广东省惠州市博罗县博罗中学2023届高一数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析
2022-2023学年广东省博罗中学数学高一上期末达标检测模拟试题含解析
则 A B {2,3},
故选：A. 7、D
【解析】根据三角函数定义得到 tan m 3 ，计算得到答案. 2 3 3
【详解】 tan m 3 m 2 2 3 3
故选： D 【点睛】本题考查了三角函数定义，属于简单题. 8、D
【解析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得 f 2x 1 f x ，即 2x 1 x ，即(2x 1)2 x2 ，解
A.1,
B. ,1
C.
,
1 3
1,
D.
1 3
,1
9．若 a，b 都为正实数且 a b 1，则 2ab 的最大值是（）
2
1
A.
B.
9
8
1
1
C.
D.
4
2
10．设
a
log
1 2
3
，
b
1 3
0.3
，
c
1
23
，则
a
，
b
，
c
的大小关系是（）
A. a b c
B. c b a
C. c a b
【点睛】圆中弦长问题，应利用垂径定理构建直角三角形，其中弦心距可利用点到直线的距离公式来计算
15、 4 7
【解析】先求得 y z ，然后利用列举法求得正确答案.
【详解】依题意88 175 126 211 z y 1000 z y 400 ，
依题意 y 193, z 194 ，
记 y, z ，则所有可能取值为 193,207,194,206,195,205,196,204,197,203 ，
3．某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位：C ）满足函数关系 y ekxb（ e 为自然对数的底数，k, b
2022-2023学年广东省惠州市示范名校高一上数学期末达标检测试题含解析
即 tan B tan C 1 ，所以 B,C 均为锐角， 2
作 AD BC 于 D ，如图，记 AD h ，则 BD h ， CD h ，
tan B
tan C
所以 BC 4 h h 2
h2
2 2h ， h 2 ，当且仅当 tan B tan C 即 B C 时等号成立．所
可．本题求解时要注意根号在分母上，所以需要1 x 0 ，而不是1 x 0 .
3、A 【解析】根据不等式的性质判断
【详解】若 ac2 bc2 ，显然有 c2 0 ，所以 a b ，A 正确；
若 a b ，当 c 0 时， a b ，B 错； cc
若 a3 b3 ，则 a b ，当 ab 0 时， a 0 b ， 1 0 1 ，C 错；
4
,
7 12
且
f
x0
3 1 ，求 cos 2x0 的值. 32
21．近年来，国家大力推动职业教育发展，职业教育体系不断完善，人才培养专业结构更加符合市场需求.一批职业培
训学校以市场为主导，积极参与职业教育的改革和创新.某职业培训学校共开设了六个专业，根据前若干年的统计数据，
学校统计了各专业每年的就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）和每年各专业的招生人数，具体统计数据
（1）求实数 m 的值；
（2）求 tan 的值；
（3）求
sin
1 cos
2
cos2
的值.
20．已知向量 m 3 cos x, 1 , n sin x,cos2 x 0 ，函数 f x m n 图象相邻两条对称轴之间的距
离为 . 2
（1）求 f x 的解析式；
（2）若
x0
如下表：
专业
广东省惠州市罗中学高一数学理模拟试卷含解析
广东省惠州市罗中学高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且在第一段中随机抽得的号码是003．这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第一营区，从301到495在第二营区，从496到600在第三营区．则三个营区被抽到的人数分别为 A．25，17，8 B．25，16，9 C．26，16，8 D．24，17，9参考答案：A略2. （5分）设，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a参考答案：C考点：不等式比较大小．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数和对数函数的性质分别判断取值范围，然后比较大小即可．解答：0＜logπ31，，所以0＜a＜1，b＞1，c＜0，所以c＜a＜b，即b＞a＞c．故选C．点评：本题主要考查利用指数函数和对数函数的性质比较数的大小，比较基础．3. （5分）圆（x+2）2+y2=4与圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离参考答案：B考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心和半径，根据圆心距和半径之间的关系即可得到结论．解答：圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=9，圆心坐标为A（2，1），半径R=3，圆（x+2）2+y2=4的圆心坐标为B（﹣2，0），半径r=2，则圆心距离d=|AB|=，则R﹣r＜|AB|＜R+r，即两圆相交，故选：B点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，求出两圆的圆心和半径，判断圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键．4. 设O为△ABC内一点,已知,则( )A. B. C.D.参考答案：B由，得，化为，，设，则，即O为ADE的重心，，则，，故选B.5. 已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为 ( )．A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y－6＝0参考答案：C6. 定义在R上的奇函数f（x）满足在（﹣∞，0）上为增函数且f（﹣1）=0，则不等式x?f（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，由函数f（x）的奇偶性和单调性，画出函数f（x）的草图，又由x?f（x）＞0?或，结合函数的图象分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）上为增函数，则f（x）在（0，+∞）上也是增函数，若f（﹣1）=0，得f（﹣1）=﹣f（1）=0，即f（1）=0，作出f（x）的草图，如图所示：对于不等式x?f（x）＞0，有x?f（x）＞0?或，分析可得x＜﹣1或x＞1，即x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；故选：A．【点评】本题函数的奇偶性与单调性的应用，涉及不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，利用数形结合进行求解比较容易．7. 化简的结果是A．B．C．D．1参考答案：D8. 曲线与过原点的直线l没有交点，则l的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】作出曲线图形，得出各射线所在直线的倾斜角，观察直线在绕着原点旋转时，直线与曲线没有交点时，直线的倾斜角的变化，由此得出的取值范围.【详解】当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为.作出曲线的图象如下图所示：由图象可知，要使得过原点的直线与曲线没有交点，则直线的倾斜角的取值范围是，故选：A.【点睛】本题考查直线倾斜角的取值范围，考查数形结合思想，解题的关键就是作出图形，利用数形结合思想进行求解，属于中等题.9. 函数y=sin（ωx+φ）的部分图象如图，则φ、ω可以取的一组值是（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=C．ω=，φ=D．ω=，φ=参考答案：B 【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象观察可知周期的值，由周期公式即可求ω的值．又因为图象过点（1，1），即可解得φ的值，从而得解．【解答】解：由图象观察可知：3﹣1=，可解得：T=8=，从而有ω=．又因为图象过点（1，1），所以有：sin（φ）=1，故可得：φ=2k，k∈Z，可解得：φ=2kπ，k∈Z当k=0时，有φ=．故选：B．10. 下列四个集合中，是空集的是（）(1)． (2)．(3)． (4)．参考答案：D选项A所代表的集合是并非空集，选项B所代表的集合是并非空集，选项C所代表的集合是并非空集，选项(4)中的方程无实数根；二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等差数列中, 则的公差为______________。
广东省惠州市2023届高三一模数学试题
惠州市2023届高三第一次模拟考试试题数学1．已知复数z 满足(12i)43i z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部为 （ ）A ．2-B ．1C ．2i -D ．i1．【答案】A【解析】(12i)43i 5z +=-=，55(12i)12i 12i (12i)(12i)z -∴===-++-．故选A ． 2．设集合{|10021000}x M x =∈<<Z ，则M 的元素个数为（ ）A ．3B ．4C ．9D ．无穷多个 2．【答案】A【解析】由6264=，72128=，92512=，1021024=，得{7,8,9}M =，则其元素个数为3，故选A ．3．数据68，70，80，88，89，90，96，98的第15百分位数为 （ ） A ．69 B ．70 C ．75 D ．96 3．【答案】B【解析】因为815% 1.2⨯=，所以该数学成绩的15%分位数为第2个数据70，选B ．4．如图1，在高为h 的直三棱柱容器111ABC A B C -中，2AB AC ==，AB AC ⊥．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB 于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为11A B C （如图2），则容器的高h 为 （ ）A ．B ．3C ．4D ．6 4．【答案】B【解析】由图2知无水部分体积与有水部分体积比为1：2，所以图1中高度比为1：2，得3h =．选B ． 5．若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．23B ．13C ．89D ．795．【答案】D 【解析】因为cos tan 3sin ααα=-，所以sin cos cos 3sin αααα=-，即223sin sin cos ααα-=，所以223sin sin cos 1ααα=+=，即1sin 3α=，所以27sin 2cos212sin 29πααα⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭，故选D ．6．“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园……”一首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图3是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图4是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为 （ ）A ．