RS译码BM算法及IBM算法
RS编译码入门知识
RS编译码入门知识1. 概述RS 码的纠错能力非常强,尤其是对那些突发性成片的干扰特别有效，在这里对其进行简要说明。
RS 码是一类非二元BCH 码，它有两个重要性质，其一，它是真正的最小距离与设计距离总是相等的码；其二，在其码字内的任何k 个位置都可用作信息集合。
在一个 ( n , k) RS 码中,码长度为n，输入信息长度为k，校验长度为n-k。
由于RS的编译码是基于一组符号而不是单独的0或1 ,而一个符号由m个bit组成，因此，（n，k）码有如下参数，其中v为纠错个数：码长 n = 2 m–1 符号或 m(2 m - 1) 比特信息段 k 符号或 km 比特监督段 n-k = 2v 符号或 m(n - k) 比特最小码距 d = 2v + 1 符号或 m(2v + 1) 比特正是由于它是基于符号而不是比特纠错，使得RS码的纠错能力特别强，并且特别适合于纠突发成片的错误。
2．RS 码的编码由于RS 码是循环码的一种,因此,它的编码方法与一般循环码的编码方法完全一致. 用信息码多项式升位后去除生成多项式g(x) ,所得余式r(x) 为监督多项式,将监督多项式置于升位的信息多项式之后,就形成RS 码. 因此RS码的编码变成用除法求余的过程,由于纠v 个符号错误的生成多项式为：其中，a 是有限域GF(2m ) 的元素. 设输入信息码为m( x ) ,编码后的码组为c ( x ) ,则3．RS 码的译码差错控制编码中译码的好坏是应用的关键,而译码算法通常比编码复杂. 相比之下,RS 码的译码算法又要比其它译码复杂得多,这是因为RS 码是一种非二元循环码,它不再具备特征为2 的域的运算等性质. 并且RS 码的译码不仅要找出错误位置,而且还要找出对应错误位置的错误大小,因此增加了译码的难度. RS 码的译码也是从计算接收码字的伴随式入手。
通常包括如下步骤：3.1 计算多个伴随式值S k；3.2 由伴随式值确定差错定位多项式；3.3 求出错误位置值；3.4 由所得的错误位置值计算错误值；3.5 对所标的差错位置及错误值进行纠正。
rs码的译码算法
rs码的译码算法一、引言RS码（Reed-Solomon code）是一种常用的纠错码，广泛应用于数字通信、存储介质等领域。
它具有较高的纠错能力和编码效率，能够在数据传输过程中检测并纠正一定数量的错误。
本文将介绍RS码的译码算法，包括译码流程、错误定位、错误估计和纠错等内容。
二、RS码概述1. RS码的定义RS码是一种具有多项式特征的线性块编码。
它由两个部分组成：生成多项式和校验多项式。
生成多项式确定了编码方式，而校验多项式则用于检测和纠正错误。
2. RS码的参数RS码有两个参数：符号数n和信息数k。
其中n表示每个符号包含的比特数，k表示信息符号数。
3. RS码的性质RS码具有以下性质：（1）高纠错能力：可以检测并纠正一定数量的错误。
（2）高编码效率：可以通过增加校验符号来提高编码效率。
（3）可逆性：可以通过解调器进行解调和解编操作，保证数据传输正确。
三、RS译码算法流程1. 接收到数据后，将接收到的数据按照编码方式进行解码，得到n个符号。
2. 对接收到的n个符号进行错误定位。
3. 根据错误定位结果，估计出错误位置和错误值。
4. 对错误位置和错误值进行纠错操作，得到正确的信息符号。
5. 将纠错后的信息符号输出作为解码结果。
四、RS译码算法实现1. 错误定位RS码中的错误定位采用Berlekamp-Massey算法。
该算法可以在O(n^2)时间复杂度内求出最小多项式，并通过最小多项式求出根（即错误位置）。
2. 错误估计在确定了错误位置之后，需要对每个错误位置进行估计。
RS码中采用Forney算法对每个错误位置进行估计。
该算法可以在O(n^2)时间复杂度内求出每个错误位置对应的系数，并通过系数求出每个错误位置对应的值（即实际上的误差）。
3. 纠错操作在完成了错误估计之后，需要对每个误差进行纠错。
RS码中采用Chien搜索算法和BM算法对误差进行纠正。
