17.2一元二次方程的解法(7复习课2)
17.2一元二次方程的解法--公式法
x2 4、写出方程的解： x1、
26
三、当 b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数
根。 当 b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
当 b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根。
四、计算一定要细心，尤其是计算b2-4ac的值和代 入公式时，符号不要弄错。
提高练习 已知方程 2 x 2 7 x c 0, b2 4ac 0, 求c和x的值.
做一做
1.用公式法解下列方程：
(4)4x2-6x=0 解:
a 4, b 6, c 0 b 4ac 36 0 36 0
2
(5)6t2 -5 =13t
解 : 6t 2 13t 5 0 a 6, b 13, c 5 b 2 4ac 169 120 289 0
. x+2= 0.
解: a 1, b 2 2 , c 2 b 4ac 8 8 0
2
(2 2 ) 0 2 2 0 x 2 2
x1 x2 2.
思考题 1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
x2 4、写出方程的解： x1、
12
用公式法解方程：
用公式法解方程：
x2 – x 解：方程两边同乘以3, 得 2 x2 -3x-2=0
=0
x2 +3 = 2
x2 -2
a=1，b=-2
解：移项，得
x (默3)
x+3 = 0
，c=3 = = =
a=2，b= -3，c= -2.
∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25. 0 ∴x= = = ∴x=
一元二次方程的解法复习课
2
x2 4x 4 5 4
2
x 22 13
2 x2
26
2
x1
26 2 2
x2
26 2 2
例题讲解
四 公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
x
2 9
2
4 17
.
4
4 16
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因 式,右边合并同类;
x 9 17 . 44
5.开方:两边开平方;
x 9 17 .
44
x1
9
4
17
;
x2
用配方法解一元二次方程的方法的助手:
平方根的意义: 如果x2=a, 那么x= a.
完全平方式:式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
用配方法解一元二次方程：
2x2-9x+8=0
解 : x2 9 x 4 0.
x2
9
2 x
4.
x2
9
2 x
9
2
9
2
4.
解：原方程变形为： (2 x)2 9 16
直接开平方得：
2 x 3
4
x1
5 4
x2
11 4
（2） x(x 2) 1 0
上海八年级数学上---17.2(2)一元二次方程的解法(含答案)
17.2（2）一元二次方程的解法一、填空1. 把下列多项式分解因式：(1)x 2＋5x ＋6＝__________，(2)x 2－5x ＋6＝__________，(3)x 2－5x －6＝__________，(4)x 2＋5x －6＝__________.2. 方程x 2＝2x 的根是__________．3. 方程(x －2)(2x －3)＝0的根是__________．4. 方程(x －5)2＝0的根是__________．5. 方程x 2－x －42＝0的根是__________．6. 已知3x 2y 2－xy －2＝0，则x 与y 之积等于__________．7. 写出一个以1、－2为根的一元二次方程__________．8. 关于x 的一元二次方程(m ＋2)x 2＋x －m 2－5m －6＝0有一个根为0，则m ＝______.9．方程230x -=的解是 。
10．方程2210x x -+=的解是 。
11．若代数式(2)(1)x x -+的值为0，则x = 。
12．方程2(3)128(3)x x -+=-的实数根是 。
二、解答题13．解方程：2(1)0x = (2)3(23)1x x -=(3)3(2)5(2)y y y +=+ 22(4)(32)4(2)x x -=-2(5)(1(1x x -= 2(6)(21)3(21)20x x ++++=（7）－x 2＋2x ＋3＝0 （8）(x －3)2－3(3－x )－4＝0（9）. (x －6)x －2x ＋12＝0 （10）3x 2－2x ＝2x 2＋3x14．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程02092=+-x x 的一个根，求这个三角形的周长。
15．已知x 、y 为实数，且(x 2＋y 2)(x 2＋y 2＋2)＝3，求x 2＋y 2的值．三、提高题：16．已知22320a ab b +-=，求代数式22a b a b b a ab +--的值17.2（2）一元二次方程的解法一、1.（1）（x+2）（x+3）（2）（x-2）（x-3）（3）（x+1）（x-6）（4）（x-1）（x+6）2.=0 =23.==4.==55.=—6 =76. 1或者－7.（x—1）（x+2）=0 8.—3 9.=0=10.==1 11.2或—1 12.=9 =5二、13．（1）=0 =（2）121 3x x==（3）== －2（4）=—2 =（5）=0 =—3—2（6）=—1 =（7）=—1 =（8）=4 =（9）=2 =（10）=0 =+214.18 15. 1三、16.2或者—3。
17.2(3)一元二次方程的解法-配方法
(2) 2x2 ＋ 3x －1=0
第10页，共13页。
1：用配方法解下列方程：
(1) x2＋12x =－9
No (2) －2x2＋4x－3=0
(3) 4x2＋12x－7=0
Image (4) 1 x2 3x 1 0 2
2. 用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－3k＋5的值必定大于零.
