三年高考(2015-2017)高考数学试题分项版解析 专题23 立体几何的位置关系 理

专题23 立体几何的位置关系1.【2014高考广东卷.理.7】若空间中四条直线两两不同的直线...，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是( )A .14l l ⊥B .14//l lC ..既不平行也不垂直D ..的位置关系不确定【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为，1BB 为，取AD 为，BC 为，D 1C 1B 1A 1DCBA14//l l ；取AD 为，AB 为，则14l l ⊥；取AD 为，11A B 为，则与异面，因此.的位置关系不确定，故选D.2.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥，则（）A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．考点：空间点、线、面的位置关系．【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．3.【2015高考安徽，理5】已知m ，是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，平行于同一平面，则m 与平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，不平行，则m 与不可能垂直于同一平面 【答案】D【解析】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，若m ，平行于同一平面，则m ，可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D 项，其逆否命题为“若m 与垂直于同一平面，则m ，平行”是真命题，故D 项正确.所以选D.4.【2015高考福建，理7】若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ． 【考点定位】空间直线和平面、直线和直线的位置关系．【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查空间直线、平面的位置关系，要理解线线垂直和线面垂直的相互转化以及线线平行和线面平行的转化还有平行和垂直之间的内部联系，长方体是直观认识和描述空间点、线、面位置关系很好的载体，所以我们可以将这些问题还原到长方体中研究．5. 【2015高考北京，理4】设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．若“m β∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，m α⊂，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件.考点定位：本题考点为空间直线与平面的位置关系，重点考察线面、面面平行问题和充要条件的有关知识.【名师点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系及充要条件，本题属于基础题，本题以空间线、面位置关系为载体，考查充要条件．考查学生对空间线、面的位置关系及空间面、面的位置关系的理解及空间想象能力，重点是线面平行和面面平行的有关判定和性质.6.【2014辽宁理4】已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B 【解析】【名师点睛】本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系及垂直关系.解题分关键是熟记相关性质定理、判定定理等，首先利用举反例排除错误选项，是解答此类问题的常用方法.本题属于基础题，覆盖面较广，难度不大.7.【2016高考新课标2理数】,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有． (填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④ 【解析】试题分析：对于①，,,//m n m n αβ⊥⊥，则,αβ的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为//n α，所以过直线n 作平面γ与平面β相交于直线，则//n c ，因为,,m m c m n α⊥∴⊥∴⊥，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④. 考点：空间中的线面关系.【名师点睛】求解本题应注意在空间中考虑线、面关系.8.【2017江苏，15】如图,在三棱锥A-BCD 中,AB ⊥AD , BC ⊥BD , 平面ABD ⊥平面BCD , 点E ,F (E与A ,D 不重合)分别在棱AD ,BD 上,且EF ⊥AD . 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥.又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD . 又AB ⊥AD ，BCAB B =，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC.(第15题)ADBC EF(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.9.【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A -PB -C 的余弦值. 【解析】试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD . （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为轴正方向，||AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得,0,0)2A，(0,0,2P，2B，(2C -.所以(22PC =--，(2,0,0)CB =，2(,0,22PA =-，(0,1,0)AB =. 设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则00PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即020x y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩， 可取(0,1,2)=-n .设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则00PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即0220x z y -=⎨⎪=⎩，可取(1,0,1)=m .则cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m ，所以二面角A PB C --的余弦值为3-是解题的关键.10.【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC 在三角形ABC 中，因为D,E 分别为AB,BC 的中点. 所以//DE AC ，于是11//DE AC又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F 所以直线DE//平面11AC F（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=，平面平面所以11AC ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=F ，平面平面所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面 考点：直线与直线、平面与平面位置关系11.【2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF∆沿EF 折到D EF '∆位置，OD '=（Ⅰ）证明：D H'⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）25. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证//AC EF ，再证'D H OH ⊥，最后证'D H ABCD ⊥平面；（Ⅱ）用向量法求解.