14.3 因式分解1
数学人教版八年级上册14.3因式分解----提公因式法、公式法的综合运用
3
课后巩固
m m 2 ( 1 )p p
3 2 2 x 6 x 9 x
2 ( 3 ) 4 x 3 y 25 y 2
2 ( 4 ) x 4 16 x 2
2
4 2 ( 5 ) x 2 x 1
( 6 ) 4 a b a b
22 2
2 2
归纳总结
先提取公因式再平方差公式
例1.因式分解
(1) 4 －16a2
变式： 4 －64a4
（2） m3 (m－2)－4m(m－2)
变式： m ² （a－b）+4n2（b－a）
先提取公因式再完全平方公式
例2.因式分解：
1 3 变式： 1 a a a 4
5 4
1 2x 2x 2
2
2 7 x 14 x 7 x
因式分解的方法
(三)完全平方公式法：
x2+2xy+y2=(x+y)2 x2–2xy+y2=(x–y)2
一个多项式能用完全平方公式因式分解具备的特征： （1）有三项； （2）其中有两个平方项且符号相同 （3）有乘积的2倍；
下列多项式能否用完全平方公式因式分解?
（1） – x2 +2xy – y2 （2）x2+x+1 （3） – a2 –2a+1
（3）m(a – 2) –平方差公式法：
x2 – y2=(x+y)(x – y)
一个多项式能用平方差公式因式分解具备的特征： 有两个平方项，且符号相反。
下列多项式能否用平方差公式因式分解?
（1） – m2 – n2 （2） – m2n2 +1
14.3因式分解教案
14.3因式分解教案【篇一：14.3.2《因式分解--公式法--完全平方公式》教案】12【篇二：因式分解-人教版数学八年级上第十四章14.3第一课时教案】第十四章整式的乘法和因式分解14.3因式分解第一课时 14.3.1 提公因式法1教学目标1.1 知识与技能：[1] 理解因式分解的概念，知道因式分解和整式的乘法是方向相反的变形。
[2] 理解公因式的概念，会根据“三定法”确定公因式。
[3] 掌握因式分解中的提公因式法。
1.2过程与方法：[1] 通过对比整式乘法，理解因式分解的概念，发展学生的逆向思维能力。
[2] 通过类比数的结合律，抽象出因式分解中的提公因式方法。
1.3 情感态度与价值观：[1] 在数学运算中培养学生细致严谨的精神素养。
[2] 让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。
2教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1] 因式分解的概念及提公因式法。
2.2 教学难点[1] 正确找出多项式各项的公因式[2] 正确认识分解因式与整式乘法的区别和联系。
3专家建议学生刚刚学习过有关幂的运算，因此在教学设计中可以多适当安排一些有关幂的、应用提公因式法的分解因式题目。
此外，因式分解属于新概念，它和学生以往的运算认知是相反的，教师在教学过程中应该耐心面对学生的错误，并多举出实例使学生区别整式乘法和因式分解。
4 教学方法观察思考——概念介绍——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体。
6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。
这节课开始，我们先来思考一个问题，630能被哪些数整除？【师】这个问题大家小学就知道了对吧，但现在我们在学习整式的乘法，所以我们可以想一下，一个数可以写成若干个因数乘积的形式，整式能不能这样做呢？这就是这节课我们要学习的内容。
【板书】法和因式分解14.3因式分解14.3.1 提公因式法6.2 新知介绍[1] 因式分解的概念【师】大家看投影（给出114页探究），首先我们来完成这样的一个任务：把下列多项式写成整式的乘积的形式。
(人教版)八年级数学上册14.3因式分解教案
1.教学重点
-理解因式分解的概念及其在数学中的应用；
-掌握提取公因式法、平方差公式、完全平方公式等因式分解方法；
-学会将多项式分解为几个整式的乘积，并运用到实际问题中。过具体例题使学生明白将多项式分解为整式乘积的意义；
-强调提取公因式法的步骤，如找出最大公因数、提取公因式等；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解因式分解的基本概念。因式分解是将一个多项式表达为几个整式的乘积的过程。它在解决代数问题、简化计算等方面具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将一个多项式通过提取公因式、平方差公式和完全平方公式进行因式分解。
同学们，今天我们将要学习的是《因式分解》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在数学学习中是否遇到过多项式难以简化的问题？”比如，当我们需要求解一个多项式的值时，如果能够将其分解为简单的乘积形式，问题就会变得容易许多。这个问题与我们将要学习的因式分解密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索因式分解的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和分解过程。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“因式分解在实际数学问题中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调提取公因式法和运用平方差、完全平方公式这两个重点。对于难点部分，我会通过对比不同类型的例题来帮助大家理解和掌握。
14.3 因式分解【教案】八年级上册数学
