角速度矢量
《理论力学》精品课件_TM.7-5以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的..
7-5 以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度一、角速度矢绕定轴转动刚体的角速度可以用矢量表示。
1．角速度矢的大小角速度矢ω的大小等于角速度的绝对值，即td d ϕω==ω （7-16） 2．角速度矢的指向角速度矢ω沿轴线，它的指向表示刚体转动的方向；如果从角速度矢的末端向始端看，则所观察到的刚体作逆时针向转动，如图7-10a 所示；或按照右手螺旋规则确定：右手的四指代表转动的方向，姆指代表角速度矢ω的指向，如图7-10b 所示。
(a ) (b )图7-10至于角速度矢的起点，可在轴线上任意选取，也就是说，角速度矢是滑动矢。
如取转轴为z 轴，它的正方向用单位矢k 的方向表示（图7-11）。
于是刚体绕定轴转动的角速度矢可写成k ω=ω （7-17）式中ω是角速度的代数值，它等于ϕ。
(a ) (b )图7-11二、角加速度矢同样，刚体绕定轴转动的角加速度可以用一个沿坐标轴线的滑动矢量表示：k ε=ε （7-18）式中ε是角加速度的代数值，它等于ω或ϕ 。
于是 )(d dd d k k ωωtt ==ε （7-19）即角加速度ε是角速度矢ω对时间的一阶导数。
根据上述角速度和角加速度的矢量表示法，刚体内任一点的速度可以用矢积 表示。
三、速度的矢量积表示如在轴线上任选一点O 为原点，点M 的矢径以r 表示，如图7-12所示。
图7-12那么，点M 的速度可以用角速度矢与它的矢径的矢量积来表示，即r v ⨯=ω （7-20）为了证明这一点，需证明矢积r ⨯ω确实表示点M 的大小和方向。
根据矢积的定义知，r ⨯ω仍是一个矢量，它的大小是v r r =⋅=⋅=⨯R ωωωθsin式中θ是角速度矢ω与矢径r 的夹角。
于是证明了矢积r ⨯ω的大小等于速度的大小。
矢积r ⨯ω的方向垂直于ω和r 所组成的平面（即图7-12中三角形OMO 1平面），从矢量v 的末端向始端看，则见ω按逆时针转向转过角θ与r 重合，由图容易看出，矢积r ⨯ω的方向正好与点M 的方向相同。
角速度矢量合成演示仪改进11307110076张莅-复旦大学物理教学
角速度矢量合成演示仪改进11307110076张莅摘要角速度矢量合成是大学物理里比较基本的原理，由于角速度矢量无法直观体现，怎样将其合成法则展示出来就是一个值得探究的问题。
现存的角速度矢量合成演示仪，存在一定缺陷，只能演示一种情况。
因此，希望通过加入“变速器”结构而使得演示仪可以演示不止一种情况，从而准确地诠释平行四边形法则。
目前变速器的搭建还不完全目录引言 (2)1.角速度矢量合成 (2)2.角速度矢量合成演示仪 (2)2.1实验仪器 (2)2.2实验操作 (3)2.3原操作方法缺陷 (4)改进 (5)1．原理 (5)2.实现方法 (6)2.1电动 (6)2.2变速箱 (6)2.2.1结构原理图 (6)2.2.2实物图 (7)后续工作 (11)①锥形齿轮 (11)②支架 (11)总结 (12)引言1.角速度矢量合成若刚体参与两个不同方向的转动，一个方向转动的角速度矢量是w1，另一个方向转动的角速度矢量是w2，则刚体的合成转动的角速度矢量等于两个角速度矢量的和，它遵守矢量求和的平行四边形法则。
图 1 平行四边形法则2.角速度矢量合成演示仪2.1实验仪器现有的角速度矢量合成演示仪成品如下图所示，演示仪由两部分组成，图3所示为演示仪底座，上面有左右共两个手轮，上方还有一个圆弧架，圆弧架上的3个铁制箭头各代表一个角速度矢量的方向。
