
C．最小正周期为 D．值域为
5．在如图的程序框图中，若输入 ， ，则输出的n的值是（）
A．3 B．7 C．11 D．33
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中，平面 平面ABCD， 是等边三角形，四边形ABCD是矩形， ，F为棱PA上一点，且 ，M为AD的中点，四棱锥 的体积为 ．
（Ⅰ）若 ，N是PB的中点，求证：平面 平面PCD；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件，求三棱锥 的体积．
19．（本小题满分12分）
已知数列 和 满足 ， ， ， ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示．组号Leabharlann 分组频数频率
第1组
5
0.050
第2组
n
0.350
第3组
30
p
第4组
20
0.200
第5组
10
0.100
2020年6月四川省成都市石室中学2020届高三高考适应性考试(二)数学(文)参考答案解析
第1页/共7页绝密★启用前四川省成都市石室中学2020届高三毕业班下学期高考适应性考试(二)数学(文)试题参考答案解析2020年6月一、选择题二、填空题13. 1-; 14.315.(2,0)(1,)-+∞U ；16.1．解：Q2332ii i+=-，∴在复平面内对应的点的坐标为(3,2)-，位于第四象限．故选：D ． 2．解：{|15B x x =<<Q }，{}2,3,4A B =I ．故选：C ． 3．解：由2BD DC =u u u r u u u r 可得23BD BC =u u u r u u u r，所以2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：A ．4．解：否命题将条件和结论同时否定.故选：D ． 5．解：记2名男生为A 1,A 2,3名女生为B 1,B 2,B 3,所有的结果为A 1A 2B 1,A 1A 2B 2,A 1A 2B 3,A 1B 1B 2,A 1B 1B 3,A 1B 2B 3,A 2B 1B 2,A 2B 1B 3,A 2B 2B 3,B 1B 2B 3,一共有10种情况,符合条件的有A 1B 1B 2,A 1B 1B 3,A 1B 2B 3,A2B 1B 2,A 2B 1B 3,A 2B 2B 3共6种情况,所以概率为63105=,故选：C ．6．解：因为3sin()45πα-=,3cos )5αα-=,所以sin cos αα-=①,两边平方可得72sin cos 25αα=,所以2232sin cos 2sin cos 25αααα++=,所以232(sin cos )25αα+=,因为α为锐角,所以sin cos 5αα+=②,由①②可得sin 10α=.故选：D ． 7．解：()2cos cos )21cos22sin(2)16f x x x x x x x π=+=++=++,()f x 图象向右平。
2020届四川省成都市成都高三上学期期中数学（文）试题
2020届四川省成都市成都外国语学校高三上学期期中数学（文）试题一、单选题1．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ） A ．{}22x x -≤< B ．{}2x x ≥- C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤<【答案】B【解析】求解出集合M ，根据并集的定义求得结果. 【详解】(){}{}{}2log 1001112M x x x x x x =-<=<-<=<< {}2M N x x ∴⋃=≥-本题正确选项：B 【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题. 2．sin 225︒的值为（ ）A ．B ．2C ．D 【答案】A【解析】把225变为18045+，利用诱导公式()sin 180sin αα+=-化简后，再利用特殊角的三角函数值即可得结果. 【详解】()sin 225sin 18045sin 452︒=︒+︒=-︒=-，故选A. 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度. 3．已知i 是虚数单位，则复数37iz i+=的实部和虚部分别为 A ．7，3i -B ．7-，3C ．7-，3iD ．7，3-【答案】D【解析】先化简复数z,再确定复数z 的实部和虚部. 【详解】 由题得2373737731i i i z i i i +--====--，所以复数z 的实部和虚部分别为7和-3. 故答案为：D 【点睛】(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 注意复数(,)z a bi a b R =+∈的实部是a,虚部是“i”的系数b ，不包含“i”,不能写成bi.4．设R x ∈，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则a b +=（ ） A ．10 B ．11C ．23D ．13【答案】A 【解析】【详解】试题解析：由向量(),1a x =，()1,2b =-，且a b ⊥得0a b =，解得x ＝2 ，所以()3,110a b +=-=，故选A ．【考点】向量垂直的条件，向量模的计算．点评：根据向量垂直则向量的数量积等于0，求出x 的值，再利用向量的加法，求出向量的模．5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ） 注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989-年之间出生，80前指1979年及以前出生．A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 【答案】D【解析】结合两图对每一个选项逐一分析得解. 【详解】对于选项A, 互联网行业从业人员中90后占56%，占一半以上，所以该选项正确； 对于选项B, 互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的39.6%56%=22.176%⨯,超过总人数的20%，所以该选项正确；对于选项C, 互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%17%9.52%⨯=，比80前多，所以该选项正确.对于选项D, 互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%17%9.52%⨯=，80后占总人数的41%，所以互联网行业中从事运营岗位的人数90后不一定比80后多.所以该选项不一定正确.故选：D 【点睛】本题主要考查饼状图和条形图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．已知函数，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】首先计算出，再把的值带入计算即可。
2020届 四川省成都石室中学 二诊模拟数学(文)试题(解析版)
2020届四川省成都石室中学二诊模拟数学（文）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，集合{}P 1,1=-，{}2Q i,i =.若{}P Q zi ⋂=，则复数z 等于（ ）A ．1B ．−1C ．iD ．i -【答案】C【解析】由复数的概念得到集合Q ，计算集合P 与集合Q 的补集，即可确定出复数z. 【详解】{}{}2,,1Q i i i ==-,{}1,1P =-,则{}{}1P Q zi ⋂==-，即zi=-1,z=21ii i i-=-=, 故选C 【点睛】本题考查集合的交集运算和复数的运算，属于简单题. 2．已知α为第二象限角，且1sin cos 5αα+=，则cos sin αα-=（ ） A ．75B ．75-C ．75±D ．2525【答案】B【解析】将sin cos αα+平方得到cos αsin α，再将所求cos sin αα-平方，结合α为第二象限角即可得到答案. 【详解】∵1sin cos 5αα+=，平方得11+2sin cos 25αα=， ∴2cos αsin α＝﹣2425∴22449cos sin 1-2sin cos 12525αααα-==+=（）， ∵α为第二象限角，∴7cos sin -5αα-= 故选：B ． 【点睛】本题考查同角三角函数关系式，考查sin cos sin -cos sin cos αααααα+，，之间关系的应用，属于基础题.3．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，则( ) A ．4x =，22s < B ．4x =，22s > C ．4x >，22s < D ．4x >，22s >【答案】A【解析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解即可． 【详解】解：某7个数的平均数为4，方差为2， 则这8个数的平均数为1(744)48x =⨯⨯+=，方差为221772(44)284s ⎡⎤=⨯⨯+-=<⎣⎦． 