上海市控江中学高二数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)
【精选试卷】上海控江初级中学数学高二下期末测试卷(含解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13884]如图，,,,A B C D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（ ）A ．AB CD BC DA +=+ B ．AC BD BC AD +=+ C ．AC DB DC BA +=+D ．AB DA AC DB +=+2．(0分)[ID ：13880]直线l ：210mx y m +--=与圆C ：22(2)4x y +-=交于A ，B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为 A ．2430x y -+= B ．430x y -+= C ．2430x y ++=D ．2410x y ++=3．(0分)[ID ：13879]已知,a b 是单位向量，且,a b 的夹角为3π，若向量c 满足22c a b -+=，则||c 的最大值为（ ）A ．23B ．23+C ．72+D 72-4．(0分)[ID ：13855]已知sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则cos2α的值为（ ）A ．45-B ．35C ．35D ．455．(0分)[ID ：13891]已知函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π，则下列选项正确的是A ．函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B ．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 D ．函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称6．(0分)[ID ：13890]已知π(,π)2α∈，π1tan()47α+=，则sin cos αα+= （ ） A ．17-B ．25-C ．15-D ．157．(0分)[ID ：13886]已知角α的终边过点()4,3(0)P m m m -<,则2sin cos αα+的值是 A ．1B ．25C ．25-D ．-18．(0分)[ID ：13872]若将函数1()cos 22f x x =的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A ．(,0)12πB ．(,0)6πC ．(,0)3πD ．(,0)2π9．(0分)[ID ：13869]已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02Cx x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC 一定是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形10．(0分)[ID ：13846]设奇函数()()()()sin 0f x x x ωφωφω=++>在[]1,1x ∈-内有9个零点，则ω的取值范围为( ) A ．[)4,5ππB ．[]4,5ππC ．11,54ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,54ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦11．(0分)[ID ：13843]已知2tan θ＝ ，则222sin sin cos cos θθθθ＋－ 等于( ) A ．－43B ．－65C ．45D ．9512．(0分)[ID ：13841]已知2sin()3,且(,0)2απ∈-，则tan(2)πα-=（ ）A B ． C D ．13．(0分)[ID ：13840]已知4cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ） A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-14．(0分)[ID ：13907]如图，在ABC ∆中，23AD AC =，13BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则=λμ( )A ．3-B ．3C ．2D ．2-15．(0分)[ID ：13899]若向量a ，b 满足2a b ==，a 与b 的夹角为60，则a b +等于（ ） A ．223+B ．3C ．4D ．12二、填空题16．(0分)[ID ：14006]在ABC 中，已知1tan 2tan tan A B A-=，则cos(2)A B -的值为________.17．(0分)[ID ：13999]已知向量,a b 满足：43a b +=，232a b -=，当7a b -取最大值时，ab= ______．18．(0分)[ID ：13996]空间四点,,,A B C D 满足3AB =，=7BC ，||=11CD ，||=9DA ，则·AC BD =_______．19．(0分)[ID ：13993]已知点1,0A ，M ，N 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0AN MN ⋅=.若点P 满足2MP NP =，则点P 的轨迹方程是______.20．(0分)[ID ：13985]已知向量a ，b 满足1a =，且()2a a b b -==，则向量a 与b 的夹角是__________．21．(0分)[ID ：13971]将函数e x y =的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为__________．22．(0分)[ID ：13967]在平行四边形ABCD 中，E 为线段BC 的中点，若AB AE AD λμ=+，则λμ+=__________．23．(0分)[ID ：13960]已知向量(,)a m n =，向量(,)b p q =，（其中m ，n ，p ，q ∈Z ）．定义：(,)a b mp nq mq np ⊗=-+．若(1,2)a =，(2,1)b =，则a b ⊗=__________； 若(5,0)a b ⊗=，则a =__________，b =__________（写出一组满足此条件的a 和b 即可）．24．(0分)[ID ：13943]已知已知sin π3()25α+=，α∈π(0,)2，则sin(π＋α)等于__________25．(0分)[ID ：13941]已知向量a b ，均为单位向量，a 与b 夹角为3π，则|2|a b -=__________．三、解答题26．(0分)[ID ：14113]已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，222sin 2cos 22B Aa b b c +=+． （1）求B ；（2）若6c =，[2,6]a ∈，求sin C 的取值范围． 27．(0分)[ID ：14046]如图，已知单位圆上有四点(1,0)E ，(cos ,sin )A θθ，(cos 2,sin 2)B θθ，(cos3,sin 3)C θθ，其中03πθ<≤，分别设OAC ABC ∆∆、的面积为1S 和2S .（1）用sin cos θθ，表示1S 和2S ； （2）求12cos sin S Sθθ+的最大值及取最大值时θ的值． 28．(0分)[ID ：14033]已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为坐标原点，准线方程为1x =-，直线l 与抛物线相交于不同的A 、B 两点． （1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值；（3）如果4OA OB ⋅=-，直线l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．29．(0分)[ID ：14031]已知函数(222(,0)4f x x x R πωω⎛⎫++∈> ⎪⎝⎭的最小正周期是2π． (1)求ω的值；(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．30．(0分)[ID：14043]（1）化简求值：222cos12tan sin44xx xππ-⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2000cos40sin501+++0000sin20sin40cos20cos40--【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B 2．A 3．B 4．A 5．B 6．C 7．C 8．A 9．B 10．A 11．D 12．A 13．B 14．B 15．B二、填空题16．0【解析】【分析】通过展开然后利用已知可得于是整理化简即可得到答案【详解】由于因此所以即所以则故答案为0【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用意在考查学生的基础知识难度中等17．【解析】【分析】根据向量模的性质可知当与反向时取最大值根据模长的比例关系可得整理可求得结果【详解】当且仅当与反向时取等号又整理得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量模长的运算性质关键是能够确定模长取18．0【解析】【分析】由代入再由代入进一步化简整理即可【详解】因为故答案为0【点睛】本题主要考查向量的数量积运算灵活运用数量积的运算公式即可属于常考题型19．【解析】【分析】设点MNP三点坐标根据平面向量垂直特性列出方程可得结果【详解】解：设点M坐标（a0）N坐标（0b）点P坐标（xy）则=（-1b）=（-ab）而==代入可得故答案为【点睛】本题考查了平20．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小21．【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式详解：点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟练掌握无论是哪种变形切记每一个变换总是对字母而言22．【解析】分析：先根据三角形法则化为再根据分解唯一性求即得详解：因为所以因为不共线所以点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若为不共线向量则23．【解析】（）令∴（）∵∴①又∵∴∴∴是方程组①的一组解∴故答案为；24．【解析】由题意得25．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证．【详解】DC BC BD=-，DC AC AD=-，∴AC AD BC BD-=-，∴AC BD BC AD+=+．故选：B．【点睛】本题主要考查了平面向量的加减法及其几何意义，属于容易题．2．A解析：A【解析】【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.【详解】由题得1210(21)(1)0,,2101x xm x yyy⎧-==⎧⎪-+-=∴∴⎨⎨-=⎩⎪=⎩，所以直线l过定点P112（，）.当CP⊥l时，弦AB最短.由题得2112,122CP lk k-==-∴=-,所以112,24m m -=∴=-. 所以直线l 的方程为2430x y -+=.故选：A 【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．B解析：B 【解析】不妨设(1,0)a =，13(,22b =，(,)c x y =，则2(,c a b x y -+=+，所以22(3)2c a b x -+=+=，即22(4x y +=，点(,)x y 在以(0,为圆心，2为半径的圆上，所以2c x =+的最大值为32+．故选B ．4．A解析：A 【解析】 ∵sin cos 1sin cos 2αααα-=+，∴tan α11tan α3tan α12-==+，.∴cos2α=222222cos sin 1tan 4cos sin 1tan 5αααααα--==-++ 故选A5．B解析：B 【解析】 【分析】根据函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π，求解ω可得解析式，对各选项逐一考察即可． 【详解】函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则 即22T ππωω=∴=＝， ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由对称轴方程：262x k k Z πππ+=+∈，（）得：126x k ππ=+，（k∈Z） 经考查C ，D 选项不对．由对称中心的横坐标：26x k k Z ππ+=∈，（），得：1212x k k Z ππ=-∈，（） 当k=0时，可得图象的对称中心坐标为,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故选B ． 【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，求出解析式是解决本题的关键．属于中档题．6．C解析：C 【解析】 【分析】由两角和的正切公式得出3sin cos 4αα=-，结合平方关系求出43cos ,sin 55αα=-=，即可得出sin cos αα+的值. 【详解】1tan 1tan 41tan 7πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭3tan 4α∴=-，即3sin cos 4αα=-由平方关系得出223cos cos 14αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：43cos ,sin 55αα=-=341sin cos 555αα+=-=- 故选：C 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，平方关系，属于中档题.7．C解析：C 【解析】因为角α的终边过点()4,3(0)P m m m -<，所以sin α=35-，4cos 5α=，所以2sin cos αα+=642555-+=-，故选C.8．A解析：A 【解析】 【分析】 通过平移得到1cos(2)23y x π=+，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案. 【详解】向左平移6π个单位长度后得到1cos 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则其对称中心为(),0122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,或将选项进行逐个验证,选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.9．B解析：B 【解析】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B ，即可确定出三角形形状． 详解：设已知方程的两根分别为x 1，x 2， 根据韦达定理得：x 1+x 2=cosAcosB ，x 1x 2=2sin 22C=1﹣cosC ， ∵x 1+x 2=12x 1x 2， ∴2cosAcosB=1﹣cosC ， ∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosAcosB+sinAsinB ， ∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos （A ﹣B ）=1， ∴A ﹣B=0，即A=B ， ∴△ABC 为等腰三角形． 