【数学】3.3.2《两点间的距离》课件(A版必修2)
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人教A版高中数学必修二课件3.3.2两点间的距离(共29张PPT)
时，一是要考虑全面，二是可从问题的反面着手，即可 先考虑不能构成三角形的情形，然后再对其一一否定．
跟踪训练
4．已知三条直线l1：ax＋2y＋8＝0，l2：4x＋3y＝10，l3 ：2x－y＝10，若三条直线恰交于同一个点，则a＝ ________，该点坐标为________． 解析：将l2，l3的方程联立求交点得(4，－2)，再代入l1 的方程即得a＝－1.
【名师点评】 法一通过方程组求出两直线交点，再根据平行直线斜率 相等求直线方程；法二直接设出过两直线交点的直线系 方程，再根据平行条件求出待定系数即可．
跟踪训练
1．若直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交
点在第四象限，求m的取值范围．
题型二
例2
方程．
两点间的距离公式及应用
已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－
1)，C(4,7)，求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的
跟踪训练
2．已知点A(4，－3)、B(2，－1)和直线l：4x＋y－2＝0
，在直线l上求一点P，使|PA|＝|PB|.
题型三
例3
对称问题
点A(2,2)关于直线l：2x－4y＋9＝0对称点的坐
，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是 A．a＝1或a＝－2 C．a≠1，且a≠－2 【常见错误】
因只考虑三条直线相交于一点构不成三
角形，忽视任意两直线平行或重合也不能构成三角形，
错选B或C.
【答案】
D
【失误防范】
三条直线若能构成三角形，既不能三线
共点，也不能三线中有两条平行或重合，处理该类问题
标是______________．
【答案】
(1,4)
跟踪训练
4．已知三条直线l1：ax＋2y＋8＝0，l2：4x＋3y＝10，l3 ：2x－y＝10，若三条直线恰交于同一个点，则a＝ ________，该点坐标为________． 解析：将l2，l3的方程联立求交点得(4，－2)，再代入l1 的方程即得a＝－1.
【名师点评】 法一通过方程组求出两直线交点，再根据平行直线斜率 相等求直线方程；法二直接设出过两直线交点的直线系 方程，再根据平行条件求出待定系数即可．
跟踪训练
1．若直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交
点在第四象限，求m的取值范围．
题型二
例2
方程．
两点间的距离公式及应用
已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－
1)，C(4,7)，求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的
跟踪训练
2．已知点A(4，－3)、B(2，－1)和直线l：4x＋y－2＝0
，在直线l上求一点P，使|PA|＝|PB|.
题型三
例3
对称问题
点A(2,2)关于直线l：2x－4y＋9＝0对称点的坐
，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是 A．a＝1或a＝－2 C．a≠1，且a≠－2 【常见错误】
因只考虑三条直线相交于一点构不成三
角形，忽视任意两直线平行或重合也不能构成三角形，
错选B或C.
【答案】
D
【失误防范】
三条直线若能构成三角形，既不能三线
共点，也不能三线中有两条平行或重合，处理该类问题
标是______________．
【答案】
(1,4)
【数学】3.3.2《两点间的距离》课件(A版必修2)
求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? y P1(x1,y1) Q(x2,y1)
P2(x2,y2)
o
x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离:
| OP | x2 y2
练习
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、C(0，-4),D(0，-1) (3)、P(6，0),Q(0，-2) (4)、M(2，1),N(5，-1)
例题分析
例1 已知点A(1, 2), B(2, 7),在x轴上求一点P,使 得 | PA || PB |,并求 | PA |的值.
解：设所求点为P(x,0)，于是有
|PA| (x1)2 (0 2)2 x2 2x 5 |PB| (x 2)2 (0 7)2 x2 4x11
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§3.3.2 两点间的距离
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何
求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
y
y
P1
P2
P2
P1
o
x
o
x
| P1P2 || x2 x1 |
| P1P2 || y2 y1 |
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何
例题分析
例4、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角
线的平方和。
解：如图，以顶点A为坐标原 点，AB所在直线为x轴，建立
y
D(b,c) C(a+b,c)
直角坐标系，则有A(0,0)
设B(a,0),D(b,c),由平行四边形
P2(x2,y2)
o
x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地,原点O与任一点P(x, y)的距离:
| OP | x2 y2
练习
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、C(0，-4),D(0，-1) (3)、P(6，0),Q(0，-2) (4)、M(2，1),N(5，-1)
例题分析
例1 已知点A(1, 2), B(2, 7),在x轴上求一点P,使 得 | PA || PB |,并求 | PA |的值.