y x=B ．y =C ．y =D ．y =6．【答案】C【解析】由图4可知，“心形”关于y 轴对称，所以上部分的函数为偶函数，排除B ，D ；又“心形”函数的最大值为1，而A 选项中1x =时，1y ==>，排除A ．故选C ．7．已知二项式*()2nx n ⎛ ⎝∈N 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（ ）A ．27B ．37 C ．14D ．387．【答案】A【解析】由已知得总项数7项，则6n =，展开式的通项36662166C (2)C 2rr r r r r T x x---+==，当r 是偶数时该项为有理项，0,2,4,6r ∴=，从中任取2项，则都是有理项的概率为2427C 2C 7P ==．选A ． 8．若函数()f x 的定义域为D ，如果对D 中的任意一个x ，都有()0f x >，x D -∈，且()()1f x f x -=，则称函数()f x 为“类奇函数”．若某函数()g x 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是 （ ）A ．若0在()g x 定义域中，则(0)1g =B ．若max ()(4)4g x g ==，则min 1()(4)4g x g =-=C ．若()g x 在(0,)+∞上单调递增，则()g x 在(,0)-∞上单调递减D ．若()g x 定义域为R ，且函数()h x 也是定义域为R 的“类奇函数”，则函数()()()G x g x h x =也是“类奇函数” 8．【答案】C【解析】对于A ，由函数()g x 是“类奇函数”，所以()()1g x g x -=，且()0g x >，所以当0x =时，(0)(0)1g g -=，即(0)1g =，故A 正确； 对于B ，由()()1g x g x -=，即1()()g x g x -=，()g x -随()g x 的增大而减小，若max ()(4)4g x g ==，则min 1()(4)4g x g =-=成立，故B 正确； 对于C ，由()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以1()()g x g x -=在(0,)x ∈+∞上单调递减，设(,0)t x =-∈-∞，()g t ∴在(,0)t ∈-∞上单调递增，即()g x 在(,0)x ∈-∞上单调递增，故C 错误； 对于D ，由()()1g x g x -=，()()1h x h x -=，所以()()()()()()1G x G x g x g x h x h x -=--=，所以函数()()()G x g x h x =也是“类奇函数”，所以D 正确；故选C ．二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9．下列四个命题中为真命题的是 （ ）A ．若随机变量ξ服从二项分布14,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1E ξ= B ．若随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ，且(4)0.64P X =≤，则(23)0.07P X =≤≤ C ．已知一组数据12310,,,,x x x x 的方差是3，则123102,2,2,,2x x x x ++++ 的方差也是3D ．对具有线性相关关系的变量x ，y ，其线性回归方程为.ˆ03yx m =-，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是49．【答案】AC【解析】对于A ，由于14,4B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()40.251E ξ=⨯=，故A 正确； 对于B ，2(3,)X N σ~ ，(34)0.640.50.14P X ∴<=-=≤，故(23)(34)0.14P X P X =<=≤≤≤，故B 错误，对于C ，12310,,,,x x x x ⋯ 的方差是3，则123102,2,2,,2x x x x +++⋯+的方差不变，故C 正确； 对于D ，∵回归方程必过样本中心点，则2.80.3m m =-，解得4m =-，故D 错误． 10．若62a =，63b =，则 （ ）A ．1b a >B ．14ab <C ．2212a b +<D ．15b a ->10．【答案】ABD【解析】6log 2a =，6log 3b =，则1a b +=．对于A ，6226log 3log 3log 21log 2b a ==>=，故A 正确， 对于B ，666log 3log 2log 61a b +=+== ，且0a >，0b >，2()144a b ab +∴<=，故B 正确，对于C ，22211()2121242a b a b ab ab +=+-=->-⨯= ，故C 错误，对于D ，66632435()5log log log 61232b a -==>= ，故D 正确，故选：ABD ． 11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F且斜率为C 于A 、B 两点，其中点A 在第一象限，若3AF =，则下列说法正确的是 （ ）A ．1p =B ．32BF =C ．3OA OB ⋅=D ．以AF 为直径的圆与y 轴相切11．【答案】BD 【解析】数形结合作出抛物线图象，由过焦点直线斜率及抛物线定义可得2p =，故A 错误；由图知AOB ∠为钝角知C 错误，故选：BD ．12．在如图所示的几何体中，底面ABCD 是边长为4的正方形，1AA ，BG ，1CC ，1DD 均与底面ABCD垂直，且1112AA CC DD BG ====，点E ，F 分别为线段BC ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．直线1AG 与AEF △所在平面相交 B ．三棱锥1C BCD -的外接球的表面积为80C ．直线1GC 与直线AED ．二面角1C AD C --中，N ∈平面1C AD ， M ∈平面BAD ，P ，Q 为棱AD 上不同两点，MP AD ⊥，NQ AD ⊥，若2MP PQ ==，1NQ =，则MN =12．【答案】BCD【解析】对于A ，连接1D F ，1D A ，可证得1//D A EF ，1,,,A E F D ∴四点共面，又可证得11//AG D F ，所以1//AG 平面AEF ，故A 错误；对于B ，三棱锥1C BCD -的外接球半径112R AC =⋅==， 三棱锥1C BCD -的外接球的表面积为2480R ππ=，故B 正确；对于C ，11()()8AE GC AB BE GF FC ⋅=+⋅+=，111cos ,AE GC AE GC AE GC ⋅〈〉===⋅，故C 正确；对于D ，设二面角1C AD B --的平面角为θ，则1C DC θ∠=，所以1tan C CCDθ==，于是60θ=︒， MN MP PQ QN =++ ，且MP PQ ⊥ ，PQ QN ⊥ ，,120MP QN 〈〉=︒22222()27MN MP PQ QN MP MP QN MP QN ∴=++=+++⋅=，MN ∴=，故D 正确．故选BCD ． 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若2,,,,9a b c 成等差数列，则c a -=__________． 13．【答案】72【解析】设公差为d ，492d ∴=-，74d ∴=，故722c a d -==．故答案为：72． 14．过点(1,1)P 的弦AB 将圆224x y +=的圆周分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则AB =__________．14．【答案】【解析】因为弦AB 将圆分成两段弧长之差最大，此时AB 垂直OP ，由圆半径为2，OP =，由勾股定理得AB ==．15．函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的非负零点按照从小到大的顺序分别记为12,,,,n x x x ⋯⋯，若322x x π-=，则n x 的值可以是__________．（写出符合条件的一个值即可）15．【答案】3π（答案一般形式*()26n n x n ππ=-∈N ）【解析】由3222T x x π=-=，T π∴=，故22πωπ==，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，令2,3x k k ππ+=∈Z ，即,26k x k ππ=-∈Z ，(1,2,3,)26n n x n ππ∴=-=⋯， 【答案的一般形式】(1,2,3,)26n n x n ππ=-=⋯，对n 取特殊值即可， 取1n =，得13x π=；取2n =，得25,6x π=⋯⋯（答案不唯一）．16．已知点D 在线段AB 上，CD 是ABC △的角平分线，E 为CD 上一点，且满足(0)AD AC BE BA AD AC λλ⎛⎫ ⎪=++> ⎪⎝⎭，6CA CB -= ，14BA = ，设BA a = ，则BE 在a 上的投影向量为__________．（结果用a表示）．16．【答案】27a【解析】由14BA = ，设(7,0)A -、(7,0)B ，由6CA CB -=，得点C 的轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶点），因为CD 是ABC △的角平分线，且(0)AD ACBE BA AC AD λλ⎛⎫ ⎪=++> ⎪⎝⎭∣，E ∴为ABC △的内心，设00(,)E x y ，由内切圆的性质得，00()2AC BC c x c x a -=+--=，得03x a ==，BE ∴ 在a 上的投影长为4c a -=，则BE 在a上的投影向量为27a．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且225n n S a n =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记21(log )2n n b a +=-，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．17．【解析】（1）当1n =时，111225S a a ==+-，解得13a =，·······································1分 当2n ≥时，1122(1)5n n S a n --=+--．·······································································2分 可得11225[22(1)5]n n n n S S a n a n ---=+--+--，整理得：122n n a a -=-，·····················3分 从而122(2)(2)n n a a n --=-≥，················································································4分 又121a -=，所以数列{2}n a -是首项为1，公比为2的等比数列，····································5分 所以122n n a --=，所以122n n a -=+．