第28章椭圆的性质及应用

第二十八章 椭圆的性质及应用【基础知识】椭圆具有一般圆锥曲线的性质外，还具有如下有趣性质：性质1椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，其上任意一点()00,P x y 处的两条焦半径长分别为10PF ex =+，20PF a ex =-（其中e 为椭圆离心率，1F ，2F 分别为左、右焦点．下均同）． 性质2以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相切．证明设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，O 为中心，M 为2PF 的中点，则()1221112222MO PF a PF a PF ==-=-，即圆心距等于两圆半径之差，故M 与O （a ）相切．为叙述方便，定义椭圆上非顶点的某一点P 与两焦点1F ，2F 所构成的三角形为焦点三角形，且称顶点P 的内、外角平分线（即P 点处的法、切线）与长轴的交点分别为内点M 、外点N ．性质3椭圆焦三角形中，内点M 到一焦点之距离与该焦点为端点的焦半径之比为常数e ．证明设内点为M ，则1212121222MF MF MF MF ce PF PF PF PF a+====+． 性质4椭圆焦三角形中，（I ）其内心I 将内点M 与P 点连线段分成定比e ；（Ⅱ）半焦距为内点M 、外点N 到椭圆中心的距离的比例中项，即2c OM ON =⋅；（Ⅲ）椭圆中心到内点之距与内点到同侧焦点之距，半焦距与外点到同侧焦点之距成比例，即222OM OF MF F N=；（Ⅳ）半焦距、外点与椭圆中心连线段、内焦与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例，即122OF MF ONF N=；（V ）过一焦点2F 向P 点处外角平分线（即P 点处切线）引垂线，则椭圆中与垂足Q 连线必与另一焦半径1PF 所在直线平行（注意2F Q MP ∥）； （Ⅵ）OQ a =；（Ⅶ）22cos cos F PNe F NP∠=∠（设2F '为2F 关于PN 的对称点，则290F PN E '∠=︒-∠，22290F NP F F N '∠=︒-∠，注意12122212sin sin F F F FF F F F '=''∠∠，即证）．性质5椭圆()222210x y a b a b+=>>上任一点P ，（I ）()00,P x y 点处的两焦半径的乘积，其最大值为2a ，最小值为2b ；（Ⅱ）若122F PF θ∠=，则122tan PF F S b θ=△，且02t a n c y b θ=及两焦半径的乘积为定值22cos b θ．证明（Ⅰ）当P 点在短轴顶点时，212|||PF PF a ⋅=|；当P 点在长轴顶点时，22212PF PF a c b ⋅=-=； （Ⅱ）如图28-1，设12PF F △的内切圆半径为r ，注意切线长定理则可证明：()tan r a c θ=-⋅．又12PF F △的周长为22a c +，则12222122tan tan 2PF F S a c r a c b θθ+⋅=-⋅=△=（）（），图28-1从而1221222sin 2cos PF F S b PF PF θθ⋅==△．由2012tan 2c y b θ⋅⋅=⋅，得02tan c y b θ=．性质6设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 为焦点，12PF F α∠=，21PF F β∠=，则cos sec 22e αβαβ+-⋅=．证明由()121212sin sin sin sin sin F F PF PF PF PF αββααβ+===++，有()sin cos sec sin sin 22c a αβαβαβαβ++-==⋅+．即证． 性质7椭圆的焦点弦，（I ）两端点处的切线相交在焦点对应的准线上；（Ⅱ）两端点处的切线所成的角小于90︒；（Ⅲ）两端点处的法线相交于Q ，过Q 与长轴平行的直线平分焦点弦；（Ⅳ）其中点轨迹也是椭圆；（V ）垂直于两端点处切线交点与该焦点的连线．性质8设P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上异于长轴顶点的一点，1F ，2F 是其左、右焦点，O 是中心，设OP d =，则22212||PF PF d b a ⋅+=+．证明在12PF F △中，由中线长公式，得222212222PF PF d OF +=+． 配方，得()2221212222PF PF d c PF PF +=++⋅，由椭圆定义，得22222122PF PF d a c b a ⋅+=-=+．性质9直线0Ax By c ++=与椭圆22221x y a b+=相交、相切、相离的充要条件是22222A a B b C +（A ，B 不同时为0，0a >，0b >）．证明仅证相切情形，当0B ≠时，有A Cy x B B=--，并代入椭圆方程消去y ，化简得()()222222222220A aB b x a ACx aC B b +-+-=，由其0∆=化简得22222A a B b C +=，这说明直线与椭圆有两个重合交点（即相切）的充要条件为22222A a B b C +=．