故选B ．点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．10．A解析：A 【解析】f （x ）=sin （ωx+φ（ωx+φ）=2[12sin （ωx+φ）﹣2cos （ωx+φ）] =2[cos3πsin （ωx+φ）﹣sin 3πcos （ωx+φ）]=2sin （ωx+φ﹣3π） ∵函数f （x ）为奇函数，∴f （0）=2sin （φ﹣3π）=0，∴φ=3π+kπ，k ∈Z ∴f （x ）=2sin （ωx+kπ），f （x ）=0即sin （ωx+kπ）=0，ωx+kπ=mπ，m ∈Z ，解得，x=()m k πω-，设n=m ﹣k ，则n ∈Z ，∵A ∈[﹣1，1]，∴﹣1≤x≤1,[]1,1n πω∈-，∴n ωωππ-≤≤, ∵A ∈[﹣1，1]中有9个元素,4545.ωπωππ∴≤<⇒≤< 故答案为A.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．11．D解析：D 【解析】 ∵tanθ＝2，∴原式＝22222sin sin cos cos sin cos θθθθθθ＋－＋＝22211tan tan tan θθθ+－＋＝82141＋－＋＝95.本题选择D 选项.点睛：关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．12．A解析：A 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式，求得2sin3，再由三角函数的基本关系式，求得5cos α3， 最后利用三角函数的基本关系式，即可求解tan(2)πα-的值，得到答案. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得2sin()sin 3παα-==-，因为(,0)2απ∈-，所以cos 3α==，又由sin tan(2)tan cos 5απααα-=-=-=，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简、求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13．B解析：B 【解析】 【分析】由题意首先求得sin α的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意结合诱导公式可得：4sin cos 25παα⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 则2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．B解析：B 【解析】 ∵21,33AD AC BP BD =∴=121()393AD AB AC AB -=- ∴2239AP AB BP AB AC =+=+ 又AP AB AC λμ=+，∴22,,339λλμμ=== 故选B.15．B解析：B 【解析】 【分析】将a b +平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式.【详解】因为2222cos 6044412a b a a b b +=+︒+=++=，所以23a b +=， 故选：B. 【点睛】本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算xa yb +这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去计算模长.二、填空题16．0【解析】【分析】通过展开然后利用已知可得于是整理化简即可得到答案【详解】由于因此所以即所以则故答案为0【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用意在考查学生的基础知识难度中等 解析：0 【解析】 【分析】通过展开cos(2)A B -，然后利用已知可得2tan 12tan tan A B A -=，于是整理化简即可得到答案. 【详解】 由于1tan 2tan tan A B A-=，因此2tan 12tan tan A B A -=，所以22tan 1tan 2=1tan tan A A A B=--，即tan 2tan 1A B ⋅=-，所以sin 2sin cos2cos A B A B ⋅=-⋅,则cos(2)cos 2cos sin 2sin =0A B A B A B -=+，故答案为0. 【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用，意在考查学生的基础知识，难度中等.17．【解析】【分析】根据向量模的性质可知当与反向时取最大值根据模长的比例关系可得整理可求得结果【详解】当且仅当与反向时取等号又整理得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量模长的运算性质关键是能够确定模长取解析：18【解析】 【分析】根据向量模的性质可知当23a b -与4a b +反向时，7a b -取最大值，根据模长的比例关系可得()()32324a b a b -=-+，整理可求得结果. 【详解】()()72342345a b a b a b a b a b -=--+≤-++=当且仅当23a b -与4a b +反向时取等号又43223a ba b+=- ()()32324a b a b ∴-=-+ 整理得：8a b =18a b ∴= 本题正确结果：18【点睛】本题考查向量模长的运算性质，关键是能够确定模长取得最大值时，两个向量之间的关系，从而得到两个向量之间的关系.18．0【解析】【分析】由代入再由代入进一步化简整理即可【详解】因为故答案为0【点睛】本题主要考查向量的数量积运算灵活运用数量积的运算公式即可属于常考题型解析：0 【解析】 【分析】由BD AD AB =-代入·AC BD ，再由AC AD DC AC AB BC ，=+=+代入进一步化简整理即可. 【详解】因为()()()······AC BD AC AD AB AC AD AC AB AD DC AD AB BC =-=-=+-+()()222222211··22AB AD DC AD AB BC AB AD DC AD DC AD AB =+--=++-+--()()()2222222221111122222BC AB BC AB AD AC DC AD AB AC +++=+-+--+ ()()()222222111811219490222BC AB AD DC AB BC ++=--+=--+=. 故答案为0 【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，灵活运用数量积的运算公式即可，属于常考题型.19．【解析】【分析】设点MNP 三点坐标根据平面向量垂直特性列出方程可得结果【详解】解：设点M 坐标（a0）N 坐标（0b ）点P 坐标（xy ）则=（-1b ）=（-ab ）而==代入可得故答案为【点睛】本题考查了平 解析：24y x =【解析】 【分析】设点M,N,P 三点坐标，根据平面向量垂直特性，列出方程可得结果. 【详解】解：设点M 坐标（a,0），N 坐标（0，b ），点P 坐标（x,y ）,则AN =（-1，b ），MN =（-a,b ），∴AN MN ⋅=20a b +=⇒2a b =-， 而MP =(),x a y -,NP =(),x y b -,2MP NP=⇒()22()x x a y b y⎧=-⎨-=⎩⇒2x a y b =-⎧⎨=⎩,代入2a b =-可得24y x =. 故答案为24y x =. 【点睛】本题考查了平面向量垂直的乘积和点的轨迹方程的求法，属于简单题.20．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小 解析：120︒【解析】 【分析】先根据条件得a b ⋅，再根据向量夹角公式求结果. 【详解】因为1a =，且()2a a b ⋅-=，所以2-2,121,a a b a b ⋅=∴⋅=-=- 因此112πcos ,,1223a b a b a b a b⋅-===-∴=⨯⋅. 【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式cos a b a bθ⋅=⋅；二是坐标公式cos θ=；三是几何方法，从图形判断角的大小.21．【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式详解：点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟练掌握无论是哪种变形切记每一个变换总是对字母而言 解析：24e x y -=【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式. 详解：222(2)24e ee e xxx x y y y --=→=→==横坐标变为一半右移个单位点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.22．【解析】分析：先根据三角形法则化为再根据分解唯一性求即得详解：因为所以因为不共线所以点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若为不共线向量则解析：12. 【解析】分析：先根据三角形法则化AE 为12AB AD +，再根据分解唯一性求λμ，，即得.λμ+ 详解：因为12AE AB AD =+，所以2AB AB AD λλμ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, 因为,AB AD 不共线，所以111=1+=0=-,+=.222λλμμλμ∴， 点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若,a b 为不共线向量，1122+y +y c x a b x a b ==，则1212y =y .x x =，23．【解析】（）令∴（）∵∴①又∵∴∴∴是方程组①的一组解∴故答案为；解析：(0,5) (2,1) (2,1)- 【解析】（1）令1m =，2n =，2p =，1q =，∴0mp nq -=，5mq np +=,(0,5)a b ⊗=．（2）∵(5,0)a b =⊗，∴50mp nq mq np -=⎧⎨+=⎩，①又∵5a <，5b <，∴22222525m n p q ⎧+<⎨+<⎩，∴m ，n ，p ，q ∈Z ，∴2m =，1n =，2p =，1q =-是方程组①的一组解，∴(2,1)a =，(2,1)b =-．故答案为()0,5? ，(2,1)a =；(2,1)b =-. 24．【解析】由题意得解析：4-5【解析】 由题意得3π44cos ,(0,)sin ,sin(π)sin 5255ααααα=∈∴=+=-=- 25．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为【解析】【详解】由已知得到向量a ，b 的数量积为1cos 32a b π⋅==，所以222|2|444213a b a a b b -=-⋅+=-+=，所以23a b -=，故答案为.三、解答题 26．（1）3B π=；（2）2⎤⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理以及两角和与差的正弦公式进行化简，求解出cos B 的值后即可求出B 的值；（2）根据余弦定理先求解出b 的取值范围，然后根据sin sin c BC b=求解sin C 的取值范围. 【详解】（1）已知得2(1cos )12cos2A a B c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 由正弦定理得sin sin cos sin sin cos A A B C B A -=-，即sin sin sin()sin()A C A B A B =+-=++sin()2sin cos A B A B -=， ∴1cos 2B =，解得3B π=．（2）由余弦定理得222222cos 636(3)27b a c ac B a a a =+-=-+=-+，∵[2,6]a ∈，∴b ∈，sin sin 2c B C b ⎤=∈⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查解三角形的综合应用，难度一般.（1）解三角形的边角化简过程中要注意隐含条件A B C π++=的使用；（2）求解正弦值的范围时，如果余弦值的范围容易确定也可以从余弦值方面入手，若余弦值不容易考虑则可以通过正弦定理将问题转化为求解边与角的正弦的比值范围.27．(1) 11sin 22S θ=，()2sin 1cos S θθ=-；(2)12cos sin S S θθ+，此时θ的值为3π.【解析】【详解】试题分析：解(1)根据三角函数的定义, 知,2,3,xOA xOB xOC θθθ∠=∠=∠= 所以xOA AOB BOC θ∠=∠=∠=, 所()11111sin 3sin 222S θθθ=⋅⋅⋅-=. 又因为12S S +=四边形OABC 的面积＝1111sin 11sin sin 22θθθ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=, 所以()21sin sin 2sin 1cos 2S θθθθ=-=-. (2)由(1)知()12sin 1cos sin cos sin cos 11cos sin cos sin 4S S θθθθπθθθθθθθ-⎛⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭.因为03πθ<≤, 所以4412πππθ-<-≤, 所以sin()sin 2412ππθ-<-≤=所以12cos sin S S θθ+的最大值为12, 此时θ的值为3π. 考点：三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的性质以及二倍角公式的运用，属于基础题．28．（1）24y x =;（2）∴12123OA OB x x y y ⋅=+=-;（3）(2,0)． 【解析】【试题分析】（1）借助题设与已知条件待定抛物线的参数即可；（2）依据题设条件，建立直线方程与抛物线方程联立方程组，运用向量的坐标形式求解：（3）先假设存在，再运用所学知识分析探求．（1）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为1x =-， 所以12p=，2p =． ∴抛物线的标准方程为24y x =．（2）设l ：1my x =-，与24y x =联立，得2440y my --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，∴124y y m +=，124y y =-， ∴()()212121212113OA OB x x y y m y y m y y ⋅=+=++++=-．（3）解：假设直线l 过定点，设l ：my x n =+与24y x =联立，得2440y my n -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，∴124y y m +=，124y y n =．由()()2221212414OA OB m y y mn y y n n n ⋅=-=+-++=+，解得2n =-，∴l ：2my x =-过定点()2,0．点睛：本题的设置旨在考查抛物线的标准方程与直线与抛物线的位置关系等基础知识与基本方法的综合运用．