Chien搜索算法可以在O(n)时间复杂度内找到所有根，并通过根求出所有误差位置；BM算法可以在O(n^2)时间复杂度内求出所有误差值，并通过误差值进行纠错。
RS编译码
一．RS 码RS 码是有限域GF （p^m ）上，码长为n=p^m-1的本原BCH 码，它是多进制的BCH 码。
RS 码不但可以纠正随机错误、突发错误以及二者的组合，而且可以用来构造其它码类。
在计算机中数据是以二进制的形式存在，所以p 通常取值为2。
RS 码的参数：符号取自GF(2^m)，纠t 个错的RS(n,k)码的定义如下： 符号大小m ．表示符号比特数为m 位。
码块总长度为n 个符号，其中信息长度k 个符号，校验位长度K=n —k 个符号。
RS 码的纠错能力是出码块中的冗余数据校验码的长度K 决定的。
在码块中的错误位置事先并不知道的情况下，RS(n ，k)码可以纠正t=K ／2个错误符号。
显然t 值越大，RS 码的纠错能力越强，但与之相对应的是更复杂的算法，更长的运算时间，更低效的数据传输率。
RS 码既可以纠随机错又可以纠突发错。
但RS 码中采用符号这一特性使得它特别适用于产生突发错的场合。
因为不论一个符号中错了多少位，在RS 解码过程中。
它只会被认为是产生了一个符号错。
一个可以纠t 个符号的RS 码，它至少可以纠一个(t-1)m+1个连续比特组成的突发错，而当随机错恰好都不在同一个符号中时只能纠正t 个比特的随机错。
二．RS 码编码对于GF(2^m)来说，若域中非零元素a 的级是2^m-1，则将a 称为本原域元素。
设符号取自GF(2^m)，纠t 个错的RS(n,k)码,它的最小距离d=2t+1，则由本原域元素a 的2t 个连续根 ,0αm ，α120-+t m 作为g(x)的根来构造生成多项式g(x)=(x+αm 0)(x+α10+m ))(012αm t x +-+通常情况下取通常取m 0 = 0或m 0 = 1只要将信息码多项式m(x)=m m x m x k k 0111+++-- 乘以x k n -次，然后以g(x)为模，求出余式q(x)便可以得到系统码。
q （x ）= m(x) x k n -modg(x)=q q x q x k n k n 0111+++---- C(x)= m(x) x k n -+ q （x ）例 构造能纠正2个错误，码长为15符号的RS 码n=15，t=2可得m=4，k=11，d=5．因此RS 码为(15，11)码，生成多项式为g(x)=(x+α)(x+α2)(x+α3)(x+α4) =αααα103263134++++x x x x假设待发送的信息码组为m(x)=x x m x x ααα963102)(++=则编码后的码组多项式为C(x)= m(x) x k n -+ m(x) x k n -modg(x)=ααααα133359103142+++++x x x x x编码的实现：1）首先构造有限域，RS 码的性质和运算法则均定义在Galois 域上，Galois 域是能进行加减乘除运算的有限个元素的封闭集合，它的加减运算符合结合律、交换律和分配律。
RS码简介与编译码算法综述
计算βi
PGZ译码算法
——算法总结
∗
PGZ译码算法
——算法总结
∗
BM译码算法
——引入 1965年E.R.Berlekamp提出了由伴随式求σ(x)的 迭代译码算法，极大地加快了求σ(x)的速度， 实现时比较简单，且易于用计算机完成译码， 因而从工程上解决了BCH码的译码问题。1969 年J.L.Massey指出，迭代译码算法与序列的最 短线性移位寄存器的综合之间的关系，并进 行了简化，自此以后把这种算法成为BM迭代 译码算法。
RS编码
——编码器设计
最小距离为d的本原RS码的生成多项式为 g(x)=(x-α)(x-α2)(x-α3)…(x-αd-2) 信息元多项式为 m(x)=m0+m1x+m2x2+…+mk-1xk-1 编码器主要有三种类型： 1.基于乘法形式的编码器 2.基于除法形式的编码器 3.基于校验多项式形式的编码器