当0B =，则直线必切椭圆于左或右顶点，x a =±，从而有0Aa C +=或0Aa C -+=，即有222A a C =，亦有22222A a B b C +=．反之222A a C =，推知x a =±，这表示一条过长轴顶点的切线． 推论直线0Ax By C ++=与椭圆()()()222210x m y n a b ab--+=>>相交、相切、相离的充要条件是2222A a B b +()2Am Bn C ++．性质10设椭圆的一个焦点为F ，直线l 与过椭圆长轴的端点A '，A 的切线相交于M '，M ，则（1）0FM FM ⋅=⇔直线l 与椭圆相切； （2）0FM FM ⋅>⇔直线l 与椭圆相离； （3）0FM FM ⋅<⇔直线l 与椭圆相交．证明设椭圆方程()222210x y a b a b+=>>，(),0F c ，(),0A a '-，(),0A a ．直线l ：y kx m =+．()(),,FM FM a c m ka a c m ka ⋅=---⋅-+22222c a m k a =-+- 2222m b a k =--．由22221x y a b y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得 ()()2222222220ba k x a kmx a mb +++-=．()2222224a b b a k m ∆=+-．（1）2222000FM FM m b a k '⋅=⇔--=⇔∆=⇔直线l 与椭圆相切； （2）2222000FM FM m b a k '⋅>⇔-->⇔∆<直线l 与椭圆相离； （3）2222000FM FM m b a k '⋅<⇔--<⇔∆>⇔直线l 与椭圆相交．性质11设l 是过椭圆22221x y a a+=上异于长轴顶点的一点的切线，（I ）l 与过长轴顶点1A ，2A 的切线分别交于1P ，2P ，则21122PA PA b ⋅=；（Ⅱ）两焦点1F 、2F 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则212d d b ⋅=． 证明（Ⅰ）设()cos ,sin P a b θθ，过P 的切线方程为cos sin b x a y ab θθ⋅+⋅=，由x a =得221cos sin P A bθθ-=．同理，由x a =-得111cos sin P A bθθ+=．故21122P A P A b ⋅=．（Ⅱ）由(),0c -，(),0c 到直线cos sin 0b x a y ab θθ⋅+⋅-=的距离分别为1d =，2d =，故212d d b ⋅=．性质12设P ，Q 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上两点，（Ⅰ）设O 为中心，OP OQ ⊥，则22221111a bOPOQ+=+；（Ⅱ）设PQ 通过焦点F ，弦CD 也过点F ，且PQ CD ⊥，则 2221111a PQ CD ab ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭．（Ⅲ）设PQ 通过焦点F ，Q 是椭圆上一点，且OQ PQ ⊥，则2222111a PQ a bOQ +=+． 证明（Ⅰ）设()cos ,sin P OP OP θθ⋅⋅，则()sin ,cos Q OQ OQ θθ-⋅⋅．分别代入椭圆方程，相加即证．（Ⅱ）设椭圆的极坐标方程为1cos epe ρθ=-，可求得222222221cos sin ep ab PQ PF QF e b c θα=+==-+． 同理，22222cos ab CD b c α=+，由此即可证．（Ⅲ）由（Ⅰ），（Ⅱ），知22222221cos sin a b a b OQαα+=，22221sin 2b c PQ ab α+=即证． 性质13设()00,M x y ，椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，对于直线l 的方程00221x x y y a b +=，则（1）当M 在椭圆上时，l 为椭圆的切线；（2）当M 在椭圆外时，l 为椭圆的切点弦直线；（3）当M 在椭圆内时，l 为以M 为中点的弦平行且过此弦端点切线交点的直线．事实上，这可由第二十五章的性质7推论后的注即得．这里，其实l 为点M 关于椭圆的极线． 【典型例题与基本方法】例1试确定m 的取值范围，使对直线4y x m =+，在椭圆22143x y +=上有不同两点A ，B 关于该直线对称．解设()00,P x y 是弦AB 的中点，由性质10，知曲线22143x y +=关于点P 对称的曲线为()()220022143x x y y --+=．两式相减整理得公共弦方程：22000024340x x y y x y +--=．而公共弦的斜率为14-，故有003144x k y =-=-，即003y x =．又()00,P x y 在44y x =+上，有004y x m =+，由此两方程求得0x m =-，03y m =-．