求解第一问时，直接借助题设条件求出参数p 的值使得问题获解；解答第二问时，将直线方程与抛物线方程联立，借助向量的坐标形式的数量积公式求解，使得问题获解；第三问的求解则借助坐标之间的关系建立方程推得直线过定点，使得问题获解．29．(1) 2ω= (2) 函数f (x )的最大值是2＋，此时x 的集合为{x |x ＝16π +2k π，k ∈Z}．【解析】试题分析析：本题是函数sin()y A x ωϕ=+性质问题，可借助正弦函数的图象与性质去研究，根据周期公式可以求出ω，当函数的解析式确定后，可以令2sin y t =，24t x πω=+，根据正弦函数的最大值何时取得，可以计算出24x πω+为何值时，函数值()f x 取得的最大值，进而求出x 的值的集合.试题解析：(1)∵f (x )＝2sin （24x πω+ ＋2(x ∈R，ω＞0)的最小正周期是2π，∴222ππω=，所以ω＝2. (2)由(1)知，f (x )＝sin 44x π⎛⎫+⎪⎝⎭＋2. 当4x ＋4π＝2π＋2k π(k ∈Z)，即x ＝16π＋2k π(k ∈Z)时，sin 44x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1，所以函数f (x )的最大值是22x 的集合为{x |x ＝16π＋2k π，(k ∈Z)}． 【点睛】函数sin()y A x ωϕ=+的最小正周期为2T πω=，根据公式求出ω，页有关函数sin()y A x ωϕ=+的性质可按照复合函数的思想去求，可以看成sin y A t =与.复合而成的复合函数，譬如本题求函数的最大值，可以令4242x k πππ+=+，求出x 值，同时求出函数的最大值2.30．(1)1，(2)23-【解析】 【分析】（1）利用倍角公式、同角三角函数基本关系式及诱导公式化简求值；（2）利用同角三角函数基本关系式、诱导公式及三角函数的和差化积化简求值．【详解】（1）2221244cos x tan x sin x ππ-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=224244cos xsin x cos x cos x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭=2244cos x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=221222cos x cos x cos x sin x π==⎛⎫- ⎪⎝⎭； （24050110cos sin ︒+︒+︒+20402040sin sin cos cos ︒-︒︒-︒4050cos sin ︒++()()2301023010cos sin sin sin ︒-︒-︒-︒24040403030sin cos cos cos sin ︒︒︒+︒︒+2【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．。
上海控江中学数学高二下期末测试题(专题培优)
一、选择题1．如图，,,,A B C D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（ ）A ．AB CD BC DA +=+ B ．AC BD BC AD +=+ C ．AC DB DC BA +=+ D ．AB DA AC DB +=+2．函数f (x )＝3sin(2x －6π)在区间[0，2π]上的值域为( ) A ．[32-，32] B ．[32-，3] C ．[3333D ．[333] 3．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(A 、ω、ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()220f f f -<<B ．()()()220f f f <-<C ．()()()202f f f -<<D ．()()()022f f f <-<4．已知关于x 的方程20ax bx c ++=，其中,,a b c 都是非零向量，且,a b 不共线，则该方程的解的情况是（ ） A ．至少有一个解 B ．至多有一个解 C ．至多有两个解D ．可能有无数个解5．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足BM 2MA =，则CM CA ⋅=( ) A ．32B ．3C ．6D ．1526．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．27．ABC ∆中，M 是AC 边上的点，2AM MC =，N 是边的中点，设1AB e =，2AC e =，则MN 可以用1e ，2e 表示为（ ）A ．121126e e - B ．121126e e -+ C ．121126e e + D ．121726e e + 8．已知函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，若ππ,612x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，()f x 的图象恒在直线3y =的上方，则ϕ的取值范围是( ) A ．ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭B ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭9．已知函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π，则下列选项正确的是 A ．函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称B ．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 D ．函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称 10．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为( )A ．310B ．210C ．210-D ．310-11．已知2tan θ＝ ，则222sin sin cos cos θθθθ＋－ 等于( ) A ．－43B ．－65C ．45D ．9512．已知函数()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示.则()y f x =的图象，可由函数cos y x =的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（ ）A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π个单位B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π个单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位 D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π个单位13．已知()()f x sin x ωθ=+（其中()()12120,0,,''0,2f x f x x x πωθ⎛⎫>∈==- ⎪⎝⎭，的最小值为(),23f x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移6π个单位得()g x ，则()g x 的单调递减区间是（ ） A ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B ．()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦14．如图，在ABC ∆中，23AD AC =，13BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则=λμ( )A ．3-B ．3C ．2D ．2-15．已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（） A ．25-B ．3C ．3-D ．25二、填空题16．若34παβ+=，则()()1tan 1tan αβ--=_____________． 17．已知sin76m ︒=，则cos7︒=________.（用含m 的式子表示）18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1a =，3B π=，当ABC ∆的面积等3tan C =__________．19．已知向量a ，b 满足1a =，且()2a a b b -==，则向量a 与b 的夹角是__________．20．已知两个单位向量a 、b 的夹角为60，(1)c ta t b =+-，若b c ⊥，则实数t ＝__________.21．已知3(,),sin 25παπα∈=，则tan()4πα-=___________ . 22．已知已知sin π3()25α+=，α∈π(0,)2，则sin(π＋α)等于__________23．已知向量a b ，均为单位向量，a 与b 夹角为3π，则|2|a b -=__________． 24．已知向量()()121a b m =-=，，，，若向量a b +与a 垂直，则m =______． 25．已知1tan 2α=，则2(sin cos )cos 2ααα+=____________ .三、解答题26．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求C ；（2）若c =，ABC 的面积为ABC 的周长.27．在已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭. (1)求()f x 的解析式；(2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 28．已知函数()2sin()1(0)6f x x πωω=-->的周期是π.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在[0,]2π上的最值及其对应的x 的值.29．已知函数() 22.3f x x sinxcosx π⎛⎫-⎪⎝⎭=- （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间. 30．已知324ππβα<<<，()12cos 13αβ-=，()3sin 5αβ+=-求sin2α的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．B3．B4．B5．D6．D7．A8．C9．B10．C11．D12．B13．A14．B15．D二、填空题16．2【解析】试题分析：即所以答案应填：考点：和差角公式17．【解析】【分析】通过寻找与特殊角的关系利用诱导公式及二倍角公式变形即可【详解】因为即所以所以所以又【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用意在考查学生分析解决问题的能力18．【解析】由题意即则所以由余弦定理所以所以应填答案点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边进而运用余弦定理求出边然后再运用余弦定理求出进而求出最后求出19．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小20．【解析】由题意得即解得t=2；故答案为221．【解析】∵∴∴∴故答案为22．【解析】由题意得23．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为24．【解析】利用平面向量的加法公式可得：由平面向量垂直的充要条件可得：解方程可得：25．3【解析】【分析】由题意首先展开三角函数式然后结合同角三角函数基本关系转化为的式子最后求解三角函数式的值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查三角函数式的化简求值问题三角函数齐次式的计算同角三三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证． 【详解】DC BC BD =-，DC AC AD =-，∴AC AD BC BD -=-，∴AC BD BC AD +=+．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的加减法及其几何意义，属于容易题．2．B解析：B 【解析】 【详解】 分析：由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出26x π-的取值范围，从而求出26sin x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，从而可得()f x 的值域.详解：[]0,,20,2x x ππ⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎣⎦， 52,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦， 12,162sin x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()332,362f x sin x π⎛⎫⎡⎤∴=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B. 点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.3．B解析：B 【解析】依题意得，函数f （x ）的周期为π，∵ω＞0，∴ω=2ππ=2．又∵当x=23π 时，函数f （x ）取得最小值， ∴2×23π +φ=2kπ+32π ，k ∈Z ，可解得：φ=2kπ+6π，k ∈Z ， ∴f （x ）=Asin （2x+2kπ+6π）=Asin （2x+6π）． ∴f （﹣2）=Asin （﹣4+6π）=Asin （6π﹣4+2π）＞0． f （2）=Asin （4+6π）＜0， f （0）=Asin 6π=Asin 56π＞0， 又∵32π＞6π﹣4+2π＞56π＞2π，而f （x ）=Asinx 在区间（2π，32π）是单调递减的，∴f （2）＜f （﹣2）＜f （0）． 故选：B ．4．B解析：B 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知(),c a b R λμλμ=+∈，从而将方程整理为()()20x a x b λμ+++=，由,a b 不共线可得200x x λμ⎧+=⎨+=⎩，从而可知方程组至多有一个解，从而得到结果. 【详解】由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈则方程20ax bx c ++=可变为：20ax bx a b λμ+++= 即：()()20xa xb λμ+++=,a b 不共线 200x x λμ⎧+=∴⎨+=⎩可知方程组可能无解，也可能有一个解∴方程20ax bx c ++=至多有一个解本题正确选项：B 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数.5．D解析：D 【解析】 【分析】结合题意线性表示向量CM ，然后计算出结果 【详解】 依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．【点睛】本题考查了向量之间的线性表示，然后求向量点乘的结果，较为简单6．