解：设所求点为P(x,0)，于是有
|PA| (x1)2 (0 2)2 x2 2x 5 |PB| (x 2)2 (0 7)2 x2 4x11
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§3.3.2 两点间的距离
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何
求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
y
y
P1
P2
P2
P1
o
x
o
x
| P1P2 || x2 x1 |
| P1P2 || y2 y1 |
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何
例题分析
例4、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角
线的平方和。
解：如图，以顶点A为坐标原 点，AB所在直线为x轴，建立
y
D(b,c) C(a+b,c)
直角坐标系，则有A(0,0)
设B(a,0),D(b,c),由平行四边形
人教A版必修二第三章3.33.3.2两点间的距离配套课件.pptx
∴ [a－－2]2＋[a＋4－－4]2 ＝ a－42＋a＋4－62， ∴a＝－32，∴P－32，52.
2－1.已知点 M(x，－4)与 N(2,3)间的距离为 7 2，求 x 的 值．
解：由|MN|＝7 2，得 x－22＋－4－32＝7 2，整理
得x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5， 故所求x值为9或－5.
4－1.若A(－2，－3)，B(1,1)，点P(a,2)是AB的垂直平分线 上一点，则a＝__－__92___.
3．3.2两点间的距离
1．已知 A(1，a)，B(2,3)，且|AB|＝ 10，a＝( D ) AB．．60 CD．．30或6 2．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是
( C)
A．x－y－1＝0
B．x－y＋1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋1＝0
3．动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程 是( B )
|AO|＝ a2＋b2，|OC|＝c.
∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AO|2＋|OC|2＝a2＋b2＋c2.
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
图1
3－1.△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B、C不重合)， 且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.用解析法证明：△ABC为等腰三角形．
解：如图33，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x
轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系．
设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)． 因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，
所以b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，
所以－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．
2－1.已知点 M(x，－4)与 N(2,3)间的距离为 7 2，求 x 的 值．
解：由|MN|＝7 2，得 x－22＋－4－32＝7 2，整理
得x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5， 故所求x值为9或－5.
4－1.若A(－2，－3)，B(1,1)，点P(a,2)是AB的垂直平分线 上一点，则a＝__－__92___.
3．3.2两点间的距离
1．已知 A(1，a)，B(2,3)，且|AB|＝ 10，a＝( D ) AB．．60 CD．．30或6 2．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是
( C)
A．x－y－1＝0
B．x－y＋1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋1＝0
3．动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程 是( B )
|AO|＝ a2＋b2，|OC|＝c.
∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AO|2＋|OC|2＝a2＋b2＋c2.
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
图1
3－1.△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B、C不重合)， 且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.用解析法证明：△ABC为等腰三角形．
解：如图33，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x
轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系．
设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)． 因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，
所以b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，
所以－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．
高中数学 3.3.2两点间的距离课件 新人教A版必修2 (2)
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8
2．坐标法(解析法) 坐标法解决几何问题时，关键是结合图形的特征，建立平 面直角坐标系，坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否 简便解决．因此，建系时应遵循以下原则： (1)让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运 算．
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9
(2)如果条件中有互相垂直的两条直线，一般情况下将它 们建为坐标系；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心建为 原点；如果图形有对称轴，可考虑将对称轴建为坐标轴.
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19
【解】 (1)设点P为(x,0)则有 |PA|＝ x＋32＋0－42＝ x2＋6x＋25， |PB|＝ x－22＋0－ 32＝ x2－4x＋7. 由|PA|＝|PB|，得 x2＋6x＋25＝x2－4x＋7， 解得x＝－95.
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20
即所求点P为(－95，0)，且
|PA|＝
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13
规律技巧 三条线段构成三角形的条件是：任两条线段之 和大于第三条线段，任两条线段之差小于第三条线段.
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14
二 坐标法证明几何问题
【例2】 如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异 于B，C的任意一点，求证：|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.
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7
名师讲解 1.两点间距离公式 两点间距离公式的两种特殊情况： (1)直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|； (2)直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 在此基础上，运用勾股定理就很容易得出平面上任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式： |P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22.
