不等式1
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不等式1
二、教师精讲： 例 用不等式表示下列数量关系： x的5倍大于-7; a与b的和的一半小于-1； 长、宽分别为xcm,ycm的长方形的面积小于边长为 acm的正方形的面积.
三、合作探究： 131页：“做一做”
四、展示提升： 131页练习1-2题（先在书上做，后小组展示）
五、方法规律总结： 不等式表示现实世界中同类量的不等关系．在实 数大小的比较中，我们常用不等号连接两个或两个以 上的实数，如-3＞-5．不等式含有不等号，常见的不 等号有五种，它们是“＞”“＜”“≥”“≤” “≠”，要明确表示不等关系的词语的意义，如“不大 于”，“不高于”等等
六、训练巩固：
1.a为有理数。下列结论正确的是（ ） A、 a 2 0 a2 1 0 B、 C、a 0 D、 a 1 0 2．用不等式表示 （1）a是非负数 （2）a的2倍与7的和小于—2 （3）a的20%与a的和不大于a的2倍减去1的差
1 （4）x的 3
与1的和大于0
1 2
4.1不等式
学习目标： 1.通过实际问题中的数量关系的分析，体会到现实 世界中有各种各样的数量关系的存在，不等关系是 其中的一种； 2.了解不等式及其概念；会用不等式表示数量之间 的不等关系；
一、自主学习 1.认真看书130-131页内容。 2.举出生活中一个不等量关系的例子。 3.注意表示不等关系的词语如“不大于”，“不高于”等等 4.不等式的概念。 自学检测 用不等式表示下列关系 1.亮亮的年龄（记为x）不到14岁。_____________ 2.七年级（1）班的男生数（记为y）不超过30人。 _____________ 3.某饮料中果汁的含量（记为x）不低20%._________
3.用不等式式表示：比x的5倍大1的数不小于x的 与4的差_____必做题 T1、 T2、 2、选做题 T3 、T4
不等式的基本性质1
5+2
>.自己写一个不等式，在它的两边同时加上、减去 同一个数，看看有什么样的结果.
15+1
<
30+1，15-1
< 30-1
从不等式②和后面的几个不等式当中，你能看出 一些什么规律吗？
结论
不等式基本性质: 不等式基本性质1 不等式的两边都加上 （或都减去）同一个数或同一个代数式，不等 号的方向不变.
第4.2节 不等式的基本性质
动脑筋
1.水果店的小王从水果批发市场购进100kg梨和 84kg苹果.你能用“>”或“<”号连接梨和苹果 的进货量吗？
100kg
>
84kg
①
2.几天后，小王卖出梨和苹果各a kg.你能用“>” 或“<”号连接梨和苹果的剩余量吗？
100 -a
>
84 -a
②
试一试
3.在不等式5>3的两边同时加上或减去2，在横线上 填“>”或“<”号：
x > -2
归纳
例2中两个题的求解过程，相当于由 x+6>5，得x>5-6，由3x>2x-2得3x-2x>-2， 这就是说，解不等式时也可以“移项”，即 把不等式一边的某一项变号后移到另一边， 而不改变不等号的方向，这与解一元一次方 程中的移项相类似.
练习
1.已知a < b，用不等号填空：
（1）a +12
（ 1） x + 6 > 5 ； （ 2） 3x > 2 x - 2 .
根据不等式基本性质1
解 : （ 1） x + 6 > 5
不等式两边都减去6，由不等式基本性质1，
>.自己写一个不等式，在它的两边同时加上、减去 同一个数，看看有什么样的结果.
15+1
<
30+1，15-1
< 30-1
从不等式②和后面的几个不等式当中，你能看出 一些什么规律吗？
结论
不等式基本性质: 不等式基本性质1 不等式的两边都加上 （或都减去）同一个数或同一个代数式，不等 号的方向不变.
第4.2节 不等式的基本性质
动脑筋
1.水果店的小王从水果批发市场购进100kg梨和 84kg苹果.你能用“>”或“<”号连接梨和苹果 的进货量吗？
100kg
>
84kg
①
2.几天后，小王卖出梨和苹果各a kg.你能用“>” 或“<”号连接梨和苹果的剩余量吗？
100 -a
>
84 -a
②
试一试
3.在不等式5>3的两边同时加上或减去2，在横线上 填“>”或“<”号：
x > -2
归纳
例2中两个题的求解过程，相当于由 x+6>5，得x>5-6，由3x>2x-2得3x-2x>-2， 这就是说，解不等式时也可以“移项”，即 把不等式一边的某一项变号后移到另一边， 而不改变不等号的方向，这与解一元一次方 程中的移项相类似.
