均值不等式(最终定稿)
高中数学 均值不等式
高中数学均值不等式均值不等式在高中数学中是非常重要的一个概念，同学们在学习数学课程时，必须掌握和理解这一概念。
今天，我们就来讨论一下均值不等式这一概念。
均值不等式是数学中定义最重要的公式之一，它表示数据的平均值与最大值和最小值之间的关系。
它可以用如下公式表示：$$overline {x}-ageqslantfrac{b-a}{2}$$其中，$overline {x}$代表数据的平均值，a表示数据的最小值，b表示数据的最大值，中间得到的结果就是均值不等式。
均值不等式可以用来描述数据的分布。
它提供了一种描述数据分布的有效方式，常用于统计分析、信息处理、参数估计等一些应用。
均值不等式在数学中有着重要的应用，我们可以用它来计算下面的一些参数，比如标准偏差、熵、波动性等。
其原理可以用如下公式表示：$$sigma^2=frac{1}{m}sum_{i=1}^m{(x_i-overline{x})^2}$$ 其中，$sigma^2$表示标准偏差，m表示样本的个数，$x_i$表示第i个样本，$overline{x}$表示样本的平均值，中间的部分是均值不等式。
均值不等式在我们的生活中也有重要的作用，比如我们在分析一篇文章的价值的时候，就可以用均值不等式来衡量文章的情感倾向性。
如果一篇文章的正面情感值和负面情感值相差很远，那么这篇文章的情感就很明显，而如果均值不等式满足，说明文章的情感就比较均衡，没有明显的情感倾向性。
均值不等式在统计学上也有着重要的应用，它可以用来分析不同数据组之间的差异，比如我们可以使用均值不等式来检验两组数据的分布是否有显著差别。
以上就是关于均值不等式这一高中数学概念的介绍，从上文中我们可以看出，均值不等式在数学领域有着重要的作用，同时也有着广泛的应用，比如分析数据、检验文章情感倾向性等。
希望这篇文章能够帮助同学们更好地理解和掌握均值不等式这一概念，加强数学学习。
均值不等式
均值不等式xx年xx月xx日contents •均值不等式的定义•均值不等式的性质•均值不等式的证明方法•均值不等式的扩展•均值不等式的应用实例目录01均值不等式的定义•均值不等式（Mean Inequality）是指在实数范围内，任何一个数的平方与它的算术平均数的平方之差，等于0。
也就是说，对于任意实数x，有x^2=(x-x)^2=0。
什么是均值不等式•均值不等式的常见形式是：对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
这个不等式表示，当a和b都是非负实数时，a的算术平均数大于等于b的几何平均数。
均值不等式的形式•均值不等式的证明方法有多种，其中一种是利用微积分中的积分函数。
设f(x)=x^2，则f'(x)=2x，令f'(x)=0，得x=0，则f(x)在x=0处取得极小值0。
因此，对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
均值不等式的证明02均值不等式的性质算术平均数与几何平均数之间的关系：$AM \geq GM$均值的不等式性质：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$均值不等式的形式二次幂和不等式当且仅当a=b时，均值不等式取等号。
一次幂和不等式当且仅当a+b为定值时，均值不等式取等号。
均值不等式的条件算术平均数的几何意义：长度为a和b的两线段的中点。
几何平均数的几何意义：面积的算术平均数。
均值的几何意义03均值不等式的证明方法总结词微积分方法证明均值不等式是通过研究函数的单调性和极值，证明在不同情况下，变量的和至少等于其平均值。
详细描述首先，定义一个实值函数 $f(x)$，并设其最小值 $m$ 和最大值 $M$ 存在。
由极值定理可知，对任意 $x_1, x_2$ 有 $[f(x_1) + f(x_2)]/2 \geq m$。
由此得出，对任意正整数 $n$，都有 $[f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n)]/n \geq m$利用微积分知识证明矩阵相乘的性质证明均值不等式是通过利用矩阵相乘的顺序无关性，将矩阵相乘转化为向量点积，再利用柯西不等式证明。
(2021年整理)均值不等式
（完整）均值不等式编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）均值不等式）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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均值不等式归纳总结1。
(1）若R b a ∈,,则ab b a222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“="）(3）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”)3。
若0x >，则12x x+≥ （当且仅当1x =时取“="） 若0x <，则12x x+≤- （当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x xx x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4。
若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 （当且仅当b a =时取“=”） 5。
若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”)（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小，和定积最大"．（2)求最值的条件“一正,二定，三取等”(3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例1：求下列函数的值域(1）y ＝3x 2＋12x 2 (2）y ＝x ＋错误!解题技巧 技巧一：凑项例. 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式课件
汇报人： 2024-01-01
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的推广 • 均值不等式的习题与解析
01
均值不等式的定义
定义及公式
定义
均值不等式是数学中的一个基本概念 ，它表示对于任意正实数，其算术平 均值总是大于或等于其几何平均值。
公式
对于任意正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$， 有 $frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1 cdot a_2 cdot ... cdot a_n}$。
适用条件
正实数
均值不等式只适用于正实数，因 为当数不是正数时，算术平均值 和几何平均值的比较关系就不一
0$，$b > 0$。
进阶习题3
求证$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{4}$，其