第三章 直线与方程
数学：3.3.2《两点间的距离》课件(新人教版a版必修2)
1 |P 1P 2 || y2 y1 | 1 2 k
|P 1P 2 || x2 x1 | 1 k
2
1 | y2 y1 | 1 2 k
思考3:上述两个结论是两点间距离公式 的两种变形，其使用条件分别是什么？
思考4:若已知 x1 x2 和 x1 x2 ，如何 求 | x2 x1 |？
例3 证明平行四边形四条边的平方 和等于两条对角线的平方和.
y D (b, c) C (a+b, c) x
A(0,0)
B(a,0)
用“坐标法”解决有关几何问题的 基本步骤：
第一步；建立坐标系， 用坐标系表示有关的量
第二步：进行 有关代数运算
第三步：把代数运算结果 “翻译”成几何关系
作业： P106练习：1，2. P110习题3.3A组：6，7，8.
思考1:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离 公式可作怎样的变形？
|P 1P 2 || x2 x1 | 1 k
2
思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形？
| x2 x1 | ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2
理论迁移
例1 已知点 A( 1,2) 和 B ( 2, 7 ) , 在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求 |PA|的值. 例2 设直线2x-y+1=0与抛物线 2 y x 3 x 4 相交于A、B两点，求|AB|的 值.
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？ |P1P2|=|x1-x2|
|P 1P 2 || x2 x1 | 1 k
2
1 | y2 y1 | 1 2 k
思考3:上述两个结论是两点间距离公式 的两种变形，其使用条件分别是什么？
思考4:若已知 x1 x2 和 x1 x2 ，如何 求 | x2 x1 |？
例3 证明平行四边形四条边的平方 和等于两条对角线的平方和.
y D (b, c) C (a+b, c) x
A(0,0)
B(a,0)
用“坐标法”解决有关几何问题的 基本步骤：
第一步；建立坐标系， 用坐标系表示有关的量
第二步：进行 有关代数运算
第三步：把代数运算结果 “翻译”成几何关系
作业： P106练习：1，2. P110习题3.3A组：6，7，8.
思考1:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离 公式可作怎样的变形？
|P 1P 2 || x2 x1 | 1 k
2
思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形？
| x2 x1 | ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2
理论迁移
例1 已知点 A( 1,2) 和 B ( 2, 7 ) , 在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求 |PA|的值. 例2 设直线2x-y+1=0与抛物线 2 y x 3 x 4 相交于A、B两点，求|AB|的 值.
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？ |P1P2|=|x1-x2|
高中数学 第三章 3.3.2两点间的距离课件 新人教A版必修2
第一页，共19页。
填一填·知识要点(yàodiǎn)、记下疑难 点
1．若平面上两点 P1、P2 的坐标分别为 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则
P1、P2 两点间的距离公式为 |P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12 .
特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离为|OP|＝
x2＋y2 .
第十一页，共19页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更
高效 即baa－ －＋2 211·＋－2×12＝b＋2－21－10＝0
，解得ab＝＝36 ，
即 A′(3,6)．
所以直线 A′B 的方程为 6x＋y－24＝0，
解所方以程P组点的6x＋x＋坐2yy标－ －为214031＝ ＝18，00 31，16.得xy＝ ＝33111186
第十六页，共19页。
练一练·当堂检测、目标(mùbiāo)达成落实 处
3．过点 A(4，a)和 B(5，b)的直线和直线 y＝x＋m 平行，则 |AB|＝____2____. 解析 因为 kAB＝b5－ －a4＝b－a＝1，所以|AB|＝ 5－42＋b－a2 ＝ 2.
第十七页，共19页。
练一练·当堂检测、目标达成(dáchéng) 落实处
4．已知△ABC 的三个顶点是 A(－1,0)，B(1,0)，C(12， 23)，试
判断△ABC 的形状．
解 如右图所示，因为|BC|＝
1－122＋－
32 2
＝ 1＋4 3＝1，
|AB|＝2，|AC|＝ 322＋ 232＝ 3，
有|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以△ABC是直角三角形．
第十八页，共19页。
第八页，共19页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高 效
填一填·知识要点(yàodiǎn)、记下疑难 点
1．若平面上两点 P1、P2 的坐标分别为 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则
P1、P2 两点间的距离公式为 |P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12 .
特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离为|OP|＝
x2＋y2 .