14.3.1提公因式法课时目标1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系,掌握因式分解的概念,体会数学知识的内在含义与价值.2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式,培养学生有条理的思考和运算能力.3.会利用因式分解进行简便计算,体会因式分解的价值,培养学生的创新意识.学习重点运用提公因式法分解因式.学习难点正确理解因式分解的概念,准确找出公因式.课时活动设计回顾引入1.回顾整式乘法完成填空:(1)m(a+b+c)=ma+mb+mc.(2)(x+1)(x-1)=x2-1.(3)(a+b)2=a2+2ab+b2.2.根据等式性质填空:(1)ma+mb+mc=m(a+b+c).(2)x2-1=(x+1)(x-1).(3)a2+2ab+b2=(a+b)2.设计意图:引导学生回顾旧知识,激活学生已有的知识体系,为学习新知识打下基础.探究新知探究1因式分解问题:回顾引入中第2组式子有什么共同特点?学生回答:将一个多项式化成多个整式相乘.教师引导并给出因式分解的概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.p(a+b+c)pa+pb+pc通过观察,你发现因式分解和整式乘法有什么关系?学生发现:因式分解与整式乘法的互逆性.探究2提公因式法问题1:观察下列多项式有哪些相同因式?学生观察发现前者的相同因式为p,后者的相同因式为x.总结如下:多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式的公因式.师生活动:教师板书:pa+pb+pc=p(a+b+c).引导学生用文字进行总结:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.问题2:找出3x2-6xy的公因式,并思考如何确定一个多项式的公因式?师生活动:学生先独立思考,然后小组交流得出结论:公因式为3x.教师引导学生用文字总结如何确定一个多项式的公因式:1.定字母:字母取多项式各项中都含有的相同的字母;2.定系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;3.定指数:相同字母的指数取各项中最小的一个,即字母的最低次数.设计意图:通过具体问题的解决,让学生在观察、思考和操作的过程中,了解因式分解的概念,培养学生类比的思想方法和运算能力;学生从系数、字母、指数多个角度思考问题,培养学生思维的全面性和开阔性,养成积极思考的学习态度和创新意识.典例精讲例1把下列各式分解因式:(1)8a3b2+12ab3c;(2)2a(b+c)-3(b+c);(3)(a+b)(a-b)-a-b.解:(1)8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).(2)2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).(3)(a+b)(a-b)-a-b=(a+b)(a-b)-(a+b)=(a+b)(a-b-1).技巧:1.整体思想找公因式;2.整项被提取后,1不能丢;3.可以用整式乘法验证.例2以下因式分解是否正确?如果错误,请指出原因并改正.(1)把12x2y+18xy2分解因式.解:原式=3xy(4x+6y).解:不正确.正解:原式=6xy(2x+3y).注意:公因式要提尽.(2)把3x2-6xy+x分解因式.解:原式=x(3x-6y).解:不正确.正解:原式=3xx-6yx+1·x=x(3x-6y+1).注意:某项提出莫漏1.(3)把-x2+xy-xz分解因式.解:原式=-x(x+y-z).解:不正确.正解:原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z).注意:首项有负常提负.例3计算:(1)39×37-13×91;(2)29×20.16+72×20.16+13×20.16-20.16×14.解:(1)原式=3×13×37-13×91=13×(3×37-91)=13×20=260.(2)原式=20.16×(29+72+13-14)=2 016.例4已知a+b=7,ab=4,求a2b+ab2的值.解:∵a+b=7,ab=4,∴原式=ab(a+b)=4×7=28.设计意图:通过例题,让学生寻求不同的解题方法,体会在计算求值时,若式子各项都含有公因式,用提公因式的方法可使运算简便,感悟学习因式分解的作用,培养学生转化意识、整体思想,进一步训练运算能力.巩固训练1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是(C)A.5mnB.5m2n2C.5m2nD.5mn22.把多项式(x+2)(x-2)+(x-2)提取公因式(x-2)后,余下的部分是(D)A.x+1B.2xC.x+2D.x+33.简便计算:2 0132+2 013-2 0142.解:原式=2 013×(2 013+1)-2 0142=2 013×2 014-2 0142=2 014×(2 013-2 014)=-2 014.设计意图:巩固训练共设计3个题目,针对所学知识点对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结1.整式乘法和因式分解的关系是方向相反的变形,因式分解的目的是把一个多项式化成了几个整式的积的形式.2.找公因式的方法三定:定系数;定字母;定指数.3.提公因式的因式分解的步骤第一步找公因式,第二步提公因式.4.提公因式的技巧或注意问题1.要提尽;2.不漏项;3.提负数要注意变号.5.本节用到什么研究问题的方法?设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第115页练习第1,2,3题.2.作业.教学反思14.3.2公式法第1课时运用平方差公式因式分解课时目标1.探索并运用平方差公式进行因式分解,体会转化思想和逆向思维.2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解,培养运算能力和应用意识.3.