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()()4,22,422258c m m a c m m m =++⋅=+++=+,()()44222820b c m m m ⋅=+++=+,5,2025a b ===,c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角 ,c a c bc a c b ⋅⋅=⋅⋅,=,解得2m =, 故选D. 【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.7．A解析：A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】由题, ()12111111322626MN MC CN AC AB AC AB AC e e =+=+-=-=-.故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题型.8．C解析：C 【解析】分析：根据函数()f x 的解析式，利用x 的取值范围，结合题意求出ϕ的取值范围．详解：函数函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，ππ,612x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，324x ππϕϕϕ+∈-++（，），又()f x 的图象恒在直线3y =的上方，2223333042cos x cos x ππϕϕϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪∴++∴+∴⎨⎪+≤⎪⎩（）＞，（）＞，， 解得04πϕ≤≤；∴ϕ的取值范围是π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选C ．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π，求解ω可得解析式，对各选项逐一考察即可． 【详解】函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则 即22T ππωω=∴=＝， ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由对称轴方程：262x k k Z πππ+=+∈，（）得：126x k ππ=+，（k∈Z） 经考查C ，D 选项不对．由对称中心的横坐标：26x k k Z ππ+=∈，（），得：1212x k k Z ππ=-∈，（） 当k=0时，可得图象的对称中心坐标为,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选B ． 【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，求出解析式是解决本题的关键．属于中档题．10．C解析：C 【解析】 【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可． 【详解】3,44ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭， ,42ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos 45πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，则0cos cos cos cos sin sin 444444x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4355=-=， 故选C ． 【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．11．D解析：D 【解析】 ∵tanθ＝2，∴原式＝22222sin sin cos cos sin cos θθθθθθ＋－＋＝22211tan tan tan θθθ+－＋＝82141＋－＋＝95.本题选择D 选项.点睛：关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．12．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象可知1A =，根据周期为π知=2ω，过点(,1)12π求得3πϕ=，函数解析式()sin(2)3f x x π=+，比较解析式cos sin()2y x x π==+，根据图像变换规律即可求解.【详解】由()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭在一个周期内的图象可得1A =,11244126T πππω=⋅=+，解得=2ω，图象过点(,1)12π，代入解析式得1sin(2)12πϕ=⨯+，因为2πϕ<，所以3πϕ=，故()sin(2)3f x x π=+，因为cos sin()2y x x π==+，将函数图象上点的横坐标变为原来的12得sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移12π个单位得sin[2()]sin(2)()1223y x x f x πππ=-+=+=的图象，故选B. 【点睛】本题主要考查了由sin()y A x ωϕ=+部分图像求解析式，图象变换规律，属于中档题.13．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得f （x ）的解析式，利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律求得G （x ）的解析式，利用余弦函数的单调性求得则G （x ） 的单调递减区间． 【详解】∵f （x ）＝sin （ωx +θ），其中ω＞0，θ∈（0，2π），f '（x 1）＝f '（x 2）＝0，|x 2﹣x 1|min 2π=，∴12•T 2ππω==， ∴ω＝2，∴f （x ）＝sin （2x +θ）． 又f （x ）＝f （3π-x ）， ∴f （x ）的图象的对称轴为x 6π=，∴2•6π+θ＝k π2π+，k ∈Z ，又02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， ∴θ6π=，f （x ）＝sin （2x 6π+）． 将f （x ）的图象向左平移6π个单位得G （x ）＝sin （2x 36ππ++）＝cos2x 的图象， 令2k π≤2x ≤2k π+π，求得k π≤x ≤k π2π+，则G （x ）＝cos2x 的单调递减区间是[k π，k π2π+]，故选A ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．14．B解析：B 【解析】 ∵21,33AD AC BP BD =∴=121()393AD AB AC AB -=- ∴2239AP AB BP AB AC =+=+ 又AP AB AC λμ=+，∴22,,339λλμμ=== 故选B.15．D【解析】 【分析】根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，可得222221cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a++=+=+221tan 1321tan 135a a ++===++，故选D ．【点睛】 本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题16．2【解析】试题分析：即所以答案应填：考点：和差角公式 解析：2 【解析】试题分析：34παβ+=，tan()1αβ∴+=-，tan tan 11tan tan αβαβ+∴=--，即tan tan (1tan tan )αβαβ+=--，()()1tan 1tan 1(tan tan )tan tan αβαβαβ∴--=-++1(1tan tan )tan tan 2αβαβ=+-+=.所以答案应填：2．考点：和差角公式．17．【解析】【分析】通过寻找与特殊角的关系利用诱导公式及二倍角公式变形即可【详解】因为即所以所以所以又【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用意在考查学生分析解决问题的能力【解析】 【分析】通过寻找76︒，7︒与特殊角90︒的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可． 【详解】因为sin76m ︒=，即()sin 9014m ︒-︒=，所以cos14m ︒=， 所以22cos 71m ︒-=，所以21cos141cos 722m+︒+︒==，又cos 7ο==本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力．18．【解析】由题意即则所以由余弦定理所以所以应填答案点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边进而运用余弦定理求出边然后再运用余弦定理求出进而求出最后求出解析：-【解析】由题意1sin 23ac π=4c =⇒=，则b ==，所以由余弦定理cosC ==sin C ==tan (C ==-- 点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边4c =，进而运用余弦定理求出边b ==，然后再运用余弦定理求出cosC ==，进而求出sin C ==tan (C ==- 19．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小 解析：120︒【解析】 【分析】先根据条件得a b ⋅，再根据向量夹角公式求结果. 【详解】因为1a =，且()2a a b ⋅-=，所以2-2,121,a a b a b ⋅=∴⋅=-=- 因此112πcos ,,1223a b a b a b a b⋅-===-∴=⨯⋅. 【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式cos a b a bθ⋅=⋅；二是坐标公式cos θ=；三是几何方法，从图形判断角的大小.20．【解析】由题意得即解得t=2；故答案为2 解析：12【解析】由题意得,1cos602a b a b ⋅=⨯⨯=， 0b c ⋅=,即()()()2111111022b ta t b ta b t b t t t ⎡⎤⋅+-=⋅+-=+-=-=⎣⎦， 解得t =2； 故答案为2.21．【解析】∵∴∴∴故答案为 解析：7-【解析】 ∵3,,sin 25παπα⎛⎫∈=⎪⎝⎭∴4cos 5α=- ∴3tan 4α=- ∴tan 1tan 741tan πααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭ 故答案为7-22．【解析】由题意得解析：4-5【解析】 由题意得3π44cos ,(0,)sin ,sin(π)sin 5255ααααα=∈∴=+=-=- 23．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为【解析】 【分析】 【详解】由已知得到向量a ，b 的数量积为1cos 32a b π⋅==，所以222|2|444213a b a a b b -=-⋅+=-+=，所以23a b -=，故答案为.24．【解析】利用平面向量的加法公式可得：由平面向量垂直的充要条件可得：解方程可得： 解析：7【解析】利用平面向量的加法公式可得：()1,3a b m +=-+，由平面向量垂直的充要条件可得：()()()()1,31,2160a b a m m +⋅=-+⋅-=--++=， 解方程可得：7m =.25．3【解析】【分析】由题意首先展开三角函数式然后结合同角三角函数基本关系转化为的式子最后求解三角函数式的值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查三角函数式的化简求值问题三角函数齐次式的计算同角三解析：3 【解析】 【分析】由题意首先展开三角函数式，然后结合同角三角函数基本关系转化为tan α的式子，最后求解三角函数式的值即可. 【详解】由题意可得：22222(sin cos )sin 2sin cos cos cos 2cos sin ααααααααα+++=- 22tan 2tan 11tan ααα++=-1114114++=-3=. 【点睛】本题主要考查三角函数式的化简求值问题，三角函数齐次式的计算，同角三角函数基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题 26． （1）3C π=（2）7+【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，将2cos (cos cos )C a B b A c +=，转化为2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，再利用两角和与差的三角的三角函数得到sin (2cos 1)0C C -=求解.（2）根据ABC 的面积为1sin 2ab C =12ab =，再利用余弦定理得()23a b ab =+-，求得+a b 即可. 【详解】（1）因为2cos (cos cos )C a B b A c +=， 所以2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， 所以()2cos sin sin C A B C +=， 所以sin (2cos 1)0C C -=， 所以1cos 2C =， 又因为()0,C π∈， 所以3C π=.（2）因为ABC 的面积为所以1sin 2ab C = 所以12ab =.由余弦定理得：若2222cos c a b ab C =+-，()23a b ab =+- 所以7a b +=所以ABC 的周长7【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.27．（1）()2sin(2)6f x x π=+ （2）[-1，2] 【解析】试题分析：根据正弦型函数图象特点，先分析出函数的振幅和周期，最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得2A =,周期T π=，则2==2T πω，又函数图象过2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭，代入得42sin 23πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，故1126k k Z πϕπ=-+∈，，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而确定6πϕ=，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再求其单调增区间．(2)分析72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图象，可知当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-．试题解析：（1）依题意,由最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得2A =,又周期T π=,∴2ω=． 由点2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在图象上,得42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈,1126k k Z πϕπ∴=-+∈，． ∵0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6πϕ=,∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 由222262k x k πππππ-≤+≤+,k Z ∈，得36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．