练习
1.已知a < b，用不等号填空：
（1）a +12
（ 1） x + 6 > 5 ； （ 2） 3x > 2 x - 2 .
根据不等式基本性质1
解 : （ 1） x + 6 > 5
不等式两边都减去6，由不等式基本性质1，
不等式的基本性质1
回顾旧知：等式的基本性质
等式的基本性质1：在等式的两 边都加上（或减去）同一个数或 整式，所得的结果仍是等式. 等式的基本性质2：在等式的两 边都乘以或除以同一个数（除数 不为0），所得的结果仍是等式.
不等式的基本性质：
• ①不等式的两边都加上(或减去)同一个整 式，不等式的方向不变 • ②不等式的两边都乘以(或除以)同一个 正数，不等号的方向不变 • ③不等式两边都乘以(或除以)同一个负 数，不等号方向改变
课堂小结
（1） x－5＞－1; （2） －2x＞3; （3） 3x＜－9. （4）x－1＞2
5
（5）－x＜
6
课本第9页 随堂练习 T2、
第9页知识技能T1、
第9页数学理解T3
• 讨论下列式子的正确与错误 （1）如果a＜b，那么a+c＜b+c;
（2）如果a＜b，那么a－c＜b－c （3）如果a＜b,那么ac＜bc
课本第7、8页
• 判断下列各运算运用了不等式的哪一条性 质. ①∵2＜3 ∴2×5＜3×5 ②∵2＜3 ③∵2＜3 ∴2+x＜3+x ∴2×(－1)＞3×(－1)
解下列方程
（1） x－5=－1; （2） －2x=3; （3） 3x =－9.
例题探索
• 下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形 式：
等式的基本性质1：在等式的两 边都加上（或减去）同一个数或 整式，所得的结果仍是等式. 等式的基本性质2：在等式的两 边都乘以或除以同一个数（除数 不为0），所得的结果仍是等式.
不等式的基本性质：
• ①不等式的两边都加上(或减去)同一个整 式，不等式的方向不变 • ②不等式的两边都乘以(或除以)同一个 正数，不等号的方向不变 • ③不等式两边都乘以(或除以)同一个负 数，不等号方向改变
课堂小结
（1） x－5＞－1; （2） －2x＞3; （3） 3x＜－9. （4）x－1＞2
5
（5）－x＜
6
课本第9页 随堂练习 T2、
第9页知识技能T1、
第9页数学理解T3
• 讨论下列式子的正确与错误 （1）如果a＜b，那么a+c＜b+c;
（2）如果a＜b，那么a－c＜b－c （3）如果a＜b,那么ac＜bc
课本第7、8页
• 判断下列各运算运用了不等式的哪一条性 质. ①∵2＜3 ∴2×5＜3×5 ②∵2＜3 ③∵2＜3 ∴2+x＜3+x ∴2×(－1)＞3×(－1)
解下列方程
（1） x－5=－1; （2） －2x=3; （3） 3x =－9.