培养良好的推理能力,体会“化归”与“整体”的思想方法,形成灵活的应用能力.学习重点掌握平方差公式的特点,运用平方差公式进行因式分解.学习难点灵活应用平方差公式因式分解.课时活动设计回顾引入之前学习了平方差公式,今天先回顾一下.计算:(1)(x+2)(x-2);(2)(x-1)(x+1).选两名学生黑板上板书计算过程:解:(1)(x+2)(x-2)=x2-4.(2)(x-1)(x+1)=x2-1.设计意图:从结构上认识本节课所研究的多项式的结构特点,引出课题,培养学生观察问题的能力和模型观念.探究新知问题:多项式a2-b2有什么特点?你能将它分解因式吗?学生观察得出结论:a2-b2=(a+b)(a-b)是a,b两数的平方差的形式.追问1:你能根据符号语言写出文字语言吗?师生活动:教师引导学生结合整式乘法归纳出因式分解平方差公式的文字语言:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.追问2:如图,在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形,将剩余部分拼成一个长方形,根据此图形变换,你能验证刚才的公式吗?师生活动:教师首先引导学生利用面积验证平方差公式,提问两名同学分别列出左右两个图形涂色区域的面积.左:涂色区域的面积=a2-b2;右:涂色区域的面积=(a+b)(a-b).根据左右涂色区域的面积相等得到:a2-b2=(a+b)(a-b).设计意图:通过利用拼图求面积验证平方差公式,培养学生多角度思考问题的习惯和图形语言、符号语言、文字语言的相互转化能力.典例精讲例1分解因式:(1)4x2-9;(2)(x+p)2-(x+q)2.解:(1)原式=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)原式=[(x+p)+(x+q)]·[(x+p)-(x+q)].例2分解因式:(1)x4-y4;(2)a3b-ab.解:(1)原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y).(2)原式=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).例3已知x2-y2=-2,x+y=1,求x-y,x,y的值.解:∵x2-y2=(x+y)(x-y)=-2,∵x+y=1,①∴x-y=-2.②联立①②,组成二元一次方程组{x+y=1, x-y=−2,解得{x =−12,y =32. 例4 计算下列各题:(1)1012-992; (2)53.52×4-46.52×4. 解:(1)原式=(101+99)×(101-99)=200×2=400. (2)原式=4×(53.52-46.52) =4×(53.5+46.5)(53.5-46.5) =4×100×7=2 800.例5 求证:当n 为整数时,多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除. 证明:原式=(2n +1+2n -1)(2n +1-2n +1)=4n ·2=8n , ∵n 为整数,∴8n 能被8整除.即多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除.设计意图:进一步通过例题强调平方差公式和因式分解的两种方法的综合应用,让学生体会若用平方差公式分解后的结果中有公因式,一定要再用提公因式法继续分解,分解到不能再分解为止,体会“一提二套三彻底”,培养学生归纳抽象能力和数学思想方法的掌握.巩固训练1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )A.a 2+(-b )2B.5m 2-20mnC.-x 2-y 2D.-x 2+9 2.把下列各式分解因式: (1)16a 2-9b 2= (4a +3b )(4a -3b ) ; (2)(a +b )2-(a -b )2= 4ab ; (3)2x 2-8= 2(x +2)(x -2) ; (4)-a 4+16= (4+a 2)(2+a )(2-a ) .3.如图,在边长为6.8 cm 正方形钢板上,挖去4个边长为1.6 cm 的小正方形,求剩余部分的面积.解:根据题意,得6.82-4×1.62=6.82-(2×1.6)2=6.82-3.22=(6.8+3.2)(6.8-3.2)=10×3.6=36(cm2).答:剩余部分的面积为36 cm2.设计意图:共设计3个题目,针对所学知识点对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结1.因式分解有哪些方法?2.能用平方差公式因式分解的结构特点是什么?3.平方差公式因式分解的步骤及注意问题有什么?4.本节用到什么研究问题的方法?5.根据本节的研究思路思考因式分解还有什么方法?设计意图:以提问的方式引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第119页习题14.3第2,5(4)题.2.作业.教学反思第2课时运用完全平方公式因式分解课时目标1.理解完全平方公式的结构特点,培养模型观念.2.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.3.在运用完全平方公式法进行因式分解的同时,培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力.学习重点掌握完全平方公式的结构特点,运用完全平方公式进行因式分解.学习难点理解完全平方公式的结构特征,灵活运用完全平方公式进行因式分解.课时活动设计回顾引入之前学习了完全平方公式,今天先来回顾一下.计算:(1)(x+2)(x+2);(2)(x-1)(x-1).