∴函数()f x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．(2),122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-． 点睛：本题考查了三角函数的图象和性质，重点对求函数解析式，单调性，最值进行考查，属于中档题．解决正弦型函数解析式的问题，一定要熟练掌握求函数周期，半周期的方法及特殊值的应用，特别是求函数的初相时，要注意特殊点的应用及初相的条件，求函数值域要结合正弦函数图象，不要只求两个端点的函数值．28．（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x π=时，()max 1f x =.【解析】 【分析】（1）先由周期为π求出2ω=,再根据222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈进行求解即可；（2）先求出52666x πππ-≤-≤,可得12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,进而求解即可【详解】（1）解：∵2T ππω==,∴2ω=,又∵0>ω,∴2ω=,∴()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, ∵222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,∴222233k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, ∴63k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）解：∵02x π≤≤,∴02x ≤≤π,∴52666x πππ-≤-≤, ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭, 当0x =时,()min 2f x =-,当226x ππ-=,即3x π=时,()max 1f x = 【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间,考查正弦型函数的最值问题,属于基础题29．（1）π；（2）()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用两角差公式、倍角公式和辅助角公式，把()f x 化为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而求出最小正周期.（2）令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，求出x 的范围，即得()f x 的单调递增区间.【详解】（1）() 223f x x sinxcosx π⎛⎫ ⎪⎝-⎭=-1cos 2cos sin 2sin sin 2cos 22sin 2332x x x x x x ππ⎫⎫=+-=+-⎪⎪⎪⎭⎭12sin 2sin 2223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. ()f x ∴的最小正周期为π.（2）由（1）知()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得51212k x k ππππ-≤≤+， ()f x ∴的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查三角函数的性质和三角恒等变换，属于基础题.30． －5665. 【解析】试题分析：由题意结合同角三角函数关系可得sin (α－β)＝513.cos (α＋β)＝－45，然后利用两角和差正余弦公式有：sin 2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]=5665－. 试题解析： 因为2π＜β＜α＜34π，所以π＜α＋β＜32π，0＜α－β＜4π.所以sin (α－β)＝513.cos (α＋β)45，则sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝35⎛⎫- ⎪⎝⎭×1213＋45⎛⎫-⎪⎝⎭×513＝5665－.点睛：给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.________________ ．2.已知复数满足是虚数单位)，则_____________．3.已知是纯虚数，是实数，则4.已知，求=5.复数的值是．6.若关于x的一实系数元二次方程有一个根为，则______7.设复数，则=_____________．8.若且的最小值是_____________9.在复平面上，已知直线上的点所对应的复数满足，则直线的倾斜角为（结果用反三角函数值表示）|为直径的圆的面积为______．10.，那么以|z111.用一个平面去截正方体。
其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是条12.已知空间四边形，、分别是、中点，，，，则与所成的角的大小为_________二、选择题1.若复数z=a+bi(a、b∈R),则下列正确的是（）A．>B．=C．<D．=z22.在复平面内，若复数对应的向量为，复数对应的向量为，则向量对应的复数是（）A．1B．C．D．3.如图，正方体中，若分别为棱的中点，、分别为四边形、的中心，则下列各组中的四个点不在同一个平面上的是（）（A）（B）（C）（D）4.若为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．异面或相交三、解答题1.（本小题满分10分）已知复数z 1满足(1+i )z 1=－1+5i ， z 2=a －2－i ， 其中i 为虚数单位，a ∈R ， 若<|z 1|，求a 的取值范围.2.（本小题满分12分） 如图，长方体中，AD=2，AB=AD=4，，点E 是AB 的中点，点F 是的中点。
（1）求证：；（2）求异面直线与所成的角的大小；（本题满分12分） 已知，且以下命题都为真命题： 命题 实系数一元二次方程的两根都是虚数； 命题存在复数同时满足且.求实数的取值范围.3.（本小题满分14分）已知实系数一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1，x 2。
2019学年控江中学高二期末
控江中学高二期末数学试卷2020.01一.填空题1.经过点(1,0)，且以(2,5)d =u r 为一个方向向量的直线l 的方程为2.过点(4,3)，且与圆2225x y +=相切的直线l 的方程为3.焦点为(22,0)-与(22,0)的等轴双曲线的方程为4.平面上到两定点(4,0)与(4,0)-的距离之和为8的动点的轨迹方程为5.若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为25arccos5，则实数k 的值为6.已知t 是实数，设向量(3,4)a =r ，向量(2,1)b =r ，若()a a tb ⊥-r r r ，则t 的值为7.直线25y x =+被圆22(1)(2)14x y -+-=所截得的弦AB 的长度为8.设动点A 的轨迹为抛物线24y x =，点(2,0)B 为定点，若线段AB 的中点为点P ，则点P 的轨迹方程为9.椭圆222116x y b +=（04b <<）的左焦点为F ，以F 为一端点，该椭圆上的动点为另一端点的所有线段的长度中，最大值记为M ，最小值记为m ，若7M m =，则b =10.设P 是双曲线22136x y -=上的一点，1F 、2F 是该双曲线的左、右焦点，若1212()()72F P F P F P F P +⋅-=uuu r uuu r uuu r uuu r ，则1||F P =uuu r 11.设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点1A 、1B 、1C 满足1()AA AB AC λ=+uuu r uuu r uuu r ，1()BB BC BA λ=+uuu r uuu r uur ，1()CC CA CB λ=+uuur uur uur ，若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为12.在平面直角坐标系中，已知点1F 、2F 、3F 的坐标分别为(0,2)-、(2,2)、(5,2)-，该平面上的动点P 满足123||||||2019PF PF PF ++=，已知动点P 的轨迹是轴对称图形，该图形的一条对称轴的方程为（只需写出满足题意的一个方程）二.选择题13.已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（）A.(,20)-∞ B.(,5)-∞ C.(5,)+∞ D.(20,)+∞14.设直线l 的方程为2430x y +-=，直线m 的方程为260x y +-=，则直线l 与m 的距离为（） A.3510 B.355 C.9510 D.95515.开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”，如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点F处，从行星位于长轴端点P 这一位置开始计算，它再次运行到P 所经过的时间为T ，根据开普勒第二定律，从P 开始经过4T 时间，行星的位置可能在（）A.A 点处B.B 点处C.C 点处D.D 点处16.设P 、Q 是椭圆2214x y +=上相异的两点，设(2,0)A ，(0,1)B ，命题甲：若||||AP AQ =，则P 与Q 关于x 轴对称；命题乙：若||||BP BQ =，则P 与Q 关于y 轴对称；关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（）A.甲和乙都是真命题B.甲是真命题，乙是假命题C.甲是假命题，乙是真命题D.甲和乙都是假命题三.解答题17.已知向量1(1,2)e =u r 与2(4,2)e =ur 是平面上的一组基向量.（1）设向量(1,4)v =-r ，试用向量1e u r 与2e ur 表示v r ；（2）设t 是实数，向量(6,)b t =r ，设b r 与1e u r 的夹角为α，b r 与2e ur 的夹角为β，若αβ=，求t 的值.18.已知m 为实数，设直线1l 的方程为21x my +=，直线2l 的方程为82mx y m +=-.（1）若1l 与2l 平行，求m 的值；（2）当1l 与2l 相交时，用m 表示交点A 的坐标，并说明点A 一定在某一条直线上.19.设双曲线Γ的方程为2214y x -=.（1）设l 是经过点(1,1)M 的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l 的方程；（2）设1l 是Γ的一条渐近线，A 、B 是1l 上相异的两点，若点P 是Γ上的一点，P 关于点A 的对称点记为Q ，Q 关于点B 的对称点记为R ，试判断点R 是否可能在Γ上，并说明理由.20.已知抛物线P 的焦点为(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-，若三角形ABC 的三个定点都在抛物线P 上，且0FA FB FC ++=uur uur uuu r r ，则称该三角形为“向心三角形”.（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？说明理由；（2）设“向心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程；（3）已知三角形ABC 是“向心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2.21.设椭圆E 的方程为2212x y +=，斜率为1的动直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，以线段AB 的中点C 为圆心，||AB 为直径作圆S .（1）求圆心C 的轨迹方程，并描述轨迹的图形；（2）若圆S 经过原点，求直线l 的方程；（3）证明：圆S 内含或内切于圆223x y +=.参考答案一.填空题1.5250x y --= 2.4325x y += 3.224x y -=4.0(44)y x =-≤≤ 5.34 6.27.68.222y x =-9.10.11.3512.210x y ++=二.选择题13.B 14.A 15.B 16.B三.解答题17.（1）123v e e =+r u r ur ；（2）6-.18.（1）4-；（2）21(,)44m A m m +-++，21x y -=.19.（1）1x =，5322y x =-，21y x =-，23y x =-+；（2）不可能.20.（1）不存在；（2）45y x =-；（3）证明略.21.（1）220y +=，直线；（2）3y x =±；（3）证明略.。
最新上海市控江中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市控江中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A ．(),20-∞ B ．(),5-∞ C ．()5,+∞ D ．()20,+∞【答案】B【解析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可. 【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +->，解得5m <. 因此，实数m 的取值范围是(),5-∞. 故选：B. 【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.2．设直线l 的方程为2430x y +-=，直线m 的方程为260x y +-=，则直线l 与m 的距离为（ ）A ．10B ．5C ．10D ．5【答案】C【解析】将直线m 的方程化为24120x y +-=，利用平行线间的距离公式可求出直线l 与m 的距离.【详解】直线m 的方程可化为24120x y +-=，因此，直线l 与m 的距离为10d ==. 故选：C. 【点睛】本题考查平行线间距离的计算，考查计算能力，属于基础题.3．开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”，如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点F 处.从行星位于长轴端点P 这一位置开始计算，它再次运行到点P 所经过的时间为T .根据开普勒第二定律，从P 开始经过4T时间，行星的位置可能在（ ）A ．A 点处B ．B 点处C ．C 点处D ．D 点处【答案】B【解析】由椭圆的对称性可得，椭圆与坐标轴的交点将椭圆分为相等的4部分，所以按逆时针转动到达点B 处. 【详解】由于椭圆的对称性可得转一周为一个周期T ，一周被坐标轴平均分为相等的4部分， 所以，从点P 开始经过4T时间，按逆时针转时转到点B . 故选：B.【点睛】本题考查椭圆对称性的应用，属于基础题.4．设P 、Q 是椭圆2214x y +=上相异的两点.设()2,0A 、()0,1B .命题甲：若AP AQ =，则P 与Q 关于x 轴对称； 命题乙：若BP BQ =，则P 与Q 关于y 轴对称.关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（ ） A ．甲和乙都是真命题 B ．甲是真命题，乙是假命题 C ．甲是假命题，乙是真命题D ．