·········································································6分（2）由（1）得122n n a --=，所以122nn a +-=，所以21log )2(n n b a n +=-=，···················7分11111(1)1n n b b n n n n +∴==-⋅++，················································································8分所以12233411111111111111223341n n n T b b b b b b b b n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ··9分 1111n n n =-=++．···································································································10分18．（本小题满分12分）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2AB BC CD ===，AD =．（1）当BDcos A C -是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由． （2）记ABD △与BCD △的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．18．【解析】（1）【解法一】在ABD △中，由余弦定理222cos 2AD AB BD A AD AB+-=⋅．···············1分得cos A =2168BD A -=①，··············································2分同理，在BCD △中，22222cos 222BD C +-=⨯⨯，·······························································3分即28cos 8BD C -=．②······························································································4分-①②cos 1A C -=，所以当BD cos A C -为定值，定值为1．··5分 【解法二】在ABD △中，由余弦定理2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅，························1分得222222cos BD A =+-⨯⨯，即216BD A =-，·······························2分 同理，在BCD △中，2222cos 88cos BD CD CB CD CB C C =+-⋅=-，·····························3分所以1688cos A C -=-．·················································································4分1cos A C -=cos 1A C -=．所以当BD cos A C -为定值，定值为1．·············································5分（2）222222221211sin sin 44S S AB AD A BC CD C +=⋅⋅+⋅⋅···············································6分2212sin 44cos A C =+-····························································································7分22212sin 41)24cos 12A A A A =+--=-++ ．····································8分 令cos A t =，(1,1)t ∈-（或写出(0,1)t ∈），··································································9分所以2224122414y t t ⎛=-++=-+ ⎝⎭．··························································10分所以t =，即cos A =··················································································11分2212S S +有最大值为14．·····························································································12分19．（本小题满分12分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1111AA A B ==，2AB =，60ABC ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ．（1）若点M 是AD 的中点，求证：1//C M 平面11AA B B ；（2）棱BC 上是否存在一点E ，使得二面角1E AD D --的余弦值为13？若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由．19．【解析】（1）【解法一】连接1B A ，由已知得，11////B C BC AD ，且1112B C AM BC ==，所以四边形11AB C M 是平行四边形，·························································································1分 即11//C M B A ，········································································································2分 又1C M ⊄平面11AA B B ，1B A ⊂平面11AA B B ，······························································3分 所以1//C M 平面11AA B B ．·························································································4分 【解法二】连接1AB ，1MD ，由已知得11AA MD ∥，························································1分11111111MC MD D C AA A B AB =+=+=，即11//C M B A ，················································2分又1C M ⊄平面11AA B B ，1B A ⊂平面11AA B B ，······························································3分 所以1//C M 平面11AA B B ．·························································································4分 （2）取BC 中点Q ，连接AQ ，由题易得ABC △是正三角形，所以AQ BC ⊥，即AQ AD ⊥，5分 由于1AA ⊥平面ABCD ．分别以1,,AQ AD AA 为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，·········6分B则(0,0,0)A ，10,()0,1A ，10,()1,1D，Q ，假设点E 存在，设点E的坐标为,0)λ，11λ-≤≤，,0)AE λ=，1(0,1,1)AD = ．····························································7分设平面1AD E 的法向量为(,,)n x y z = ，则10n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即00y y z λ+=+=⎪⎩，可取(,n λ= ．···································································8分 又平面1ADD 的法向量为AQ =，····································································9分所以1cos ,3AQ n〈〉== ，解得：λ=．················································10分由于二面角1E AD D --为锐角，则点E 在线段QC 上，所以λ=1CE =-．······11分 故BC 上存在点E ，当1CE =1E AD D --的余弦值为13．·······················12分20．（本小题满分12分）已知函数2()exx ax af x ++=． （1）当2a =时，求()f x 在1,(1)()f --处的切线方程；（2）当0x ≥时，不等式()2f x ≤恒成立，求a 的取值范围．20．【解析】（1）当2a =时，222()e xx x f x ++=，2()ex x f x -∴='，··································1分 所以切线的斜率(1)e k f =-=-'，················································································2分 又(1)e f -=，所以切点为()1,e -，···············································································3分 ∴切线方程为e e(1)y x -=-+，化简得e 0x y +=．························································4分（2）【解法一】当0x ≥时，()2f x ≤恒成立，故22e xx ax a++≤，也就是22e xx ax a ++≤，即2(1)2e x a x x +-≤，由10x +>得22e 1x x a x -+≤，·················5分令22e ()(0)1x x h x x x -=+≥，则222(2e 2)(1)(2e )(2e 2)()(1)(1)x x x x x x x x h x x x -+----==+'+，········6分 令()2e 2x t x x =--，则()2e 1x t x =-'，·······································································7分 可知()t x '在[0,)+∞单调递增，则()(0)1t x t ''=≥，即()0t x '>在(0,)+∞恒成立，···············8分 故()t x 在[0,)+∞单调递增．························································································9分 所以()(0)0t x t =≥，故()0h x '≥在[0,)+∞恒成立．