大学数学概率论2第2讲(第一章)

第二讲 Ch.1 随机事件与概率
§1.1 随机事件及其运算（续）
3 互不相容关系(也称互斥关系) ①定义与记号：
若事件A 与事件B 不能同时发生，则称事件A 与B 互不相容.记
Φ=⋂B A
(在讲解交运算后回头理解此记号). ②用集合论语言对互斥关系的描述：
若事件A 与事件B 没有相同的样本点，则称事件A 与B 互不相容. ③V enn 图表示：
Φ=⋂B A
④例子：对于例1.1.2中的(2)
2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若记
A ＝“掷出奇数点”，
B ＝“掷出偶数点”， 则A 与B 互不相容. 1.1.6 事件的运算
Remark 参照集合的运算给出事件的并、交、差及余四种运算. 1 事件A 与B 的并 ①定义与记号：
“事件A 与B 至少发生一个”这一新事件称为事件A 与B 的并.记作B A ⋃.
A
B
Ω
②用集合论语言对事件A 与B 的并的描述：
事件A 与B 所包含的样本点的并集对应的事件称为事件A 与B 的并.
③V enn 图表示：
B A ⋃
④例子：对于“例1.1.2”中的(2)
2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若记
A ＝“掷出奇数点”，
B ＝“掷出的点数不超过3”， 则B
A ⋃
＝{1,2,3, 5}.
2 事件A 与B 的交 ①定义与记号：
“事件A 与B 同时发生”这一新事件称为事件A 与B 的交. 记作
B A ⋂.简记为AB .
②用集合论语言对事件A 与B 的并的描述：
事件A 与B 所包含的样本点集的交集对应的事件称为事件A 与
B 的交.
③V enn 图表示：
AB
④例子：对于例“1.1.2中”的(2) 2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若记 A ＝“掷出奇数点”， B ＝“掷出的点数不超过3”， 则AB ＝{1,3}.
B
A
Ω
Remarks
i)事件A 与B 互斥⇔Φ=AB .
ii)并与交的推广：如果事件列1A ，2A ，…为同一样本空间下的
事件列，则分别称 n
i i A 1
=， +∞
=1i i A 为有限并和可列并；而分别称 n
i i A 1
=，
+∞
=1
i i
A
为有限交和可列交.
3 事件A 对B 的差 ①定义与记号：
“事件A 发生而事件B 不发生”这一新事件称为事件A 对B 的差.记作B A -.
②用集合论语言对事件A 对B 的差的描述：
从事件A 的样本点中去除属于事件B 的样本点后所剩的样本点集对就的事件称为事件A 对B 的差. ③V enn 图表示：
B A - ④例子：
i)对于“例1.1.2”中的(2)
2
Ω
＝{1,2,3,4,5,6}，若记
A ＝“掷出奇数点”，
B ＝“掷出的点数不超过3”， 则B A -＝{5}.
ii)设X 为..V R ，b a ,为实数，且a ＜b ,则
""""""a X a X a X ==<-≤；
ΩA
B
""""""b X a a X b X ≤<=≤-≤.
4 对立事件——也称余运算(也称对立关系) ①定义与记号：
“事件A 不发生”这一新事件称为事件A 的对立事件.记作A . ②用集合论语言对事件A 的对立事件的描述：
从Ω中去除属于事件A 的样本点后所剩的样本点集对应的事件称为事件A 的对立事件. ③V enn 图表示：
④例子：对于例“1.1.2中”的(2)2
Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若记
A ＝“掷出奇数点”， 则A ＝{1, 3, 5}，而A ＝{2,4,6}.又若记
B ＝“掷出的点数不超过3”，
则B ＝{1, 2, 3}，而B ＝{4, 5,6} Remarks
i)易见：A A -Ω=， A A -Ω= (体现A 与A 互为余运算的结果). ii)对同一随机现象中的A 与A 发生情况的描述：
A 发生，则A 不发生；A 不发生，则A 发生，反之亦然(表明A 与
A 具有对立关系).
iii)事件A 与B 互为对立事件的充要条件是(有些教材以此为对立事件的定义)：
Ω=AB ，Ω=B A .
ΩA
__
A
iv)对事件A 与B 容易证明：
B A B A =-，A A =，Φ=Ω，Ω=Φ.
☆事件的关系与运算综合举例
例1.1.8 从数字1，2，3，4，5，6，7，8，9中可重复地任取n 次(n ≥2)，每次只取1个数字.若记
A ＝“所取n 个数字之积能被10整除”，
B ＝“所取n 个数字中无数字5”， C
＝“所取n 个数字中无偶数”.
则容易看出事件A ＝“所取n 个数字之积不能被10整除”与事件B ，
C
有直接联系，事实上：A ＝C B (证明？----讨论题2).
例1.1.9 设A 、B 、C 为同一Ω下的三个事件，则可用A 、B 、C 及它们的对立事件的运算表示以下新事件： (1)事件“A 、B 发生， C 不发生”； (2)事件“A 、B 、C 至少有一个发生”； (3)事件“A 、B 、C 至少有两个发生”； (4)事件“A 、B 、C 恰好有两个发生”； (5)事件“A 、B 、C 同时发生”； (6)事件“A 、B 、C 都不发生”； (7)事件“A 、B 、C 不全发生”. 解 (1)可表为C AB ，或C
AB
-
(2)可表为
C
B A ⋃⋃，OR AB
C BC A C B A C AB C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃；
(3)可表为AC
BC AB
⋃⋃，OR ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃；
(4)可表为BC A C B A C AB ⋃⋃； (5)可表为ABC ； (6)可表为C B A ； (7)可表为
C B A ⋃⋃，OR BC
A C
B A
C AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃.
5 事件的运算性质
①交换律 A B B A ⋃=⋃，BA AB =；
②结合律 )()(C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃，)()(BC A C AB =； ③分配律 BC AC C B A ⋃=⋃)(，))(()(C B C A C AB ⋃⋃=⋃； ④对偶律(德莫根公式----好用！)
B A B A =⋃，B A AB ⋃=.
推广：
n
i i
n
i i
A
A
1
1
===
， +∞
=+∞
==
1
1
i i
i i A
A ；
n
i i
n i i
A
A
1
1
===
， +∞
=+∞==
1
1
i i
i i A
A .
选证 B A B A =⋃.
证法1 用集合论语言叙述的证明过程见P. 8. 证法2 用概率论语言叙述的证明过程如下： 事件B A ⋃发生⇔事件B A ⋃不发生
⇔事件“A 、B 至少有一个发生”不发生
⇔A、B都不发生⇔A、B同时发生
⇔B
A发生.
可见B
A互相包含，从而证得
A⋃与B
⋃.
A=
A
B
B
Remark 用德莫根公式可解决以下问题：
事件“甲产品畅销，而乙产品滞销”的对立事件是“” .
1.1.7 事件域(理论上为概率定义作准备)
①事件域的定义：P. 9.事件域的记号F，可测空间记号)
(F
Ω.
,
②常见的4种事件域：
例1.10 P.9.
本节课外作业P.9-11.
1.(1)，(3)
4.(1) 6.
3. 9.。