故选：A ． 【点睛】本题考查了平均数和方差的计算应用问题，属于基础题． 4．已知x ∈R ，则使lg(1)1x +<成立的必要不充分条件是 A ．19x -<< B ．1x >- C ．1x > D ．19x <<【答案】B【解析】解不等式lg(1)1x +<可得19x -<<，然后结合题意对每个选项进行验证、判断后可得结果． 【详解】由lg(1)1x +<可得0110x <+<，解得19x -<<．选项A 中，“19x -<<”是“lg(1)1x +<”成立的充要条件，所以A 不符合题意； 选项B 中，由“1x >-”成立不能得到“19x -<<”成立，反之，当“19x -<<”成立时，“1x >-”成立，所以“1x >-”是“19x -<<”的必要不充分条件，所以B 符合题意；选项C 中，“1x >”是“19x -<<”的既不充分也不必要条件，所以C 不符合题意； 选项D 中，“19x <<”是“19x -<<”的充分不必要条件，所以D 不符合题意． 故选B ． 【点睛】本题考查对充分条件、必要条件概念的理解，解题的关键是正确理解“使lg(1)1x +<成立的必要不充分条件”的含义，即由lg(1)1x +<可得所选结论成立，而由所选的结论不能得到lg(1)1x +<成立，属基础题．5．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，562S =，则1a =（ ） A ．2 B ．2C ．5D ．3【答案】B【解析】根据题意，分析可得等比数列{}n a 的公比1q ≠±，进而由等比数列的通项公式可得()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得2q =，又由()5151131621a q Saq-===-，解可得1a 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，若639S S =，则1q ≠±， 若639S S =，则()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得38q=，则2q =，又由562S =，则有()5151131621a q S aq-===-，解可得12a =；故选B ． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前n 项和的性质． 6．执行如图所示的程序框图，若()231f x x =-，取15g =，则输出的值为（ ）A ．58B ．34C ．916D ．1932【答案】C【解析】此框图的主要作用是用二分法求函数的零点，依次计算a ,b 的值，直到满足条件0.2b a g -<=，满足2a b+的值即可. 【详解】由程序框图可知，此框图的主要作用是用二分法求函数的零点第一次运行1,1,0.5;2a b b a ==-= 第二次运行13,,0.25;24a b b a ==-=第三次运行15,,0.125;28a b b a ==-=满足条件：0.2b a g -<= 程序运行中止，输出9216a b += 故选：B 【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，利用二分法求函数零点，考查了学生逻辑推理，数学运算能力，属于基础题. 7．函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的零点构成一个公差2π的等差数列，要得到()cos 6g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移4π个单位B ．向左平移4π个单位 C ．向左平移2π个单位 D ．向右平移2π个单位 【答案】B【解析】由题意得函数周期为π，得ω＝2，即f （x ）＝sin （2x +6π）．再根据函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律可得结论． 【详解】根据函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，可得函数的周期为π，即2πω＝π，得ω＝2，即f （x ）＝sin （2x +6π）．函数()cos 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭＝sin （2π+2x +6π）＝sin[2（x +4π）+6π]，把f （x ）＝sin （2x +6π） 的图象向左平移4π个单位，可得函数g （x ）的图象， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图像和性质的应用，考查图像的平移变换规律，要注意平移是在给变量x 本身做变化．8．已知动直线l 与圆224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =u u u v u u u v ，若M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则OC OM ⋅u u u v u u u u v的值为（ ） A ．3 B．C ．2D ．-3【答案】A【解析】动直线l 与圆O ：224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，则OAB V 为等边三角形，于是可设动直线l为2y =+，根据题意可得()2,0B -，(A -，∵M 是线段AB的中点，∴3,22M ⎛-⎝⎭，设(),C x y ，∵52CB CA =u u u v u u u v ，∴()()52,12x y x y ---=--，∴())521252x x y y ⎧--=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩13C ⎛- ⎝⎭，∴131533222OC OM ⎛⎛⋅=-⋅-=+= ⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v ，故选A ．93P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2PA =，3ABC π∠=，则球O 体积的最小值为（ ） A 3π B ．3πC 133D 523【答案】B【解析】先用锥体体积公式以及三角形的面积公式得AB •BC ＝6，利用余弦定理得出AC 的最小值，再利用正弦定理得△ABC 的外接圆半径的最小值r ，利用公式22r 2PA R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可得球半径R 的最小值，再利用球体体积公式可得出答案．【详解】因为PA ⊥平面ABC ，三棱锥P ﹣ABC 的体积为112333P ABC ABC ABC V PA S S -∆∆=⋅=⨯⨯=33ABC S ∆=另一方面133sin 22ABC S AB BC ABC ∆=⋅⋅∠=，可得AB •BC ＝6， 由余弦定理得2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅⋅＝AB 2+BC 2﹣AB •BC ≥2AB •BC ﹣AB •BC ＝AB •BC ＝6，当且仅当6AB BC ==AC 6，所以，△ABC 的外接圆的直径的最小值为62sin3=则球O 的半径的最小值为22r 32PA R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因此，球O 的体积的最小值为34R 433ππ=． 故选：B ． 【点睛】本题考查球体体积计算，考查利用锥体体积公式以及三角形的面积公式，考查基本不等式，考查计算能力，属于中等题．10．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，直线y kx =与椭圆C相交于P ，Q 两点，若112PF QF =，且123PFQ π∠=，则椭圆C 的离心率为( ) A ．22B ．23C ．32D ．33【答案】D【解析】根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得a 和c 的关系，即可求得椭圆的离心率． 【详解】设椭圆的右焦点2F ，连接，22,PF QF ，由01120PF Q ∠= 根据平行四边形性质得到01260F PF ∠=，由余弦定理定理，221221442,,2324m m c PF m PF m c m m+-===⇒=由三边关系得到02190PF F =，则12122,2,,F F c PF m PF m ===23a m ==∴椭圆的离心率c e a ==，故选D ． 【点睛】本题考查椭圆的性质，椭圆离心率的求法，考查转化思想，属于基础题．求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).11．已知平面向量a v ，b v ，e v满足1e =v ，2a e ⋅=v v，1b e ⋅=-vv ，2a b +=vv ，则a b ⋅v v的最大值为（ ） A ．-1 B ．-2C ．52-D ．54-【答案】D【解析】由题意不妨设e v＝（1，0），a v ＝（2，m ），b v ＝（﹣1，n ），利用2a b +=v v 求出a b⋅vv 的解析式，再由基本不等式求出最大值． 【详解】由1e =v ,不妨设e v＝（1，0），又2a e ⋅=v v，1b e ⋅=-vv ，可设a v＝（2，m ），b v＝（﹣1，n ）， 则a b +v v ＝（1，m +n ），又2a b +=v v ，∴1+（m +n ）2＝4，∴（m +n ）2＝3；∴a b ⋅v v ＝﹣2+mn ≤﹣2+2m 2n +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝﹣2+34＝﹣54， 当且仅当m ＝n 时取“＝”；∴a b⋅vv 的最大值为﹣54．故选D．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算与基本不等式的应用问题，是综合题．12．已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数使得，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，运用导数求出的最小值，再运用基本不等式求得，从而可得，由等号成立的条件，即可求解。