例题探索
• 下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形 式：
基本不等式(1)
莘县第二中学高二数学◆必修 5◆第 3 章 基本不等式
导学案编写：张爱红审核：张翠兰
§3.4 基本不等式 ab
ab （ 2
第 1 课时）
班级 姓名组别代码评价
【使用说明与学法指导】 1． 在自习或自主时间通过阅读课本 97-98 页用 20 分钟把预习探究案中的所有知识完成。训练案在自习或自主时间完成。 2． 重点预习： 重要不等式、基本不等式的内容及其证明。 3． 把有疑问的题做好标记或写到后面“我的疑问处” 。 【学习目标】 1.掌握重要不等式、基本不等式的内容，理解它们的证明过程。会用基本不等式解决简单的求最值问题。 2.通过复习比较两个代数式大小的方法、步骤，理解重要不等式、基本不等式的证明过程。 3．通过重要不等式、基本不等式的证明过程，培养学生严谨的思维习惯。 【学习重点】重要不等式、基本不等式的内容，利用基本不等式求最值的三个条件。 【学习难点】利用基本不等式求最的三个条件。 【知识链接】比较两个代数式大小的方法、步骤
解：
x
1
x
2 x
x
即
x
1
x
2 x
1
x
的最小值为 2。
通过上题可以知用基本不等式求最值的条件是： 。 【课堂小结】 我的疑问： （至少提出一个有价值的问题）
今天我学会了什么？
【训练案】 （时间：10 分钟分值：成绩：） 1． 不等式
9 (x 2) 6 （其中 x〉2）中等号成立的条件是（） x 2
【预习案】
预习一：重要不等式、基本不等式 1.重要不等式：对于任意实数 a , b ，有 a2 b2 ____ 2ab ，当且仅当________时，等号成立. 2．基本不等式： a 0,b 0 ，则
导学案编写：张爱红审核：张翠兰
§3.4 基本不等式 ab
ab （ 2
第 1 课时）
班级 姓名组别代码评价
【使用说明与学法指导】 1． 在自习或自主时间通过阅读课本 97-98 页用 20 分钟把预习探究案中的所有知识完成。训练案在自习或自主时间完成。 2． 重点预习： 重要不等式、基本不等式的内容及其证明。 3． 把有疑问的题做好标记或写到后面“我的疑问处” 。 【学习目标】 1.掌握重要不等式、基本不等式的内容，理解它们的证明过程。会用基本不等式解决简单的求最值问题。 2.通过复习比较两个代数式大小的方法、步骤，理解重要不等式、基本不等式的证明过程。 3．通过重要不等式、基本不等式的证明过程，培养学生严谨的思维习惯。 【学习重点】重要不等式、基本不等式的内容，利用基本不等式求最值的三个条件。 【学习难点】利用基本不等式求最的三个条件。 【知识链接】比较两个代数式大小的方法、步骤
解：
x
1
x
2 x
x
即
x
1
x
2 x
1
x
的最小值为 2。
通过上题可以知用基本不等式求最值的条件是： 。 【课堂小结】 我的疑问： （至少提出一个有价值的问题）
今天我学会了什么？
【训练案】 （时间：10 分钟分值：成绩：） 1． 不等式
9 (x 2) 6 （其中 x〉2）中等号成立的条件是（） x 2
【预习案】
预习一：重要不等式、基本不等式 1.重要不等式：对于任意实数 a , b ，有 a2 b2 ____ 2ab ，当且仅当________时，等号成立. 2．基本不等式： a 0,b 0 ，则
基本不等式(一)
应用二
发现运算结构， 发现运算结构，应用不等式
a+b （a > 0, b > 0） ab ≤ 2
a + b ≥ 2 ab a > 0, b > 0） （
1 的最小值. 例3、若 x > 0 ,求 y = x + 的最小值 、 求 x 12 变1:若 x > 0, 求 y = 3 x + 若 的最小值 x b a 的最小值. 变2:若a > 0, b > 0,求 y = + 的最小值 若 求 a b
2
a+b ab ≤ （a > 0, b > 0） 2
的最大值. 例4、已知 0 < x < 1 ,求函数 y = x (1 x ) 的最大值 、 求函数
1 变式:已知 的最大值. 变式 已知 0 < x < ,求函数 y = x (1 2 x ) 的最大值 求函数 2
应用基本不等式求最值的条件： 应用基本不等式求最值的条件：
2 2
（当且仅当a=b时，等号成立） 当且仅当 时 等号成立）
几何平均数
a+b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
≤
算术平均数
AHale Waihona Puke Da+b 2
ab
C
2.几何意义：半弦长小于等于半径 几何意义： 几何意义
a
O
b
B
3.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 代数意义： 代数意义
E
应用一： 应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z xm,宽为ym,水池总造价为 解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元. 根据题意, 根据题意,有: z = 150 × 4800 + 120(2 × 3x + 2 × 3y)
绝对值不等式解法1
知识要点
1 实数a的绝对值的定义
a a 0) _____( | a | _____( 0 a 0) _____( a a 0)
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的
-a 0 a
| a | 的几何意义是数轴上对应实数a的点 原点 到__________ 的距离
类型1: 如果 a>0，那么
x| x 0 当a 0时， 不等式| x | a的解集为__________ __________
不等式| x | a的解集为__________ __________
R __________ 当a 0时， 不等式| x | a的解集为__________
__________ 不等式| x | a的解集为__________
1 7 x 2 2 x 2或x 1
7 1 解得 x 2或 1 x 2 2
7 1 原不等式的解集为 x | x 2或 1 x 2 2
类型四:
ax b cx d与 ax b cx d 的解法
例题讲解
例1: 解下列不等式:
(1) | 2 x 3 | 2 3
解： 原不等式可化为| 2 x 3 | 5
即2 x 3 5或2 x 3 5，
解得x 1或x 4，
x | x 1或x 4 原不等式的解集为
1 ( 2) | 5 x | 1 2
解法：可以用整体法的思想把cx+d看作一个整体， 套用类型二的结论.