(1) x2 6x 7 0
(2) x2 3x 1 0
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(1) x2 6x 7 0
解（1）移项，得 x2 6x 7
配方，得
x2 6x 32 7 32
则 (x 3)2 16
即 x 3 4
x 3 4或 x 3 4
x 7或 x 1
x1 7, x2 1 是根原方程的
第7页，共13页。
(2) x2 3x 1 0
解：移项 x2 3x 1
配方
x2
3x
3 2
2
1
3 2
2
得
(x 3)2 5
2
4
即
x 3 5
2
2
x1
3 2
5 2
,
x2
3 2
5 2
是原方程的 根
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用配方法解一元二次方程的步骤:
1、通过移项，两边同除以二次项系数，将原方程变形
(4)
y2
1 2
y
（__14_）_2
(
y
__14 _)2
它们之间有什么关系?
第3页，共13页。
x2 6x 4 0
想一想如何x2解 6方x移程项x42 6x 4 0 ?
两边加上32,使左边配成完 全平方式
八年级数学下册17、2一元二次方程的解法17、2、2配方法新版沪科版
8．【合肥瑶海区期中】若方程x2－8x＋m＝0可以通过配方
写成(x－n)2＝6的形式，则x2＋8x＋m＝5可以配成( D )
A．(x－n＋5)2＝1
B．(x＋n)2＝1
C．(x－n＋5)2＝11 D．(x＋n)2＝11
9．【原创题】若x2＋4与2x－12为某个正数的两个不同的 平方根，则这个正数为_6_4_或__4_0_0___________．
6．【中考·聊城】用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0， 配方正确的是( A )
A.x－342＝1176 C.x－322＝143
B.x－342＝12 D.x－322＝141
7．【中考·临沂】一元二次方程x2－4x－8＝0的解是( B ) A．x1＝－2＋2 3，x2＝－2－2 3 B．x1＝2＋2 3，x2＝2－2 3 C．x1＝2＋2 2，x2＝2－2 2 D．x1＝2 3，x2＝－2 3
【点拨】∵2x2＋8x－32＝0，∴x2＋4x＝16，∴x2＋4x＋ 4＝20， ∴(x＋2)2＝20，∴p＝2，q＝－20， ∴直线表达式为y＝2x－20，∴直线经过第一、三、四象 限，不经过第二象限．
14．用配方法解方程：(2x＋3)(x－6)＝16.
解：(2x＋3)(x－6)＝16，
2x2－9x＝34，x2－92x＝17，
2．【2021·丽水】用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方
结果正确的是( D )
A．(x－2)2＝5
B．(x－2)2＝3
C．(x＋2)2＝5
D．(x＋2)2＝3
3．用配方法解方程2x2－x－6＝0开始错误的步骤是(
2x2－x＝6，
① ··
C
)
x2－12x＝3，
②
17.2一元二次方程的解法__因式分解法
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A =0或 一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= B解
例 解下列方程
1、x2－3x－10=0
解：原方程可变形为 (x－5)(x+2)=0 x－5=0或x+2=0 ∴ x1=5 ,x2=-2
解题步骤演示
(默5)
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为
可以用分解因式的方法求解.这种用分解
因式解一元二次方程的方法称为因式分
解法. 提示:
1.用因式分解法的条件是:左边能分解， 右边等于零;
2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于 零,那么至少有一个因式等于零.”
9x2－25=0
解：原方程可变形为
(3x+5)(3x－5)=0
3X+5=0 或 3x－5=0
x1
5 3
,
x2
5. 3
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)( 2 x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
简记歌诀： (默4)
右化零 两因式
左分解 各求解
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
由x 5 3，得x 8;
( )
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
17.配方法课件14张初中数学沪科版八年级下册
的是一次项系数一半的平方.