······················································10分 所以()h x 在[0,)+∞单调递增，而(0)2h =，所以()2h x ≥，············································11分 故2a ≤．···············································································································12分 【解法二】因为当0x ≥时，()2f x ≤恒成立，故max ()2f x ≤，由2(2)[(2)]()(0)e ex xx a x x x a f x x -+----=='≥，······················································5分 令()0f x '=，得0x =或2x a =-，·············································································6分 ①当20a -≤，即2a ≥时，()0f x '≤在,)[0x ∈+∞上恒成立，()f x ∴在[0,)x ∈+∞上单调递减，max 0()(0)2af x f a e∴===≥，·································7分∴当2a =时合题意，当2a >时不合题意．····································································8分 ②当20a ->，即2a <时，()f x 在[0,2)x a ∈-上单调递增，在(2,)x a ∈-+∞上单调递减，max 24()(2)a af x f a e --∴=-=，···················································································9分设20a t -=>，2t t y e +=，则10t t y e --=<'恒成立，2tt y e+∴=在(0,)+∞上单调递减，····10分 0022t y y e=∴<==，即max ()2f x <，符合题意．··························································11分综上，2a ≤．·········································································································12分 【解法三】因为当0x ≥时，()2f x ≤恒成立，也就是22e x x ax a ++≤，即22e 0x x ax a ---≥恒成立，令2()2e x h x x ax a =---，[0,)x ∈+∞，·························5分 则()2e 2x h x x a =--'，()2e 2x h x ='-'0x ≥，e 1x ∴≥，()0h x ''∴≥恒成立，()h x ∴'在[0,)+∞上单调递增．·························6分 min ()(0)2h x h a ∴=='-'．·························································································7分 ①当20a -≥，即2a ≤时，min ()0h x '≥，()h x ∴在[0,)+∞上单调递增，min ()(0)20h x h a ∴==-≥，符合题意；·····································································8分②当20a -<，即2a >时，存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0h x '=，即002e 2xx a =+．············9分()h x ∴在0[0,)x x ∈上单调递减，在0(,)x x ∈+∞上单调递增，···········································10分0222min 00000000()()2e (2)(2)0x h x h x x ax a x a x ax a x a x ∴==---=+---=-+-<，不合题意．···············································································································11分 综上，2a ≤．·········································································································12分 21．（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为C 右支上一动点00(,)P x y 到两条渐近线1l ，2l 的距离之积为245b ．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设直线l 是曲线C 在点00(,)P x y 处的切线，且l 分别交两条渐近线1l ，2l 于M 、N 两点，O 为坐标原点，求MON △的面积．。
2023年高一数学期末考试参考答案(发布版)
2022-2023学年高一上学期学情检测数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号12345678答案CBCADCAD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
题号9101112答案BCDACDACABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．55;14.6;15．5；16．1a e <<．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】（1）当2a =时，{|24}A x x x =<>或,又B ={|3}x x ，所以A B =U {|2x x <或3}x .（2）由题意得B ⊂≠A ，故23a +<,解得1a <.18．【解析】（1）由()2f x x =，得32.mx x x n+=-化简得：2(2)(2)30m x n mn x -+-+=.因为123,1x x ==-是上述方程的两个根由韦达定理可得：222332n mn m m -⎧-=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩,所以3()2f x x x =+-.（2）当2x >时，33()22222f x x x x x =+=-++-- ,当且仅当32,2x x -=-即2x =+时，等号成立.所以()f x 的最小值为2+，此时2x =19．【解析】（1）当1a =时，2()24f x x x =-+此时不等式()7f x >，即2230x x -->，解得：1x <-或3x >所以不等式的解集为{|1x x <-或3}x >；（2）若2()24f x ax x =-+(0)a ≠在区间(1,2)上单调递减因为()f x 的对称轴为1x a=当0a <时，()f x 开口向下，且101x a=<<此时()f x 在区间(1,2)上单调递减.所以0a <；当0a >时，()f x 开口向上，且10x a=>故12a .所以102a < ；综上所述，0a <或102a < .20．【解析】（1）由题意得，0011,cos sin x y αα==,由12OPP ∆的面积为2，得00122x y =,即11122cos sin αα⋅⋅=.所以1sin cos 4αα=,又22sin cos 1αα+=，故22sin cos 1sin cos 4αααα=+，即2tan 1tan 14αα=+,解得tan 2α=；（2）222200222219199(cos )cos sin cos sin x y αααααα+=+=++2222sin 9cos 1016cos sin αααα=++当且仅当2222sin 9cos cos sin αααα=，即sin α=3πα=时取等号.所以22009x y +的最小值为16.21.【解析】（1）我认为最符合实际的函数模型是x y Ta =（0,1Ta >>）.若选函数模型2y Ax B =+（0A >），将点(2,0.4)与(4,0.8)代入得40.4160.8A B A B +=⎧⎨+=⎩,解得130415A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2143015y x =+，当12x =时， 5.06y =.若选函数模型x y Ta =（0,1Ta >>），将点(2,0.4)与(4,0.8)带入得240.40.8Ta Ta ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得15a T ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以15x y =，当12x =时，12.8y =，综上可得，最符合实际的函数模型为15x y =.（2）由题意可知：利润y 与投资成本x满足关系(012)0.2(12)(17)12.8(12)x y x x x <=⎪---+>⎩ 要获得不少于一个亿的利润，即10y .当012x <210,250x即 ，lg 502lg 2x ⋅即 因为lg 502lg 22211.3lg 2lg 2-⋅=⋅≈，所以11.3x .又因为12x ，所以11.312x .当12x >时，0.2(12)(17)12.810x x ---+ ，解得1019x ，又因为12x >，所以1219x < ,综上可得，11.319x .故要想获得不少于一个亿的利润，投资成本x (千万)的范围是[]11.3,19.22.【解析】（1）因为()f x 是奇函数，且定义域为R ,所以(0)0f =,即002e 0e +1k +=,解得1k =-.经检验，此时()f x 是奇函数所以1k =-.（2）由（1）知2e e 1()1e +1e +1x x x x f x -=-=,由0x >时，(2)()f x mf x 恒成立,得22e 1e 1e +1e +1x x x x m --⋅ ，因为e 10x->,所以22(e +1)e +1x x m ,设22222(e +1)e +2e +12e 2()111e +1e +1e +1e +ex x x x x x x xxh x ===+=+,因为1e +e x x y =在(0,)+∞上单调递增,所以1e +2e xx>.故22(e +1)2()121e +1e +ex xxxh x ==+<,所以2m .（3）由题意得：e 11()1e +1()e e 11()1e +1x x xxxf xg x f x -++===---不妨设0a b c n < ，以,,a b c 为长度的线段可以构成三角形，即a b c +>，且e e e a b c ,以(),(),()g a g b g c 为长度的线段也能构成三角形，则e +e e a b c >恒成立,得e +e 1a c b c -->恒成立,因为222e+e2e2ea b c c a cb c+----=> ,所以22e1c -,即12ln2ln 22c -= 于是n 的最大值为2ln 2.。
广东省惠州市博罗县博罗中学2022-2023学年数学高一上期末联考模拟试题含解析
即 ，解得 ，
所以从药物释放开始，至少需要经过 小时，学生才能回到教室
21、（1） ；
（2）当 时， ；当 且 时， .