【附加15套高考模拟】【全国百强校】四川省成都石室中学2020届高三下学期入学考试数学(文)试题含答案
【全国百强校】四川省成都石室中学2020届高三下学期入学考试数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形，正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积是（ ）A ．36B ．3C ．3D ．132．已知复数23(13)z i =-z 是z 的共轭复数，则•z z = A ．14 B ．12 C ．1D ．23．定义离心率为512的双曲线为“黄金双曲线”，离心率的平方为512的双曲线为“亚黄金双曲线”.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>为“黄金双曲线”，则22b a =（ ）A 51B ．51+C 51D ．51-4．设251()3a =，432b =，21log 3c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<5．已知函数ln ,0(){2,0x x f x ax x >=+≤（a R ∈），若函数()y f x a =-有三个零点，则实数a 的取值范围是A ．2a ≥-B ．01a <<C ．12a ≤<D ．2a >6．已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为22两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．127．34(12)(2)x x -+展开式中2x 的系数为（ ） A ．0B ．24C ．192D ．4088．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ．323πB ．4πC ．2πD ．43π9．已知函数()2'()ln x f x ef e x e=-（e是自然对数的底数），则()f x 的极大值为（ ） A ．21e -B ．1e C ．1D ．2ln 210．数列{}n a 满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为（ ）A ．100-B ．100C ．110-D ．11011．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在区间2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心 D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2sin 2y x=的图象12．已知向量a r ，b r满足2a =r ，且()40a b a λλ+=>r r r ，则当λ变化时，a b •r r 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞-C ．(0,)+∞D ．(1,)-+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【数学】四川省成都石室中学2020届上学期10月月考 数学(文科)
成都石室中学2020届上学期10月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(1)(2)0},{|0}=--≤=>M x x x N x x ，则（ ） A. N M ⊆ B. M N ⊆ C. M N ⋂=∅ D. M N =R U2.已知i 为虚数单位，则232019i i i i ++++L 等于（ ） A. i B. 1 C. i - D. 1-3.已知命题p ：2(,0),2310x x x ∀∈-∞-+>，命题q ：若0x ≥，则22310x x -+≤，则以下命题正确的为（ ）A.p 的否定为“2[0,),2310x x x ∃∈+∞-+≤”，q 的否命题为“若0x <，则22310x x -+>”B.p 的否定为“2(,0),2310x x x ∃∈-∞-+≤”，q 的否命题为“若0x <，则22310x x -+>”C.p 的否定为“2[0,),2310x x x ∃∈+∞-+≤”，q 的否命题为“若0x ≥，则22310x x -+>”D.p 的否定为“2(,0),2310x x x ∃∈-∞-+≤”，q 的否命题为“若0x ≥，则22310x x -+>” 4.已知{}n a 是公差为12的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.若2614,,a a a 成等比数列，则5S =（ ） A.352B.35C. 252D. 255.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图所示是于其思想的一个程序框图，若输入的5x =，2y =，输出的4n =，则程序框图中的中应填（ ） A. x y ≤ B.y x ≤ C. y x < D.x y =6.设函数2,1(),12x x f x x x -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则满足()()12f f a f a =⎡⎤⎣⎦的a 的取值范围是（ ）A. (],0-∞B. []0,2C. [)2,+∞D. (][),02,-∞⋃+∞7. 若直线()42y k x -=-与曲线24y x =-有两个交点，则k 的取值范围是（ ）A.[)1,+∞B.31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C.3,14⎛⎤⎥⎝⎦D.(],1-∞- 8.已知2ln3a =，3ln 2b =，6c e=，其中e 是自然对数的底数．则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a c b >>B. b c a >>C. c a b >>D. c b a >>9.已知(0,),2sin 2cos 212πααα∈=+，则sin α等于（ ）B.1510.函数x x x x x f sin )1()(2+-+=的零点的个数是（ ）A.1B.2C.3D.411.已知双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的焦距为4，其与抛物线2:3E y x=交于,A B 两点，O 为坐标原点，若OAB ∆为正三角形，则C 的离心率为（ ）A.B. 2C.D.12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，||2πϕ…，4p -为()f x 的零点：且()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫⎪⎝⎭-上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ） A. 11B. 13C. 15D.17二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知数列{}n a 满足11a =，11lg lg 2n n a a +=+，则5a =______． 14.已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,+∞上递减，则α=______．15.已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为______． 16.已知抛物线C ：20)2(y px p =＞的焦点为F ，且F 到准线l 的距离为2，直线1:0l x my -=与抛物线C 交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），与准线l 交于点R ，若3QF =，则QRF PRFS S ∆∆=______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =.（Ⅰ）求BDCD； （Ⅱ）若1AD AC ==，求BC 的长．18.（本小题满分12分）随着经济的发展，个人收入的提高.自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得个人所得税税率表（调整前） 个人所得税税率表（调整后） 免征额3500元 免征额5000元 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 1 不超过1500元的部分 3 1 不超过3000元的部分32 超过1500元至4500元的部分10 2 超过3000元至12000元的部分 10 3 超过4500元至9000元的部分 20 3 超过12000元至25000元的部分 10 ………………（Ⅰ）假如小李某月的工资、薪金所得等税前收入总和不高于8000元，记x 表示总收入，y 表示应纳的税，试写出调整前后y 关于x 的函数表达式；（Ⅱ）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并收入（元） [)3000,5000 [)5000,7000 [)7000,9000 [)9000,11000 [)11000,13000 []13000,15000 人数 304010875先从收入在[)3000,5000及[)5000,7000的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（Ⅲ）小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，12AB BC CD AD ===，G 是PB 的中点，PAD △是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD . （Ⅰ）求证：CD ⊥平面GAC ；（Ⅱ）求三棱锥D GAC -与三棱锥P ABC -的体积之比.20.（本小题满分12分） 已知函数()()211e xa x x f x ---=（e 为自然对数的底数）. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)求证：当3e a ≥-时，对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥-.21.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()0,1A（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()()1122,,,M x y N x y 两点，且12x x >．若直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中,圆C ：()2244x y +-=.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求圆心C 的极坐标；（Ⅱ）从原点O 作圆C 的弦，求弦的中点轨迹的极坐标方程.成都石室中学2019~2020学年度上期高2020届10月月考数学试卷（文科）答案一、选择题：B D B C A D C C A B D C 二、填空题：13. __100____．14. ___1-___．15.____254π__．16. ___67___． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理可得在ABD ∆中，sin sin AD BDB BAD=∠， 在ACD ∆中，sin sin AD CDC CAD=∠，…………………………3分 又因为BAD CAD ∠=∠，sin 2sin BD CCD B==.…………………………6分 （Ⅱ）sin 2sin C B =，由正弦定理得22AB AC ==， 设DC x =，则2BD x =，则222254cos cos 24AB AD BD x BAD CAD AB AD +--∠==∠⋅，2222222AC AD CD x AC AD +--==⋅.…………………………9分 因为BAD CAD ∠=∠，所以2254242x x --=，解得2x =. 32BC x ==.…………………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）调整前y 关于x 的表达式为()()0,350035000.03,350050004550000.1,50008000x y x x x x ⎧≤⎪=-⨯<≤⎨⎪+-⨯<≤⎩，调整后y 关于x 的表达式为()0,500050000.03,50008000x y x x ≤⎧=⎨-⨯<≤⎩.…………………4分（Ⅱ）由频数分布表可知从[)3000,5000及[)5000,7000的人群中按分层抽样抽取7人，其中[)3000,5000中占3人，分别记为,,A B C ，[)5000,7000中占4人，分别记为1，2，3，4，再从这7人中选2人的所有组合有：AB ，AC ，1A ，2A ，3A ，4A ，BC ，1B ，2B ，3B ，4B ，1C ，2C ，3C ，4C ，12，13，14，23，24，34，共21种情况，…………………7分其中不在同一收入人群的有：1A ，2A ，3A ，4A ，1B ，2B ，3B ，4B ，1C ，2C ，3C ，4C ，共12种，所以所求概率为124217P ==.…………………10分（Ⅲ）由于小红的工资、薪金等税前收入为7500元， 按调整起征点前应纳个税为15003%250010%295⨯+⨯=元； 按调整起征点后应纳个税为25003%75⨯=元， 由此可知，调整起征点后应纳个税少交220元， 即个人的实际收入增加了220元，所以小红的实际收入增加了220元. …………………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：取AD 的中点为O ，连接OP ，OC ，OB ，设OB 交AC 于H ，连接GH.AD BC ∵∥，12AB BC CD AD ===， 四边形ABCO 与四边形OBCD 均为菱形. OB AC ∴⊥，OB CD P .CD AC ∴⊥. PAD QV 等边三角形，O 为AD 中点， PO AD ∴⊥.…………………3分平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD I 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD 且PO AD ⊥， PO ∴⊥平面ABCD .CD ⊂Q 平面ABCD ，PO CD ∴⊥.H Q ，G 分别为OB ，PB 中点，GH PO ∴∥. GH CD ∴⊥.…………………7分又GH AC H Q ⋂=，CD \^平面GAC .…………………8分（Ⅱ）2D GAC G ADC G ADC P ABC P ABC G ABC V V V V V V ------==1:122ADC ABC S ADS BC===△△.…………………12分 20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()()21exx a x a f x -++'=()()1e x x x a --=，…………………2分 由()0f x '=得1x =或x a =.当1a =时，()0f x '≥，函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增. …………………3分当1a <时，函数()f x 在(),a -∞，()1,+∞内单调递增，在(),1a 内单调递减.…………4分 当1a >时，函数()f x 在(),1-∞，(),a +∞内单调递增，在()1,a 内单调递减. …………5分（Ⅱ）证明：要证[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥-，即证[)0,x ∈+∞，()min 1f x ≥-.①由（Ⅰ）可知，当1a >，[)0,x ∈+∞时，()()(){}min min 0,f x f f a =.(0)1f =-，()1e aa f a --=. 设()1e a a g a --=，1a >，则()0eaag a '=>， ()g a ∴在()1,+∞单调递增，故()()211eg a g >=->-，即()1f a >-.()min =1f x -.…………………8分②当1a =时，函数()f x 在[)0,+∞单调递增，()()min 01f x f ==-.…………………9分③当3e 1a -≤<时，由（1）可知，[)0x ∈+∞，时，()()(){}min min 0,1f x f f =. 又()01f =-Q ，()()3e 3311e ea f ---=≥=-， ()min 1f x ∴=-.综上，当3e a ≥-时，对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥-.…………………12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…………………………………………3分解得23a =．