其余部分为一个刚体球，其上均匀分布的黑点在球体转动时会形成一簇圆弧线，从而可以看出角速度矢量的方向。
图 2 角速度矢量合成演示仪图3 角速度矢量合成演示仪底座2.2实验操作1.转动左手轮，使球体沿一确定的转轴匀速转动，随着转动速度的增大，观察者可以看到球上的黑点描绘出一簇圆孤线。
按照右手螺旋法则，角速度矢量与圆弧线所在平面垂直，以此确定角速度方向，使用红色箭头表示。
2.按1中所述的操作步骤，摇动右手轮，且移动另一箭头示出角速度矢量的方向。
3.用左右两手分别同时摇动两个手轮，使球体同时参与两个确定方向的转动。
角速度(ω)是矢量还是标量
龙源期刊网
角速度（ω）是矢量还是标量
作者：骆红梅
来源：《物理教学探讨》2007年第13期
人民教育出版社，全日制普通中学教科书（必修加选修），高一物理课本《匀速圆周运动》一课中，描述匀速圆周运动的物理量线速度（v）和角速度（ω）。
书中讲到了线速度是
矢量，但没有提到角速度（ω）是矢量还是标量？不同的教材辅助参考书，对角速度（ω）是矢量还是标量说法不一。
那么角速度（ω）是矢量还是标量呢？笔者有以下见解与同行们共同磋商。
角速度（ω）物理意义是描述匀速圆周运动的快慢的物理量。
所以角速度（ω）可以用半径转过的角度（φ）跟所用时间（t）的比值来描述。
这个比值叫做匀速圆周运动的角速度，则有ω=φ/t。
角速度（ω）是矢量还是标量呢？
（1）从三角函数的角度来考虑，在三角函数中，角度规定半径逆时针方向旋转的角为正角；半径顺时针方向旋转的角为负角。
角度在旋转过程中有方向的。
时间（t）是标量，所以角速度（ω）是矢量。
（2）从矢量的角度来考虑，线速度等于角速度（ω）乘以半径（r），即v=ωr，在此公式中，半径（r）是标量，线速度（v）是矢量。
如果角速度（ω）也是标量，那么角速度（ω）
乘以半径r是标量乘以标量，标量乘以标量不可能等于矢量。
所以角速度（ω）是矢量。
综上所述角速度（ω）是矢量。
（栏目编辑罗琬华）。
角速度及角加速度的矢量表示
矢量积 r的大小及方向都与速度 v 的大
小及方向相同，即
v r （5-17）
转动刚体内任一点的速度，可由刚体的角速 度矢量与该点矢径的矢量积来表示。
图5-19
为了求出加速度 a 与 和 的关系式，取式（5-17）对于时间
的导数，得
a dv d ( r) d r dr
dt dt
dt
dt
但已知 因此得
d
dt
dr ， dt
v
a r v （5-18）
上式右边的第一项的大小为 | r | r sin R
如图5-20（a）所示，于是切向加速度可写为
aτ r
转动刚体内任一点M 的切向加速度矢量等于刚体的角加速度矢量与 该点矢径的矢量积。 式（5-18）右边的第二项的大小为
理论力学
角速度及角加速度的矢量表示
为了指明转轴在空间的方位，规定角速度矢量 和角加速度矢
量 均沿转动轴线，它们的模分别表示该瞬时刚体角速度和角
加速度的大小，用 k 表示沿轴线 Oz 的正方向的单位矢量，则
k d k
dt
d d k k
dt dt
当 0 ， 0 时， 及 均沿z轴的正向，说明刚体在加速转动， 如图5-18（a）所示；当 0 ， 0 时， 沿正向而 沿z轴的负
向，说明刚体在做减速转动，如图5-18（b）所示。
（a） 图5-18
（b）
从转轴上任一点 O作矢量 ，再作矢径 r OM ，如图5-19所示。以
表示 r 与z轴间夹角，点O1表示 M点描绘的圆周的中心， R 是该圆周
的半径，于是速度 v 的大小是 R 。由直角三角形 OMO1 可知 ，所
以 M点的速度的大小为
角速度矢量
3–2 角速度矢量
则合成线位移为：
第三章
刚体力学 ①
∆ n × r + ∆ n′ × r = ∆ r + ∆ r ′
如果对易转动次序，则有：
