第1章++1.2++加速度矢量的表示
大学物理第1章质点运动学
则有
ax 2 R cost;
a y 2 R sint
加速度的大小
2 2 2 2 2 2 a ax a2 ( R cos t ) ( R sin t ) R y
根据矢量的点积运算，分别计算
v r [(R sint )i (R cost ) j ] [(R cost )i ( R sint ) j ] 0 2 2 v a [(R sint )i (R cost ) j ] [( R cost )i ( R sint ) j ] 0
大学物理
第一章 质点运动学
1.1 运动学的一些基本概念 1.1.1、参考系(reference frame)和坐标系(coordinate) 参考系：为了描述物体的运动而选取的参考标准物体。 （运动描述的相对性） 坐标系：直角坐标系、自然坐标系、极坐标系、球坐标系等. 说明 在运动学中，参考系的选择是任意的；在动力学中则不然 1.1.2、时间和空间的计量 1、时间及其计量 时间表征物理事件的顺序性和物质运动的持续性。时间测量的 标准单位是秒。1967年定义秒为铯—133原子基态的两个超精细 能级之间跃迁辐射周期的9192631770倍。量度时间范围从宇宙 年龄1018s(约200亿年）到微观粒子的最短寿命 10-24s.极限的时 间间隔为普朗克时间10-43s,小于此时间，现有的时间概念就不适 用了。
运动学中的两类问题
1、已知质点的运动学方程求质点的速度、加速度等问
题常称为运动学第一类问题．
r r (t )
微分
v, a
2、由加速度和初始条件求速度方程和运动方程的问题称 为运动学的第二类问题．
a , v0 , r0
第1章 矢量简介
二、矢量在直角坐标系中的正交分解
1. 直角坐标系 i 、j 、k 是一组分别沿着x
轴，y轴和z轴的单位矢量，称
为直角坐标系O-xyz的基矢。
i 、j 、k i 、j 、k
三个单位矢量之间 两两垂直（正交） 三个单位矢量满足右手螺旋关系
2.矢量在直角坐标系中的正交分解
A B A (B)
所以两个矢量相减和两个矢量相加一样，也可以 用平行四边形法则和三角形法则。
两个矢量相减的平行四边形法则： 以 A 及 B 为邻边作平行四边形，则对角线所表示 的矢量即为 A B 矢量。 B A B 以 A 及 B 为邻边的平 行四边形，一条对角线 是两个矢量的和，而另 A 一条对角线则是矢量之 B 差。 A B
0
正交特性可表示为：
i j j k k i 0 er e 0
2
2.矢量 A 与某单位矢量的标积即为矢量 A 沿该单位 矢量方向的投影。
A Ax i Ay j Az k A i Axi Ay j Az k i Ax 同理： A j Ax i Ay j Az k j Ay 同理： A k A i A j A k k A x y z z
2.矢量： 有些物理量除了知道他们的大小及单位外，还必须 指明其方向。这种除了大小和单位外，还具有方向， 并且加法遵从平行四边形法则的量称为矢量。 如位移、速度、加速度等都是矢量。 3.矢量的表示法： 书本中用黑体字来表示矢量，如 A、B、C
书写是用
A、B、C
来表示矢量
高等流体力学各章习题汇总
(1). 证明圆周 x 2
y a
2
2
上的任意一点的速度都与 y 轴平行,且此
速度大小与 y 成反比. (2). 求 y 轴上的速度最大点;
(3). 证明 y 轴是一条流线.
7. 已知速度势φ, 求相应流函数ψ. (1). (2).
xy
x x y
2 2
b
b
U p
8. 求图示不脱体绕流平板上下表面压强, 压强系数和速度分布.
2
2
（1）沿下边给出的封闭曲线积分求速度环量,
0 x 10, y 0; 0 y 5, x 10; 0 x 10, y 5; 0 y 5, x 0.
（2）求涡量 ，然后求
n dA
A
式中A是 (1) 中给出的矩形面积， 是此面积的外单位法线矢量。
u i t u
j
t
u j
x
ij j
x k
u j u k
ij
xi
f
j
可简化为
u i x
j
fi
6. 流体在弯曲的变截面细管中流动,设 A 为细管的横断面积, 在 A 断面上的流动物理量是均匀的,试证明连续方程具有下述形式,
L1
C
L2
第四章 教科书 4.1, 4.4, 4.7, 4.12 5. 设复位势为
F ( z ) m ln ( z 1 z )
(1). 问流动是由哪些基本流动组成; (2). 求流线方程;
(3). 求通过 z i 和 z
1 2
两点连线的流体体积流量.