所以椭圆C 的方程为2213x y +=． …………………………………………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，(3,)P P y ,由2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=. …………………………6分 令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<．1232x x m +=-，2123(1)4x x m =-． ……………………………………7分因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴． ………………………………8分 过M 做NP 的垂线，则垂足Q 为线段NP 的中点．设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，则2132Q M x x x x +===．由方程组1221221323(1)432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，解得2210m m ++=，即1m =-．而()122m =-∈-，， 所以直线l 的方程为1y x =-． …………………………………………12分22.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）4,2π⎛⎫⎪⎝⎭…………………………3分（Ⅱ）4sin ρθ=………………………7分233ππθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭……………………10分。
【数学】四川省成都石室中学2020届上学期10月月考 数学(文科)
成都石室中学2020届上学期10月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(1)(2)0},{|0}=--≤=>M x x x N x x ，则（ ） A. N M ⊆ B. M N ⊆ C. M N ⋂=∅ D. M N =R U2.已知i 为虚数单位，则232019i i i i ++++L 等于（ ） A. i B. 1 C. i - D. 1-3.已知命题p ：2(,0),2310x x x ∀∈-∞-+>，命题q ：若0x ≥，则22310x x -+≤，则以下命题正确的为（ ）A.p 的否定为“2[0,),2310x x x ∃∈+∞-+≤”，q 的否命题为“若0x <，则22310x x -+>”B.p 的否定为“2(,0),2310x x x ∃∈-∞-+≤”，q 的否命题为“若0x <，则22310x x -+>”C.p 的否定为“2[0,),2310x x x ∃∈+∞-+≤”，q 的否命题为“若0x ≥，则22310x x -+>”D.p 的否定为“2(,0),2310x x x ∃∈-∞-+≤”，q 的否命题为“若0x ≥，则22310x x -+>” 4.已知{}n a 是公差为12的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.若2614,,a a a 成等比数列，则5S =（ ） A.352B.35C. 252D. 255.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图所示是于其思想的一个程序框图，若输入的5x =，2y =，输出的4n =，则程序框图中的中应填（ ） A. x y ≤ B.y x ≤ C. y x < D.x y =6.设函数2,1(),12x x f x x x -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则满足()()12f f a f a =⎡⎤⎣⎦的a 的取值范围是（ ）A. (],0-∞B. []0,2C. [)2,+∞D. (][),02,-∞⋃+∞7. 若直线()42y k x -=-与曲线24y x =-有两个交点，则k 的取值范围是（ ）A.[)1,+∞B.31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C.3,14⎛⎤⎥⎝⎦D.(],1-∞- 8.已知2ln3a =，3ln 2b =，6c e=，其中e 是自然对数的底数．则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a c b >>B. b c a >>C. c a b >>D. c b a >>9.已知(0,),2sin 2cos 212πααα∈=+，则sin α等于（ ）B.1510.函数x x x x x f sin )1()(2+-+=的零点的个数是（ ）A.1B.2C.3D.411.已知双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的焦距为4，其与抛物线2:3E y x=交于,A B 两点，O 为坐标原点，若OAB ∆为正三角形，则C 的离心率为（ ）A.B. 2C.D.12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，||2πϕ…，4p -为()f x 的零点：且()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫⎪⎝⎭-上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ） A. 11B. 13C. 15D.17二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知数列{}n a 满足11a =，11lg lg 2n n a a +=+，则5a =______． 14.已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,+∞上递减，则α=______．15.已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为______． 16.已知抛物线C ：20)2(y px p =＞的焦点为F ，且F 到准线l 的距离为2，直线1:0l x my -=与抛物线C 交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），与准线l 交于点R ，若3QF =，则QRF PRFS S ∆∆=______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =.（Ⅰ）求BDCD； （Ⅱ）若1AD AC ==，求BC 的长．18.（本小题满分12分）随着经济的发展，个人收入的提高.自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得个人所得税税率表（调整前） 个人所得税税率表（调整后） 免征额3500元 免征额5000元 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 1 不超过1500元的部分 3 1 不超过3000元的部分32 超过1500元至4500元的部分10 2 超过3000元至12000元的部分 10 3 超过4500元至9000元的部分 20 3 超过12000元至25000元的部分 10 ………………（Ⅰ）假如小李某月的工资、薪金所得等税前收入总和不高于8000元，记x 表示总收入，y 表示应纳的税，试写出调整前后y 关于x 的函数表达式；（Ⅱ）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并收入（元） [)3000,5000 [)5000,7000 [)7000,9000 [)9000,11000 [)11000,13000 []13000,15000 人数 304010875先从收入在[)3000,5000及[)5000,7000的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（Ⅲ）小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，12AB BC CD AD ===，G 是PB 的中点，PAD △是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD . （Ⅰ）求证：CD ⊥平面GAC ；（Ⅱ）求三棱锥D GAC -与三棱锥P ABC -的体积之比.20.（本小题满分12分） 已知函数()()211e xa x x f x ---=（e 为自然对数的底数）. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)求证：当3e a ≥-时，对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥-.21.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()0,1A（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()()1122,,,M x y N x y 两点，且12x x >．