∆ n′ × r + ∆ n × r = ∆ r ′ + ∆ r
而位移是可以对易的，即
②
∆r + ∆r′ = ∆r′ + ∆r
由①②两式，可得：
∆ n × r + ∆ n′ × r = ∆ n′ × r + ∆ n × r
?nr?nr?nr?nr??n?nr?n?nr32角速度矢量第三章刚体力学因为r是任意的所以有因为是任意的所以有?n?n?n?n无限小转动的合成遵守平行四边形加法的对易律?无限小转动的合成遵守平行四边形加法的对易律是一个矢量??n是一个矢量二角速度矢量二角速度矢量设?t时间内角位移为?n设时间内角位移为方向为右手螺旋
dθ dt
3–2 角速度矢量
dr dn = ×r 由 ∆r = ∆n × r ⇒ dt dt
第三章
刚体力学
⇒ v = ω× r →
注意：
刚体内一点的线速度 v 与角速 度ω的关系。
1 ω 为整个刚体所共有， v只是刚体的某一点所具有，与 r 有关。 2 矢量的两个层次：①有大小和方向；②遵从平行四边形加 法的对易律。（例如有限转动和电流）
A + B = B + A
3–2 角速度矢量
1 有限转动 例： z
第三章
刚体力学
ω1
z
ω2
y
z ω1 + ω 2
y
y
x
x
z
y
图1
x
z
附 速度与加速度的矢量表示
补充知识：
以矢量表示角速度和角加速度
以矢积表示速度与加速度
1
附*： 角速度、角加速度、速度与加速度的矢量表示
1、角速度
d 大小： dt
转向： 满足右手法则
作用线：
沿轴线的滑动矢量
ω k
2
附*： 角速度、角加速度、速度与加速度的矢量表示
2、角加速度
dω d α k = k dt dt
3
附*： 角速度、角加速度、速度与加速度的矢量表示
3、用矢积表示刚体上点的速度
v = ω ×r
大小：
v
ω
v ω r sin
R
方向： 右手定则
ω ×r
4
附*： 角速度、角加速度、速度与加速度的矢量表示
4、用矢积表示刚体上点的加速度
v = ω ×r
an
α
at
ω
v
dv dω dr a r ω dt dt dt
αr
ω v
ωv
Байду номын сангаасαr
= at
an
at = α r ：M点的切向加速度 an = ω v ：M点的法向加速度
5
附*： 角速度、角加速度、速度与加速度的矢量表示
5.
泊松公式
角速度：ω 动系O1 x y z 绕 z轴转动 单位向量： i , j,k
考察三维定轴转动刚体 z P3 vP3
k
z
vP2 P2
j
y
di v P 1 ω ×i dt
P1 i O1 x O
vP1 y
x
dj v P 2 = ω ×j dt dk v P 3 = ω ×k dt
刚体的角速度和角加速度的矢量表示角速度矢教育课件
三、弧坐标表示法： 举例： 人造地球卫星的运动轨迹——椭园（左图） 火车沿直线轨道行驶时，轮缘上点Ｍ的运动轨迹 ——摆线（右图）
z
y
x
01-5-12
24
概念
O点 —— 参考点、弧坐标原点。
v lim t 0 t
l i m v j
t 0
t
j s
lim v
t 0
s t
j
s
v lim
lim
t 0 s
t 0 t
(5 18)
v ds r dt
v2 r
c o （ s v , i）
vx v
c o （ s v , j）
vy v
( 5
8)
c o （ s v , k )
vz
v
2、运动加速度： 同理，将速度对时间求一次导数，即可求得加速度
的笛卡儿坐标表达式及其在笛卡儿坐标轴上的投影式：
加速度的笛卡儿坐标表达式
( 5 11 )
合加速度方向 合加速度的方向由其方向余弦确定
c o （ s a , i）
ax a
c o （ s a , j）
ay a
( 5