背景知识
——线性分组码
分组：将码字分为许用码字和禁用码字 两组 线性：许用码字的线性组合还是许用码 字
∗
BCH码
——引入 BCH码是一类最重要的循环码，能纠正多个随 机错误，它是1959年由Bose、Chaudhuri及 Hocquenghem各自独立发现的线性循环码， 人们以他们的名字字头命名为BCH码。 BCH码打破了一般线性分组码先编码再验证性 能的模式，能够根据实际纠错需求进行编码。
BCH码
——定义
∗
BCH码
——有限域
∗
∗
∗
BCH码
——设计准则
RS码
——引入 RS编码起源于1960年MIT Lincoln实验室的S. Reed和G. Solomon在Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics上发表的 一篇论文：Polynomial Codes over Certain Finite Fields(某些有限域上的多项式码)。经历 了数十年的发展，RS码成为了研究最详尽， 分析最透彻，应用最广泛，研究成果最多的 码类之一。
基于改进iBM算法的高速RS译码器设计
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ＲＳ Ｄｅ ｃ ｏ ｄ ｉ ｎ ｇ ；ｉ ＢＭ Ａｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ；Ｈｉ ｇ ｈ Ｓ ｐ ｅ ｅ ｄ Ｄｅ ｃ ｏ ｄ ｅ ｒ
率、 低 资 源 消 耗 的 译 码 算 法 。本 文 对 制 约 译 码 速
１ 引 言
１ ９ ６ ０年 ， Ｒ ｅ ｅ ｄ和 Ｓ ｏ ｌ ｏ ｍ ｏ ｎ应 用 Ｍ Ｓ多 项 式 构 造的 Ｒ Ｓ码 是 一 种 具 有 很 强 纠 错 能 力 的 多 进 制
率 的关键 模 块 —— 关 键 方 程 求 解 ， 提 出 了适 用 于 高速 译码 器 的改 进 的 ｉ Ｂ Ｍ 算法 ： 使 用 串行 迭代 方 式， 只需要 三 个 有 限域 乘 法 器 就 可 以 实 现 关 键 方 程求 解 ， 另外 设 计 了一 种 三 级 流 水 线 的结 构 来 实 现Ｒ Ｓ 译码 ， 译码 速度 可达 到 系统钟 的 ８倍 。
ｏ ｆ ｈ ａ ｒ ｄ ｗ ａ ｒ ｅ ｉ ｍｐ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ．Ｏ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｂ ａ ｓ ｉ ｓ ，ｔ ｈ ｅ Ｆ Ｐ ＧＡ ｐ ｉ ｐ ｅ ｌ ｉ ｎ ｉ ｎ ｇ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｃ ｏ ｎ ｃ ｅ ｐ ｔ ｔ ｏ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｈ ｉ ｓ ｈ ｓ ｐ ｅ ｅ ｄ ｄ ｅ ｃ ｏ ｄ ｉ ｎ ｇ ｉ ｓ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ．Ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｔ ｅ ｓ ｔ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｉ ｎ ｄ ｉ ｃ ａ ｔ ｅ ｓ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｃ ｏ ｄ ｅ ｒ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｉ ｓ ｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｔ ｉ ｍｅ ｓ ｔ ｈ ｅ
RS码简介与编译码算法综述
BM译码算法
——算法基础