因()00,P x y 在椭圆内部，故有2200143x y +<，即有()()223143m m --+<，故m << 例2P 是椭圆2214x y +=上的动点，1F ，2F 是左、右焦点，试求12PF PF ⋅的最大值和最小值．（1996年“希望杯”竞赛题）解法1由性质5（I ），即知12PF PF ⋅的最大值为4，最小值为1． 解法2由性质8，知222212||||5PF PF b a d d ⋅=+-=-．又由椭圆的范围知222b d a ≤≤，即214d ≤≤，故知12PF PF ⋅的最大值为4，最小值为1．例3已知圆222x y r +=经过椭圆()22210x y a b a b+=>>２的两个焦点()1,0F c -，()2,0F c ，两曲线有四个交点，其中一个交点为P ．若12F PF △的面积为26，椭圆长轴长为15，试求a b c ++的值．（2000年“希望杯”竞赛题）解由题设，知1290F PF ∠=︒．由性质5（Ⅱ），知221222cos 45b PF PF b ⋅==︒． 又1212252sin 90F PF S PF PF ⋅==︒△，则b ． 而152a =，则112c =．故13a b c ++=例4求椭圆()()2223194x y -++=过已知点()5,1P 的切线方程．解令2x x '=-，3y y '=+，在新坐标系x O y ''下，P 点坐标变为()3,4P '，椭圆方程变为22194x y ''+=．设过点（3，4）的切线方程为0Ax By C ++=．由性质9，联立方程340A B C ++=与22294A B C +=，消去C 可得22B AB =-，于是0B =或2B A =-，从而求得3C A =或5C A =，故求得切线方程为30Ax A -=或250Ax Ay A +=-，即3x =与25x y -+即为所求．例5求证：椭圆()222210x y a b a b +=>>对中心张角的弦恒与圆222222a b x y a b +=+相切．证明设弦AB 对中心O 张直角，O 到AB 的距离为d ．由三角形面积公式，知 1122AB d OA OB ⋅=⋅．从而222222222111OA OB OA OB d AB OA OBOAOB⋅⋅===++．由性质11（Ⅰ），知22221111a b OAOB+=+，即知 2222222111a b d a b a b ==++，由此即证得弦AB 恒与圆222222a b x y a b +=+相切． 例6已知直线l 的斜率为12，且过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点与椭圆相交于A ，B 两点，椭圆的中心为O ，O 点到直线AB 的距离1d =，且弦AB 的长是椭圆长轴的45．求椭圆方程．解由题意可设AB 的方程为()12y x c =+，它到原点的距离d =1=，故25c =． 又425AB a =⋅，由性质11（Ⅲ），有222281115a a a b OP ⋅+=+，于是，得2221114b a OP=-． （*）又易知OP 的方程为2y x =-，将其代入椭圆方程，解得222224a b x a b =+，2222244a b y a b =+．于是222222254a b OP x y a b =+=+，并代入（*）式化简得2249a b =．再注意25c =，求得3a =，2b =．故所求椭圆方程为22194x y +=．例7设椭圆方程为22110036x y +=，25,4P ⎛ ⎝⎭，1F ，2F 是焦点，求12PF F △的内切圆方程． 解显然P 点在椭圆上．设12PF F △的内心为I PI 交x 轴于M ，易知()18,0F -，()28,0F ，可求得115PF =，25PF =．由11223PF F M PF MF ==，得4M x =．由性质4（Ⅰ），得45MI e PI ==． 于是2544455415I x +⋅==+，4045415Iy ==+．又内切圆半径I r y =，故所求圆的方程为()221353x y ⎛-+= ⎝⎭．注由此例，促使我们探求对于椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意异于长轴顶点的点P ，焦点12PF F △的内切圆圆心的方程为()()()()2220a c x a c y a c c y -++=-≠．事实上，可设12PF F α∠=，21PF F β∠=，内心(),I x y ，在12PF F △中由正弦定理可求得tantan 22a ca cαβα-⋅=+． 又1IF y k x c =+，()20IF y k y x c=≠-，从而 12tan tan 22IF IF y y a c k k x c x c a cαβ-⎛⎫⋅=⋅-⇒⋅=- ⎪+-+⎝⎭．整理得()()()()2220a c x a c y a c c y -++=-≠．例8已知0C ：221x y +=和1C ：()222210x y a b a b+=>>．试问：当且仅当a ，b 满足什么条件时，对1C 上任意一点P ，均存在以P 为顶点、与0C 外切、与1C 内接的平行四边形？并证明你的结论．（2000年全国高中联赛题）解所求条件为22111a b +=． 必要性：易知圆外切平行四边形必是菱形，圆心即为菱形中心．