中$a > 0$，$b > 0$。
高阶习题与解析
高阶习题1
求证$frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$，其中$a_1, a_2, ldots, a_n > 0$。
M-GM不等式的推广形式
对于非负实数，算术平均数始终大于或等于几何平均数，当且仅当所有数相等时取等号 。
应用场景
在解决最值问题、求函数极值、证明不等式等方面有广泛应用。
柯西不等式的推广
柯西不等式的推广形式
对于任意的正实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2，当且仅 当ai/bi = const.时取等号。
均值不等式及其证明(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】1平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。
平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。
1.1 平均值不等式一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为 12...,nn a a a A n+++=几何平均值记为112(...)nn n G a a a ==算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。
12...n a a a n+++≥即n n A G ≥，当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。
上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。
平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。
为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。
供大家参考学习。
1.2 平均值不等式的证明证法一（归纳法）（1） 当2n =时，已知结论成立。
（2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对0,1,2,...,,i a i k >=有11212...(...)kk n a a a a a a k+++≥。
那么，当1n k =+时，由于1211 (1)k k a a a A k +++++=+，1k G +=关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++=显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以11112111(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k+++++++-+++-===2111...()k k k a a a a A k++++++-=≥即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。
课件3：§3.2均值不等式
几何直观解释：
令正数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法，
作出长度为 a b 和
2
ab
的两条线段，然后比较这两条线段的长. 具体作图如下：
（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b, （2）以AB为直径作半圆O； （3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
（4）连接AC，BC，CA，则
OC a b 2
【解析】在（1）中，矩形的长与宽的乘积是一个常 数，求长与宽的和的2倍的最小值； 在（2）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个常数，求 长与宽的乘积的最大值.
解：（1）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题
意有xy=100(m2)，
因为x>0，y>0，所以
x y≥ 2
xy
，
因此，即2(x+y)≥40.
§3.2 均值不等式
定理： 如果a，b∈R， 那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时取“=”） 证明： a 2 b 2 2ab (a b) 2
当a b时，(a b)2 0
当a
b时，(a b) 2
0
a 2 b 2 2ab
1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件：
a,b R ab
2．语言表述：两个非负数的算术平均数不小
于它们的几何平均数.
3.我们把不等式
ab 2
ab (a≥0,b≥0)
称为基本不等式
把
ab 2
看做两个正数a，b
的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等式呢?
课件2：7.2 均值不等式
3．几个常用的不等式
(1)a2＋b2≥_2_a_b__(a，b∈R)．
(2)ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)．
(3)(a＋2 b)2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
(4) ba＋ab≥2(a·b>0)．
(5)1a＋2 1b≤
ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a>0，b>0)．
考向一 利用均值不等式求最值 例 1 (1)已知 x>0，y>0，且 2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为 ________； (2)当 x>0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的最大值为________．
有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P， Q分别在边BC，CD上)，设∠PAB＝θ，tan θ＝t. (1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值； (2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为多少？ 思路点拨 利用Rt△DAQ和Rt△PAB，分别求解PB和DQ，在 Rt△PCQ中求PQ.把面积表示为t的函数，求其最值．
所以 3x＋4y＝(3x＋4y)(51y＋53x)
＝95＋45＋35xy＋152xy≥153＋2
35xy·152xy＝153＋152＝5，
当且仅当 x＝1，y＝12时取等号，故 3x＋4y 的最小值是 5.