三、典型例题
议一议：说出解一般二次项系数为1(如x2+6x+4=0)的一元二次方程的基 本思路是什么？ 把方程化为（x+n)2=p的情势，将一元二次方程降次，转化为一元一次 方程求解．
对一个一元二次方程进行配方，使它出现完全平方式后， 再直接开平方求解的方2+6x+4=0可以逆过程最后开 平方求解
三、典型例题
解方程(2)x2+6x+4=0
(2)x2+6x+4=0
移项，得x2+6x=-4
两边同时加上9，得x2+6x+32=-4+32 配方
即(x+3)2=5
开平方，得x+3= 5
注意：配方时, 等式两边同时加上
解得x1 3 5,x2 3 5
【当堂检测】
1.如果x2-8x+m=0可以通过配方写成(x-n)2=6的情势，那么m、n的值分别
为( C ) A.10,-4
B.-10,4
C.10,4
D.-10,-4
提示：将(x-n)2=6展开对照系数得出结果.
【当堂检测】
2.解下列方程： (1)x2+2x=3
(2)x2-4x-7=0
解：(1)配方，得x2+2x+1=3+1 (2)移项，得x2-4x=7
即(x+1)2=4
配方，得x2-4x+4=7+4
开平方，得x+1=±2
即(x-2)2=11
解得x1=1,x2=-3
开平方，得x-2= 11 解得 x1 2 11,x2 2 11
三、典型例题
例2.解方程(1)2x2+x-6=0
17.2(4)一元二次方程的解法(求根公式法)-沪教版(上海)八年级数学第一学期同步练习
17.2（4）一元二次方程的解法（求根公式法）一、选择题1、用公式法解方程x x 12432=+，下列代入公式正确的是（ ）A 、324341212221⨯⨯⨯-±=、xB 、32434-1212-221⨯⨯⨯±=、x C 、324341212221⨯⨯⨯+±=、x D 、32434-12--12--221⨯⨯⨯±=）（）（、x 2、方程的解是1432=+x x （ ） A 、2653±=x B 、2653±-=x C 、2233±=x D 、2233±-=x 二、填空题3、一元二次方程)04(022≥-=++ac b c bx ax 的解是_____________________ 4、方程的值为中，ac b x x 40222-=-+_________________ 5、方程__________4232322的值为中，ac b x x -=+6、若代数式1252422+--x x x 与的值互为相反数，则x 的值为____________________三、解答题7、解方程（用公式法）（1）0432=--x x （2）)1(22-=x x（3）010342=+-x x （4）0235-2=+-x x（5）07252=--x x（6）22121x x =-）（（7）03322=++x x（8）22212)52()72(x x x =+--（9）017222=++x x（10）x x x 22)1)(1(=-+、8、用公式法解下列关于x 的方程：（1）22a x x =-（2）)0(031120222≠=-+m n mnx x m17.2（4） 一元二次方程的解法（求根公式法）1、A2、B3、a ac b b x 242-±-=4、95、366、1,32- 7、（1）由于△=9+16=25，则2253±=x ，所以1,421-==x x （2）原方程变为0222=+-x x ，则△=4-8=-4<0，所以原方程无实数根 （3）由于△=48-40=8，则2322834±=±=x （4）原方程等价于49409,02352=+=∆=-+则x x ，从而10493±-=x ，所以1,5221-==x x （5）由于()()14475422=-⨯⨯--=∆，则10122±=x ，所以1,5721-==x x （6）原方程等价于0142=+-x x ，则()01514412<-=⨯⨯--=∆，所以原方程无实数根 （7）由于()0314322=⨯⨯-=∆，所以321-==x x （8）原方程变为()242144,02422=-⨯⨯-=∆=-+则x x ，所以62262412244±-=±-=⨯±-=x （9）由于△=28-8=20，所以25745272222072±-=±-=⨯±-=x （10）原方程变为1248,01222=+=∆=--则x x ，所以3221222±=±=x 8、（1）原方程变为2411,41,02222a x a a x x +±=+=∆=--所以则 （2）由于()()()()222219320411mn n m mn =-⨯⨯-=∆，则22021911m mn mn x ⨯±-=，所以m n x m n x 43,521-==。
17.2.2一元二次方程的解法-公式法（教案练习）