若直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中,圆C ：()2244x y +-=.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求圆心C 的极坐标；（Ⅱ）从原点O 作圆C 的弦，求弦的中点轨迹的极坐标方程.成都石室中学2019~2020学年度上期高2020届10月月考数学试卷（文科）答案一、选择题：B D B C A D C C A B D C 二、填空题：13. __100____．14. ___1-___．15.____254π__．16. ___67___． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理可得在ABD ∆中，sin sin AD BDB BAD=∠， 在ACD ∆中，sin sin AD CDC CAD=∠，…………………………3分 又因为BAD CAD ∠=∠，sin 2sin BD CCD B==.…………………………6分 （Ⅱ）sin 2sin C B =，由正弦定理得22AB AC ==， 设DC x =，则2BD x =，则222254cos cos 24AB AD BD x BAD CAD AB AD +--∠==∠⋅，2222222AC AD CD x AC AD +--==⋅.…………………………9分 因为BAD CAD ∠=∠，所以2254242x x --=，解得2x =. 32BC x ==.…………………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）调整前y 关于x 的表达式为()()0,350035000.03,350050004550000.1,50008000x y x x x x ⎧≤⎪=-⨯<≤⎨⎪+-⨯<≤⎩，调整后y 关于x 的表达式为()0,500050000.03,50008000x y x x ≤⎧=⎨-⨯<≤⎩.…………………4分（Ⅱ）由频数分布表可知从[)3000,5000及[)5000,7000的人群中按分层抽样抽取7人，其中[)3000,5000中占3人，分别记为,,A B C ，[)5000,7000中占4人，分别记为1，2，3，4，再从这7人中选2人的所有组合有：AB ，AC ，1A ，2A ，3A ，4A ，BC ，1B ，2B ，3B ，4B ，1C ，2C ，3C ，4C ，12，13，14，23，24，34，共21种情况，…………………7分其中不在同一收入人群的有：1A ，2A ，3A ，4A ，1B ，2B ，3B ，4B ，1C ，2C ，3C ，4C ，共12种，所以所求概率为124217P ==.…………………10分（Ⅲ）由于小红的工资、薪金等税前收入为7500元， 按调整起征点前应纳个税为15003%250010%295⨯+⨯=元； 按调整起征点后应纳个税为25003%75⨯=元， 由此可知，调整起征点后应纳个税少交220元， 即个人的实际收入增加了220元，所以小红的实际收入增加了220元. …………………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：取AD 的中点为O ，连接OP ，OC ，OB ，设OB 交AC 于H ，连接GH.AD BC ∵∥，12AB BC CD AD ===， 四边形ABCO 与四边形OBCD 均为菱形. OB AC ∴⊥，OB CD P .CD AC ∴⊥. PAD QV 等边三角形，O 为AD 中点， PO AD ∴⊥.…………………3分平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD I 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD 且PO AD ⊥， PO ∴⊥平面ABCD .CD ⊂Q 平面ABCD ，PO CD ∴⊥.H Q ，G 分别为OB ，PB 中点，GH PO ∴∥. GH CD ∴⊥.…………………7分又GH AC H Q ⋂=，CD \^平面GAC .…………………8分（Ⅱ）2D GAC G ADC G ADC P ABC P ABC G ABC V V V V V V ------==1:122ADC ABC S ADS BC===△△.…………………12分 20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()()21exx a x a f x -++'=()()1e x x x a --=，…………………2分 由()0f x '=得1x =或x a =.当1a =时，()0f x '≥，函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增. …………………3分当1a <时，函数()f x 在(),a -∞，()1,+∞内单调递增，在(),1a 内单调递减.…………4分 当1a >时，函数()f x 在(),1-∞，(),a +∞内单调递增，在()1,a 内单调递减. …………5分（Ⅱ）证明：要证[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥-，即证[)0,x ∈+∞，()min 1f x ≥-.①由（Ⅰ）可知，当1a >，[)0,x ∈+∞时，()()(){}min min 0,f x f f a =.(0)1f =-，()1e aa f a --=. 设()1e a a g a --=，1a >，则()0eaag a '=>， ()g a ∴在()1,+∞单调递增，故()()211eg a g >=->-，即()1f a >-.()min =1f x -.…………………8分②当1a =时，函数()f x 在[)0,+∞单调递增，()()min 01f x f ==-.…………………9分③当3e 1a -≤<时，由（1）可知，[)0x ∈+∞，时，()()(){}min min 0,1f x f f =. 又()01f =-Q ，()()3e 3311e ea f ---=≥=-， ()min 1f x ∴=-.综上，当3e a ≥-时，对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥-.…………………12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…………………………………………3分解得23a =．所以椭圆C 的方程为2213x y +=． …………………………………………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，(3,)P P y ,由2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=. …………………………6分 令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<．1232x x m +=-，2123(1)4x x m =-． ……………………………………7分因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴． ………………………………8分 过M 做NP 的垂线，则垂足Q 为线段NP 的中点．设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，则2132Q M x x x x +===．由方程组1221221323(1)432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，解得2210m m ++=，即1m =-．而()122m =-∈-，， 所以直线l 的方程为1y x =-． …………………………………………12分22.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）4,2π⎛⎫⎪⎝⎭…………………………3分（Ⅱ）4sin ρθ=………………………7分233ππθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭……………………10分。
四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷
四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷一、单选题1．已知集合{}1,2,4A =，2{N |20}B x x x =∈+-≤，则A B =U （ ） A ．{}2,1,0,1,2,4-- B ．{}0,1,2,4 C ．{}1,2,4D ．{}12．2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中14次射击环数如图，则（ ）A ．盛李豪的平均射击环数超过10.6B ．黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65C ．盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差D ．黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差3．已知0.10.6a =，0.6log 0.3b =，0.6log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．a b c >> C ．c b a >>D ．a c b >>4．已知实数a ，b ，c 满足a b c >>，且0a b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．22ab cb > B ．222a c c a+≥ C ．||||a b >D ．0ab bc +>5．“函数2()ln(22)f x x ax =-+的值域为R ”的一个充分不必要条件是（ ） A．[B．(C．()-∞+∞UD．)+∞6．核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的110000大约需要经过（ ）年.（lg 20.3010≈） A ．155B ．159C ．162D ．1667．若函数()y f x =的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（ ）A ．(12)y f x =-B ．1(1)2y f x =-C ．(12)y f x =--D ．1(1)2y f x =--8．已知函数()11,0,2221,0.x x x f x x ⎧+>⎪=⎨⎪-≤⎩，则方程()(3)2f x f x +-=的所有根之和为（ ）A ．0B ．3C ．6D ．9二、多选题9．已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f x y f x f y +=+，则（ ） A ．()00f = B ．()11f =C ．()f x 是奇函数D ．()f x 在R 上单调递增10．已知复数12,z z 的共轭复数分别为21,z z ，则下列命题为真命题的是（ ）A ．1212z z z z +=+B ．1212z z z z ⋅=⋅C ．若120z z ->，则12z z >D ．若2221212z z z z +=+，则21210z z z z +⋅⋅=11．设函数()()()ln f x x a x b =++，则下面说法正确的是（ ）A ．当0,1a b ==时，函数()f x 在定义域上仅有一个零点B ．当0,0a b ==时，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增C ．若函数()f x 存在极值点，则a b ≤D ．若()0f x ≥，则22a b +的最小值为12三、填空题12．若函数2()23f x x kx =++在[1,2]上单调，则实数k 的取值范围为． 13．若()y f x =是定义在R 上的奇函数，()(2)f x f x =-，(1)2f =，则(1)(2)(3)(2025)f f f f +++=L ．14．若过点()1,b 作曲线e x y x =的切线有且仅有两条，则b 的取值范围是．四、解答题15．已知函数()1ln 1kxf x x -=-为奇函数． (1)求实数k 的值；(2)若函数()()2xg x f x m =-+，且()g x 在区间[]2,3上没有零点，求实数m 的取值范围．16．已知三棱锥D ABC -，D 在平面ABC 上的射影为ABC V 的重心O ，15AC AB ==，24BC =.(1)证明：BC AD ⊥；(2)E 为AD 上靠近A 的三等分点，若三棱锥D ABC -的体积为432，求二面角E CO B --的余弦值．17．某小区有3000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占%a .为减轻工作量，随机地按n 人一组分组，然后将各组n 个人的血样混合在一起化验.若混合血样呈阴性，说明这n 个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.(1)若0.2,20,a n ==试估算该小区化验的总次数；(2)若0.9a =，且每人单独化验一次花费10元，n 人混合化验一次花费9n +元，求当n 为何值时，每个居民化验的平均费用最少.注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.当00.01p <<时，(1)1n p np -≈-.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A ，()1,1B -，动点P 满足OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r，且1mn =.设动点P 形成的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的标准方程；(2)过点()2,2T 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，试判断是否存在直线l ，使得A ，B ，M ，N 四点共圆.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.19．在高等数学中，我们将()y f x =在0x x =处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n ''=+'-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅（其中()()n fx 表示()f x 的n 次导数*3,N n n ≥∈），以上公式我们称为函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式.当00x =时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.比如e x 在0x =处的麦克劳林公式为：22111e 12!3!x n x x x x n =++++++L L ！，由此当0x ≥时，可以非常容易得到不等式223111e 1,e 1,e 1,226x x x x x x x x x ≥+≥++≥+++L 请利用上述公式和所学知识完成下列问题： (1)写出sin x 在0x =处的泰勒展开式.(2)若30,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin e 1a x x >+恒成立，求a 的范围;（参考数据5ln 0.92≈）(3)估计5ln 3的近似值（精确到0.001）。
(精品word)成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学(文)试题+Word版含答案
石室中学高2019届2018~20佃学年上期入学考试数学试卷(文科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1•设复数z 满足z+i=3 - i ，则鼻二A .- 1+2iB . 1 - 2iC . 3+2iD . 3- 2i2•已知全集U = R ，集合A={xX v- 1或x > 1}，则C u A 二值是D . 335.在区间［-3，5］上随机地取一个数 X ，若x 满足|x|祸(m > 0)的7概率为二，则m 的值等于7A . _B . 3C . 4D . - 21]A. （- a ，- 1） U （1，+8） B .（— g ，— 1] U [1， +8）C .（- 1，1）D . [ - 1,C . T x g 空0， In x _1 -丄”的否定是x1In x ：： 1-一B . x o 0 , I n X 。
：： 1 一丄X o1ln 冷：：1 -X 。
D . -x 0，ln x 「—丄x4.在如图的程m =77,n =33，则输出的n 的C . 11IN 視图6.《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，贝y 该 的体积为f X 二tanx ，则下列结论正确的是堑堵”A. 2B-IC. 1D. 4 6、27.已知等比数列{a n }满足 a 什a 2=6, a 4+a 5=48 , 则数列｛a n ｝前8项的和S n 为A . 510B . 126C . 256D . 5128.已知函数 f X 是定义域为 R 的奇函数,f x 1二f —x1 ，且当0乞x 乞1时,A.「2B.■2f3：： f 3C. f 3 ::: ff「2D.9.已知a 0,实数x, y 满足＜ x + y 兰3y K a(x _3)，若z =3x y 取最小值为1,则a 的值为A. -1B. 13 C.2D. -1或 110.已知抛物线 4x 的一条弦 AB 经过焦点F,O 为坐标原点，点 M 在线段0BOB =3OM 在射线OA 上，且ON =3OA ,过M , N 向抛物线的准线作垂线,，且 垂足分别为C,D ,则CD 的最小值为D . 1011.向量 a, b,c 满足：a = (4,0), b = (4,4), (a -c ) (b -c ) = 0，则 b c 的最大值是A. 24B. 24 - 8-2C. 24 8,2D. 8 -212.