普通物理学课件

解:设在某极短的时间△t内落在传送带上矿砂的质量 内落在传送带上矿砂的质量 为m，即m=k△t，这些矿砂动量的增量为 ， = ，
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r r r ∆(mv) = mv2 − mv1
其量值可用矢量差方法求得[ 其量值可用矢量差方法求得[参看图 (b)]
r ∆(mv) = 3.98m = 3.98kt m/s
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例题2-6 如图所示,设炮车以仰角θ 发射一炮弹，炮 如图所示, 发射一炮弹， 例题 车和炮弹的质量分别为M和 ，炮弹的出口速度为v， 车和炮弹的质量分别为 和m，炮弹的出口速度为 ， 求炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。 求炮车的反冲速度 。炮车与地面间的摩擦力不计。
5
(2)
FN = 1.9 N 10
6
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解法二： 解法二 ： 考虑从锤自由下落到静止的整个 过程，动量变化为零。 过程，动量变化为零。 重力作用时间为 重力作用时间为
t + 2h / g
支持力的作用时间为t 支持力的作用时间为 根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零， 根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零， 即
于是得到积分形式
r t r I = ∫t F dt r r r I = p2 − p1
2 1
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这就是质点的 这就是 质点的 动量定理 ： 物体在运动过程中所 受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。 受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。 动量定理的几点说明： 动量定理的几点说明： (1)冲量的方向 冲量的方向： (1)冲量的方向：
F ∆t = ∆ (mv )
r ∆(mv )
设这些矿砂在△ 时间内的平均作用力为 时间内的平均作用力为F 设这些矿砂在△t时间内的平均作用力为F，根 r 据动量定理， 于是
F= = 79.6N
∆t 作用力F的方向与 的方向与△ v 的方向相同 的方向相同， 作用力 的方向与△(mv)的方向相同，图(b)中 中 角可由下式求得： 的θ角可由下式求得： 角可由下式求得
x
L−l
t时刻，落地面链段ml速度为零，即 时刻，落地面链段 速度为零， 时刻 u=0，空中链段（m-ml）速度为 ，受力 速度为v， ，空中链段（ 如图。 如图。 由变质量物体运动微分方程可得
x
h
d [(m − ml )v] = (m − ml )g − F ' dt
r (m− ml )g
r F'
略去二阶小量，两端除 略去二阶小量，两端除dt
d r dm r r (mv) − u= F dt dt dm r u dt
变质量物 体运动微 分方程
值得注意的是， 可正可负 可正可负， 取负时， 值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时， 取负时 表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题， 表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题， 为尾气推力。 为尾气推力。
r F N
(FN − mg)t = mv − mv0
初状态动量为 m 2gh 末状态动量为0 末状态动量为0
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r mg
得到 (FN − mg)t =−m 2gh 解得
FN = mg + m 2gh / t
代入m 的值， 代入 、h、t的值，求得： 的值 求得： (1)
FN = 1.92 N 10
r r mv + d mu
末时刻 末时刻
初始时刻
m
r F
dm
r u
m+dm
r r (m + d m)(v + dv)
r v
r r v + dv
t
t + dt
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对系统利用动量定理
r r r r r (m + d m)(v + dv) − mv − d mu = F dt r r r r mdv + d mdv + d mv = F dt
的大小， 根据改变动量的等效性， 的大小 ， 根据改变动量的等效性 ， 得到平均力。 得到平均力。 将积分用平 均力代替 平均力写为
F
−
F
t1
r r F ∆t = ∆P
t2
t2 t
∫
t2
t1
v v F dt ⇒ F ∆t
动量定 理写为
r r ∆P F= ∆t
平均力大小： 平均力大小： F = ∫
t1
t2
I y = ∫t1 Fy dt = mv2 y − mv y 1
t2
Iz = ∫t1 F dt = mv2z − mv z z 1
t2
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(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。 (3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。 动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力