17.2.2一元二次方程的解法-公式法一. 选择题1. 用公式法解一元二次方程2x 2+3x=1时，化方程为一般式当中的a 、b 、c ，依次为( )A.2,-3,1B.2,3,-1C.-2,-3,-1D. -2,3,12. 利用求根公式求方程5x 2+0.5=6x 的根时，其中a=5，则b 、c 的值分别是（ ）A.0.5,6B. 6,0.5C. -6,0.5D.-6,-0.53. 以x = ） A.x 2+bc+c=0 B.x 2+bx-c=0C.x 2-bx+c=0D.x 2-bx-c=04. 用公式法解方程x 2-4x-1=0，其中b 2-4ac 的值是( )A.16B.24C.8D.45. 用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值，对于方程-4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是( )A.a=-4,b=5,c=3B. a=-4,b=-5,c=3C a=4,b=5,c=3 D. a=4,b=-5,c=-3二.填空题1. 写出方程x 2+x-1=0的一个正根 .2. 方程x 2-5x+2=0的解是 .3. 一元二次方程3x 2-4x-2=0的解是 .4. 一元二次方程260x +-=的解是 .5. 210-=-的解是 .三.解答题1. 用公式法解方程：2x(x-3)=x 2-12. 用公式法解方程：220x -+=3. 用公式法解方程2x2-6x+3=0，并求根的近似值.4. 已知实数a、b满足条件a2-7a+2=0，b2-7b+2=0,求ab的值？参考答案一.1.B 2C .3.D 4.B 5.B 二.11,2-.2. 12x x ==3.4. 12x ==5. 12x x == 三 1.解：方程整理为x 2-6x+1=0，a=1,b=-6,c=1,212641132x x x ∆--⨯⨯∴=±∴=+=-＝（）＝，333 2.解：1,2,a b c ==-=21241210,2x x x ∆--⨯⨯∴=∴==＝（＝18-8=10，3.解：2x 2-6x+3=0,a=2,b=-6,c=3, 221212464234.940.44.b ac x x x x x ---⨯⨯∴=∴==∴≈≈-＝（）＝60，，。
沪科版八年级数学下册目录
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数学教材是八年级数学学习的重要组成部分，其中课本目录收录了哪些知识呢?小编整理了关于沪科版八年级数学下册的目录，希望对大家有帮助!
沪科版八年级数学下册课本目录
第16章二次根式
16.1 二次根式
16.2二次根式的运算
第17章一元二次方程
17.1 一元二次方程
17.2一元二次方程的解法
17.3一元二次方程的根的判别式
17.4一元二次方程的根与系数的关系
17.5 一元二次方程的应用
第18章勾股定理
18.1 勾股定理
18.2 勾股定理的逆定理
第19章四边形
19.1 多边形内角和
19.2平行四边形
19.3 矩形菱形正方形
19.4 中心对称图形
19.5梯形
第20章数据的初步分析
20.1数据的频数分布
20.2数据的集中趋势与离散程度
20.3综合与实践体重指数
泸科版八年级数学下册知识点：二次根式的加法和减法
1 同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2 合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
二次根式的混合运算
1确定运算顺序
2灵活运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大多数分母有理化要及时
5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。
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当m=
1 2
时，x=0。
3、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于x的一元二次方程则 m ≠－ 2 。 4、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则 m= －2 . ５、填空 一元二次方程 3x² -1=0 一般形式 3x² -1=0
二次项 系数 一次项 系数
3 32 9 3 32 75 配方，得 x ＋ x＋ ＝ ＋ ，即x＋ ＝ ， 2 2 16 4 16 4
3 5 3 两边开平方，得 x＋ ＝± ， 4 4 3 3 解得 x1＝ 3，x2＝－ . 2
方法二(公式法)： 整理，得 2x2＋ 3x－9＝0， 因为 a＝2，b＝ 3，c＝－9，b2－4ac＝( 3)2－4×2×(－9)＝ 75>0， －b± b2－4ac － 3± 75 － 3± 3 5 所以 x＝ ＝ ＝ ， 2a 4 2×2 3 3 解得 x1＝ 3，x2＝－ . 2
方法三(因式分解法)： 移项，得 3(x－ 3)2－5x(x－ 3)＝0， 因式分解，得(x－ 3)[3(x－ 3)－5x]＝0， 即(x－ 3)(2x＋3 3)＝0， 所以 x－ 3＝0 或 2x＋3 3＝0， 3 3 解得 x1＝ 3，x2＝－ . 2
方法技巧 解方程时，若方程缺少常数项或方程的右边为 0，优先考虑因式 分解法；(x－m)2＝n 或 a2＝b2 结构时优先考虑直接开平方法；当方程 的二次项系数为 1，一次项的系数是偶数时，优先考虑配方法；以上 三种方法都不易求解时，考虑用公式法求解．
6.x1 5; x2
1 3 .