若关于x 的不等式e x ^-x 2 2 . m ex （其中e 为自然对数的底数， x . 0,m Z ）2恒成立，则m 的最大值为C . 3只有一个公共点，则 C 的离心率为15.已知直三棱柱ABC -AQG 的6个顶点都在球0的球面上，若AB = 3,AC = 4,AB _ AC ,AA^ -12,则球 O 的直径为 __________________ .—2「" X : 2 :16.函数f(x) = 3 sin 「x-2cos (八＞0),已知f (x)在区间(-一，)恰有三个零点，则2 3 3-■的范围为 ______ .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作 答.（一）必考题：共 60分17・（本小题满分12分）迈入2018年后，直播答题突然就火了 •在1月6号的一场活动中，最终仅有23人平分100万，这23人可以说是“学霸”级的大神•随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持 续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如下表：男女、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.13. log 5 25+一3 2 二14.直线丨：y =2（x - . 5）过双曲线的右焦点F 且与双曲线认为直播答题模式可持续 360 280 认为直播答题模式不可持续240120(I)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过 0.5%的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系?15%曾参加游戏瓜分过奖金，求女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率2疋 ______ n ad - be ________(a +b )[c +d ][a +c ](b +d )临界值表:2P(K 兰 k 。
2020年四川省成都市石室中学(北湖校区)高三数学文上学期期末试题含解析
2020年四川省成都市石室中学(北湖校区)高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知满足，则的最大值为( )A.1B.2C.3D.4参考答案：【知识点】简单的线性规划. E5【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y得，当此直线过可行域中的点A（1,0）时 2x-y有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y，画出可行域平移目标函数得点A（1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.2. 半径为2的球的内接三棱锥，则三棱锥的高为A. B. C. D. 3参考答案：D【分析】在三棱锥P﹣ABC中，过点p作PM⊥平面ABC的垂足为M，则球心O在PM所在直线上，在三角形PBO中利用余弦定理可得∠BPM，然后求出∠PBM＝60°，进一步算出PM．【详解】解：三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC，如图，过点p作PM⊥平面ABC的垂足为M，则球O的内接三棱锥P﹣ABC的球心O在PM所在直线上，∵球O的半径为2，∴OB＝OP＝2，∴由余弦定理得cos∠BPM＝＝∴∠BPM＝30°，∴在Rt△PMB中，∠PBM＝60°，∴PM＝PB sin∠PBM＝3．故选：D．【点睛】本题考查了球的内接三棱锥问题，考查了空间想象能力与逻辑思维能力，属基础题．3. 若a为实数，且2+ai=（1+i）（3+i），则a=( )A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，∴a=4．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 已知a，b是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面,下列命题中正确的是（）（A），，则（B）a，，，，则（C），，则（D）当，且时，若∥，则∥参考答案：B略5. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．3 B．1C．－1 D．－3参考答案：D6. 已知f(x)=ax5+bx3+sinx-8且f(-2)=10，那么f(2)=( )（A）-26 （B）26 （C）-10 （D）10参考答案：Af(2)+f(-2)=-16,f(2) =-26,选A.7. 已知，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A8. 已知函数是偶函数，上是单调减函数，则（）A． B．C． D．参考答案：A9. 如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是( )A. B. C. D.参考答案：B10. 已知|(x)在R上是奇函数,且满足|(x＋4)＝|(x),当x∈(0,2)时,|(x)＝2x2,则|(7)等于 ( ）A －2B 2C －98 D 98参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为．参考答案：3【考点】余弦定理．【分析】由a，b，c成等比数列，可得b2=ac，由sinB=，cosB=，可解得ac=13，再由余弦定理求得a2+c2=37，从而求得（a+c）2的值，即可得解．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∵sinB=，cosB=，∴可得=1﹣，解得：ac=13，∵由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=ac=a2+c2﹣ac×，解得：a2+c2=37．∴（a+c）2=a2+c2+2ac=37+2×13=63，故解得a+c=3．故答案为：3．12. 命题“，”的否定为▲．参考答案：略13. 设定点A （0，1），动点满足条件，则|PA|的最小值为。
2020-2021学年四川省成都市石室中学(高中部)高三数学文上学期期末试卷含解析
2020-2021学年四川省成都市石室中学(高中部)高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若向量则=A．（－2，－4）B．（3．4）C．（6，10）D．（－6．－10）参考答案：2. 一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°参考答案：D3. “直线不相交”是“直线为异面直线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B4. 已知恒成立，若为真命题，则实数的最小值为（）A．2 B．3 C. 4 D．5参考答案：A5. 已知函数的图象如图所示，，则（）A、B、C、D、参考答案：B略6. 已知为原点，双曲线上有一点，过作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为，平行四边形的面积为1，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：7. （）（A）（B）（C）（D）参考答案：B略8. （5分）（2015?嘉峪关校级三模）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．4π B．12π C．16π D．32π参考答案：C【考点】：球的体积和表面积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，∴R=2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．【点评】：本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．9. 若集合，则（）A. {0,1,2,3}B. {1,2,3}C. {0,1,2}D. {0,1,2,3,4}参考答案：A10. 是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知复数（其中是虚数单位），则_________.参考答案：12. 函数的值域是_________.参考答案：(0,+∞)【分析】先求得函数的定义域,再由可求得函数的值域.【详解】函数的定义域为,又,故函数的值域是.故答案为:.【点睛】(且,).13. 下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为，如图3.图3中直线与x轴交于点，则m的象就是n，记作.（ⅰ）方程的解是；（ⅱ）下列说法中正确命题的序号是 .（填出所有正确命题的序号）①； ②是奇函数； ③在定义域上单调递增；④的图象关于点对称．参考答案：，③④14. 已知在平面直角坐标系中有一个点列：。