【解析】（1）由题设，令 则 ，即可求值域.
【详解】 关于原点对称得函数为
所以 与 的图像在 的交点至少有3对，可知 ，
如图所示，
当 时， ，则
故实数a的取值范围为
故选：A
【点睛】本题考查函数的对称性，难点在于将问题转换为 与 的图像在 的交点至少有3对，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.
4、D
【解析】由ax+by+c=0，得斜率k=- ，直线在x，y轴上的截距分别为- ，- .如图，k<0，即- <0，所以ab>0，因为- >0，- >0，所以ac<0，bc<0.若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0;故选D.
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时候后，学生才能回到教室.
21．已知函数 ，
（1）若 ，求函数 的值域；
（2）已知 ，且对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
因为 为等腰直角三角形，故 ，同理 ，
而 ，故 平面 ，
而 平面 ，故平面 平面 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，
广东省惠州市2022-2023学年高一上学期期末考试 数学含答案
8.已知函数 ，定义域为 的函数满足 ，若函数 与 图象的交点为 ， ，……， ，则 （）
A 6B.12C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
22.若函数 与区间 同时满足：①区间 为 的定义域的子集；②对任意 ，存在常数 ，使得 成立；则称 是区间 上的有界函数，其中 称为函数 的一个上界．
（1）判断函数 ， 是否是R上的有界函数；
（2）试探究函数 在区间 上是否存在上界 ，若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
惠州市2022-2023学年度第一学期期末质量检测
高一数学试题
全卷满分150分，时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.
【13题答案】
【答案】4
【14题答案】
【答案】 ##
【15题答案】
【答案】 （答案不唯一）
【16题答案】
【答案】①. ②.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【17题答案】
【答案】（1） ， ， ；
（2）
【18题答案】
【答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）
2023-2024学年广东省高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省高一上册期末数学试题一、单选题1．已知角2022,Z 180k k α-⋅∈= ，则符合条件的最大负角为（）A ．–42B ．–220C ．–202D ．–158【正确答案】A【分析】直接代入k 的值即可求解.【详解】依题意，2022,Z 180k k α-⋅∈= ，取11k =时，有最大负角01118420222α-=⋅=- .故选：A.2．若函数243x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则3πsin 2θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．B ．CD 【正确答案】C【分析】求出点A 的坐标，利用三角函数的定义以及诱导公式可求得3πsin 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】当240x +=，即2x =-时，4y =，所以()2,4A -，所以cos 5θ=-，由诱导公式可得3πsin cos 2θθ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：C.3．已知12cos(),cos()33αβαβ+=-=，则cos cos αβ的值为（）A ．0B ．12-C ．12D ．0或±12【正确答案】C【分析】利用两角和差的余弦公式结合条件即得.【详解】因为()1cos cos cos sin sin 3αβαβαβ+=-=()2cos cos cos sin sin 3αβαβαβ-=+=两式相加可得2cos cos 1αβ=，即1cos cos 2αβ=.故选：C.4．设集合{}2|42A y y x x a ==-+，{}2|sin 2sin B y y x x ==-+，若A B A ⋃=，则a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],1-∞D ．[)7,+∞【正确答案】A【分析】分别求出集合A 、B 的范围，利用A B A ⋃=的性质即可求解.【详解】依题意，对于A 集合：()224222424y x x a x a a =-+=-+-≥-，所以{}|24A y y a =≥-；对于B 集合：()22sin 2sin sin 11y x x x =-+=--+，因为1sin 1x -≤≤，所以31y -≤≤，所以{}|31B y y =-≤≤；因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，所以243a -≤-，解得12a ≤，故选：A.5．已知函数()2log f x x =，()2sin g x a x =-，若[]11,2x ∃∈，[]20,2πx ∃∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A ．()(),23,-∞-⋃+∞B ．(][),23,-∞-+∞C ．()2,3-D ．[]2,3-【正确答案】D【分析】求出函数()f x 在[]1,2上的值域为[]0,1，求出函数()g x 在[]0,2π上的值域为[]2,2a a -+，分析可知，[][]0,12,2a a -+≠∅ ，结合补集思想可求得实数a 的取值范围.【详解】当[]11,2x ∈时，()[]121log 0,1f x x =∈，当[]20,2πx ∈时，()[]222sin 2,2g x a x a a =-∈-+，因为[]11,2x ∃∈，[]20,2πx ∃∈，使得()()12f x g x =，所以，[][]0,12,2a a -+≠∅ ，考查[][]0,12,2a a -+=∅ 的情形，则20a +<或21a ->，解得2a <-或3a >，故当[][]0,12,2a a -+≠∅ 时，23a -≤≤.故选：D.6．已知5πsi 2n 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2125-B ．1725-C ．D 【正确答案】B【分析】利用诱导公式和倍角公式即可求解.【详解】依题意，πππcos 2cos 2πcos 2333ααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22π21712135252sin α=⎛⎫⎛⎫--=⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B.7．函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+>对任意实数x ，都有()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（）A ．πB ．π3C ．π4D ．π6【正确答案】C【分析】由已知()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是最大值或最小值，π8x =是函数图象的对称轴，利用正弦函数的对称轴可得结论．【详解】解：由()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭知π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是最大值或最小值，所以，π8x =是()f x 的一条对称轴的方程，所以，满足ππ2π82k ϕ⨯+=+，Z k ∈，所以()ππZ 4k k ϕ=+∈，因为0ϕ>，所以最小值为π4.故选：C.8．已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()()sin πF x f x x =-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（）A ．[)3.5,4B ．(]3.5,4C ．(]5,5.5D ．[)5,5.5【正确答案】A【分析】根据题意可知()f x 和()sin πx 都是周期为2的周期函数，因此可将()()()sin πF x f x x =-的零点问题转换为()f x 和()sin πx 的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m 的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.【详解】由()()()()()2022f x f x f x f x f x -+=⇒=--=-得()f x 是一个周期为2的奇函数，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，因此211log 122f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()10f =因为()f x 是奇函数，所以()00f =，112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ，()10f -=且()()sin πg x x =的周期为2π2πT ==，且()10g -=，112g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()00g =，112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =求()()()sin πF x f x x =-的零点，即是()f x 与()g x 的交点，如图：为()f x 与()g x 在[]1,1-区间的交点图形，因为()f x 与()g x 均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知()F x 的零点周期为12，若在区间[]1,m -上有10个零点，则第10个零点坐标为()3.5,0，第11个零点坐标为()4,0，因此3.54m ≤<故选：A二、多选题9．