6 .( x 2 ) 2 x 3 ;
2 2
7 .( x 2 ) x 3 12 ; 8 .x 5 2 x 8 0 .
2
7.x1 1, x2 6.
8.x1 4
2 ; x2
2.
下课了!
我最棒
,用分解因式法解下列方程
4. ( 4 x 2 ) x ( 2 x 1) 5 . 3 x ( x 2 ) 5 ( x 2 ); ;
6 .( 3 x 1) 5 0 ;
2 2
8 .( x 1) 3 x 1 2 0 ;
2
7 . 2 ( x 3 ) x x 3 ;
7、已知a，b为直角三角形两直角边，且(ab＋1)(ab－2) 3 ＝4，则三角形的面积为________． 2
参考答案： 2 1.x1 5; x2 2. x (5 2 ) x 5 2 0 ; 1. 2 x ( 3 5 ) x 15 0 ； 2.x1 5; x2 3. 2. 3.x1 3; x2 2. 2 3 . x ( 3 2 ) x 18 0 ; 1 4 4.x1 ; x2 . 2
10.x1
1 4 ; x2 3 4 .
独立 作业
1 . 4 x 1 ( 5 x 7 ) 0 ;
8.解下列方程
参考答案：
4 5 2 2.x1 ; x2 1. 3 3 1 3.x1 ; x2 . 2 2 4.x1 3; x2 9.
•
结束寄语
配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用分解因式法简 便快捷地求解.
６、①如果m2－km＋1是完全平方式，那么k＝________. ±2
9 ②若4a2－12ab＋mb2是完全平方式，则m＝________.
±6 ③若x2＋mx＋9＝(x＋k)2，则m＝_____，k＝______. ±3
6、若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x＋y＋5)＝42， 4 则矩形的周长为________．
2
2 7 5 5.x1 2; x2 . 3 4 6.x1 2; x2 . 3 7.x1 3, x2 6.
9 . x 12 x 27 0 ;
2
10 . 2 ( x 3 ) x 9 .
2
8.x1 0; x2 1. 9.x1 3, x2 9.
1.x1
1
; x2
7
.
2 . 3 x x 1 2 2 x ;
3 .( 2 x 3 ) 4 ( 2 x 3 );
2
4 .2 ( x 3) x 9;
2 2
5 . 5 ( x x ) 3 ( x x );2 2源自5.x1 0; x2 4.
易错警示 当一元二次方程二次项系数含参数时，切记二次项系数不能 为 0，而且“未知数的最高次数是 2”指的是将方程化简后未知 数的最高次数是 2，不能从表面形式上判断．
2、已知关于x的方程（m² -1）x² +（m-1）x-2m+1=0， 当m≠±1 时是一元二次方程，当m= -1 时是一元一次方程，
一元二次方程的解法复习 (2)
┃考点攻略┃
► 考点一 一元二次方程的定义
例 1 已知方程(m＋2)x ＋2mx－5＝0 是关于 x 的一元二次方
m
程，则 m＝________.
m＋2≠0， m≠－2， [解析] 由题意得 所以 解得 m＝2. |m|＝2， m＝± 2，
常数项
3x（x-2）=2（x-2） 3x² -8x+4=0
3 3
0 -8
-1 4
►
考点二
一元二次方程的解法
例 2 分别使用配方法、公式法、因式分解法解方程： 3(x－ 3) ＝5x(x－ 3)．
2
解：方法一(配方法)： 整理，得 2x2＋ 3x＝9， 化二次项系数为 1，得 x2＋
2
3 9 x＝ . 2 2