甲和乙都是假命题【解析】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则12x x ≠或12y y ≠，利用两点间的距离公式结合命题中的等式，化简计算可判断出两个命题的真假. 【详解】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则2214i i x y +=，可得2244i i x y =-，()2211,24i i x y i =-=.对于命题甲：AP ===同理可得AQ =AP AQ =Q ，则22121233454544x x x x -+=-+，整理得()()12123160x x x x ⎡⎤-+-=⎣⎦，122x -≤≤Q ，222x -≤≤，所以，1244x x -≤+≤，则()123160x x +-≠，必有12x x =，所以，则P 与Q 关于x 轴对称，命题甲正确； 同理可知命题乙也正确. 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的对称性的应用，考查椭圆方程的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.二、填空题5．经过点()1,0，且以()2,5d =u r为一个方向向量的直线l 的方程为_____.【答案】5250x y --=【解析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】 直线l 的斜率为52k =，所以，直线l 的方程为()512y x =-，即5250x y --=. 故答案为：5250x y --=.本题考查直线的方程，考查直线的方向向量与斜率的关系，考查计算能力，属于基础题. 6．过点()4,3，且与圆2225x y +=相切的直线l 的方程为_____.【答案】43250x y +-=【解析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】点()4,3与圆心连线的斜率为34，由于点()4,3在圆2225x y +=上， 则直线l 的斜率为43k =-，所以，直线l 的方程为()4343y x -=--，即43250x y +-=.故答案为：43250x y +-=. 【点睛】本题考查过点的圆的切线方程的求解，解题时要判断点与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题.7．焦点为()-与()的等轴双曲线的方程为_____.【答案】22144x y -=【解析】设所求双曲线的方程为()222210x y a a a-=>，根据该双曲线的焦点坐标求出a的值，即可得出所求双曲线的标准方程. 【详解】由于所求等轴双曲线的焦点在x 轴上，可设所求双曲线的方程为()222210x ya a a -=>，==解得2a =，因此，所求等轴双曲线的方程为22144x y-=.故答案为：22144x y -=.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，解题的时要注意焦点位置，考查计算能力，属于基础题. 8．平面上到两定点()4,0与()4,0-的距离之和为8的动点的轨迹方程为_____.【答案】()044y x =-≤≤【解析】记点()4,0A 、()4,0B -，设所求点为P ，由PA PB AB +=可得知点P 的轨迹，进而可得出点P 的轨迹方程. 【详解】记点()4,0A 、()4,0B -，设所求点为P ，则PA PB AB +=， 则点P 的轨迹为线段AB ，即所求动点的轨迹方程为()044y x =-≤≤. 故答案为：()044y x =-≤≤. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，注意区别椭圆的定义，考查计算能力，属于基础题. 9．若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为，则实数k 的值为_____. 【答案】34【解析】设直线20x y -=的倾斜角为α，记arccos 5β=，利用两角差的正切公式可得出关于k 的方程，进而可求得实数k 的值. 【详解】设直线20x y -=的倾斜角为α，记β=，则tan 2α=，cos β=sin β=，1tan 2β=，由题意可得tan 21tan 1tan 122k k k k αβα--===++，解得34k =.故答案为：34. 【点睛】本题主要考查直线夹角公式的应用，涉及两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题.10．已知t 是实数，设向量()3,4a =r ，向量()2,1b =r，若()a a tb ⊥-r r r ，则t 的值为_____.【答案】52【解析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出2a r 和a b ⋅r r的值，由()a a tb ⊥-r r r 得()0a a tb ⋅-=r r r，由此可计算出实数t 的值.【详解】()3,4a =r Q ，()2,1b =r ，则2223425a =+=r ，324110a b ⋅=⨯+⨯=r r ， ()a a tb ⊥-r r r Q ，则()225100a a tb a ta b t ⋅-=-⋅=-=r r r r r r ，解得52t =.故答案为：52. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查利用向量垂直求参数，考查运算求解能力，属于基础题.11．直线25y x =+被圆()()221214x y -+-=所截得的弦AB 的长度为_____. 【答案】6【解析】求出圆心到直线的距离，然后利用勾股定理可求出弦长AB . 【详解】圆()()221214x y -+-=的圆心坐标为()1,2，圆心到直线的距离为d ==6AB ==.故答案为：6. 【点睛】本题考查直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.12．设动点A 的轨迹为抛物线24y x =，点()2,0B 为定点.若线段AB 的中点为点P ，则点P 的轨迹方程为_____. 【答案】222y x =-【解析】设点(),P x y ，可得出点()24,2A x y -，再将点A 的坐标代入抛物线的方程，化简即可得出点P 的轨迹方程. 【详解】设点()00,A x y 、(),P x y ，由中点坐标公式得00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得00222x x y y =-⎧⎨=⎩，由于点A 在抛物线24y x =上，即2004y x =，所以，()24422y x =-，化简得222y x =-.因此，点P 的轨迹方程为222y x =-. 故答案为：222y x =-. 【点睛】本题考查利用相关点法求轨迹方程，考查计算能力，属于中等题.13．椭圆()22210416x y b b+=<<的左焦点为F ，以F 为一端点、该椭圆上的动点为另一端点的所有线段的长度中，最大值记为M ，最小值记为m .若7=M m ，则b =_____.【解析】由椭圆的几何性质得M a c =+，m a c =-，结合条件7=M m 可求得实数b 的值. 【详解】由题意可知，4a =，c由椭圆的几何性质知M a c =+，m a c =-，7M m =Q ，即()7a c a c +=-， 可得334c a ==3=，解得b =. 【点睛】本题考查椭圆方程中参数的计算，考查椭圆上一点到焦点距离最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.14．设P 是双曲线2236x y -=1上的一点，1F 、2F 是该双曲线的左、右焦点.若()()121272F P F P F P F P +⋅-=u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则1F P =u u u r_____.【答案】【解析】根据双曲线的定义以及已知条件可得出关于1F P u u u r 和2F P u u u u r的方程组，即可解出1F P u u u r的值.【详解】()()22221212121272F P F P F P F P F P F P F P F P +⋅-=-=-=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r Q ，则120F P F P ->u u u r u u u u r，由双曲线的定义可得12F P F P -=u u u r u u u u r又()()2212121272F P F P F P F PF P F P -=-+=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r，则12F P F P +=u u u r u u u u r ，所以，1212F P F P F P F P ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩u u u v u u u u vu u u vu u u u v1F P =u u u r.故答案为：【点睛】本题考查双曲线焦半径的求解，考查双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题. 15．设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点1A 、1B 、1C 满足：()1AA AB AC λ=+u u u u u u u r u ur r ，()1BB BC BA λ=+u u u u u u u r u ur r ，()1CC CA CB λ=+u u u r u u u u u r ru u ，若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为_____. 【答案】23【解析】设ABC ∆的重心为点G ，可知ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，利用重心的向量性质可求得实数λ的值. 【详解】设ABC ∆的重心为点G ，则3AB AC AG +=u u u r u u u r u u u r，()13AA AB AC AG λλ∴=+=u u u r u u u r u u u r u u u r ，由于ABC ∆和111A B C ∆的面积相等，则ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，则12AA AG =u u u r u u u r ，32λ∴=，解得23λ=. 故答案为：23.【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算，涉及三角形重心向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题.16．在平面直角坐标系中，已知点1F 、2F 、3F 的坐标分别为()0,2-、()2,2、()5,2-.该平面上的动点P 满足1232019PF PF PF ++=.已知动点P 的轨迹是轴对称图形，该图形的一条对称轴的方程为_____（只需写出满足题意的一个方程）. 【答案】210x y +-=【解析】推导出1323F F F F =，则123F F F ∆是等腰三角形，12F F 的中点坐标为()1,0，123F F F ∆的对称轴方程为210x y +-=，由此可得出该图形的一条对称轴方程.【详解】Q 点1F 、2F 、3F 的坐标分别为()0,2-、()2,2、()5,2-，135F F ∴=，235F F =，则1323F F F F =，123F F F ∴∆是等腰三角形，Q 线段12F F 的中点坐标为()1,0，123F F F ∆的对称轴方程为210x y +-=.123F F F ∆Q 所在平面上的动点P 满足1232019PF PF PF ++=，且动点P 的轨迹为轴对称图形，设点P 关于直线210x y +-=的对称点为点Q ，则12PF QF =，21PF QF =，33PF QF =，所以，1232132019QF QF QF PF PF PF ++=++=，则动点Q 在点P 的轨迹上，因此，该图形的一条对称轴方程为210x y +-=. 故答案为：210x y +-=. 【点睛】本题考查对称轴方程的求解，考查两点间距离公式的应用、直线方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、化归与转化思想的应用，属于中等题.三、解答题17．已知向量()11,2e =u r 与()24,2e =u u r是平面上的一组基向量. （1）设向量()1,4v =-r ，试用向量1e u r 与2e u u r 表示v r ；（2）设t 是实数，向量()6,b t =r ，设b r 与1e u r 的夹角为α，b r 与2e uu r 的夹角为β.若αβ=，求t 的值.【答案】（1）123v e e =-r u r u u r ；（2）6t =.【解析】（1）设12v e e λμ=+r u r u u r，根据平面向量的坐标运算建立λ和μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结果；（2）由cos cos αβ=结合平面向量夹角余弦值的坐标运算可得出关于t 的等式，即可解出实数t 的值. 【详解】（1）设12v e e λμ=+r u r u u r ，则()()1,44,22λμλμ-=++，即41224λμλμ+=-⎧⎨+=⎩，解得31λμ=⎧⎨=-⎩， 因此，123v e e =-r u r u u r ；（2）根据题意，11cos b e b e α⋅==⋅r u r r u r22cos b e b e β⋅==⋅r u u r r u u rαβ=Q，=，可得2612t t +=+，解得6t =.【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查了利用平面向量的夹角相等求参数，考查运算求解能力，属于基础题.18．已知m 为实数，设直线1l 的方程为21x my +=，直线2l 的方程为82mx y m +=-. （1）若1l 与2l 平行，求m 的值；（2）当1l 与2l 相交时，用m 表示交点A 的坐标，并说明点A 一定在某一条定直线上.【答案】（1）4m =-；（2）()21,444m A m m m +⎛⎫-≠- ⎪++⎝⎭，证明见解析. 【解析】（1）由两直线平行的等价条件可得出关于实数m 的方程，即可解出实数m 的值；（2）将两直线方程联立可求得交点A 的坐标()21,444m m m m +⎛⎫-≠-⎪++⎝⎭，然后令24m x m +=+，14y m =-+，消去参数m 得出关于x 、y 的二元一次方程，即可证得结论. 【详解】（1）1l Q 与2l 平行，则()216022m m m ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得4m =-；（2）联立2182x my mx y m +=⎧⎨+=-⎩，解得24m x m +=+，14y m =-+，所以点21,44m A m m +⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ()4222112444m m x y m m m +-+===-=++++Q ，即()2100x y y --=≠. 因此，点A 在直线210x y --=上. 【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，同时也考查了直线交点坐标的计算，考查计算能力，属于中等题.19．设双曲线Γ的方程为2214y x -=.（1）设l 是经过点()1,1M 的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l 的方程； （2）设1l 是Γ的一条渐近线，A 、B 是1l 上相异的两点.