下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减的是（）A ．sin y x =B ．sin y x=C ．πcos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．tan cos y x x=-【正确答案】AB【分析】逐项研究函数的奇偶性与单调性即可.【详解】对于A ，∵sin sin x x -=，且函数sin y x =的定义域为R ，∴函数sin y x =为偶函数，又0x >时，sin sin x x =，且函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故A 符合题意；对于B ，∵()sin sin x x -=，且函数sin y x =定义域为R ，∴函数sin y x =为偶函数，当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin sin y x x ==-，且函数sin y x =-在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，∴函数sin y x =在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故B 符合题意；对于C ，∵πcos sin 2y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴函数πcos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故C 不符合题意；对于D ，记()tan cos y f x x x ==-，则()()()tan cos tan cos f x x x x x -=---=--，∴()()f x f x -≠，∴函数tan cos y x x =-不是偶函数，故D 不符合题意.故选：AB.10．已知0log 2022log 2022a b <<，则下列说法正确的是（）A ．1b a >>B ．22a b --<C ．222b a a b+>D ．若0m >，则b b ma a m+<+【正确答案】BCD【分析】根据题干条件得到1a b >>判断A ；由2y x -=在()0,∞+上单调性判断B ；由基本不等式得到222b a a b+>判断C ；作差法比较出b b m a a m +<+ D.【详解】解：因为0log 2022log 2022a b <<，所以1,1a b >>，不妨令0log 2022log 2022a b m <<=，则2022,2022m m a b >=，故1a b >>，故A 错误，因为2y x -=在()0,∞+上单调递减，故22a b --<，B 正确；因为22b a a b +>2>，故C 正确；若0m >，因为()()()()()0b a m a b m b a m b b m a a m a a m a a m +-+-+-==<+++，故b b ma a m+<+，D 正确.故选：BCD11．若函数()f x ，()g x 分别是R 上的偶函数、奇函数，且()()()2sin cos f x g x x x +=+，则（）A ．()cos 2f x x =B ．()sin 2g x x =C ．()()()()f g x g f x <D ．()()()()f g x g f x >【正确答案】BD【分析】根据函数的奇偶性列出方程组即可分别求出()f x ，()g x 即可求解.【详解】依题意，因为函数()f x ，()g x 分别是R 上的偶函数、奇函数，所以()()=f x f x -，()()g x g x -=-，因为()()()2sin cos 1sin 2f x g x x x x +=+=+，所以()()1sin 2f x g x x -+-=-，所以()()1sin 2f x g x x -=-，由()()()()1sin 21sin 2f x g x x f x g x x ⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩，解得()1f x =，()sin 2g x x =，所以A 选项错误，B 选项正确；因为()()()sin 21f g x f x ==，()()()1sin 21g f x g ==<，所以()()()()f g x g f x >，所以C 选项错误，D 选项正确；故选：BD.12．下列说法正确的是（）A ．()lg ,f x x =且()(),f m f n =则10m n ⋅=B ．πcos 34πlog 3,sin ,23a b c -===的大小关系为b a c>>C ．请你联想或观察黑板上方的钟表：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为13π8D ．函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是(,2)(1,)-∞-+∞ 【正确答案】BD【分析】根据函数()lg ,f x x =的图象性质可求解A ，根据对数函数的性质结合三角函数的定义可比较B ，结合钟表图形可判断C ，利用函数的单调性和奇偶性解不等式可判断D.【详解】由()(),f m f n =可得lg lg m n =，不妨设m n <，则有lg lg m n -=，所以1⋅=m n ，A 错误；π1cos 32πsin 223b c --=====所以b c >，因为3223<=，所以44log log 32=<，所以c a <，因为02<<，所以2>，所以2444log log log32b ==>=，所以b a >，所以b a c >>，B 正确；八点二十分，如图，1812π25π32π,2π331218AOB AOC ∠=⨯=∠=⨯=,所以25π2π13π18318BOC ∠=-=，C 错误；2()ln(1)22x x f x x -=-++中，令210x ->解得1x <-或1x >，所以定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，2()ln(1)22()x x f x x f x --=-++=，所以函数为偶函数，当1x >时，设22x t =>，此时122x xy t t-=+=+单调递增，再结合复合函数单调性可知2ln(1)y x =-单调递增，所以2()ln(1)22x x f x x -=-++在(1,)+∞单调递增，则在(),1-∞-单调递减，所以由(1)(2)f x f x +<可得112x x <+<即22321020x x x x ⎧-->⎨+>⎩，解得<2x -或1x >，故D 正确，故选:BD.三、填空题13．πtan8=______．1-##1-【分析】利用同角三角函数的商数关系及二倍角的正弦余弦公式，结合特殊角的三角函数值即可求解.【详解】ππππsin2sin sin1cos1π8884tan1ππππ8cos2cos s4in sin8882⋅-===-⋅.故答案为114．e 2.71828= 为自然对数的底数，则2ln sin30e︒=____________．【正确答案】14##0.25【分析】根据对数运算求解即可.【详解】解.2111ln2ln ln2ln sin302241e e e e4⎛⎫⎪︒⎝⎭====故1415．已知,αβ∈R，且满足22sin1αβ-=，则4sinαβ+的值域为______.【正确答案】1⎡-+⎣【分析】根据已知条件22sin1αβ-=，运用三角函数的有界性，可得α，再结合三角函数的单调性，即可求解值域．【详解】解：22sin1αβ-=，则22si1nαβ=-∴21112α--，可得α，2114sin422αβαα+=+-，α，设211()422fααα=+-，α()fα的对称轴为4α=-，()fα∴在区间⎡⎣上单调递增，∴()(1min f f α==-，()1max f f α==+4sin αβ∴+的值域为1⎡-+⎣．故1⎡-+⎣．16．鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧 AB 的长度为2π，则该鲁洛克斯三角形的面积为______.【正确答案】(18π【分析】由弧长公式可求得等边ABC 的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个ABC 的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解.【详解】解：由题意可知π3ABC ACB BAC ∠=∠=∠=，设AB r =，则弧 AB 的长度为π2π3r =，所以6r =，设弧 AB 所对的扇形的面积为S ，1πsin23ABC S AB AC =⋅⋅⋅=则该鲁洛克斯三角形的面积为(21π3236218π23ABC S S -=⨯⨯⨯-⨯= .故答案为.(18π四、解答题17．已知ABC 为斜三角形．(1)证明：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；(2)若1sin cos 2A A +=，求tan A 的值．【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）直接利用诱导公式与正切函数的和差公式即可求解.（2）式子1sin cos 2A A +=两边同时平方，求出3sin cos 8A A =-，再求出sin cosA A -=.【详解】（1）依题意，证明：180ABC +=- ，所以()tan tan A B C +=-．因为90C ≠ ，所以tan tan 1A B ≠，所以()tan tan tan 1tan tan A B A B A B ++=-．由tan tan tan 1tan tan A B C A B+=--，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．（2）因为1sin cos 2A A +=，所以221sin cos 2sin cos 4A A A A ++=，则3sin cos 8A A =-，又0πA <<，所以sin 0,cos 0A A ><，所以sin cos 2A A -=则sin ,cos tan A A A =⇒=18．已知函数()e cos 0x f x =-，e 为自然对数的底数e 2.71828= ．(1)写出()f x 的单调区间；(2)若()()()1212f x f x x x =≠时，证明：120x x +<．【正确答案】(1)单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞(2)证明见解析【分析】根据()e 1,01e ,0x x x f x x ⎧-≥=⎨-<⎩，结合指数函数单调性求解即可；（2）不妨设12x x <，进而根据12e 1e 1x x t -=-=，结合指对互化得()()12ln 1,ln 1x t x t =-=+，01t <<，再结合t 的范围即可得答案.