BM译码算法
——算法原理
BM译码算法
——迭代的具体实现
j -1 0 1 2 3a 4 5 6 1 1 1+αx 1+α11x 1+α8x+α8x2 1+α6x+αx2 1+α6x+αx2 1+α6x+αx2 0 1 1 1+α6x 1+α10x 1+α11x+α5x2 1+α11x+α5x2 1+α11x+α5x2 0 0 1 1 2 2 2
E(x)
计算S2t
计算βi
PGZ译码算法
——算法总结
PGZ译码算法
——算法总结
BM译码算法
——引入
1965年E.R.Berlekamp提出了由伴随式求σ(x)的 迭代译码算法，极大地加快了求σ(x)的速度， 实现时比较简单，且易于用计算机完成译码， 因而从工程上解决了BCH码的译码问题。1969 年J.L.Massey指出，迭代译码算法与序列的最 短线性移位寄存器的综合之间的关系，并进 行了简化，自此以后把这种算法成为BM迭代 译码算法。
RS码简介
熊竹林
背景知识
RS码是一种BCH码 BCH码是一种循环码 循环码是一种线性分组码 线性分组码是一种信道编码
背景知识
——信道编码
信道的非理想性 传输差错 香农告诉我们要纠错必须增加冗余 信道编码就是一门增加冗余的学问 亡羊补牢：反馈重传 未雨绸缪：前向纠错 线性分组码就是前向纠错码的一种
RS编码
——编码器设计
最小距离为d的本原RS码的生成多项式为 g(x)=(x-α)(x-α2)(x-α3)…(x-αd-2) 信息元多项式为 m(x)=m0+m1x+m2x2+…+mk-1xk-1 编码器主要有三种类型： 1.基于乘法形式的编码器 2.基于除法形式的编码器 3.基于校验多项式形式的编码器
BM模式匹配算法图解
Boyer-Moore 经典单模式匹配算法BM模式匹配算法-原理（图解）由于毕业设计（入侵检测）的需要，这两天仔细研究了BM模式匹配算法，稍有心得，特此记下。
首先，先简单说明一下有关BM算法的一些基本概念。
BM算法是一种精确字符串匹配算法（区别于模糊匹配）。
BM算法采用从右向左比较的方法，同时应用到了两种启发式规则，即坏字符规则和好后缀规则，来决定向右跳跃的距离。
BM算法的基本流程: 设文本串T，模式串为P。
首先将T与P进行左对齐，然后进行从右向左比较，如下图所示:若是某趟比较不匹配时，BM算法就采用两条启发式规则，即坏字符规则和好后缀规则，来计算模式串向右移动的距离，直到整个匹配过程的结束。
下面，来详细介绍一下坏字符规则和好后缀规则。
首先，诠释一下坏字符和好后缀的概念。
请看下图：图中，第一个不匹配的字符（红色部分）为坏字符，已匹配部分（绿色）为好后缀。
1）坏字符规则（Bad Character）：在BM算法从右向左扫描的过程中，若发现某个字符x不匹配，则按如下两种情况讨论：i. 如果字符x在模式P中没有出现，那么从字符x开始的m个文本显然不可能与P匹配成功，直接全部跳过该区域即可。
ii. 如果x在模式P中出现且出现次数>=1，则以该字符所在最右边位置进行对齐。
用数学公式表示，设Skip(x)为P右移的距离，m为模式串P的长度，max(x)为字符x在P中最右位置。
可以总结为字符x出现与否，将max(x)=0作为初值即可。
例1：下图红色部分，发生了一次不匹配。
计算移动距离Skip(c) = m-max(c)=5 - 3 = 2，则P向右移动2位。
移动后如下图：2）好后缀规则（Good Suffix）：若发现某个字符不匹配的同时，已有部分字符匹配成功，则按如下两种情况讨论：i. 如果在P中位置t处已匹配部分P'在P中的某位置t'也出现，且位置t'的前一个字符与位置t的前一个字符不相同，则将P右移使t'对应t方才的所在的位置。
RS的BM迭代译码算法
BM迭代译码算法的基本原理时域上的RS译码的关键在于求解错误位置多项式,1966年伯利坎普（Berlekamp）提出了可以由伴随式计算错误位置多项式的迭代译码算法，这极大地加快了求解错误位置多项式的速度，该方法简单且易于实现，从而从工程上解决了RS译码的问题；1969年梅西（Massey）指出了该算法与序列的最短线形移位寄存器综合之间的关系，并进行了简化，因此，此译码算法就称为BM迭代译码算法。
