惠州一中2019级高一年级期末考数学试题

惠州一中2019级高一年级期末考数学试题命题人：龙文德 审题人：许红平 考试时间：120分钟第I 卷 客观题部分（共70分）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知),1(),2,1(λ=-=→→b a ，若→a 与→b 垂直，则λ=（ ）． A ．21 B ．21- C ．2 D ．-2 2．函数f(x)=2x +3x －6的零点所在的区间是（ ）． A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，3] D ．[3，4] 3．已知A （－1，－1），B （1，3），C （2，y ）三点共线，则y=（ ）． A ．－5 B ．5 C ．4 D ．－4 4．下列各式中值为零的是（ ）．A ．log a aB ．log a b －log b aC ．22log (sin cos )a αα+D ．2log (log )a a a5．已知|| =3，|| =8且与的夹角为120°，则在方向上的投影为（ ）．A ．4B ．23 C ．23- D ．－4 6．下列函数中，图象的一部分符合右图的是( )．A ．y ＝sin(x ＋π6)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝cos(4x －π3)D ．y ＝cos(2x －π6)7．化简-sin181°sin119°+sin91°sin29°等于（ ）． A ．21-B ．23- C ．21 D ．23 8．已知432παβπ<<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，则α2sin 的值为（ ）． A ．6556 B ．6556- C ．6516D ．6516-9．已知→m 、→n 是夹角为60°的两个单位向量，则→a =2→m +→n 和→b =3→m -2→n 的夹角是（ ）． A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°10．定义在R 上的偶函数f (x)，满足f (x+2)=f (x)，且f (x)在[-3,-2]上是减函数，又α、β是锐角三角形的两个内角，则（ ）．A ．)(sin )(sin βαf f >B ．)(cos )(cos βαf f <C ．)(cos )(sin βαf f >D ．)(cos )(sin βαf f <二、填空题：本题共4道小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卷的横线上．11．若点)3,2(m m P -，0<m 在角θ的终边上，则=θcos ___ ____ ． 12．已知扇形的圆心角为72°，半径为20cm ，则扇形的面积为____ ____ ．13．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π， 则M ∩N= .14．函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①图象C 关于直线x ＝76π对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③由y ＝3sin2x的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ；④函数f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数.第Ⅱ卷 主观题部分（共80分）三、解答题：本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分12分）已知函数x 3q 2px )x (f 2-+=是奇函数，且35)2(f -=，求f(x)的解析式．16．（本小题满分12分）如图，用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ， 求此框架围成的面积y 与x 的函数式y=f (x)，并写出它的定义域.17．（本小题满分14分）已知向量(3cos in )a x x =-s ，(1cos ,cos )b x x =+，设()f x a b =⋅. （1）求()f x 的最小正周期；（2）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域； （3）求()f x 在区间[0,]π上的单调递增区间．18．（本小题满分14分）在平行四边形ABCD 中，设边AB 、BC 、CD 的中点分别为E 、F 、G ，设DF 与AG 、EG 的交点分别为H 、K ，设AB →＝→a ，BC →＝→b ，试用→a 、→b 表示GK →、AH →.19．（本题满分14分）已知函数y=sin （2x ）－8（sin x ＋cos x ）＋19（0≤x ≤π），求函数y 的最大值与最小值． 20．（本小题满分14分） 定义在)1,1(-的函数)(x f 满足：①对任意)1,1(,-∈y x 都有⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+xy y x f y f x f 1)()(；②当10<<x 时，0)(>x f ．回答下列问题． （1）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数)(x f 在)1,1(-上的单调性，并说明理由； （3）若31)71(=f ，试求)171(2)91()32(f f f --的值．惠州一中2019级高一年级期末考数学测试答题卷（2019.1.17）第I 卷 客观题部分（共70分）二、请将填空题答案填入下列横线上（每小题5分，共20分） 11、 ． 12、 ．13、 ． 14、 ．第Ⅱ卷 主观题部分（共80分）三、解答题：本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）已知函数x 3q 2px )x (f 2-+=是奇函数，且35)2(f -=，求f(x)的解析式.班级 姓名 考号 试室号 座位号 ····················密····························封····························线·················16．（本小题满分12分）如图，用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ， 求此框架围成的面积y 与x 的函数式y=f (x)，并写出它的定义域.17．（本小题满分14分）已知向量(3cos in )a x x =-s ，(1cos ,cos )b x x =+，设()f x a b =⋅. （1）求()f x 的最小正周期；（2）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域； （3）求()f x 在区间[0,]π上的单调递增区间．18．（本小题满分14分）在平行四边形ABCD 中，设边AB 、BC 、CD 的中点分别为E 、F 、G ，设DF 与AG 、EG 的交点分别为H 、K ，设AB →＝→a ，BC →＝→b ，试用→a 、→b 表示GK →、AH →.19．（本题满分14分）已知函数y=sin （2x ）－8（sin x ＋cos x ）＋19（0≤x ≤π），求函数y 的最大值与最小值．