例3: 解下列不等式：
(1) 3 x 4 x 1； (2) 3 x 4 2 x 1.
练习
1 实数a的绝对值的定义
a a 0) _____( | a | _____( 0 a 0) _____( a a 0)
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的
-a 0 a
| a | 的几何意义是数轴上对应实数a的点 原点 到__________ 的距离
类型1: 如果 a>0，那么
x| x 0 当a 0时， 不等式| x | a的解集为__________ __________
不等式| x | a的解集为__________ __________
R __________ 当a 0时， 不等式| x | a的解集为__________
__________ 不等式| x | a的解集为__________
1 7 x 2 2 x 2或x 1
7 1 解得 x 2或 1 x 2 2
7 1 原不等式的解集为 x | x 2或 1 x 2 2
类型四:
ax b cx d与 ax b cx d 的解法
例题讲解
例1: 解下列不等式:
(1) | 2 x 3 | 2 3
解： 原不等式可化为| 2 x 3 | 5
即2 x 3 5或2 x 3 5，
解得x 1或x 4，
x | x 1或x 4 原不等式的解集为
1 ( 2) | 5 x | 1 2
解法：可以用整体法的思想把cx+d看作一个整体， 套用类型二的结论.
例3: 解下列不等式：
(1) 3 x 4 x 1； (2) 3 x 4 2 x 1.
练习
1.1.1不等式性质和基本不等式
解 设矩形的长为 , 宽为 y . x
x y 根据基本不等式 xy , 2 l 可得 xy . 4 l2 于是, 矩形的面积 xy , 当且仅当 y时, x 16 等号成立, 即当且仅当矩形是正方 形时 , 面
1设矩形周长为定值, 即2x 2 y l为定值. l
l2 积 xy 取得最 000元.
例 3 求证 : 1 在所有周长相同的矩形 , 正方形 中
1 如果 2 x y 从而x y 为定值, 那么正数x,
y 有什么关系时xy 最大? 2 如果 xy 为定值, 那么正数 x, y 有什么关系时 2 x y 从而x y 最小 ? 由于基本不等式恰好涉 及两个正数的和与积之 间的数量关系所以可以利用基本不等 , 式证明 . 动画解释上述分析过程 .
相推出.
0是正数 与负数 的 分界 点 , 它为 实数 比 较大小 提 供了 " 标杆".
思考 从上述基本事实出发 , 你认为可以用什么方法 比较 两个实数的大小 ?
从上述基本事实可知要比 , 较两个实数的大小可以转 , 化为比较它们的差与的大 0 小.这是研究不等关系的一 个出发点 .
例1 比较 x 3 x 7 和 x 4 x 6 的大小 .
a b 根据性质6, 有 . d c
我们已 经 学 过 重 要 不等式 a b 2ab
2 2
a, b R , 为了方便同学们学习下面将它 ,
以定理的形式给出并给出证明 , .
定理1 如果 a, b R, 那么a b 2ab,当
2 2
且仅当a b时, 等号成立.
2设矩形面积为定值S , 即 xy S 为定值.
x y 根据基本不等式 xy , 2 矩形的周长2x y 4 xy 4 S ,
高二数学不等式的性质1
a b - ab 2 ab - ab 1 ab ab
3. 已知x≥0，y≥0，求证：
1 1 2 x y x y x y y x 2 4
【解题回顾】在使用放缩技巧时，一定要注意方向，保持 一致.
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延伸·拓展
4. 设0＜a＜1，根据函数的单调性定义，证明函数f(x)=logax+
2.掌握用比较法证明不等式的方法，熟悉它的变形过程.用 比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——定号.其中 的“变形”可以变成平方和，也可以变成因式的积或常数； 有关指数式的比较法通常用作商法，步骤是作商——变 形——与1比较大小.
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课前热身
1.设a＜0，-1＜b＜0，则a，ab，ab2三者的大小关系为 a＜ab2＜ab ____________. 2.设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R且x≠1，则A，B的大小关系 为A____B ＞ .