(2)∵x<0，∴y＝1－2x－3x＝1＋(－2x)＋(－3x)≥1＋
2
－2x·－3x＝1＋2 6，当且仅当 x＝－ 26时取等号，
求参数的值或范围
观察题目特点，利用均值不等式确定 相关成立条件，从而得参数的值或范 围．
与函数、数列、解析几 利用题目已知条件进行转化，再利用
何等其他知识结合的问 题
均值不等式公式完全总结归纳
均值不等式公式完全总结归纳均值不等式（Mean Inequality）是数学中的一种重要的不等式，它描述了一组数的算术平均值与几何平均值之间的关系。
这个不等式在数学中有广泛的应用，并且具有一般性质和特殊形式。
接下来我将对均值不等式的公式进行完全总结和归纳。
一、一般形式：设有n个实数a₁、a₂、..、aₙ，则它们的算术平均值（A.M., Arithmetic Mean）与几何平均值（G.M., Geometric Mean）满足以下不等式：G.M.≤A.M.二、特殊形式：1.对于正实数a₁、a₂、..、aₙ，它们的平均值满足以下不等式：G.M.≤H.M.≤A.M.其中H.M.表示它们的调和平均值（Harmonic Mean）。
这个不等式说明了几何平均值小于等于调和平均值，并且调和平均值小于等于算术平均值。
2.对于正实数a₁、a₂、..、aₙ，它们的平均值满足以下不等式：G.M.≤Q.M.≤A.M.其中Q.M.表示它们的平方平均值（Quadratic Mean），也称为均方根。
这个不等式说明了几何平均值小于等于平方平均值，平方平均值小于等于算术平均值。
三、加权均值不等式：对于实数a₁、a₂、..、aₙ和正实数w₁、w₂、..、wₙ（权重），则有以下加权均值不等式成立：A.M.≥G.M.≥H.M.≥Q.M.其中加权算术平均值（A.M.）大于等于加权几何平均值（G.M.），大于等于加权调和平均值（H.M.），大于等于加权平方平均值（Q.M.）。
四、一些常用的特殊不等式：1. Cauchy-Schwarz不等式：对于实数a₁、a₂、..、aₙ和b₁、b₂、..、bₙ(a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ)²≤(a₁²+a₂²+...+aₙ²)(b₁²+b₂²+...+bₙ²)2. Jensen不等式：对于实数a₁、a₂、..、aₙ和函数f(x)，如果f(x)是凸函数（或凹函数），则有以下不等式成立：f(a₁) + f(a₂) + ... + f(aₙ) ≥ nf(A.M.)其中f(A.M.)是函数f(x)在x=A.M.处的值。
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a 2 b2
b
G F E H
２、四个直角三角形的
A
a
2ab 面积和S’ =______
３、S与S’有什么
B
样的不等关系？
a b 2ab
2 2
S≥S’
2+b2≥2ab a 若a,b∈R，那么
（当且仅当a=b时，取“=”号）
思考：
（1）该结论成立的条件是什么 ？
（2）公式中等号成立的条件是什么？
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．
3 ( x 2) ， ２．已知函数 f ( x) x x2 求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件．
4 3 求函数y sin 其中 （0， ] in 2 的最小值。 4 4 解：y sin 2 sin sin sin 4,函数的最小值为4。
当且仅当x=y时，式中等号成立， 此时x=y=10。 因此，当这个矩形的长与宽都是10m时， 它的周长最短，最短周长是40m.