选两名学生黑板上板书计算过程:解:(1)(x+2)(x+2)=x2+4x+4.(2)(x-1)(x-1)=x2-2x+1.设计意图:通过复习旧知,巩固因式分解和整式乘法的关系,为探究新知做准备,回顾完全平方公式,注重知识间的联系和知识体系的渗透,培养知识的迁移能力.探究新知问题1:观察多项式a2+2ab+b2,a2-2ab+b2,并回答下列各题.(1)每个多项式有几项?解:三项.(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征?解:都是一个数的平方.(3)中间项和第一项,第三项有什么关系?解:中间项是正负这两个数的积的2倍.追问:你能用符号语言和文字语言表述完全平方式吗?师生活动:选两名学生在黑板上板书整式乘法的完全平方公式.(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.等号两边互换位置,就得到:a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.教师引导学生用文字表述完全平方式:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.问题2:你能把下面4个图形拼成一个正方形,并根据拼成的图形的面积写出等量关系吗?学生动手操作,通过拼图前后图形面积相等写出等量关系a2+2ab+b2=(a+b)2.设计意图:学生在归纳出完全平方式的结构特征后,尝试用符号语言和文字语言表述完全平方式,最后通过动手操作,以拼图的形式再次验证完全平方式,同时在探究过程中感受到学习数学的乐趣.典例精讲例1分解因式:(1)16x2+24x+9;(2)-x2+4xy-4y2.解:(1)原式=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2.(2)原式=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.例2把下列各式分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)(a2+4)2-16a2.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.(2)原式=(a2+4)2-(4a)2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.例3计算:(1)1002-2×100×99+992;(2)342+34×32+162;(3)7652×17-2352×17.解:(1)原式=(100-99)2=1.(2)原式=(34+16)2=2 500.(3)原式=17×(7652-2352)=17×(765+235)(765-235)=17×1 000×530=9 010 000.例4已知a2+b2+2a-4b+5=0,求2a2+4b-3的值.解:由已知可得(a2+2a+1)+(b2-4b+4)=0,即(a+1)2+(b-2)2=0,解得a=-1,b=2.∴2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3=7.设计意图:通过多种方法的综合应用,感受因式分解给计算带来的便捷,选题层次分明考察各有侧重点,让学生体会“数式同性”,掌握研究方法和知识的迁移性,形成体系,培养数感和运算能力.巩固训练1.下列四个多项式中,能因式分解的是(B)A.a2+1B.a2-6a+9C.x2+5yD.x2-5y2.把多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是(B)A.4xy(x-y)-x3B.-x(x-2y)2C.x(4xy-4y2-x2)D.-x(-4xy+4y2+x2)3.把下列多项式因式分解.(1)4(2a+b)2-4(2a+b)+1;(2)y2+2y+1-x2.解:(1)原式=[2(2a+b)]2-2·2(2a+b)·1+12=(4a+2b-1)2.(2)原式=(y+1)2-x2=(y+1+x)(y+1-x).设计意图:共设计3个题目,针对所学内容对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结(1)因式分解有哪些方法?(2)能用完全平方公式因式分解的结构特点是什么?(3)因式分解的步骤及注意问题有什么?(4)本节用到什么研究问题的方法?设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第119页练习第1,2题.2.作业.教学反思。
人教版八年级数学上册教学设计14.3 因式分解
人教版八年级数学上册教学设计14.3 因式分解一. 教材分析因式分解是八年级数学上册的教学内容，主要目的是让学生掌握因式分解的基本方法和技巧。
教材通过引入多项式的乘法，让学生理解因式分解的实质，进而学习提公因式法、公式法等因式分解方法。
本节课的内容在数学知识体系中具有重要的地位，为学生深入学习代数运算和方程求解打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法运算，具备一定的代数基础。
但因式分解作为一种独立的解题方法，对学生来说较为抽象，需要通过实例分析、动手操作、小组讨论等方式，让学生逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握因式分解的基本方法，能够运用提公因式法、公式法等进行因式分解。
2.过程与方法：培养学生观察、分析、归纳的能力，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识，使学生感受到数学的内在美。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法和技巧。