第十一页，共19页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更
高效 即baa－ －＋2 211·＋－2×12＝b＋2－21－10＝0
，解得ab＝＝36 ，
即 A′(3,6)．
所以直线 A′B 的方程为 6x＋y－24＝0，
解所方以程P组点的6x＋x＋坐2yy标－ －为214031＝ ＝18，00 31，16.得xy＝ ＝33111186
第十六页，共19页。
练一练·当堂检测、目标(mùbiāo)达成落实 处
3．过点 A(4，a)和 B(5，b)的直线和直线 y＝x＋m 平行，则 |AB|＝____2____. 解析 因为 kAB＝b5－ －a4＝b－a＝1，所以|AB|＝ 5－42＋b－a2 ＝ 2.
第十七页，共19页。
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4．已知△ABC 的三个顶点是 A(－1,0)，B(1,0)，C(12， 23)，试
判断△ABC 的形状．
解 如右图所示，因为|BC|＝
1－122＋－
32 2
＝ 1＋4 3＝1，
|AB|＝2，|AC|＝ 322＋ 232＝ 3，
有|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以△ABC是直角三角形．
第十八页，共19页。
第八页，共19页。
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高中数学人教A版必修二 课件：3.3.2两点间的距离
想一想 2.已知点P(x, y), 问x2＋y2表示的几何意义是 什么？ 提示: x2＋y2表示|OP|2, 即点P到坐标原点距 离的平方.
做一做 3.已知点P1(5,1), P2(2, －2), 则|P1P2|＝_____.
解析: |P1P2|＝ 5－2 2＋1＋22＝3 2.
答案: 3 2
【名师点评】
把要证明的问题转化为代
数计算, 即是一个代数验证的过程.
互动探究
2. 在上述△ABC 中, 若 M 为 BC 的中点. 1 求证: |AM|＝ |BC|. 2 证明: 设点 M 的坐标为 (x, y),
∵点 M 为 BC 的中点 , 3 ＋1 － 3＋ 7 ∴ x＝ ＝ 2, y＝ ＝ 2, 2 2
程组有唯一解 14 y＝ 3 .
10 x＝－ ， 3
所以两直线相交 ,
10 14 且交点坐标为 － 3 ， 3 .
2x－ 6y＋ 3＝ 0，① (2)解方程组 1 1 y ＝ x ＋ ，② 3 2 ②×6 得 2x－ 6y＋ 3＝ 0, 因此①和②可以化成同一个方程 , 即方程组 有无数组解 , 所以两直线重合 .
(2)l关于点A的对称直线l′的方程.
【思路点拨】 (1)设A′(a, b)→求A′A中点代入
l→kAA′＝－1→解方程组得a, b.
(2)设l′方程→在l′上任取点
求对称点→代入.
【解】
(1)设 A′ (a, b),
a＋1 b＋1 则 A′ A 的中点 M 为( , ), 2 2 a＋1 b＋1 在 l 上, ∴ － － 2＝0, ① 2 分 2 2 b－1 又∵kAA′ ＝ , 直线 AA′与 l 垂直 , a－1 b－1 ∴ ＝－1, ② 4 分 a－1 ∴由①②得 a＝3, b＝－1,
高中数学必修二人教A版3.3.2两点间的距离 课件
学习目标
知识与技能：理解平面内两点间的距离公式的推导 过程 ，掌握两点间的距离公式及其应用. 过程与方法：通过两点间距离公式的推导，培养探 索问题的能力和运用知识的能力，加深对数形结合 以及由特殊到一般的思想的认识. 情感态度价值观：通过主动探究，合作交流，感受 探索的乐趣和成功的体验，体会数学的条理性和严 谨性，激发学习兴趣.
A B2A C 22(A O 2O C 2)
拓展练习
练习 2
证明直角三角形斜边的中点
到三个顶点的距离相等.
合作探究
探究三 运用两点间的距离公式证明不等式 例3 已知 0x1,0y1，求证：
x 2 y 2 x 2 ( 1 y ) 2 ( 1 x ) 2 y 2 ( 1 x ) 2 ( 1 y ) 2 2 2
（2）C(0，-4),D(0，-1); CD= 0-02+-1+42=3
（3）P(6，0),Q(0，-2); PQ=0-62+-2-02=210
（4）M(2，1),N(5，-1); M N52211213
基础检测 三、课本106页练习题2.
2. 已知点A（a，-5）与B（0,10）间的距离 为17，求a的值.
由 |P| A |P| B得 x22 x5 x24 x11
解得x=1，所以所求点P(1,0)
|P| A( 1 12) ( 022) 22
基础检测
四、学生讲解课本105页例4.