12)
c o （ s a , k )
az a
总结
笛卡儿坐标法是矢径法的代数运算。
动点的速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应坐 标对时间的一阶导数。
t0 t
d dv t d dt22 r
§3.2 角速度矢量
dJ dt
Fe Me
刚体： mdJrC dt
i i
Fie
F
ri
Fi e
M
Note：
6个方程正好确定
①明确方程中各个量的意义。 刚体的6个独立变量
F
:主矢
J ,
M：以质心为中心得到的动量矩和主矩。
②当研究刚体对固定点的转动时，可以将第二方程换为
dJ dt
i
ri
Fi e
M
非刚体
A 刚体 B
作用在刚体上的力所产生的力学效果仅与力的量值和作用线的 地位和方向有关，而与力的作用点在作用线上的地位无关。
Note：（1）在刚体力学中，力被称为滑移矢量。
（2）可沿作用线前后滑移， 但作用线本身不能随便迁移。
2、力偶：
（1）定义：大小相等、方向相反， 作用线相互平行的一对力 （2）作用效果：
二矩式： Fx 0, M A 0, M B 0
（A、B为平面上任意两点，且AB连线与x轴不垂直）
三矩式： M A 0, M B 0, M C 0
（A、B、C为平面上不共线三点）
例 p128. φ最小，平衡。求A处的摩擦系数。 E
解 是共面力系的平衡问题，受力分析
Fx 0 :
N1
cos
M
A
0
2NC
sin
2
2G
l 2
cos
2
0
fC
y
A NA x
x
Gθ B
取BC杆为研究对象，以B点为矩心可得：
l
M B 0 NCl sin 2 fCl cos 2 G 2 cos 2 0
联立可解：
NC
G 2
ctg
角速度矢量
角速度矢量
角速度是矢量。
角速度的矢量性：v=ω×r，其中，×表示矢量相乘(叉乘)，方向由右手螺旋定则确定，r为矢径，方向由圆心向外。
角速度方向：用右手四指环绕方向表示物体转动方向，大拇指的方向就是角速度的方向。
在国际单位制中，单位是“弧度/秒”（rad/s）。
（1rad = 360°/(2π) ≈57°17'45″）转动周数时（例如：每分钟转动周数），则以转速来描述转动速度快慢。
角速度的方向垂直于转动平面，可通过右手螺旋定则来确定。
扩展资料：
在三维坐标系中，角速度变得比较复杂。
在此状况下，角速度通常被当作向量来看待；甚至更精确一点要当作伪向量。
它不只具有数值，而且同时具有方向的特性。
数值指的是单位时间内的角度变化率，而方向则是用来描述转动轴的。
概念上，可以利用右手定则来标示角速度伪向量的正方向。
原则如下：
假设将右手（除了大拇指以外）的手指顺着转动的方向朝内弯曲，则大拇指所指的方向即是角速度向量的方向。
的导数角速度矢量的叠加原理刚体绕平行轴转动的合成
刚体与动基 固接，在定
e
r
/
e
u
e
b
e ru , e ru
O
基上考察到
刚体的牵连角(加) 速度
的刚体运动
在动基上考 察刚体运动
e
u
/
e
b
r
,
r
刚体相对角(加) 速度
2019年9月9日 理论力学CAI 刚体平面运动学
y
b
b
rb
b
rb
rb
b
2019年9月9日 理论力学CAI 刚体平面运动学
EXIT
7
刚体的姿态变化的描述/矢量在不同基上对时间的导数
角速度矢量的叠加原理
对于与基b固结的矢量 b
e
b
rb
ub
在基u上对 时间的导数
在基r上对 时间的导数
u
d
b
d
x
b
•
刚lim体转xb动时li基m矢z量 的xb变
dt
化t0 t
t 0
t
(
z
x
b
)
d
dt
d
z
x
b
dt
rb
• 结论：连体基的基矢量在参考 基上对时间的导数等于该基相 对于参考基的角速度矢量与其 的叉积