试题解析：（I ）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由AE CF =得AE CFAD CD=，故//AC EF .因此EF HD ⊥，从而EF D H '⊥.由5AB =,6AC =得04DO B ===.由//EF AC 得14OH AE DO AD ==.所以1OH =，3D H DH '==.于是1OH =，22223110D H OH D O ''+=+==， 故D H OH '⊥. 又D HEF '⊥，而OH EF H ⋂=，所以D H ABCD '⊥平面.By（II ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -， 则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=.设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则00m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩，所以可以取()4,3,5m =-.设()222,,n x y z=是平面'ACD 的法向量，则00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直． 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．12.【2014高考北京理第17题】（本小题满分13分）如图，正方体MADE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱FD ，PC 分别交于G ，H . （1）求证：FG AB //；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】因为⊄AB 平面PDE ，所以//AB 平面PDE ，因为⊂AB 平面ABF ，且平面 ABF 平面PDE FG =， 所以FG AB //.（2）因为⊥PA 底面ABCDE ，所以AB PA ⊥，AE PA ⊥，如图建立空间直角坐标系xyz A -，则)0,0,1(),0,0,0(B A ，)2,0,0(),0,1,2(P C ，)1,1,0(F ，)0,1,1(=BC ，设平面ABF 的法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙00n n ，即⎩⎨⎧=+=00z y x ，令1=z ，则1-=y ，所以)1,1,0(-=n ， 设直线BC 与平面ABF 所成的角为α，则21|,cos |cos ==><=n α，因此直线BC 与平面ABF 所成的角为6π， 设点),,(w v u H ，因为点H 在棱PC 上，所以可设)10(<<=λλ，即)2,1,2()2,,(-=-λw v u ，所以λλλ22,,2-===w v u ，因为向量是平面ABF 的法向量，所以0=∙n ，即0)22,,2()1,1,0(=-∙-λλλ，解得32=λ，所以点H 的坐标为)32,32,34(， 所以2)32()32()34(222=++=PH . 考点：空间中线线、线面、面面的平行于垂直，用向量法求线面角，即空间距离.13. 【2015高考北京，理17】如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值；(Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求的值．OF ECB A【答案】(1)证明见解析，（2）5-，（3）43a = 【解析】试题解析：(Ⅰ)由于平面AEF ⊥平面EFCB ，AEF △为等边三角形，O 为EF 的中点，则AO EF ⊥，根据面面垂直性质定理，所以AO ⊥平面EFCB ，又BE ⊂平面EFCB ，则AO BE ⊥.(Ⅱ)取CB 的中点D ，连接OD,以O 为原点，分别以、、OE OD OA 为、、x y z 轴建立空间直角坐标系，)A，(,0,0),,0),(,0,)E a B AE a -=，(2,0)EB a =--，由于平面AEF 与y 轴垂直，则设平面AEF 的法向量为1(0,1,0)n =，设平面AEB 的法向量2(,,1)n x y =，2,0,n AE ax x ⊥==2n EB ⊥，(2))0a x y -+-=，1y =-，则2n =3,1,1)-，二面角F AE B --的余弦值1212121cos ,55n n n n n n ⋅〈〉===-⋅，由二面角F AE B --为钝二面角，所以二面角F AE B --的余弦值为-. （Ⅲ）有（1）知AO ⊥平面EFCB ，则AO BE ⊥，若BE ⊥平面AOC ，只需BE OC ⊥，(2,EBa =-,0)-，又(,0)OC =--，22(2))0BE OC a ⋅=--+-=，解得2a =或43a =，由于2a <，则43a =. 考点定位：本题考点为线线垂直的证明和求二面角，要求学生掌握空间线线、线面的平行与垂直的判定与性质，利用法向量求二面角以及利用数量积为零解决垂直问题.【名师点睛】本题考查线线、线面垂直及求二面角的相关知识及运算，本题属于中档题，熟练利用有关垂直的判定定理和性质定理进行面面垂直、线面垂直、线线垂直之间的转化与证明，另外利用空间向量解题时，要建立适当的直角坐标系，准确写出空间点的坐标，利用法向量求二面角，利用数量积为零，解决线线、线面垂直问题.14.【2015江苏高考，16】（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11 .求证：（1）C C AA DE 11//平面；（2）11AB BC ⊥.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题解析：（1）由题意知，E 为1C B 的中点，又D 为1AB 的中点，因此D //C E A ．又因为D E ⊄平面11C C AA ，C A ⊂平面11C C AA ，所以D //E 平面11C C AA ．（2）因为棱柱111C C AB -A B 是直三棱柱，所以1CC ⊥平面C AB ．因为C A ⊂平面C AB ，所以1C CC A ⊥．又因为C C A ⊥B ，1CC ⊂平面11CC B B ，C B ⊂平面11CC B B ，1CCC C B =，所以C A ⊥平面11CC B B ．ABC DE A 1B 1 C1又因为1C B ⊂平面11CC B B ，所以1C C B ⊥A ．因为1C CC B =，所以矩形11CC B B 是正方形，因此11C C B ⊥B ．因为C A ，1C B ⊂平面1C B A ，1C C C A B =，所以1C B ⊥平面1C B A ．又因为1AB ⊂平面1C B A ，所以11C B ⊥AB ．15.【2014江苏，理16】如图在三棱锥-P ABC 中，,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===，求证（1）直线//PA 平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC .【答案】证明见解析．【解析】试题分析：（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面DEF 内找到一条与PA 平行的直线，由于题中中点较多，容易看出//PA DE ，然后要交待PA 在平面DEF 外，DE 在平面DEF 内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得DE AC ⊥，因此考虑能否证明DE 与平面ABC 内的另一条与AC 相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明DE EF ⊥，因此要找的两条相交直线就是,AC EF ，由此可得线面垂直.试题解析：（1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA DEF ⊄平面，DE DEF ⊂平面，所以//PA DEF 平面．（2）由（1）//PA DE ，又P A A C ⊥，所以PE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以132DE PA ==，142EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ABC ⊥平面，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ．【考点定位】线面平行判定定理，面面垂直判定定理。