2.难点：如何引导学生发现和运用提公因式法、公式法等进行因式分解。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例分析法、小组合作法、引导发现法等，以学生为主体，教师为主导，充分调动学生的积极性，提高学生的学习兴趣。
六. 教学准备1.准备相关教学PPT和教学素材。
2.设计好教学问题和练习题。
3.准备好黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出因式分解的必要性，激发学生的学习兴趣。
例如：已知二次函数的图像，求其解析式。
2.呈现（10分钟）呈现因式分解的定义和基本方法，引导学生观察、分析、归纳因式分解的规律。
通过PPT展示提公因式法、公式法等具体的因式分解方法。
3.操练（10分钟）让学生动手操作，尝试运用所学的因式分解方法解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
4.巩固（10分钟）设计一些练习题，让学生运用所学的因式分解方法进行解答。
教师选取部分学生的答案进行讲解和评价，及时巩固所学知识。
八年级数学上册14.3因式分解教案(新版)新人教版
14.3 因式分解教学目标1．知识与技能了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系．2．过程与方法经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中的作用．3．情感、态度与价值观在探索因式分解的方法的活动中，培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，培养积极的进取意识，体会数学知识的内在含义与价值．重点难点1．重点：了解因式分解的意义，感受其作用．2．难点：整式乘法与因式分解之间的关系．通过分解因数引入到分解因式，并进行类比，加深理解．教学方法采用“激趣导学”的教学方法．教学过程一、创设情境，激趣导入【问题牵引】请同学们探究下面的 2 个问题：问题 1： 720 能被哪些数整除？谈谈你的想法．问题 2：当 a=102， b=98 时，求 a2－ b2的值．二、丰富联想，展示思维探索：你会做下面的填空吗？1． ma+mb+mc=（）（）；2． x2－ 4=（）（）；3． x2－ 2xy+y 2=（）2．【师生共识】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．三、小组活动，共同探究【问题牵引】（1）下列各式从左到右的变形是否为因式分解：①（ x+1）（ x－ 1） =x2－ 1；② a2－ 1+b2=（ a+1）（ a－ 1） +b2；③ 7x－ 7=7（ x－ 1）．（2）在下列括号里，填上适当的项，使等式成立．① 9x2（ ______） +y2=（ 3x+y ）（ _______）；② x2－ 4xy+（ _______） =（ x－ _______）2．四、随堂练习，巩固深化补充练习．【探研时空】计算： 993－ 99 能被 100 整除吗？五、课堂总结，发展潜能由学生自己进行小结，教师提出如下纲目：1．什么叫因式分解？2．因式分解与整式运算有何区别？六、布置作业，专题突破补充题．板书设计14.3因式分解1、因式分解例：练习：14.3.1提公因式法教学目标1．知识与技能能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式．2．过程与方法使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解．3．情感、态度与价值观培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值．重点难点1．重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式．2．难点：正确地确定多项式的最大公因式．提公因式法关键是如何找公因式．方法是：一看系数、二看字母． ?公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．教学方法采用“启发式”教学方法．教学过程一、回顾交流，导入新知【复习交流】下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？（ 1） 2x2 +4=2（ x2+2）；（2）2t2－3t+1=（2t3－3t2+t）；（3） x2+4xy － y2=x（x+4y ）－ y2；（ 4） m（ x+y）=mx+my；（5） x2－ 2xy+y 2=（ x－ y）2．问题：1．多项式 mn+mb中各项含有相同因式吗？2．多项式 4x2－ x 和 xy 2－ yz －y 呢？请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由．【教师归纳】我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式，如在mn+mb中的公因式是m，在 4x 2－ x 中的公因式是x，在 xy 2－ yz－ y 中的公因式是y．概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．二、小组合作，探究方法【教师提问】多项式 4x 2－ 8x6， 16a3b2－ 4a3b2－ 8ab4各项的公因式是什么？【师生共识】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式，找公因式一看系数、二看字母，公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．三、范例学习，应用所学【例 1】把－ 4x2yz －12xy 2z+4xyz 分解因式．