【详解】（1）解：因为函数()e 1,0e cos 0e 11e ,0x x xx x f x x ⎧-≥=-=-=⎨-<⎩所以，根据指数函数的单调性得，当0x ≥时，()f x 单调递增；当0x <时，()f x 单调递减；所以，()f x 的单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞（2）解：由（1）知，当0x <时，()()0,1f x ∈，当0x ≥时，()[)0,f x ∈+∞()()12f x f x = ，不妨设12x x <，∴120x x <<∴12e 1e 1x x t -=-=，01t <<，∴121e e 1x x t -=-=，即12e 1,e 1x x t t =-=+，∴两边取以e 为底的对数得()()12ln 1,ln 1x t x t =-=+，()212ln 1x x t ∴+=-01t << ，()2ln 10t-<，∴120x x +<19．已知函数()2ππ2cos cos 33f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R ．(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)若12π,,,3x x m ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦()()12122()f x f x x x ==≠，求m 的最小值．【正确答案】(1)π(2)4π3【分析】（1）根据倍角公式、和差公式化简，代入周期公式即可求解.（2）利用整体换元思想，代入正弦函数最大值的相关性质即可求解.【详解】（1）依题意，由已知2π()cos 21)3f x x x =++2π2πcos 212coscos 2sin33x x x =++1π2cos 21sin(2)126x x x -+=-+，所以最小正周期是2ππ2T ==；（2）π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，12π,,,3x x m ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦()()12122()f x f x x x ==≠，等价于()f x 在区间π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的有两最大值为2，则ππ22π62m -≥+，4π3m ≥，所以m 的最小值是4π3．20．已知函数()212x xf x a =++(1)若(1cos10tan10sin 50a ︒=︒︒，证明()f x 为奇函数；(2)若()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求a 的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析(2)1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据三角恒等变换得12a =-，()11212x f x =-+，再判断函数奇偶性即可；（2）由题知()min 0f x ≥，再令2x t =，进而得111y a t -=+++，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，再根据单调性求最值即可得答案.【详解】（1）解：(()a 1sin10cos10t n10tan 60sin 50sin n 5ta 100a ︒︒︒︒︒︒-⋅=-= sin10sin 60sin10cos10cos 60sin 50︒︒︒︒︒︒⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭sin10cos 60sin 60cos10cos10cos 60cos10sin 50︒︒︒︒︒︒︒︒-=⋅sin(6010)cos1012cos 60cos10sin 50cos 60︒︒︒︒︒︒︒-=-⋅=-=-．所以，12a =-，即()21211111122122212x x x x xf x +-=-==-+++，定义域为R ，所以，()()2111122122x x x f x f x ---=-=-=-++，所以，()f x 为奇函数.（2）解：∵()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立，∴()min 0f x ≥．令2x t =，因为[]1,1x ∈-，所以1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，1111t y a a t t -=+=++++，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为111y a t -=+++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以min 1111312y a a -=++=++，即()min 13f x a =+，所以103a +≥，解得13a ≥-，所以a 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．21．已知函数ππ()sin sin(π)4242x x f x x ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线π4x =对称．(1)若R θ∃∈，使得()2cos g x θ<成立，求x 的集合；(2)若存在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使等式2[()]()20g x mg x -+=成立，求实数m 的最大值和最小值【正确答案】(1)π|2π(Z)3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭(2)最小值为.3【分析】（1）根据对称性求得()π2sin 6y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，进而将问题转化为πsin 16x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭求解即可；（2）令()π2sin 6y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，进而将问题转换为方程2m y y =+，[]1,2y ∈有解,再结合基本不等式求解即可.【详解】（1）π()sin 2f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin x x =+π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数()y g x =的图象上取点(,)x y ，其关于直线π4x =对称点的坐标为π,2x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得()5πππ2sin 2sin π2sin 666y g x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为R θ∃∈，使得()2cos g x θ<成立，所以，()2g x <，即πsin 16x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，故πsin 16x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，所以，ππ2π,Z 62x k k +≠+∈，解得π2π(Z)3x k k ≠+∈所以，x 的集合为π|2π(Z)3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭（2）解：因为()π2sin 6y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，ππ2π,,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦[]1,2y ∈，所以，等式2[()]()20g x mg x -+=，可化为2m y y =+，[]1,2y ∈，所以，存在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使等式2[()]()20g x mg x -+=成立时，方程2m y y=+，[]1,2y ∈有解,所以，由基本不等式的性质知，当y m 的最小值为1y =或2时，m 的最大值为3；所以，实数m 的最大值为3，最小值为.22．已知函数()ln f x x =，以下证明可能用到下列结论：(0,1)x ∈时，①sin tan <<x x x ；②ln 1x x <-．(1)(0,1)x ∈，求证：1ln1x x <-；(2)证明：()111sin sin sin ln 2,N 23n n n n+++<≥∈ ．【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用(0,1)x ∈时，ln 1x x <-，通过多次代换即可证明；（2）首先（1）得1sin ln 1x x x <<-，令12x =，13x =L 1x n=得到一系列不等式，相加即可.【详解】（1）由已知(0,1)x ∈时，ln 1x x <-，用1x +代换x 得()ln 1x x +<，再以x -代换x 得()ln 1x x -<-，即()ln 1x x -->，即1ln 1x x>-，得证1ln .1x x <-（2）由（1）可知(0,1)x ∈时，1sin ln 1x x x<<-则1sin ln ,1(0,1)x x x <-∈，令12x =得11sin ln ln 21212<=-，令13x =得113sin ln ln 13213<=-，令x n =得11sin ln ln 111n n n n<=--，相加得111111sin sin sin ln ln ln 1112311123n n +++<+++--- 33ln 2ln ln ln 2ln 2121n n n n n =+++=⨯⨯⨯=-- ，（2,N n n ≥∈）。
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(2)设动直线 ，当点 到 的距离最大时，求 所围成的三角形的内切圆(即：圆心在三角形内，并且与三角形的三边相切的圆)的方程.