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18，
x y 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ 2
因此 xy ≤ 9 将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立， 此时x=y=9，
2 3.已知x<0，求函数 f ( x) x 的最大值. x
1 1 4 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求 u x y
2 2
的最小值．
3 2 2
1 例2.(1) 已知 x 0, 求证x 2, 并指出等号 x 成立的条件.
a b (2) 已知 ab 0, 寻找 与2的大小关系, b a 并说明理由. a b (3) 已知 ab 0, 能得到什么结论? b a 请说明理由.
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
2 x 2 x 3 例3．求函数 f ( x) ( x 0) x
的最大
值，及此时x的值。
3 解： f ( x) 1 (2 x ) ，因为x>0， x
3 3 所以 2 x ≥ 2 2 x 2 6 x x 3 得 (2 x )≤ -2 6 x
2 2 若a,b∈R，那么a +b ≥2ab
（当且仅当a=b时，等号成立）
思考3 ：不等式左右两边有何种运算结构？ 任意两数的平方和不小于它们的积的两倍
由此公式，我们可以变形为
a b 若a, b R, 则ab 2
2
2
2 2 若a,b∈R，那么a +b ≥2ab
（当且仅当a=b时，等号成立）
因此f(x)≤ 1 2 6
当且仅当 号成立。
3 2x x
3 ，即 x 2
2
时，式中等
由于x>0，所以
6 x 2
，式中等号成立，
6 ，此时 x 2
因此 f ( x)max 1 2 6
。
练习题： 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值， 并说明此时x,y的值． 当x=6,y=4时,最小值为48 2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值． 最小值为8
探究2：
D
1、如图,AB是圆的直径，C 是AB上与A、B不重合的一 点，AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE，连AD,BD,
A
a O C
b
ab B 则CD=＿＿ 2 ab ,半径=＿＿＿＿
２、你能用这个图形得出 基本不等式
E
半弦不大于半径
ab ab (a>0,b>0) 2
几何解释吗?
3.4 基本不等式:
ab ab 2
安丘市 青云学府
如图，这是在北 京召开的第22届 国际数学家大会 会标．会标根据 中国古代数学家 赵爽的弦图设计 的，颜色的明暗 使它看上去象一 个风车，代表中 国人民热情好客。 ICM2002会标
D
探究
1、正方形ABCD的
a 2 b2 面积S=__________
练习
1、已知a、b、c都是正数，求证： （a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
4 2、若a为任意实数，试比较a 3 2 与4 a 3 的大小关系.
2
4 3、已知a 3, 求证： a 7; a 3
思考：以下不等式成立吗？
a b 2ab
2 2
1 x 2 2 x
2
a b 2 ab
2 2
如果用 a、 b分别代替a, b， 又能得到什么结论呢？ 此时的a, b需要满足什么条件呢？
若a>0 b>0 那么a + b ≥2
a b
（当且仅当a=b时，等号成立）
ab ab (a, b R ) 求最值时, 应用 2 注意验证：一正 、二定 、三相等
b a 例1．已知ab>0，求证： ≥ 2 ，并 a b 推导出式中等号成立的条件。
b a 证明：因为ab>0，所以 0, 0 ， a b
根据均值不等式得
b a 当且仅当 时，即a2=b2时式中等号 a b 成立，
b a b a ≥2 2 a b a b
b a 即 ≥2 a b
分析：在（1）中，矩形的长与宽的乘积是一个常数，求长与宽的 和的2倍的最小值； 在（2）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个常数，求长与宽的乘 积的最大值。
解：（1）设矩形的长、宽分别为x(m)， y(m)，依题意有xy=100(m2)，
x y ≥ xy 因为x>0，y>0，所以， 2
因此，即2(x+y)≥40。
因为ab>0，即a，b同号，所以式中等号成 立的条件是a=b.
变式训练1
已知:a, b, c R, 求证：a b c ab bc ca
2 2 2
例2．（1）一个矩形的面积为100m2，问 这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周 长最短？最短周长是多少？ （2）已知矩形的周长是36m，问这个矩 形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，
它的面积最大，最大值是81m2。
规律：
两个正数的积为常数时，它们的和有 最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有 最大值。
下面几道题的解答可能有错，如果错了， 那么错在哪里？ 1 １．已知函数 f ( x) x ，求函数的 x 最小值和此时x的取值．