6. 在点 (a, 0), ( -a, 0) 上放置等强度的点源,
大学物理1.2 质点的位移、速度和加速度
y
A r r1 r2
y
B
yB yA
A r r1 r2
xA xB x A
B
yB yA
o
x
o
xB
x
把 由始点 A 指向终点 B 的有向线段 r 称为点 A 到 B 的位移矢量 , 简称位移. r r2 r1
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化,
1.2 质点的位移、速度和加速度
一、 位移 （反映物体位置的变化）
位移 位矢 r 在t 时间内的增量
O
P
r (t )
s
r
Q
r (t t ) 说明 (1) r是矢量， s 是标量，且大小一般不等 Δr r s r 位矢增量的大小与Δr ( r )位矢大小的增量的区别 (2) 分清
A
r (t )
o
dt
x
三、 加速度
1. 速度增量 v v (t t ) v (t )
v (t )
B
v (t t )
A
2 . 平均加速度
v a t
r (t )
r (t t )
3. 瞬时加速度
a lim v t dv dt
dr dt v
r
r
0
t dr (6i 16t j )dt 0
r0 8k
2 r 6t i 8t j 8k
1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中 的速度和加速度
一、 速度
s s (t t ) s (t ) r s r lim ( ) v lim t 0 s t t 0 t r s ( lim )( lim ) t 0 s t 0 t r ds ds τ ( lim ) t 0 s dt dt
第 01章 2 次课 -- 加速度 圆周运动
(4)
7 /23
§1.2
圆周运动
(4)
v(t) r(t)
(4)式就是质点作圆周运动时的速率与角速度的关系. 质点作圆周运动时, 速度方向不断改变, 因此圆周运动是变速运动 ! 有加速度 ! 圆周运动的加速度有什么特点 ?
o
v2 et 2 v1 et1
r
三、圆周运动的切向加速度和法向加速度
at r
也是常数
法向加速度
加速度
an r 2
2
r
不是常数 (10)
a at an r et r 2 en
d dt
设t=0时, =0, =0; 则
d dt
d dt
0 t
2 2 02 2 ( 0 )
即
dy 由速度的定义得 v v0 e 1.0t dt
两边积分, 得
dy 0e1.0t dt
y
0
dy v0 e-1.0t dt
0
t
即
y v0[1 e
]
y
代入初速度, 得
y 10[1 e1.0t ]
上海师范大学
2 /23
§1.1
质点运动的描述
v v0e
为小球已停止运动; （2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？
解：如图建立坐标系.
由加速度定义得
v
a
t dv 两边积分, 得 1.0 dt v0 v 0
d 1.0 dt
即
d 1.0dt
1.0t
o
v0
-1.0t
即
lnv - ln0 1.0t
化简得
2020-2021高中物理教科版必修1教学案：第一章 第4节 速度变化快慢的描述——加速度
第一章 运动的描述第4节速度变化快慢的描述——加速度一、加速度1．定义：速度的改变量与发生这一改变所用时间的比值，通常用a 表示。
2．表达式：a ＝ΔvΔt 。
3．矢量性加速度既有大小，又有方向，是矢量。
由a ＝ΔvΔt 可知，加速度a 的方向与速度变化量Δv 的方向相同。
4．单位在国际单位制中，加速度的单位是米每二次方秒，符号m/s 2或m·s －2。
5．物理意义加速度是描述物体运动速度变化快慢的物理量。
二、加速度方向与速度方向的关系1．如图1-4-1所示，取初速度v 0的方向为正方向：对于加速运动，有v t >v 0，即Δv >0，此时a >0，表示加速度的方向与速度的方向相同，如图甲所示。
图1-4-12．对于减速运动，有v t <v 0，即Δv <0，此时a <0，表示加速度的方向与速度的方向相反，如图乙所示。
三、从v -t 图像看加速度1．通过速度—时间(v -t )图像不但能够了解物体运动的速度随时间变化的规律，还能够知道物体的加速度。
2．从速度—时间图线的倾斜程度大小就能判断加速度的大小，倾斜程度越大，加速度越大。
1．自主思考——判一判(1)如果速度很大，则加速度一定很大。
(×) (2)如果速度变化量很大，则加速度一定很大。
(×)(3)加速度是矢量，它的方向与速度变化量的方向一致。
(√)(4)物体的速度为零，加速度也为零。
(×)(5)取初速度方向为正方向时，加速度为正值时，物体做加速运动。
(√)(6)物体的v-t图像是一条倾斜直线时，物体运动的加速度是恒定的。
(√)2．合作探究——议一议(1)直线运动中，加速度的正负表示什么含义？加速度为负值，物体就一定做减速运动吗？[提示]①加速度的正、负表示与规定的正方向是同向还是反向。
②不一定。
加速度为负值，若速度为正值，则物体减速；若速度也为负值，则物体加速。
流体答案
dx = dy = dz = dt x/t y 0