如果由接收码组已经求出了伴随式S=［S1,S2,…,S2t］,其中，t为RS码的纠错距离,记S(x)=1+上式即为求解错误位置多项式的关键方程，且它其实说明了S(x)σ(x)的最高次数不会大于2t。
在上式中，S(x)是已知的，因此，可以利用上式进行迭代。
先人为设定σ(x)和ω(x)的初始值，然后以此初始值表示下一次迭代的结果，并使得下一迭代结果的次数不减，如此反复迭代求出满足(1)式的方程即可。
由于每一次迭代都使得σ(x)和ω(x)的次数不减，故迭代至第j步时，应有：通常，满足(2)式的每一步迭代都不是唯一的，因此必须对迭代过程加以条件限制。
在m进制无记忆离散对称信道中，如果信道转移概率p<1/m，则信道产生错误个数少的可能性最大，即σ(x)次数越低的可能性越大。
故如果每一次迭代都能保证求的σj(x)次数最低，且满足此时的译码结果就是满足译码错误概率最小的最大似然译码，并且此时的解是唯一的。
其中i是j前面的某一行，且满足最大，这样能保证每次迭代总是使σ(x)的次数最小化。
因此，令j=-1和0，得到两组初始值，利用(3)式求出d j，再结合(４)式和(５)式即可得到下一步的结果。
迭代步骤如下：否则，由(4)式和(5)式求出σj+1（x)、ωj+1 (x)，然后进行下一次迭代。
FPGA实现及调试1.FPGA实现电路该算法的FPGA实现电路如图1所示。
其中，Syndrome模块主要完成伴随式的计算，Dj和Di模块分别完成dj和dj/di的计算，Iterater模块则完成迭代的更新及计算，Sj和Oj分别为需要求出的σj(x)和ωj(x)。
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RS译码BM算法及IBM算法
1966年，berlekamp利用迭代算法译bch码，避免了矩阵的逆计算，从而大大加快了
译码速度。
1969年，j.l.massey从序列综合的角度重新推导了该算法，给出了迭代译码
算法与序列的最短移位寄存器综合之间的关系。
我们称这一算法为berlekamp-massey算
法(bm算法)。
在介绍RS码的BM算法之前，我们需要介绍RS码的伴随译码算法：让传输的码字多
项式为C（x）？中国？1xn？1.c1x？c0
ll错误个数为t的错误图样多项式为e(x)?etxt?...?e1x1，其中xi称为错误位置数，该位置的错误值是ei。
接收序列多项式r(x)?c(x)?e(x)?rn?1x则伴随式
sj?r(?m0?j?1n?1l?...?r1x?r0
)? e（？m0？j？1）j？1,2,..., D一
?et(?t)lm0?j?1?...?e1(?l1)m0?j?1
L伴随仅取决于传输过程中发生的错误模式，与编码数据无关。
顺序我席（i＝
1,2，…，t）然后Sj？etxtm0？J1.e1x1m0？J1j？1,2,..., D一
我们希望从这d-1个方程求出2t(?d?1)个未知数ei、xi(i?1,2,...,t)定义错误位置
多项式
? （x）？？（1？xxi）？1.1x？？2x2？。
？？txt
i?1t则由?(xi)?0(i?1,2,...,t)，可以得到
? 11?? 1xi？1.2xi？2.伊克西？T0
上式两端同乘以eixim0?j?1?t，我们有
eixim0？J1.TIxim0？J1.T1.2eixim0？J1.T2.teixim0？J1.0
上式对i=1,2,...,t求和得到
? e（xii？1tm0？j？1？ti？1xim0？j？1？t？1？2xim0？j？1？t？2？…？ixim0？j？1）？0
即sj?t??1sj?t?1??2sj?t?2?...??tsj?0由上式可以得到如下递推关系
sj？？（？1sj？1？2sj？2？..？tsj？t）j？T1.D一
此关系式可以用线性反馈移位寄存器表示，如下图2.4