例4 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线
的平方和。
解：如图，以顶点A为坐标原 点，AB所在直线为x轴，建立
并求使等式成立的条件.
拓展练习
练习 3
设a,b,c,dR,求证：对于任意 p, q R,有
知识与技能：理解平面内两点间的距离公式的推导 过程 ，掌握两点间的距离公式及其应用. 过程与方法：通过两点间距离公式的推导，培养探 索问题的能力和运用知识的能力，加深对数形结合 以及由特殊到一般的思想的认识. 情感态度价值观：通过主动探究，合作交流，感受 探索的乐趣和成功的体验，体会数学的条理性和严 谨性，激发学习兴趣.
A B2A C 22(A O 2O C 2)
拓展练习
练习 2
证明直角三角形斜边的中点
到三个顶点的距离相等.
合作探究
探究三 运用两点间的距离公式证明不等式 例3 已知 0x1,0y1，求证：
x 2 y 2 x 2 ( 1 y ) 2 ( 1 x ) 2 y 2 ( 1 x ) 2 ( 1 y ) 2 2 2
（2）C(0，-4),D(0，-1); CD= 0-02+-1+42=3
（3）P(6，0),Q(0，-2); PQ=0-62+-2-02=210
（4）M(2，1),N(5，-1); M N52211213
基础检测 三、课本106页练习题2.
2. 已知点A（a，-5）与B（0,10）间的距离 为17，求a的值.
由 |P| A |P| B得 x22 x5 x24 x11
解得x=1，所以所求点P(1,0)
|P| A( 1 12) ( 022) 22
基础检测
四、学生讲解课本105页例4.
例4 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线
的平方和。
解：如图，以顶点A为坐标原 点，AB所在直线为x轴，建立
并求使等式成立的条件.
拓展练习
练习 3
设a,b,c,dR,求证：对于任意 p, q R,有
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练习
4、证明直角三角形斜边的中点到三个顶点 的距离相等。
y
B (0,b)
M(
a 2 , b 2 )
o C (0,0)
x A(a,0)
小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
| P P | 1 2 ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2 2
特别地 , 原点 O 与任一点 | OP | x y
| PA | | PB | (x 1) (0 2) (x 2) (0
2 2 2
x 2x 5 x 4x 11
2
2
7)
2
由 | PA || PB | 得 x 2x 5
2
x 4x 11
2
解得x=1，所以所求点P(1,0)
| PA | (1 1) (0 2) 2
(2)、C(0，-4),D(0，-1)
(4)、M(2，1),N(5，-1)
例题分析
例 1 已 知 点 A ( 1, 2 ), B ( 2 , 7 ), 在 x 轴 上 求 一 点 P , 使 得 | P A | | P B |, 并 求 | P A | 的 值 .
Hale Waihona Puke 解：设所求点为P(x,0)，于是有
§3.3.2 两点间的距离
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? y y
P1 P2 P2 P1
o
x
o
| P P || y2 y1 | 1 2
x
| P P || x2 x1 | 1 2
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? Q (x2,y1) y P1(x1,y1)
2 2
2
练习
2 .已 知 点 A (1, 2 ), B (3, 4 ), C (5, 0 ), 求 证 : A B C 是 等 腰 三 角 形.
3 . 若 点 P ( x , y )在 直 线 x y 4 0 上 , O 是 原 点 , 求 OP 的 最 小 值.
例题分析
解：如图，以顶点A为坐标原 点，AB所在直线为x轴，建立 直角坐标系，则有A(0,0) 设B(a,0),D(b,c),由平行四边形 的性质可得C(a+b,c)
2 2
P ( x , y )的距离 :
P2(x2,y2)
| P P | 1 2
o 2 2 ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
P ( x , y )的距离 :
2
x
特别地 , 原点 O 与任一点 | OP | x y
2
练习
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0)
(3)、P(6，0),Q(0，-2)
2 2 2 2 2
2
2
2
2
所以, | AB | | CD | | AD | | BC | | AC | | BD |
2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的 平方和
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
2 2 2 2
例4、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角 线的平方和。 y
D (b,c) C(a+b,c)
o A(0,0)
2 2
B (a,0) x
| AB | a , | CD | a 2 2 2 2 2 2 | AD | b c , | BC | b c | AC | (a b) c , | BD | (b - a) c