假设结论成立，则对点(),0a ，有(),0a 为顶点的菱形与1C 内接，与0C 外切，(),0a 的相对顶点为(),0a -．由于菱形的对角线互相垂直平分，另外两个顶点必在y 轴上且为()0,b 和()0,b -，菱形一条边的方程为1x ya b+=，即bx ay ab +=．由于菱形与0C1=，即为22111a b+=． 充分性：设22111a b +=，P 是1C 上任意一点，过P ，O 作1C 的弦PR ，再过O 作与PR 垂直的弦QS ，则PQRS 为与1C 内接的菱形．设1OP r =，2OQ r =，则()11cos ,sin P r r θθ，()()()22cos 90,sin 90Q r r θθ+︒+︒．代入椭圆方程，得22221122cos sin 1r r a b θθ⋅+=，22222222sin cos 1r r a b θθ+=，于是22222222222222121111cos sin sin cos 111r r a b a b a b OP OQθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 又在Rt POQ △中，设点O 到PQ 的距离为h ，则2221111h OP OQ =+=，故得1h =．同理O 到QR ，RS ，SP 的距离也为1．故菱形PQRS 与0C 外切，证毕．例19作斜率为13的直线l 与椭圆C ：221364x y +=交于A 、B 两点（图略），且(P 在直线l 的左上方．（1）证明；PAB △的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若60APB ∠=︒，求PAB △的面积．（2012年全国高中联赛题）解（1）设直线l ：13y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ．将13y x m =+代入22364x y +=中，化简整理得22269360x mx m ++-=．于是，有123x x m +=-，2129362m x x -=，AP k =，PB k ．则1221PAPBy x y xk k -+--+(()2293630m m m m-⋅+---==．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线平行于y 轴所在直线，所以PAB △的内切圆的圆心在直线x =在上．（2）若60APB ∠=︒，则由（1）知PA k PB k =．直线PA的方程为y x-，代入221364x y +=，消去y 得(214118130x x +-+-=．此方程的两根分别是1x 和，所以(1181314x -⋅=．于是)117PA x -=．同理)17PB =．所以1sin 602PAB S PA PB =⋅⋅︒=△为所求． 【解题思维策略分析】1．注意平面几何知识的综合运用例10设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上异于长轴顶点1A ，2A 的任一点，过P 点的切线与分别过1A ，2A 的切线相交于1B ，2B ，则以12B B 为直径的圆必过两焦点1F ，2F ．证明如图28-2，设()cos sinP a b θθ，，则过P 的切线方程为cos sin 1x ya bθθ⋅⋅+=，它与y 轴交于点()0,csc C b θ，C 是线段12B B 的中点，从而12CF CF =图28-2联立x a =-，cos sin 1x y a b θθ+=，得()11cos ,sin b B a θθ+⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是12112B B BC ==从而121212CF CF B B ==，故1F ，2F 在以12B B 为直径的圆上． 2．注意三角知识的综合应用 例11在面积为1的PMN △中．1tan 2M =，tan 2N =-，建立适当的坐标系，求出以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程．解以MN 所在直线为x 轴，线段MN 的中垂线为y 轴建立直角坐标系． 一方面，()tan tan 3tan tan tan tan 14M N P M N M N +=-+==⋅-．另一方面，22tan2tan 1tan 2PP P=-，从而 22tan 3241tan 2PP =-，即23tan 8tan 3022P P +-=． 解得1tan23P =或tan 32P=-（舍去）． 由性质5（Ⅱ），知2cot1332PMN Pb S =⋅=⋅=△． 作PQ MN ⊥，垂足为Q ，设PQ h =，NQ m =，由1tan 22h Mc m ==+及tan 2hPNQ m∠==，易得43h c =．又142123PMN c S c =⋅⋅=△，得234c =，即有222154a b c =+=．故所求椭圆方程为2241153x y +=．3．注意代数知识的综合运用例12设椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点为1F ，2F ，则椭圆上存在在点P ，使得()120F PF θθ∠=<<π的充要条件是sin 2e θ≤（e 为椭圆的离心率）．