若点P 是Γ上的一点，P 关于点A 的对称点记为Q ，Q 关于点B 的对称点记为R .试判断点R 是否可能在Γ上，并说明理由.【答案】（1）1x =或210x y --=或230x y +-=或5230x y --=；（2）点R 不可能在双曲线Γ上，理由详见解析.【解析】（1）对所求直线分三种情况讨论：①l x ⊥轴，验证即可；②直线l 与双曲线相切，设出直线方程，与双曲线的方程联立，由0∆=求出直线的斜率，可得出直线l 的方程；③直线l 与双曲线的渐近线平行，可得出直线l 的方程.综合可得出所求直线l 的方程；（2）假设点R 在双曲线Γ上，设直线1l 的方程为2y x =，设点()11,A x y 、()22,B x y ，()00,P x y ，求出点Q 、R 的坐标，再将点R 的坐标代入双曲线Γ的方程验证即可得出结论. 【详解】（1）①当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，显然与双曲线Γ相切，只有一个交点，符合题意，②当直线l 的斜率存在且与双曲线Γ相切时，设斜率为k ， 则直线l 的方程为()11y k x -=-，即1y kx k =-+，联立方程22114y kx k y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得()()()222421140k x k k x k ⎡⎤-----+=⎣⎦，Q 直线l 和双曲线Γ有且仅有一个公共点，()()()22224144140k k k k ⎡⎤∴∆=-+--+=⎣⎦，化简得520k -=，解得52k =，此时，直线l 的方程为5322y x =-，即5230x y --=；③当直线l 与双曲线Γ的渐近线平行时，也与双曲线Γ有且仅有一个公共点，Q 双曲线Γ的渐近线方程为2y x =±，∴直线l 的斜率为2x ±，所以，直线l 的方程为()121y x -=-或()121y x -=--，即210x y --=或230x y +-=.综上所述，直线l 的方程为1x =或5230x y --=或210x y --=或230x y +-=； （2）假设点R 在双曲线Γ上，不妨设直线1l 方程为2y x =，设点()11,2A x x 、()22,2B x x 、()00,P x y ，P Q 关于点A 的对称点记为Q ，∴点()10102,4Q x x x y --，Q Q 关于点B 的对称点记为R ，∴点()21021022,44R x x x x x y -+-+， Q 点R 在双曲线Γ上，()()22210210442214x x y x x x -+∴-+-=，()()()()22221210022121001684414x x x x y y x x x x x x -+-⋅+∴-+-⋅+-=，∴()()22021002104214y x x x x x x y -⋅+--⋅-=，又Q 点()00,P x y 在双曲线22:14y x Γ-=上，220014y x ∴-=， 上式化为()()210210420x x x x x y -⋅--⋅=，12x x ≠Q ，0042x y ∴=，即002y x =，22014y x -=Q ，则01=，此式显然不成立，故假设不成立，所以点R 不可能在双曲线Γ上.【点睛】本题考查利用直线与双曲线的公共点个数求直线方程，同时也考查了点与双曲线的位置关系的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知抛物线P 的焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.若三角形ABC 的三个顶点都在抛物线P 上，且0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，则称该三角形为“向心三角形”.（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2？说明理由； （2）设“向心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知三角形ABC 是“向心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2. 【答案】（1）不存在，理由详见解析；（2）450x y --=；（3）证明见解析. 【解析】（1）由题意可知，点F 为ABC ∆的重心，假设存在一点使得“向心三角形”存在，求得该点的坐标，代入抛物线的方程，进行判断即可；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，利用点差法求得121y y +=，根据重心的坐标公式，求出线段AB 的中点坐标，然后利用点斜式方程可得出直线AB 的方程； （3）由()123y y y =-+，等式两边平方，利用基本不等式可得出()1232x x x <+，结合等式2313x x x +=-可求出12x <，进而证明结论成立. 【详解】（1）由题意可知，抛物线的标准方程为24y x =， 由0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，可知，F 为ABC ∆重心，设存在点“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2，另外的顶点为()00,x y ，由0001130203x y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得：0022x y =⎧⎨=-⎩，显然2004y x ≠，故不存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2； （2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减，得()()()1212124y y y y x x -+=-，所以12121244y y x x y y -==-+，所以121y y +=，由题意可知，1230y y y ++=，所以31y =-，则314x =， 由1233x x x ++=，所以12114x x +=，所以，线段AB 的中点111,82⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此，直线AB 的方程为111428y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得450x y --=. 因此，直线AB 的方程450x y --=；（3）由（2）可知1233x x x ++=，则2313x x x +=-，① 由1230y y y ++=，()123y y y =-+，平方可得()22222122332322y y y y y y y =++≤+，当且仅当23y y =时取等号，显然23y y ≠，所以2223122444y y y ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，即()1232x x x <+， 将①代入可得()1123x x <-，解得12x <， 所以点A 的横坐标小于2. 【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查三角形重心坐标公式的应用、点差法以及基本不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.21．设椭圆E 的方程为2212x y +=，斜率为1的动直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，以线段AB 的中点C 为圆心，AB 为直径作圆S . （1）求圆心C 的轨迹方程，并描述轨迹的图形； （2）若圆S 经过原点，求直线l 的方程； （3）证明：圆S 内含或内切于圆223x y +=. 【答案】（1）圆心C的轨迹方程为12y x x ⎛=-<< ⎝⎭，轨迹为线段；（2）y x =；（3）证明见解析.【解析】（1）设直线l 的方程为y x t =+，与椭圆方程联立，利用判别式大于零，以及韦达定理和中点坐标公式，可得圆心C 的轨迹方程，并确定轨迹图形；（2）利用弦长公式求得AB ，以及圆S 的方程，代入原点，可求t 的值，进而可求得直线l 的方程；（3）利用两圆内切和内含的条件，结合两点间的距离公式，计算可得出结论成立. 【详解】（1）设斜率为1的动直线l 的方程为y x t =+，联立椭圆方程2222x y +=，可得2234220x tx t ++-=，设()11,A x y 、()22,B x y ，则()2221612222480t t t ∆=--=->，即t <<由韦达定理得1243t x x +=-，212223t x x -=，则中点2,33t t C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得圆心C 的轨迹方程为1233y x x ⎛=--<< ⎝⎭，即轨迹为线段；（2）由（1）可得3AB ===， 可得圆S 的方程为2222124339t t t x y -⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若圆S 经过原点，可得()2243599t t -=，解得t =，因此，直线l 的方程为3y x =±；（3）圆223x y +=的圆心设为()0,0O圆S 的圆心2,33t t S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由222225124133393933t t OS t ⎛⎫--=--+=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()03m m =<<，则2293m t -=，可得()2222941312033333m m OS m --=+-=--≤⎪⎝⎭， 可得圆S 内含或内切于圆223x y +=. 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线与椭圆的综合问题，圆与圆位置的关系的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.过点，且垂直于OA的直线方程为_______________。
2.直线l的一个法向量（），则直线l倾角的取值范围是_______。
3.已知直线：与：平行，则k的值是____________。
4.直线l的一个方向向量，则l与的夹角大小为__________。
（用反三角函数表示）5.已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为________________________。
6.等轴双曲线C与椭圆有公共的焦点，则双曲线C的方程为____________。
7.有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2点，水位下降了1米，桥下的水面宽_________米。
8.直线：绕原点逆时针旋转的直线，则与的交点坐标为_______。
9.已知方程表示圆，则___________。
10.已知过抛物线C：（）焦点F的直线l和y轴正半轴交于点A，并且l与C在第一象限内的交点M 恰好为A、F的中点，则直线的斜率_____________。
11.已知、是椭圆C：（）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且。
若的面积为9，则_________。
12.已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为切点，那么的最小值为_____________。
二、选择题1.已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ( )A．B．C．D．2.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是 ( )A．B．C．D．3.给出下列3个命题：①在平面内，若动点M到、两点的距离之和等于2，则动点M的轨迹是椭圆；②在平面内，给出点、，若动点P满足，则动点P的轨迹是双曲线；③在平面内，若动点Q到点和到直线的距离相等，则动点Q的轨迹是抛物线。
其中正确的命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个4.已知直线l：y=k(x+2)（k>0）与抛物线C：相交于A、B两点，F为C的焦点，若，则( )A．B．C．D．三、解答题1.已知直线l：与x轴交于点A；以O为圆心，过A的圆记为圆O。
上海市杨浦区控江中学19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
上海市杨浦区控江中学19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.方程x2+y2−x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是()A. m≤2B. m<2C. m<12D. m≤122.若直线l1：x+3y+m=0(m>0)与直线l2：2x+6y−3=0的距离为√10，则m=()A. 7B. 172C. 14D. 173.设P是椭圆上的一点，F1、F2是焦点，若，则的面积为()A. B. C. D. 164.如图，两个椭圆x225+y29=1，y225+x29=1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上任意一点，给出下列三个判断：①P到F1(−4,0)、F2(4,0)、E1(0,−4)、E2(0,4)四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x、y=−x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36．上述判断中正确命题的个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知直线l的方程为3x+4y−12=0，则与l平行且过点(−1,3)的直线方程是_________．6.过点(−2,5)，且与圆x2+y2+2x−2y+1=0相切的直线方程为：______ ．7.等轴双曲线的一个焦点是F1(−6,0)，则其标准方程为__________。