解：－ 4x2yz － 12xy2z+4xyz= －（ 4x2 yz+12xy 2z－4xyz ）= － 4xyz （ x+3y －1）【例 2】分解因式， 3a2（ x－y）3－ 4b2（ y－ x）2【思路点拨】观察所给多项式可以找出公因式（y－ x）2或（ x－ y）2，于是有两种变形，（x－y）3=－（ y－ x）3和（ x－ y）2=（ y－ x）2，从而得到下面两种分解方法．解法 1：3a2（ x－ y）3－ 4b2（ y－ x）2=－ 3a2（ y－ x）3－ 4b2（y－ x）2=－ [ （ y－ x）2· 3a2（y－ x） +4b2（ y－ x）2]=－（ y－x）2 [3a 2（y－ x） +4b2]=－（ y－x）2（ 3a2y－3a2x+4b2）解法 2：3a2（ x－ y）3－ 4b2（ y－ x）2=（ x－ y）2· 3a2（ x－y）－ 4b2（x－ y）2=（ x－ y）2 [3a 2（ x－y）－ 4b2 ]=（ x－ y）2（ 3a2x－ 3a2y－ 4b2）【例 3】用简便的方法计算：0.84 × 12+12× 0.6 － 0.44 ×12．【教师活动】引导学生观察并分析怎样计算更为简便．解： 0.84 × 12+12× 0.6 － 0.44 × 12=12 ×（ 0.84+0.6 －0.44 ）=12 × 1=12．【教师活动】在学生完全例 3 之后，指出例 3 是因式分解在计算中的应用，提出比较例1，例2，例 3 的公因式有什么不同？四、随堂练习，巩固深化【探研时空】利用提公因式法计算：0.582×8.69+1.236× 8.69+2.478× 8.69+5.704× 8.69五、课堂总结，发展潜能1 ．利用提公因式法因式分解，关键是找准最大公因式．?在找最大公因式时应注意：（1）系数要找最大公约数；（2）字母要找各项都有的；（3）指数要找最低次幂．2．因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为止．六、布置作业，专题突破课本 P119 习题 14． 3 第 1、 4（ 1）、 6 题．练习：板书设计14.3.1提公因式法1、提公因式法例：14.3.2公式法（一）教学目标1．知识与技能会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力．2．过程与方法经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性．3．情感、态度与价值观培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值．重点难点1．重点：利用平方差公式分解因式．2．难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式， ?对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维．教学过程一、观察探讨，体验新知【问题牵引】请同学们计算下列各式．（1）（ a+5）（ a－ 5）；（2）（ 4m+3n）（ 4m－ 3n）．【学生活动】动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演．（1）（ a+5）（ a－ 5） =a2－ 52=a2－ 25；2222（ 2）（ 4m+3n）（ 4m－ 3n）=（ 4m）－（ 3n） =16m－ 9n．【教师活动】引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．1．分解因式：a2－ 25； 2 ．分解因式16m2－ 9n．【学生活动】从逆向思维入手，很快得到下面答案：（1） a2－ 25=a2－ 52=（ a+5）（ a－5）．2222（ 2） 16m－ 9n =（ 4m）－（ 3n）=（4m+3n）（ 4m－ 3n）．【教师活动】引导学生完成a2－ b2=（ a+b）（ a－ b）的同时，导出课题：用平方差公式因式分解．平方差公式：a2－ b2=（ a+b）（ a－ b）．评析：平方差公式中的字母 a 、 b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．二、范例学习，应用所学【例 1】把下列各式分解因式：（投影显示或板书）（ 1） x2－ 9y2；（2）16x4－y4；（ 3） 12a2x2－ 27b2y2；（4）（x+2y）2－（x－3y）2；（5） m2（ 16x－ y） +n2（ y－ 16x）．【思路点拨】在观察中发现 1 ～ 5 题均满足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解．【学生活动】分四人小组，合作探究．解：（ 1） x2－ 9y2=（x+3y ）（ x－ 3y）；（2） 16x4－ y4=（ 4x2+y2）（ 4x2－ y2） =（ 4x2+y2）（ 2x+y）（ 2x－ y）；2 2 2 2 2 222（3） 12a x － 27b y =3（ 4a x － 9b y ） =3（ 2ax+3by ）（ 2ax－ 3by ）；（4）（ x+2y ）2－（ x－ 3y）2=[ （ x+2y ） +（ x－3y） ][ （ x+2y）－（ x－ 3y） ] =5y （ 2x－ y）；（5） m2（ 16x－ y） +n2（ y－ 16x）=（ 16x －y）（ m2－ n2） =（ 16x－ y）（ m+n）（ m－n）．三、随堂练习，巩固深化课本 P117 练习第 1、 2 题．【探研时空】1 ．求证：当n 是正整数时， n3－ n 的值一定是 6 的倍数．2．试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除．连续偶数的平方差能被一个奇数整除．四、课堂总结，发展潜能运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底．五、布置作业，专题突破课本 P119 习题 14． 