证明设()1,0F c -，()2,0F c ，点P 的坐标为(),x y ，则1PF y k x c =+，2PF y k x c=-． 由对称性，仅考虑点P 在上半椭圆，则 21212222tan 1PF PF PF PF k k yck k x y cθ-==+⋅+-，即2222c o t x y c y c θ+-=⋅．（上述前式不适合斜率不存在或90θ=︒的直线，而后式则适合于些直线．）椭圆上存在点P ，使12F PF θ∠=的充要条件是方程组22222220,1,2cot y b xy a b x y c yc θ<⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+-=⋅⎩≤有解，这又等价于方程()22222222cot cyc y b a y a b θ+⋅-+=，即22242cot 0c y yb c b θ+⋅-=在区间(]0,b 上有解．设()22242cot f y c y yb c b θ=+⋅-，则()400f b =-<，因此上述问题等价()22224202cot 02cot 10b bf b c b cb b c cθθ⇔+⋅-⇔-⋅-≥≥≤()cos 11cos 1cos 00sin sin sin b b c c θθθθθθθ-++⇔<<π⇔<≤≤≤()()222222221cos 21cos 01sin sin sin 2a c a c e c c aθθθθθ++-⇔<⇔<⇔=≤≤≤．注类似地，可以证明：椭圆()222210x y a b a b +=>>长轴上两顶点为1A ，2A ，则椭圆上存在异于1A ，2A 的点P ，使得122A PA θθπ⎛⎫∠=<<π ⎪⎝⎭e ．4．注意解析几何知识的综合应用例13给定椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，O ：22x y b +=，自椭圆上异于其顶点的任意一点P 作O的２条切线，切点分别为M ，N ．若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，证明：222222a b a n m b+=．证明设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则由圆的性质12，知PM 、PN 的方程分别为211x x y y b +=，222x x y y b +=．由于点P 在２条切线上，有21010x x y y b +=，22020x x y y b +=． 因此，直线MN 的方程为200x x y y b +=（此亦可由性质12即得）． 令0y =，得20b m x =；令0x =，得2b n y =．注意到()00,P x y 在椭圆上，有222222a yb x a b +=，故222222a b a n m b+=．注（1）由椭圆性质13，知点P 处的椭圆切线的斜率为20120b x k a y =-，此时直线MN 的斜率为020x k y =-，从而有21220b k k a-=．（2）若记上述例题中的椭圆为1C ，O 为2C ，且2C 为222x y a +=，点P 在2C 上，则类似于（1）有21220b k k a-=． （3）若将（2）中1C 改为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，点P 在222x y a +=上，则类似地有21220b k k a +=． （4）在（3）中，若点P 在1C 即双曲线上，则类似地有21220b k k a+=．（5）在上述（2）中，若2C 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，类似地有120k k +=．此时，若点P 在1C 时，亦有120k k +=．例14如图28-3，经过椭圆()2222220b x a y a b a b +=>>的长轴左顶点A 的弦AB 交y 轴于C ，MN 是过左焦点1F 的弦．若MN AB ∥，则a MN AB AC =⋅．图28-3证明设平行弦AB 、MN 的倾斜角为α，则AB 的参数方程为cos ,sin x a t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入椭圆方程并整理，得()222222cos sin 2cos 0ba t ab t ααα+-⋅=，于是222222cos cos sin B ab AB t b a ααα==⋅+⋅．又在AB 的参数方程中，令0x =，得sec C AC t a α==．上述两式相乘，得2222222cos sin a b AB AC b a αα⋅=+⋅．以1F 为极点，1F x 为极轴建立极坐标系，则椭圆方程为1cos epe ρθ=-．从而211222222221cos cos sin ep ab MN NF MF e b a ααα=+==-+． 故a MN AB AC =⋅． 【模拟实战】习题A1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在一点P ，使得1260F PF ∠=︒（1F ，2F 为椭圆焦点）．