r 打击或碰撞， 打击或碰撞 ， 力 F 的方向保 持不变， 持不变， 曲线与t 轴所包围的面积 r 就是t1到t2这段时间内力F 的冲量
r ∆(mv ) sin 75
o
=
r mv2 sin θ
θ = 29o
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二、变质量物体的运动方程
物体m与质元 在 物体 与质元dm在 t 时刻的速度以及在 t+dt时 与质元 时 合并后的共同速度如图所示： 刻合并后的共同速度如图所示： 把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时 把物体与质元作为系统考虑， 刻的动量分别为： 刻的动量分别为：
2
例题2 矿砂从传送带A落到另一传送带 落到另一传送带B， 例题2-4 矿砂从传送带 落到另一传送带 ，其速度 v1=4m/s，方向与竖直方向成30°角，而传送带B与水 =4 ，方向与竖直方向成30° 而传送带 与水 30 平成15 15° 其速度v 平成15°角，其速度 2=2 m/s．如传送带的运送量恒 ． 设为k=20 kg/s，求落到传送带 上的矿砂在落上 定，设为 ，求落到传送带B上的矿砂在落上 时所受到的力． 时所受到的力．
§2-2 动量定理 动量守恒定律
一、 动量定理
重写牛顿第二定律的微分形式
r r F dt = d p
2
考虑一过程， 考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分
t2
1 1
r r r r r= p − p p r 2 1 ∫t F dt = ∫p d p
左侧积分表示力对时间的累积量， 左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。
FNt − mg(t + 2h / g ) = 0
得到解法一相同的结果
FN = mg + m 2gh / t
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例题2-3 一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为 一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m 例题 及的m’物体 物体A和 ， 大于m。 静止在地面上 静止在地面上， 及的 物体 和B， m’大于 。B静止在地面上，当 大于 A自由下落距离 后 ， 绳子才被拉紧 。 求绳子刚被拉 自由下落距离h后 绳子才被拉紧。 自由下落距离 紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。 紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。 以物体A和 为系统作为 解 ： 以物体 和 B为系统作为 研究对象， 研究对象，采用隔离法分析受 作出绳拉紧时的受力图： 力，作出绳拉紧时的受力图： 绳子刚好拉紧前的瞬间， 绳子刚好拉紧前的瞬间， 物体A的速度为 的速度为： 物体 的速度为： A m h m’ B B A
r r I = ∆P
由牛顿第 三定律
方向与
r ∆P
∆P r F = ∆t
相反 r
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例题2-2 质量 质量m=3t的重锤，从高度 的重锤， 例题 的重锤 从高度h=1.5m处自由落 处自由落 到受锻压的工件上，工件发生形变。 到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间 (1)t=0.1s， (2)t=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。 试求锤对工件的平均冲力。 ， 解：以重锤为研究对象，分析受力，作受力图： 以重锤为研究对象，分析受力，作受力图： 解法一： 解法一 ： 锤对工件的冲力变化 范围很大， 采用平均冲力计算， 范围很大 ， 采用平均冲力计算 ， 其 反作用力用平均支持力代替。 反作用力用平均支持力代替。 在竖直方向利用动量定理， 在竖直方向利用动量定理，取竖直 向上为正。 向上为正。
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质量为m的匀质链条 全长为L，手持其上端， 的匀质链条， 例2-5 质量为 的匀质链条，全长为 ，手持其上端， 使下端离地面为h.然后放手让它自由下落到地面上 然后放手让它自由下落到地面上， 使下端离地面为 然后放手让它自由下落到地面上， 如图所示.求链条落到地上的长度为 求链条落到地上的长度为l时 如图所示 求链条落到地上的长度为 时，地面所受链 条作用力的大小. 条作用力的大小 解 ： 此题可用变质量物体运动微分方 L 程求解，用链条为系统，向下为x正向 正向， 程求解，用链条为系统，向下为 正向，
系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律 动量守恒定律. 系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律.
r 条件 ∑F = 0 i r r 量 定律 P = å mvi =常 i
直角坐标系下的分量形式
i
ΣF = 0 时 ix
px = Σmivix
py = Σmiviy
=常量
ΣF = 0时 iy
(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程 (2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程
r r 的方向， 冲量 I 的方向一般不是某一瞬时力 F 的方向，而 i r t2 r 的方向。 是所有元冲量 Fd t的合矢量 ∫ F dt 的方向 t1
I x = ∫t1 F dt = mv2x − mv x 1 x