2019年9月9日
理论力学CAI 刚体平面运动学
2019年9月9日 理论力学CAI 刚体平面运动学
EXIT
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第三章
刚体力学
一、有限转动与无限小转动
二、角速度矢量
3–2 角速度矢量
一、有限转动与无限小转动
角速度是不是矢量？
第三章
刚体力学
在定轴转动（平面平行运动也是这样）中，角速度方向 不变，所以它是不是矢量关系不大。通常是在转动轴上截取 一个有方向的线段（按右手螺旋法则）来代表角速度。 但在定点转动中，转动轴方向随时改变，因而角速度的方 向也随时改变。 那么角速度是不是一个矢量，也即它是否满足平行四边形 加法所遵守的对易律：
下面我们来看 ∆ n 是否遵守加法的对易律？ 设刚体先后绕过 O点的轴线作了两次微小转动 ∆ n, ∆ n′
P点的位矢 r
⎯⎯ → r + ∆r = r + ∆n × r
⎯⎯ → ( r +∆n× r ) +∆n′×( r +∆n× r )
∆n′
∆n
（略去二阶微量）
= r + ∆ n × r + ∆ n′ × r
⇒ ( ∆ n + ∆ n ′) × r = ( ∆ n ′ + ∆ n ) × r
3–2 角速度矢量
因为 r 是任意的，所以有
第三章
刚体力学
⇒ 无限小转动的合成遵守平行四边形加法的对易律 ⇒ ∆ n 是一个矢量
二、角速度矢量 设 ∆t 时间内角位移为 ∆ n
∆ n + ∆ n ′ = ∆ n′ + ∆ n
∆ n = ∆θ
，方向为右手螺旋。
如果我们用 ∆t 来除 ∆ n ，并令 ∆t 趋于零，则有
∆n dn lim = =ω ∆t →0 ∆t dt
3–2 角速度矢量
ω 是瞬时 t 绕O点的转动角速度。
第三章
刚体力学
ω 是矢量，以后可用矢量运算来处理它。
ω 的大小和方向均是时间的函数。
ω 的方向称为转动瞬轴的方向。 ω 的大小为
A + B = B + A
3–2 角速度矢量
1 有限转动 例： z
第三章
刚体力学
ω1
z
ω2
y
z ω1 + ω 2
y
y
x
x
z
y
图1
x
z
ω 2 + ω1
y
ω2
z
ω1
y
x
x
图2
x
3–2 角速度矢量
由图可知：
第三章
刚体力学
⇒ 有限转动不是一个矢量！
ω1 + ω 2 ≠ ω 2 + ω1
n
′ P′点的位矢为 r 。 P点的位矢为 r ， 如图， ∆ n为角位移，表示 ∆θ 的量值和方向。
∆ r 为无限小量 ⇒ ∆ r ⊥ 平面 OPM 并且有： ∆ r = PM i ∆ θ
而
2 无限小转动
P
r θ
P′
M
r
r+ r
ϕ
⇒ ∆ r = r ∆ θ sin ϕ = r i ∆ n isin ϕ
即
PM = r sin ϕ
O
∆r = ∆n × r
3–2 角速度矢量
第三章
刚体力学
∆n
是不是矢量，现在还不能确定。
dθ dt
3–2 角速度矢量
dr dn = ×r 由 ∆r = ∆n × r ⇒ dt dt
第三章
刚体力学
⇒ v = ω× r →
注意：
刚体内一点的线速度 v 与角速 度ω的关系。
1 ω 为整个刚体所共有， v只是刚体的某一点所具有，与 r 有关。 2 矢量的两个层次：①有大小和方向；②遵从平行四边形加 法的对易律。（例如有限转动和电流）
3–2 角速度矢量
则合成线位移为：
第三章
刚体力学 ①
∆ n × r + ∆ n′ × r = ∆ r + ∆ r ′
如果对易转动次序，则有：
∆ n′ × r + ∆ n × r = ∆r + ∆r′ = ∆r′ + ∆r
由①②两式，可得：
∆ n × r + ∆ n′ × r = ∆ n′ × r + ∆ n × r