20．（本小题满分14分）定义在)1,1(-的函数)(x f 满足：①对任意)1,1(,-∈y x 都有⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+xy y x f y f x f 1)()(；②当10<<x 时，0)(>x f ．回答下列问题． （1）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数)(x f 在)1,1(-上的单调性，并说明理由； （3）若31)71(=f ，试求)171(2)91()32(f f f --的值．惠州一中2019级高一年级期末考数学测试题答案一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 1．【解答】A ．11202λλ-=∴=． 2．【解答】B ．∵(1)0,(2)0(1)(2)0f f f f <>∴⋅<故选B. 3．【解答】B ．AB →=(2,4), BC →=(1,y-3),2(y-3)-4=0,y=5．4．【解答】C ．22log (sin cos )log 10a a αα+==．5．【解答】C ．||03cos 3cos1202θ==-． 6．【解答】D ．由图象知T ＝4(π12＋π6)＝π，故ω＝2，排除A 、C.又当x ＝π12时，y ＝1，而B 中的y ＝0，故选D.7．【解答】C ．sin1°cos29°+cos1°sin29°= sin(1°+29°)= sin30°=12． 8．【解答】B ．∵432παβπ<<<，∴40πβα<-<，23παβπ<+<，∴135)sin(=-βα，54)cos(-=+βα．∴)]()sin[(2sin βαβαα++-=6556)sin()cos()cos()sin(-=+-++-=βαβαβαβα．9．【解答】B ．→a ·→b =(2→m +→n )(3→m -2→n )=4-→m ·→n =4-12=72,|, |,071cos ,602θθ===．10．【解答】C ．,1sin sin()cos 022ππαβαββ+>∴>>-=>．二、填空题：本题共4道小题，每小题5分，共20分． 11．【解答】)3,2(m m P -，0<m 在第二象限， 且m m m r 13)3()2(22-=-+=，故有131321322cos -=-==mm r m θ． 12．【解答】80π．∵72°＝π180×72＝2π5，∴L ＝2π5×20＝8π，S ＝12L ·r＝12×8π×20＝80π(cm 2)． 13．【解答】可根据正弦函数图象和余弦函数图象，找出集合N 和集合M 对应的部分，然后求M ∩N.首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y ＝12.如图．结合图象得集合M 、N 分别为：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π，得 M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤5π6. 14．【解答】②④. 77()3sin(2)3sin 20663f ππππ=⨯-==，①错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝3sin π＝0，②正确；由y ＝3sin2x 的图象向右平移π6个单位长度可以得到图象C ，③错误．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π12≤x ≤k π＋5π12，∴f(x)的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)，令k ＝0得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12，④正确；三、解答题：本题共6小题，共80分．15．【解答】x32x 2)x (f 2-+=.∵f(x)是奇函数，∴对定义域内的任意的x ，都有)x (f )x (f -=-， ………4分 即x3q 2px x 3q 2px 22-+-=++，整理得：x 3q x 3q +-=+，∴q=0 ………8分又∵35)2(f -=，∴35624)2(-=-+=p f ，解得p=2 ∴所求解析式为x32x 2)x (f 2-+= . ………12分16．【解答】由已知，得 AB=2x, CD =πx,于是AD=22x x L π--， ……………4分∴222L x x y x π--=⋅22xπ+，即y =Lx x ++-224π. ……………8分 由⎪⎩⎪⎨⎧>-->02202x x L x π，得0<x<,2+πL 函数的定义域为（0，2+πL）. ………………12分 17．【解答】()f x a b =⋅1)(1cos )sin cos x x x x -++=2sin cos x x x +1cos 2)sin 22x x =-+=sin(2)3x π+ ………4分 （1）()f x 的最小正周期为2.2T ππ== ………6分 （2）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，sin 232x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ∴()2f x ⎡∈-⎢⎣⎦………11分（3）由Z k k x k ∈+≤+≤+-,223222πππππ，得Z k k x k ∈+≤≤+-,12125ππππ [0,]x π∈ ()f x ∴的单调增区间为],127[]12,0[πππ和 ………14分 18．【解答】如图所示，因为AB 、BC 、CD的中点分别为E 、F 、G ，所以GK →＝ GD →＋12DF →＝GD →+12(CF →-CD →)＝－12→a +12（-12→b +→a ）＝－14→b .………5分因为A 、H 、G 三点共线，所以存在实数m ，使AH →＝mAG →＝m （→b +12→a ）=m →b +12m →a ；又D 、H 、F 三点共线，所以存在实数n ，使DH →＝nDF →＝n （→a -12→b ）= n →a -12n →b .因为AD →＋DH →＝AH →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 2→b ＋n →a ＝m →b ＋m 2→a ………10分因为a 、b 不共线，221mn m n ==-∴且解得m ＝45，即AH →＝45（→b +12→a ）＝25→a ＋45→b ． ………14分19．【解答】令t=sin x ＋cos x ，则t=2sin （x ＋4π）， ………4分 ∵0≤x ≤π，∴4π≤x ＋4π≤45π，22-≤sin （x ＋4π）≤1，即－1≤t ≤2． 由t=sin x ＋cos x 两边平方得2sin xcos x=t 2－1，∴sin 2x=t 2－1 ………10分数学试卷y= t 2－1－8t ＋19，即f （t ）=（t －4）2＋2，∵－1≤t ≤2 ∴y max = f （－1）=27 y min = f （2）=20－82 ………14分20．【解答】（１）函数定义域为()1,1-．令0==y x 得0)0(=f ，令x y -=，则有0)()(=-+x f x f ，得)()(x f x f -=-，所以函数)(x f 在区间()1,1-上是奇函数。