积分得
x = c1t, y = c2et , z = c3
由 t = τ 时 (x, y, z) = ( x∗, y∗, z∗)得
c1 = x∗τ −1, c2 = y∗e−τ , c3 = z∗
将以上常数代入迹线方程，
=
∂u ∂t
+u
∂u ∂x
=
−
x (1 + t)2
+x 1+
t
1 1+
t
=
0
ay
=
∂v ∂t
Ʊ t)2
+
2y 1+ t
2 1+
t
=
2y (1 + t)2
az
=
∂w ∂t
+
w ∂w ∂z
=
−
3z (1 + t)2
+ 3z 1+ t
3 1+
t
=
6z (1 + t)2
(2) 先求迹线
ax
=
∂u ∂t
=
0,
ay
=
∂v ∂t
=
4x0e−2t ,
az
=
∂w ∂t
=
9 x0e−3t
加速度欧拉表示：
ax
=
∂u ∂t
=
0,
ay
=
∂v ∂t
=
4xe−2t ,
az
=
∂w ∂t
=
9 xe−3t
（3）流线与迹线 由于 u = 0 ，这是一个平面流动问题，流线微分方程为
§2、速度、加速度的分量表达式
§2、速度、加速度的分量表达式上一次课，我们为了将运动的一些特征能直接的表示出来，而定义了速度和加速度，22;dt r d dt v d a dt r d v =≡≡ 。
在一般情况下它们往往都是时间t 的函数。
何谓定义呢？定义它本身不是可以用什么方法或者数学手段加以证明得到的，而是根据实际需要常常用到而定义下来的名称和概念。
例如过两点成一条直线……。
由于速度和加速度都是矢量，因此都可以将它们表示成分量的形式。
这次课将准备讨论速度、加速度在各种坐标系中的表达式。
一、 直角坐标系——直角坐标系又称笛卡儿坐标系在直角坐标系中，质点的位置矢径可以写成为：........z k y j x i r ++= （1）根据速度的定义可知dtr d v ≡将（1）代入，则有 1、速度： z y x v k v j v i dt dz k dt dy j dt dx i z k y j x i dt d dt r d v ++=++=++==...........................................)(于是，我们比较上面的等式，就可得到速度在直角坐标系中的分量表达式为：z dtdz v y dt dy v x dt dx v z y x ======;;可见速度沿三直角坐标轴的分量（即分速度）就等于其相应的坐标对时间t 的一阶导数。
速度的大小：222z y x v v v v v ++== 速度的方向就用方向余弦来表示：vv k v v v j v v v i v z y y ===),cos(;),cos(;),cos( 。
同理，我们由加速度的定义不难得到它的分量表达式。
2、加速度根据加速度的定义：zy x z y x a k a j a i dt dv k dt dv j dt dv i dt z d k y d j x d i dt dz k dy j dx i dt d dt v d a ++=++=++=++==2222)(比较这些恒等式可得加速度的直角坐标分量表达式：z dt z d v dv a y dt y d v dt dv a x dtx d v dt dv a z t z y y y x x x ============222222 于是可得加速度的大小为：222z y x a a a a a ++== 加速度的方向用方向余弦表示。
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t )
r rP (t)
例：
一物体 ( t1,1,3 ) ( t2 ,3,1)
求t t2 t1的位移
rr
r2r2irrr12（rj（3mir）1rj）（1ir
3 rj）
例: 一质点在平面内作匀速率、半径为R的圆周运
动，如图所示。设 t 0时刻，质点处于 x 轴上
匀速率圆周运动
T : 周期
1 : 频率
T
2 T 2
vr (t dt)
r dS v (t)
d dS R
d R
vr vr
ds Rd
v dS R
dt
vr (t 0)
dv R
dt
一维直线运动，x 的正负表示方向
平面圆周运动 正负表示方向
r r (t)
r
2（j m）
(t
t
2
r )i
(2
t
t2)
r j (m)
位置矢量也可写成分量形式
如：rr
r 2ti
r 3t 2 j
r 4t3k (m)
x 2t
y
3t
2
z
4t 3
rr （2）位置的改变-----位移矢量
(Displacement)
rr
r rQ (t
v R
dθ
at R 方向切向
dr (t)
(t dt)
dθ
an
v
dr
dt
dr
v dt
v 1 d
dt
v
an
v2 R
Rω2
d 0
r an
r v
曲率半径中心向
例 回答下列问题并举出符合你的答案的实例：
（1）速度为零的时刻，加速度是否一定为零？ 加速度为零的时刻，速度是否一定为零？
表示切
向加速度，下列表达式中，
(1) dr / dt v ， (2) dv / dt a
(3) dvr / dt at ，
(4) dS / dt v