RS码的解码问题变成：已知D？1.伴随，设计一个最小阶的连接多项式
?(x)?1??1x???2x2?...??txt的线性反馈移位寄存器（即最短线性反馈移位寄存器），
生成这个伴随序列。
berlekamp和massey提出的错误位置多项式求解算法如下[1]：
假设线性反馈移位寄存器（LR，？（x））是生成序列S1、S2，是Sr的最短线性反馈移位寄存器，其中LR是线性反馈移位寄存器的长度。
假设一系列最短线性反馈移位寄存
器（L1，x），（L2，x），（LR？1，最短线性反馈移位寄存器（LR，x））。
bm算法：
（r）（1）（2）（r？1）（r）（x）），可以使用BM算法构造一个新的
...、sd?1，?(x)?1b初始条件：已知伴随式s1、s2、(0)(0)(x)?1?(0)(x)?1a(0)?0
它可以通过D-1迭代从以下递归关系中获得？l（r？1）（d？1）（x）：
?r?其中
?? J0（r？1）jsr？i（1.2）
?(r)(x)??(r?1)(x)??rxb(r?1)(x),?(r)(x)??(r?1)(x)??rxa(r?1)(x)
如果R0和2lr？1.R1那么
lr?lr?1,b(r)(x)?xb(r?1)(x),a(r)(x)?xa(r?1)(x)
否则
1(r?1)1(r?1)lr?r?lr?1,b(r)(x)???(x),a(r)(x)???(x)r?r?这样，第r次迭代得到
的最短兴县反馈移位寄存器(lr,?(x))满足：
（r） lr？最大值（lr？1，r？lr？1），lr？？r/2S（x）呢？（r）（x）？？（r）（x）modxr；
迭代结束时，得到的?(d?1)(x)是满足下面性质的最小度数多项式：
a（d？1）0？1.（身份证1）sr？我0（r？ld？1？1，…，d-1；ld-1？？（d？1）
/2？）和
i?0ld?1s(x)?(d?1)(x)??(d?1)(x)modxd?1。
即?(d?1)(x)是我们要求的错误位置多项式，?(d?1)(x)是相应的错误值多项式。
IBM算法[2]
改进的无逆的bm算法(imversionlessbm)，其解码的频率较传统的bm算法有大幅度
的提高。
rs时域解码算法中，关键方程的求解是整个解码过程的关键，其决定了解码器工作的时钟周期。
通常的bm算法求解周期过长，解码数据量较低。
而ibm算法极大的缩短
了关键方程的求解周期，常见的ibm算法分为四个步骤：1.由接收的码字r(x)计算伴随式
s(x);2.根据关键方程计算错误值多项式w(a)和错误位置多项式?(x)；3.钱搜索找到错误
位置，并计算错误值；4.纠正错误。
IBM算法的具体流程如下：
初始化：?0?b0?1,b?1?0,k(0)?0,r(0)?1
? 我（0）？bi（0）？为什么？1,2,... T
r(x)为接收到的码字多项式，?为错误位置多项式系数，b是辅助计算的中间式，k代
表迭代计算的次数
输入：是，我？1,2,..., 2t？1，其中Si是R=0Step1直到2t-1dobegin的伴随公式：
stepibm.1?(r)?sr?0(r)?sr?1?1(r)?...?sr?t?t(r)stepibm.2?i(r?1)??(r)?i(r)??(r)bi
?1(r)stepibm.3if?(r)!?0andk(r)?0
bi（r1）？？i（r）？（r？1）？r（r）
k(r?1)?k(r)?1其中，?(r)为错误位置多项式，?(k)是辅助计算的中间量因为？0，步骤1直到-1do
stepibm.4?i(2t)?si?0(2t)?si?1?1(2t)?...?s0?t(2t)输出：
? 我（2t）我？0,1,..., T
?i(2t)i?0,1,...,t-1;输出为错误位置，和该位置的错误值。
参考：
[1]rs编译码器的设计与fpga实现国防科技大学李宏
[2] 高速并行RS译码器的设计与FPGA实现中国科学院上海技术物理研究所赵明
[3]高速berlekamp．massey算法结构及电路实现东南大学张军，王志功，胡庆生，
肖结等。