3 第 2、 4（ 2）、 11 题．板书设计14.3 .2公式法（一）1、平方差公式：例：a 2－ b2=（ a+b）（ a－ b）练习：14.3.2公式法（二）教学目标1．知识与技能领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．2．过程与方法经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．3．情感、态度与价值观培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．重点难点1．重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．2．难点：灵活地应用公式法进行因式分解．应用“化归”、“换元”的思想方法，把问题进行形式上的转化，?达到能应用公式法分解因式的目的．教学方法采用“自主探究”教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容．教学过程一、回顾交流，导入新知【问题牵引】1．分解因式：（1）－ 9x2+4y2；（2）（ x+3y）2－（ x－3y）2；（ 3）x2－ 0.01y 2．【知识迁移】2．计算下列各式：（ 1）（ m－ 4n）2；（2）（m+4n）2；（ 3）（ a+b）2；（4）（a－b）2．【教师活动】引导学生完成下面两道题，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．3．分解因式：2222（ 1） m－ 8mn+16n（ 2） m+8mn+16n；（ 3） a2+2ab+b2；（ 4） a2－2ab+b2．【学生活动】从逆向思维的角度入手，很快得到下面答案：222222解：（ 1） m－ 8mn+16n=（ m－4n）；（ 2） m+8mn+16n=（ m+4n）；222222 （ 3） a +2ab+b =（ a+b）；（ 4） a － 2ab+b =（ a－ b）．【归纳公式】完全平方公式a2± 2ab+b2=（a± b）2．二、范例学习，应用所学【例 1】把下列各式分解因式：223（2－4；（ 1）－ 4a b+12ab－9b；2）8a－ 4a（ 3）（ x+y ）2－ 14（ x+y ） +49；（4）+n4．【例 2】如果 x2+axy+16y 2是完全平方，求 a 的值．【思路点拨】根据完全平方式的定义，解此题时应分两种情况，即两数和的平方或者两数差的平方，由此相应求出 a 的值，即可求出 a3．三、随堂练习，巩固深化课本 P119 练习第 1、 2 题．【探研时空】1．已知 x+y=7 ， xy=10 ，求下列各式的值．（1） x2+y2；（ 2）（ x－ y）22 ．已知 x+ =－ 3，求 x4+的值．四、课堂总结，发展潜能由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反，因此把整式乘法公式反过来写，就得到多项式因式分解的公式，主要的有以下三个：a 2－ b2=（ a+b）（ a－b）；a 2± ab+b2=（a± b）2．在运用公式因式分解时，要注意：（ 1）每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、?次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时，应考虑用完全平方公式分解；（2） ?在有些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分解；（3）当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，?然后再运用公式分解．五、布置作业，专题突破课本 P119 习题 14． 3 第 3、 5、 7、 8 题．板书设计14.3.2公式法（二）1、完全平方公式：例：a2± 2ab+b2=（ a± b）2练习：。
八上数学14.3因式分解(全)
2
( )
④ 给4x2+1加上一个单项式，
使它成为一个完全平方式，这 个单项式可以是 ________。
提高训练(二)
1 、已知a b 4，ab c2 4 0，则a b c ___。
1 1 2、若0 x 1，化简 x 4 x 4。 x x
①x 2x 2 x 4
2
②6x y 2x y 3xy 9 3 3 2 ③x 4 x 2 x 2 4x 2 x 2x 2 2 2 ④5x y 3x y 2x y 1 (5) a 1 a (1 ) a
2
x 1 x 1x 1
2
上面我们把一个多项式化成了几个整 式的积的形式，像这样的式子变形叫做把 这个多项式 因式分解，也叫做把这个多项 式 分解因式。
x 1
2
因式分解 整式乘法
x 1x 1
因式分解与整式乘法是逆变形
依照定义，判断下列变形是不是 因式分解 （把多项式化成几个整式的积）
a 2ab b
2
2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
① 16x2 + 24x + 9 = (4x+3)2
② – 4x2 + 4xy – y2
= – (4x2–4xy+y2) = – (2x–y)2
①a 18a 81 ④m n 2m n 1
2
4 2 2
2 1 2 2 2 ⑤a b c 4abc 4 ②x x 3 9 2 2 ③ s t 2st ⑥ 25x 2 20x 4
人教版数学八年级上册14.3.因式分解(第1课时)优秀教学案例
（一）知识与技能
1.让学生掌握因式分解的基本概念，理解因式分解的意义和作用。
2.使学生掌握提公因式法和公式法这两种基本的因式分解方法，并能够运用这两种方法进行简单的因式分解。
3.培养学生运用因式分解解决一些实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。
