2016_2017学年高中数学第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用课件新人教A版选修1_2

4．随机误差产生的原因
1． 回归直线的特征及引起预报值与真实值之间的误差的原 因 (1)回归直线过样本点的中心( x ， y )． (2)在线性回归模型中，随机误差 e 的方差 σ2 越小，通过回 归直线y ＝bx＋a预报真实值 y 的精确度越高．
∧ ∧ ∧
(3)引起预报值y 与真实值 y 之间的误差的原因： 一是随机误差 e，它引起预报值y 与真实值 y 之间的误差； 另一方面，由于a和b为截距和斜率的估计值，它们与真实 值 a 和 b 之间也存在着误差，它们引起了预报值y 和真实值 y 之间的差异．
∧ ∧ ∧
1.对于建立的回归模型进行残差分析，一般
从以下几方面进行： (1) 残差图； (2) 残差平方和； (3) 相关指
数． 2．相关指数R2的作用 利用相关指数R2可以刻画拟合效果的好坏．在线性回归模 型中， R2 的取值越接近 1 ，说明残差的平方和越小，即说明模
型的拟合效果越好．
2．在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相
试求：(1)y与x之间的回归方程；
(2)当使用年限为10年时，估计维修费用是多少？
解析： (1)根据表中数据作散点图，如图所示：
从散点图可以看出，样本点都集中分布在一条直线附近， 因此 y 与 x 之间具有线性相关关系．利用题中数据得： 1 x ＝5(2＋3＋4＋5＋6)＝4， 1 y ＝5(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0)＝5，
答案： 6.5
∧
4．关于 x 与 y 有如下数据： x y
∧
2 30
4 40
5 60
∧
6 50
8 70
为了对 x、y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模 型：甲模型y＝6.5x＋17.5，乙模型y＝7x＋17，试比较哪一个模 型拟合的效果更好．
y i－ y i 2
i＝1
5
∧
解析：
∧
残差图
2 残差平 y － y i i i＝1 ，残差平方和 方和 残差平方和为___________________ 越小 ，模型拟合效果越好 _______
n
∧
y i－ y i 2
i＝ 1
n
∧
相关指 数R2
解释 i＝1 R2＝1_______________________ ，R2表示_______ 预报 变量变化的贡献率，R2越接近于 变量对_________ 1，表示回归的效果越好
∧ ∧ ∧ ∧
④因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程， 所以没有必要进行相关性检验． 其中正确说法的个数是( )
A．1
C．3 解析：
B．2
D．4 ①反映的正是最小二乘法思想，故正确．②反映
的是画散点图的作用，也正确．③反映的是回归模型y＝bx＋a ＋e，其中e为随机误差，故也正确．1.23×4＝0.08， ∴线性回归方程为y ＝1.23x＋0.08. (2)当 x＝10 时，y ＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即当使 用 10 年时，估计维修费用是 12.38 万元．
∧ ∧
∧
残差分析
某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如
下： 次数(x) 成绩(y) 30 30 33 34 35 37 37 39 39 42 44 46 46 48 50 51
关指数 R2 的值分别约为 0.96 和 0.85 ，则拟合效果好的模型是
________． 答案： 甲
非线性回归分析
为了研究某种细菌繁殖个数 y 随时间 x 的变化情况，
收集数据如下： 天数x/天 繁殖个数y/个 1 6 2 12 3 25 4 49 5 95 6 190
(1)用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出上述数
a＝ y －b x ＝－0.003 875， ∴回归方程为y ＝1.041 5x－0.003 875.
∧
(3)残差分析 作残差图如下图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布 在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．
(4)计算相关指数 R2 计算相关指数 R2≈0.985 5.说明了该运动员的成绩的差异 有 98.55%是由训练次数引起的． (5)做出预报 由上述分析可知，我们可用回归方程 y ＝ 1.041 5x － 0.003 875 作为该运动员成绩的预报值． 将 x＝47 和 x＝55 分别代入该方程可得 y＝49 和 y＝57. 故预测该运动员训练 47 次和 55 次的成绩分别为 49 和 57.
解析： 回归直线一定过样本点的中心( x ，y )， 故 C 正确．
答案： C
)
3． 已知某车间加工零件的个数 x 与所花费时间 y(h)之间的 线性回归方程为 y ＝0.01x＋0.5，则加工 600 个零件大约需要 ________小时．
∧
解析： 把 x＝600 代入方程得y＝0.01×600＋0.5＝6.5.