第1课时 不等式的性质及比较 法证明不等式 • 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通 过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式 命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假. 不等式有如下8条性质： 1.a＞b b＜a.(反身性) 2.a＞b，b＞c =>a＞c.(传递性) 3.a＞b a+c＞b+c.(平移性) 4.a＞b，c＞0 => ac＞bc； a＞b，c＜0 => ac＜bc.(伸缩性) 5.a＞b≥0 => n a n b ，n∈N，且n≥2.(乘方性) 6.a＞b≥0 => a＞nb，n∈N，且n≥2.(开方性) 7.a＞b，c＞d => a+c＞b+d.(叠加性) 8.a＞b≥0，c＞d≥0 => ac＞bd.(叠乘性)
不等式的基本性质1
x 2x 1 x x 1 2 x ,
4 2 4 2
由 x 0 得 x 0 ，从而 ( x 2 1) 2 x 4 x 2 1.
2
请同学们想一想，如果没有 x 0 这个条件，那么比 较的结果如何？ 应分x＝0和x≠0两种情况进行讨论 (1)当
2 2 4 2 ( x 1) x x 1 x 0 x0
那之后孤独晓寂不曾接到莫艳艳的，她也不甚在意，直到有一天莫艳艳打来“孤独晓寂，我能不能跟你合租？”
孤独晓寂似没反应过来的“啊？”了声。 莫艳艳不容她抗拒般的继续开口“你在哪里，我去找你！”。 孤独晓寂便听话的说出了住址，不到一个小时的时间，莫艳艳便打来让她在住房哪里去找她。倚在白色跑车上的莫艳艳，淡淡的看上一眼就会让 人感到有一种被时光艳羡了的感觉。 莫艳艳看到孤独晓寂之后笑呵呵的向她招了招手“你来了”，然后驾驶座上的男子便拎了一个行李箱下来，轻柔的问了莫艳艳一句“需不需要我 帮你送上去？” 莫艳艳笑的谄媚“不需要了，今天谢谢你送我过来！” 目送走了跑车男之后，莫艳艳看向孤独晓寂“过来帮我抬一下呀！”她说的甚是随意，似乎她们之间没有任何的隔阂，而事实是，孤独晓寂不过 是停留在快十年没见过的一个人的第二次见面中。 孤独晓寂小跑的走向她应了声“哦”，便伸手去拎那个行李箱，最后直接由孤独晓寂一个人拎到房间。 莫艳艳看向孤独晓寂的住所，忍不住的皱眉“这么小？”最后得出这么个结论。 孤独晓寂回应“我平时一个人住嘛！” 莫艳艳在那个极其狭小的单身公寓踱步走了几圈“不行、不行，我们换房吧，这个地方太小了！” 孤独晓寂似乎一直不在线上般的愣愣的“啊？”了声。 莫艳艳毫不在意的拍手道“就这么定了，我们换个两居室的房子吧！”
作业---P5 1，2，3
习题 6.1 1，2，3
不等式的基本性质1
数学
湘教版八年级上册
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2 解： (1)x＋ ＜ 8. 5 2 2 (2)在不等式 x＋ <8 的两边同时减去 ，得 5 5 3 x<7 . 5 3 即 x 的取值范围是 x<7 . 5
数学
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1．如图4－2－1，天平向左倾斜，当天平向右倾斜时，x 应满足 ( A )
5，得x＋5－5>8－5，即x>3.
(2)根据不等式的基本性质1，在不等式的两边都减去4x， 得5x－4x<3＋4x－4x，即x<3.
【点悟】 应用不等式的基本性质1时，必须注意它的“两
边”的要求，注意加减运算可以灵活选择，在(1)题中，同时 减去5或同时加上(－5)，效果是一样的．
数学
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类型之二
不等式的基本性质1的简单应用
小希就读的学校上午第一节课上课的时间是8
时．小希家距学校有2千米，而他步行的速度为每小时5千
米．那么小希上午什么时候从家里出发才能保证提前到学校？ (1)若设小希上午x时从家里出发才能提前到学校，则x应满 足怎样的关系式？ (2)你能根据不等式的基本性质1，求出x的取值范围吗？
数学
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5．把下列不等式化为“x>a”或“x<a”的形式：
(1)x＋6>5；(2)3x>2x－2. 解：(1)不等式的两边都减去6，由不等式的基本性质1，
得x＋6－6>5－6，即x>－1；