21．函数 是奇函数．
（1）求 的解析式；
（2）当 时， 恒成立，求m的取值范围
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
12、
【解析】求出函数 的零点，根据函数在 内无零点，列出满足条件的不等式，从而求 的取值范围.
【详解】因为函数 在 内无零点，
所以 ，所以 ；
由 ，得 ，
所以 或 ，
由 ，得 ；由 ，得 ；由 ，得 ，
因为函数 在 内无零点，
所以 或 或 ，
又因为 ，所以 取值范围为 .
故答案为： .
13、①. ②.
1、B
【解析】根据题意，由函数的解析式可得 ，进而计算可得答案．
【详解】根据题意， ，
则 ；
故选B．
【点睛】本题考查分段函数函数值的计算，注意分析函数 的解析式．解决分段函数求值问题的策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决;(3)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则．
19．如图，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=2AB=4，点E为线段BC的中点，点F在线段AD上，且EF∥AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，点P为几何体中线段AD的中点
（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ACF；
（Ⅱ）证明：CD∥平面BPE
20．设有一条光线从 射出，并且经 轴上一点 反射.
【详解】函数 的定义域为 ，
，即函数 是定义域上的奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A，B；
x>0时， ，而 ，则有 ，显然选项D不满足，C符合要求.
故选：C
5、C
【解析】指数函数 可知 ， 同号且不相等，再根据二次函数常数项为零经过原点即可得出结论
【详解】根据指数函数 可知 ， 同号且不相等，则二次函数 的对称轴 在 轴左侧，又 过坐标原点，
（2）设小明对“经典名著”的阅读时间为 ，则对“古诗词”的阅读时间为 ，
① 当 ，即 时，
=
= ，
所以当 时， 有最大值13600.
当 ，即 时，
h
= ，
因为 的对称轴方程为 ，
所以 当 时， 是增函数，
所以 当 时， 有最大值为13200.
因为 13600>13200，
所以阅读总字数 的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟
15．已知函数 在区间 ，上恒有 则实数 的取值范围是_____.
16．给出如下五个结论：
①存在 使 ②函数 是偶函数
③ 最小正周期为 ④若 是第一象限的角，且 ，则
⑤函数 的图象关于点 对称
其中正确结论 序号为______________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.
其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故
所求的概率为 .
(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，
多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，
其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，
详解： ，
根据题中条件满足 且 的最小值为 ，
所以有 ，所以 ，从而有 ，
令 ，整理得 ，
从而求得函数的单调递增区间为 ，故选D.
点睛：该题考查的是有关三角函数的综合问题，涉及到的知识点有诱导公式、辅助角公式、函数的周期以及正弦型函数的单调区间的求法，在结题的过程中，需要对各个知识点要熟记，解题方法要明确.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用数形结合的方法，将方程根的问题转化为函数图象交点的问题，观察图程 有且仅有一个实数根，
∴函数 的图象与 有且只有一个交点，
由图可知 ，
则实数 的取值范围是 .
故答案为： .
8、D
【解析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】 ，都有 的否定是 ，使得 .
故选：D
9、B
【解析】因为 ，所以 ，故选B.
10、A
【解析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在 处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为 ，则 ，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
【详解】（Ⅰ）由题意知，四边形ABEF是正方形，∴AF⊥EF，
又平面ABEF⊥平面EFDC，
2、C
【解析】化简集合 得 范围，结合 判断四个选项即可.
【详解】集合 ，四个选项中，只有 ，
故选：C
【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题
3、D
【解析】由题可得定义域为 ，排除A,C;
又由 在 上单增，所以选D.
4、C
【解析】先分析给定函数的奇偶性，排除两个选项，再在x>0时，探讨函数值正负即可判断得解.
17．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
18．为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时 “经典名著”和“古诗词”的阅读活动.根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1． ，则
A.1B.2
C.26D.10
2．已知集合 ，且 ，则 的值可能为（）
A B.
C.0D.1
3．函数 的大致图像是（）
A. B.
7．若函数 满足 且 的最小值为 ，则函数 的单调递增区间为
A. B.
C. D.
8．命题“对 ，都有 ”的否定为（）
A.对 ，都有 B.对 ，都有
C. ，使得 D. ，使得
9．已知函数，则 ，则
A. B.
C.2D.
10．函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）
A. B.
C. D.
C. D.
4．函数 图像大致为（）
A. B.
C. D.
5．在如图所示中，二次函数 与指数函数 的图象只可为
A. B.
C. D.
6．已知函数 ，则下列判断正确的是
A.函数 是奇函数，且在R上是增函数
B.函数 偶函数，且在R上是增函数
C.函数 是奇函数，且在R上是减函数
D.函数 是偶函数，且在R上是减函数
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数 ，且关于 的方程 有且仅有一个实数根，那实数 的取值范围为________
12．若 在 内无零点，则 的取值范围为___________.
13．若 ， ，则 =______； _______
14．函数 的单调减区间是__________
所以概率为 .
考点：古典概型
点评：主要是考查了古典概型的运用，属于基础题
18、（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）设f（t）= 代入（10，2700）与（30，7500），解得a与b.令 ＝kt， ,代入（40，8000），解得k,再令 ＝mt+b， ,代入（40，8000），（60，11000），解得m，b的值．即可得到 和 的解析式；
故答案为：②③
【点睛】本题主要考查三角函数 图象与性质，考查辅助角公式和诱导公式、正弦函数的图象的对称性和单调性，属于基础题
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(I) .(II)
【解析】解：(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：
红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，
据此可知选项CD错误；
且 时， ，据此可知选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项
小明阅读“经典名著”的阅读量 （单位：字）与时间t（单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示；
t
0
10
20
30
0
2700
5200
7500
阅读“古诗词”的阅读量 （单位：字）与时间t（单位：分钟）满足如图1所示的关系.
（1）请分别写出函数 和 的解析式；
（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？
16、②③
【解析】利用正弦函数的图像与性质，逐一判断即可.
【详解】对于①， ， ，故错误；
对于②， ，显然为偶函数，故正确；