点图，如下图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关
(2)列表计算：
次数 xi 30 33 35 37 39 44 46 50 成绩 yi 30 34 37 39 42 46 48 51 x2 i 900 1 089 1 225 1 369 1 521 1 936 2 116 2 500 x iy i 900 1 122 1 295 1 443 1 638 2 024 2 208 2 550
某班5名学生的数学和物理成绩如下表：
学生
学科 数学成绩(x) 物理成绩(y) (1)画出散点图；
A 88 78
B 76 65
C 73 71
D 66 64
E 63 61
(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．
[思路点拨]
(1)散点图如图．
( x ， y ) ，回归直线过样本 2．变量样本点的中心：_____________ 点的中心．
bx＋a＋e a 和___ 3．线性回归模型y＝______________ ，其中___ b 是模
解释变量 ， 型的未知参数，__ e 称为随机误差．自变量x又称为_________ 预报变量 因变量y又称为______________ ．
1 (2) x ＝5×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2， 1 y ＝5×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
x iyi ＝ 88×78 ＋ 76×65 ＋ 73×71 ＋ 66×64 ＋ 63×61 ＝ 25
i＝1
5
054.
2 2 2 2 2 x2 i ＝88 ＋76 ＋73 ＋66 ＋63 ＝27 174. i＝1 5
xiyi－5 x y
所以b＝
∧
5
i＝ 1 5
2 － 5 x x2 i i＝1
∧
25 054－5×73.2×67.8 ＝ ≈0.625. 27 174－5×73.22
a＝ y －b x ≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 所以 y 对 x 的回归直线方程是 y＝0.625x＋22.05. (3)x＝96，则 y ＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的 物理成绩是 82.
线性回归模型
y＝bx＋a ，其中： 1．回归直线方程：______________
∧ ∧ ∧
xi－ x yi－ y
∧
n
i＝1 n
b＝
y －b x ， ，a＝_________
∧
∧
2 x － x i i＝1
1n xi ni x ＝_____________ ＝1 ，
y
1n yi n ＝________________. i＝1
方程之前必须进行相关性检验，以确定两变量的关系．
答案： C
2．为了研究变量 x 和 y 的线性相关性，甲、乙两人分别利 用线性回归方法得到回归直线 l1 和 l2，已知两人计算过程中 x ， y 分别相同，则下列说法正确的是( A．l1 与 l2 一定平行 B．l1 与 l2 重合 C．l1 与 l2 相交于点( x ， y ) D．无法判断 l1 和 l2 是否相交
xiyi＝2×2.2＋3×3.8＋4×5.5＋5×6.5＋6×7.0＝112.3，
i＝1 5 2 2 2 2 2 2 x ＝ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 6 ＝90， i i＝1
5
xiyi－5 x y
所以b＝
∧
5
i＝ 1 5
2 － 5 x x2 i i＝1
∧
112.3－5×4×5 ＝ ＝1.23， 90－5×42
第一 章
统计案例
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
自主学习•新知突破
1．了解回归分析的基本思想．
2．会求线性回归直线方程．
3．了解残差平方和、相关指数的概念． 4．了解回归分析的基本步骤．
1．在《必修3》中，我们已经学习了两个变量间的相关关 系．利用了什么方法对两个具有线性相关关系的变量进行了研 究？ [提示] 利用了回归分析的方法对两个具有线性相关关系 的变量进行了研究． 2．回归分析的基本步骤是什么？ [提示] ①画出两个变量的散点图； ②求回归直线方程； ③用回归直线方程进行预报．
∵R甲＝1－
2
2 y － y i i＝1 5
5
155 ＝1－1 000＝0.845，
y i－ y i 2
i＝ 1
∧
R乙＝1－
2
y i－ y 2
i＝ 1
5
180 ＝1－1 000＝0.82，
∵84.5%＞82%，∴甲模型拟合的效果更好.
合作探究•课堂互动
线性回归分析
据的散点图；
(2)试求出预报变量对解释变量的回归方程．
[思路点拨] 作散点图 ⇒ 从散点图确定y与x的近似函数关系 ⇒ 变量替换 ⇒ 对新数据求回归直线方程 ⇒ 变量替回得y与x的回归方程