4.培养学生运用数学知识分析和解决问题的能力，提高学生的数学思维水平。
2.问题导向的教学策略：本节课通过设计具有层次性和挑战性的问题，引导学生进行思考和探究，使学生在解决问题的过程中掌握因式分解的方法。这种问题导向的教学策略不仅培养了学生的逻辑思维能力，还提高了学生的创新解题能力。
3.小组合作的实践：通过组织学生进行小组合作，让学生在合作中探究和解决问题，提高了学生的实践能力。同时，小组合作也培养了学生的团队协作意识和交流沟通能力，使学生在合作中得到成长。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：通过引入生活中的实际问题，让学生感受因式分解在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.故事情境：讲述与因式分解相关的历史故事，让学生了解因式分解的发展历程，增强学生的文化素养。
3.问题情境：创设具有挑战性和启发性的问题，引发学生的思考，引导学生进入学习状态。
2.利用故事情境：讲述与因式分解相关的历史故事，如“笛卡尔和因式分解”，激发学生的学习兴趣。
3.提出问题：创设具有挑战性和启发性的问题，如“你能将一个多项式分解成几个整式的乘积吗？”，引发学生的思考，引导学生进入学习状态。
（二）讲授新知
1.提公因式法：引导学生观察和分析多项式，找出公因式，并进行提取，让学生理解并掌握提公因式法。
2.组织讨论：引导学生积极参与讨论，鼓励学生提出自己的观点和思路，培养学生的团队协作能力。
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课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）因式分解的目的是什么？因式分解与整式乘法 有什么区别和联系？ （3）提公因式法的一般步骤是什么？应用提公因式 法分解因式时要注意什么？
题．
（2）3mx-6my；
（3）8m n+ 2mn；
（4）12 xyz -9 x y ； a y -z） -3（ b z -y）； （5）2（
2 2 2 2 （ p a + b ）（ q a + b ）. （ 6）
2 2
2
初步应用提公因式法
先分解因式，再求值． 2 4a（x+ 7）（ -3 x+ 7） ，其中 a =-5，x=3. 练习3
初步应用提公因式法
例2 把 2（ 分解因式． a b+c）（ -3 b+c）
a b+c）（ -3 b+c） 解： 2（
=（b+c） （2a-3）.
初步应用提公因式法
通过对例2的解答，你有什么收获？
公因式可以是单项式，也可以是多项式.
初步应用提公因式法
练习2 把下列各式分解因式：
（1）ax+ay；
（x+ 2） -3； （2） x + 2 x -3=x 2 2 a b =（a+b） （a-b） . （ 3）
3 2 2
探索因式分解的方法——提公因式法
你能试着将多项式 pa+pb+pc 因式分解吗？ （1）这个多项式有什么特点？ （2）因式分解的依据是什么？ （3）分解后的各因式与原多项式有何关系？
了解因式分解的概念
在多项式的变形中，有时需要将一个多项式化成几 个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因 式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 你认为因式分解与整式乘法有什么关系？
因式分解与整式乘法是互逆变形关系．
了解因式分解的概念
练习1 下列变形中，属于因式分解的是： a b+c） =ab+ac； （ 1） （
了解因式分解的概念
上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几 个整式的乘积化为一个多项式的形式．反过来，在式的 变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的 形式． 请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
（ x x+1 ） x 2 +x= _______________ ； 2 x -1= ________________. （x+1） （x-1）
探索因式分解的方法——提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个 公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的 乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．
初步应用提公因式法
例1 把 8a 3b 2 +12ab3c 分解因式．
解： 8a 3b 2 +12ab3c
= 4ab 2 2a 2 + 4ab 2 3bc
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14.3 因式分解 （第1课时）
课件说明
• 本课是在学生学习了整式乘法的基础上，研究对整 式的一种变形即因式分解，是把一个多项式转化成 几个整式相乘的形式，它与整式乘法是互逆变形的 关系．
课件说明
• 学习目标： 1．了解因式分解的概念． 2．了解公因式的概念，能用提公因式法进行因式 分 解． • 学习重点： 运用提公因式法分解因式．
= 4ab （2a +3bc）.
2
2
初步应用提公因式法
通过对例1的解答，你有什么收获？ （1）公因式是多项式各项系数的最大公约数和各项都 含有的字母及多项式的最低次幂的乘积； （2）提公因式法就是把多项式分解成两个因式乘积的 形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因 式是由多项式除以公因式得到的； （3）用提公因式分解因式后，应保证含有多项式的因 式中再无公因式．