(A) 只有(1)、(4)是对的． (B) 只有(2)、(4)是对的． (C) 只有(2)是对的． (D) 只有(4)是对的．
例. 质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为
（2） 当物体具有大小、方向不变的加速度时 ，物体的速度方向能否改变？
（3） 任意平面曲线运动的加速度的方向总指 向曲线凹进那一侧，为什么？
（4）圆周运动中质点的加速度是否一定和速度 的方向垂直？如不一定，这加速度的方向在什 么情况下偏向运动的前方？
例. 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，
问 an , at , a 三者 的大小是否都随时间改变？
dt
(m/s) (m/s2)
2. 圆周运动的切向加速度和法向加速度
（1）平面圆周运动的角量描述：
vr (t dt)
r dS v (t)
t : t : d
d dS R
d R
dt : d
d
dt
vr (t
0)
d
dt
角位置 rad 角位移 rad 角速度 s1 角加速度 s2
平均速度： vr rr t
瞬时速度：
(Velocity)
r(t t) r(t)
r dr
v lim
lim
t 0
t
t0 t dt
dx dy dz v i j k dt dt dt v vxi vy j vzk
，且其位置矢量单位时间转过的角度为 （角速
度）。求质点的运动函数和轨道方程（轨迹）。
y
t
x
解：
分量形式：
x
y
R cost R sint
矢量形式：
rr
r xi
r yj
r
R costi
R
r
sin tj
轨道方程（轨迹）：
x2 y2 R2
（3）物体位置改变的快慢-----速度 vr
二. 物体机械运动的描述
Describing the mechanical motion
（加速度矢量的表示）
（§1.2）
1. 直角坐标系中加速度的表示
rr （1）质点位置的数学描述----位置矢量
(x, y, z) t时刻的空间坐标
(t, x, y, z) 时空坐标
rr
(t)
r x(t)i
y(t)
总加速度与速度之间的夹角如何随时间改变？
解：速率随时间均匀增大，可设
v k1t
dv / dt k1 0
at dv / dt k1
an
v2 R
k12 R
t2
a an2 at2 C1t 4 k12
arctg(an / at ) arctan
Ct2 k1
r vr
R
v R
v
R
v R
（2） 圆周运动的切向加速度和法向加速度
dvr
vr (t)
vr
(t
dt
dθ
)
vr vr
ar dvr d (vr ) dv r v dr
dt dt dt
dt
r
vr (t dt) dvr v(t)
dθ
a
dv
3 2t 2 (SI ) 则ｔ时刻质点的法向加速度大小 an ?
角加速度 ?
16 R t2 m/s2
4 rad /s2
例. 下列物理量：质量、动量、冲量、动能、势 能、功中与参考系的选取有关的物理量是 ________________________。（低速世界）
动量、动能、功
d
(vτ )
dv
τ
v
dτ
dt dt dt
dt
切向加速度 法向加速度
at
an
rr r a at an
（3） 切向加速度和法向加速度与角量关系ar来自r at
r an
r
dv r
dt
v
dr
dt
vr (t dt)
dvr
v (t )
dv dω at dt R dt Rα
(m/s)
r vt vrt
0 1
dt r 2i
r 2i
(m/s)
r 6j
(m/s)
（4）速度的变化率----- 加速度(acceleration)
平均加速度： ar vr t
瞬时加速度： ar lim vr dvr t0 t dt
ar dvr dt
dv x
r j
r z(t)k
r
r (t)
位置矢量（运动函数）
M点的位置矢量
例：
y (m)
rr20
rr (t)
时空坐标
t 0：x 0, y 2 (t, x, y) (0, 0, 2)
O
x (m)
t： x(t )
y(t )
t t2 2t
(m) t2
(m)
rr0
r i
dv y
r j
dvz
r k
dt dt dt
d2x
dt
2
r
r i
d2y drt 2
r j
r
d2z dt 2
r k
xi y j zk
例：
已知位置矢量
r
2ti 3t 2
j
（m)
求加速度。
解：
vr
drr
rr 2i 6tj
dt
ar
dvr
r 6j
随时间此交角增大。
例. 一运动质点在某瞬时位于矢径 rx, y
的端点处, 其速度大小为:
dr
(A)
dt
r dr
（C）
dt
r (B) d r
dt
（D）
dx dt
2
dy dt
2
例示.速质度点，作a曲表线示运加动速，度r，表S 示表位示置路矢程量，，at
v 表
速度的叠加：速度是各分速度之矢量和
例：
用矢量解析式表示：一人向东南方向以4 （m/s) 速度大小跑去。
vr 2
r 2i 2
r 2 j(m / s)
例：
设位矢
r
2ti
3t
2
j
（m）。
求质点在t 0 时刻(初始时刻)和 t 1 s时刻
的速度。
解：
vr drr
rr 2i 6tj