求离心率e 的取值范围．2．试问椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率e 在什么范围内，椭圆上恒存在一点P ，使得点P 到两焦点的距离之积等于焦距的平方？3．已知椭圆的长轴长为4，焦距为2，过左焦点的两条互相垂直的弦的长度之和为487．试求这两条弦的长度之积．4．已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆相交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，PQ =（1991年全国高考题）5．试证：椭圆22220x y a b a b>>+=1（）． 6．试证：椭圆()222210x y a b a b+=>>内接矩形的面积的最大值为2ab ．7．设AB 是过椭圆22220x y a b a b>>+=1（）中心的弦，F 是焦点，则ABF △面积的最大值是()222bc c a b =-．8．设P 是椭圆的准线l 与对称轴的交点，F 是对应焦点，AB 是过F 的弦，则APB ∠的最大值为2arctan e （e 为离心率）．9．设椭圆()222210x y a b a b+=>>，两焦点()1,0F c -，()2,0F c ，点Q 为椭圆上异于长轴顶点的点，过焦点1F （或2F ）作12F QF ∠的外角平分线的垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆（除点(),0a -，(),0a ）．108．11．已知A ，B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>上的两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于点()00,P x y ．求证：22220a b a b x a a---<<．（1992年全国高考题）12．求函数y 的值域．13．求函数()23f x x =+习题B1．试证：从椭圆2222220b x a y a b a b +=>>（）上的点P 看焦点的视角的最大值为222arccos 1b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．2．设P 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上任一点，12P P 是椭圆的任意一条弦，直线1PP ，2PP的斜率分别为1k ，2k ．若12P P 过中心O ，则2122b k k a⋅=-．3．设A ，B 是椭圆()222210x y a b a b+=>>长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A ，B的横坐标A x ，B x 满足2A B x x a ⋅=．（1）若过A 点引直线与椭圆相交于P ，Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 点引直线交椭圆于P ，Q ，则180PAB QAB ∠+∠=︒．4．设椭圆2222220b x a y a b a b +=>>（）的两条准线和x 轴相交于1E ，2E ，点P 在椭圆上，12E PE α∠=，e 为离心率，c 为半焦距，则α为钝角，且当)2112e >时有cot e α-≤，等号当且仅当22P ab y c=时取得．5．已知定点()1,1A ，F 为椭圆22184x y +=的左焦点，动点P 在椭圆上，试求PF PA +的最大值和最小值，并求取得最值时P 点的坐标．6．设AB ，A B ''分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆222x y a +=的弦，端点A 与A '，B 与B '的横坐标相同，纵坐标同号．试证：当AB 经过椭圆内的定点()M p q ，时，A B ''必经过定点,a M p q b ⎛⎫' ⎪⎝⎭．7．过椭圆()222210x y a b a b+=>>的中心O 任作两条互相垂直的射线交椭圆于A ，B 两点．求证：AB ≤8．椭圆Γ中心为O ，直线l 不与Γ相交．P 为l 上任一点，射线OP 交Γ于R ，而点Q 在射线OP 上，且满足2OQ OP OR ⋅=．以Q 为中点的中点弦记为P l ．求证：P l 经过一定点．9．已知直线l ：0Ax By C ++=与椭圆()222210x y a b a b+=>>交于P ，Q 两点，O 为椭圆中心．试证：当且仅当222222a A b B C +=时，OPQ △有最大面积12ab ．10．在椭圆()222210x y a b a b+=>>上任取两点()111,P x y ，()222,P x y ，点(),P x y 是以线段12P P 为直径的圆上任一点．求证：22223122x y a b ++≤． （《数学通报》问题1374题）11．设椭圆Γ的离心率为e ，1F ，2F 为其两焦点，P 为椭圆上任一点（除长轴两顶点外），r ，R 分别为12PF F △的内切圆、外接圆半径．求证：()21re e R-≤． 12．试找出离心率为m 的椭圆的特征量应满足的一些关系．。