8.已知动点M到定点F1(−4,0)，F2(4,0)的距离之和不小于8的常数，则动点M的轨迹是________．9.已知直线l1的倾斜角为α，直线l2与l1关于x轴对称，则直线l2的倾斜角为_________．10. 已知向量a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(6,−4).若a⃗ ⊥(t a ⃗ +b ⃗ )，则实数t 的值为________． 11. 若直线x +√3y −2=0与圆x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于______． 12. 已知点P(10,0)，Q 为圆x 2+y 2=16上一动点，当点Q 在圆上运动时，PQ 的中点M 的轨迹方程是________． 13. 设椭圆x 225+y 2b =1(0<b <5)的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则b 值为______．14. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，直线y =43x 与双曲线相交于A 、B 两点.若AF ⊥BF ，则双曲线的渐近线方程为______．15. 在ΔABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设CD ⃗⃗⃗⃗⃗ //AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则λ的值为__________．16. 已知两定点A(−2,0)，B(1,0)，若动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所围成的图形的面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 已知向量a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，其中e 1⃗⃗⃗ =(1,0)，e 2⃗⃗⃗ =(0,1)，求： (1)a ⃗ ⋅b ⃗ ；(2)a ⃗ 与b ⃗ 夹角的余弦值．18. 若方程x +y −6√x +y +3m =0表示两条直线，求m 的取值范围．19.已知双曲线的渐近线的方程为y=±√2x，并经过点P(2,√2).(1)求双曲线的标准方程；(2)经过双曲线的右焦点F2且倾斜角为30°的直线l交双曲线于A、B两点，求|AB|．20.设抛物线C：y2=2x，点A(2,0)，B(−2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM=∠ABN．21.已知动圆C过定点F(2,0)，且与直线x=−2相切，圆心C的轨迹为E，(Ⅰ)求E的轨迹方程；(Ⅱ)若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标(1,1)，求|PQ|-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查二元二次方程表示圆的条件，属基础题．由二元二次方程表示圆的条件得到m 的不等式，解不等式即可．解：若二元二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0表示圆则D 2+E 2−4F >0， 所以方程x 2+y 2−x +y +m =0表示一个圆， 则1+1−4m >0，所以m <12， 故选C ．2.答案：B解析：本题考查两平行直线间的距离，属于基础题． 根据题意，利用两平行线间的距离公式即可求得结果． 解：由x +3y +m =0，得2x +6y +2m =0，因此直线l 1与l 2的距离为d =√22+62=√10，解得m =172或m =−232(舍去)．故选B ．3.答案：B解析：解答：由椭圆焦点三角形面积公式得，又，所以4.答案：C解析：本题考查了椭圆的定义及对称性，属于基础题．根据椭圆的定义可知①错误；根据椭圆的对称性可知②正确；根据椭圆的短轴长确定曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，故③正确．解：对于①，若点P在椭圆x225+y29=1上，P到F1(−4,0)、F2(4,0)两点的距离之和为定值、到E1(0,−4)、E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故错；对于②，根据椭圆的对称性，曲线C关于直线y=x、y=−x均对称，故正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确．故选C．5.答案：3x+4y−9=0解析：本题考查了直线方程的点斜式，一般式，属于基础题．根据直线平行先求出其斜率，再利用点斜式就可求得该直线方程．解：由已知得，所求直线的斜率与直线l的相同，均为−34，由点斜式得所求直线的方程为y−3=−34(x+1)，即3x+4y−9=0，故答案为3x+4y−9=0．6.答案：x=−2或15x+8y−10=0解析：解：将圆的方程化为标准方程得：(x+1)2+(y−1)2=1，∴圆心坐标为(−1,1)，半径r=1，若直线l斜率不存在，此时直线l为x=−2与圆相切；若直线l斜率存在，设为k，得到直线l方程为y−5=k(x+2)，即kx−y+2k+5=0，∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离d=r，即√k2+1=1，解得：k=−158，此时直线l的方程为15x+8y−10=0，综上，直线l的方程为x=−2或15x+8y−10=0．故答案为：x=−2或15x+8y−10=0．将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，分两种考虑：当直线l斜率不存在时，直线l方程为x=−3满足题意；当直线l斜率存在时，设为k，由P坐标与k表示出直线l方程，由直线l与圆相切，得到圆心到直线l的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线l的方程，综上，得到所求满足题意直线l的方程．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线的一般式方程，利用了分类讨论的思想，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．7.答案：x218−y218=1解析：本题考查双曲线的简单性质，属基础题.由题意可设等轴双曲线方程为x2a2−y2a2=1(a>0)，由焦点坐标可得c=6，即有2a2=36，解出a，即可得到双曲线的方程和渐近线方程．解：由题意可设等轴双曲线方程为x2a2−y2a2=1(a>0)，由焦点坐标可得c=6，即有2a2=36，解得a2=18，所以等轴双曲线的标准方程为x218−y218=1．故答案为x218−y218=1．8.答案：以F1、F2为焦点的椭圆或线段F1F2解析：本题考查动点的轨迹方程，根据条件结合椭圆的定义即可得出答案，属于基础题．解：当动点M到定点F1(−4,0)，F2(4,0)的距离之和为大于8的常数时，动点M的轨迹为以F1、F2为焦点的椭圆；当动点M到定点F1(−4,0)，F2(4,0)的距离之和等于8时，动点M的轨迹为线段F1、F2．故答案为：以F1、F2为焦点的椭圆或线段F1F2．9.答案：π−α解析：此题考查直线的倾斜角．根据直线l1的倾斜角与直线l2的倾斜角互补即可求．解：直线l1的倾斜角为α，直线l1的倾斜角与直线l2的倾斜角互补，直线l2的倾斜角为π−α．故答案为π−α．10.答案：−5解析：根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．本题考查了向量的数量积的运算以及向量垂直的条件，属于基础题．解：∵向量a⃗=(1,−1)，b⃗ =(6,−4)，∴t a⃗+b⃗ =(t+6,−t−4)，∵a⃗⊥(t a⃗+b⃗ )，∴a⃗⋅(t a⃗+b⃗ )=t+6+t+4=0，解得t=−5，故答案为−5．11.答案：2√3解析：本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．易得圆的圆心和半径，由距离公式可得圆心到直线的距离d，由勾股定理可得|AB|．解析：解：∵圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径r=2，∴圆心到直线x+√3y−2=0的距离d=|−2|=1，2∴弦长|AB|=2√4−1=2√3．故答案为：2√3．12.答案：(x−5)2+y2=4解析：本题的考点是轨迹方程，本题宜用代入法求轨迹方程，设M(x,y)，Q(a,b)由于PQ的中点是M，点P(10,0)，故可由中点坐标公式得到a=2x−10，b=2y，又Q(a,b)为圆x2+y2=16上一点动点，将a=2x−10，b=2y代入x2+y2=16得到M(x,y)点的坐标所满足的方程，整理即得点M的轨迹方程．解：设M(x,y)，Q(a,b)由P(10,0)，M是PQ的中点故有a=2x−10，b=2y又Q为圆x2+y2=16上一动点，∴(2x−10)2+(2y)2=16整理得(x−5)2+y2=4故PQ的中点M的轨迹方程是(x−5)2+y2=4．故答案为(x−5)2+y2=4．13.答案：4解析：本题考查椭圆的简单性质，考查等差数列性质的应用，是基础的计算题． 设椭圆焦距为2c ，由已知可得5+c =2b ，结合隐含条件求得b 可求． 解析：解：设焦距为2c ，则有{25−b 2=c 25+c =2b，解得b 2=16，可得b =4． 故答案为：4．14.答案：y =±2x解析：【分析】本题考查双曲线的几何性质以及直线与双曲线的位置关系，其中用到向量的数量积的坐标运算，属一般题．首先求得双曲线的右焦点，将直线代入双曲线方程，求得参数关系，再根据向量数量积的坐标表示，求得参数关系式，最后求得双曲线的渐近线方程． 解：由题意可知：双曲线焦点在x 轴上，右焦点F (c,0)， 则{y =43x x 2a 2+y 2b 2=1，整理得(9b 2−16a 2)x 2=9a 2b 2，即x 2=9a 2b 29b 2−16a 2，所以点A 与点B 关于原点对称， 设A (x,43x),B (−x,−43x)，所以FA →=(x −c,43x),FB →=(−x −c,−43x)，因为AF ⊥BF ，所以FA →·FB →=0即(x −c )×(−x −c )+43x ×(−43x)=0,∴c 2=259x 2，所以a 2+b 2=259×9a 2b 29b 2−16a 2，整理得9b 4−32a 2b 2−16a 4=0,∴(b 2−4a 2)(9b 2+4a 2)=0，∵a >0,b >0∴b 2=4a 2，故b =2a ，双曲线的渐近线方程y =±2x ，故答案为y =±2x ．15.答案：65解析：本题考查用已知向量去表示未知向量，属于基础题．利用向量的三角形法则和四边形法即可求解．解：由题意知G 是ΔABC 的重心，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，设CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +x AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +x 3(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1+x 3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +x 3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，于是x 3=15，即x =35，所以λ=1+x 3=65. 故答案为65． 16.答案：4π解析：【分析】本题本题考查直接法求轨迹方程.考查了两点间的距离公式、圆的标准方程、圆的面积公式，属于中档题．设P 点的坐标为(x,y)，利用两点间的距离公式代入等式|PA|=2|PB|，化简整理得(x −2)2+y 2=4，所以点P 的轨迹是一个圆，求出圆的半径利用圆面积公式，即可算出所求图形的面积．【解答】解：设P(x,y).由|PA|=2|PB|，得√(x +2)2+y 2=2√(x −1)2+y 2，∴3x 2+3y 2−12x =0，即x 2+y 2−4x =0．∴点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为2的圆，即点P 的轨迹所围成的图形的面积等于4π．17.答案：解：(1)∵向量a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，其中e 1⃗⃗⃗ =(1,0)，e 2⃗⃗⃗ =(0,1)，∴a ⃗ =(1,−2)，b ⃗ =(3,1)，a ⃗ ⋅b ⃗ =1×3−2×1=1(2)∵|a ⃗ |=√5，|b ⃗ |=√10，∴cos <a ⃗ ，b ⃗ >=√5√10=√210；解析：(1)运算得出a ⃗ =(1,−2)，b ⃗ =(3,1)，根据数量积的运算公式求解即可．(2)根据cos <a ⃗ ，b ⃗ >=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |求解即可． 本题考查了平面向量的坐标运算，数量积，夹角问题，计算简单，属于基础题．18.答案：[0,3)解析：分析：本题考查直线方程的综合应用，属于基础题。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.计算矩阵的乘积______________2.计算行列式=____________3.直线的倾斜角为，则的值是___________4.=___________5.已知直线与圆相切，则的值为___________6.以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为___________7.已知方程表示椭圆，则的取值范围为___________8.若向量，，且，那么的值为___________9.若直线经过原点，且与直线的夹角为，则直线方程为___________10.若三条直线，和只有两个不同的交点，则实数的值为__________11.执行右边的程序框图，则输出的结果是___________12.若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为__________13.已知，是圆：(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为___________14.双曲线的左、右焦点分别为，，点在其右支上，且满足，，则横坐标的值是___________二、选择题1.与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）A．B．C．D．2.在等比数列中，，公比.若，则=( )A．9B．10C．11D．123.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有( )A．B．C．D．4.已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若成立，则成立，下列命题成立的是( )A．若成立，则对于任意，均有成立B．若成立，则对于任意的，均有成立C．若成立，则对于任意的，均有成立D．若成立，则对于任意的，均有成立三、解答题1.（12分）过椭圆的右焦点的直线L与圆相切，并且直线L过抛物线的焦点。
(1)求、的坐标；(2)求直线L的方程。
2.（12分）已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为2，且圆心在直线上，求此圆的方程.3.（14分）已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于两点，点O是直角坐标系的原点，求面积的最小值，并求出当的面积取到最小值时直线的方程。
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控江中学高二期末数学试卷
2019.06
一. 填空题
1. 设直线l ：20x y +-=的倾斜角为α，则α的大小为
2. 已知复数z 满足(12i)(1)716i z +⋅+=-+，则z 的共轭复数z =
3. 在3男2女共5名学生中随机抽选3名学生参加某心理评测，则抽中的学生全是男生的概率为 （用最简分数作答）
4. 在正方体1111ABCD A B C D -，二面角1A BD A --的大小为
5. 在半径为1的球面上，若A 、B 两点的球面距离为23
π，则线段AB 的长||AB = 6. 双曲线H 的渐近线为20x y +=与20x y -=，若H 经过点(2,0)P ，则双曲线H 的方程为
7. 设圆221x y +=上的动点P 到直线34100x y +-=的距离为d ，则d 的最大值为
8. 若一组数据123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅的总体方差为3，则另一组数据1232,2,2,,2n x x x x ⋅⋅⋅的总体方差为
9. 空间直角坐标系中，两平面α与β分别以1(2,1,1)n =与2(0,2,1)n =为其法向量，若l αβ=，则直线l 的一个方向向量为 （写出一个方向向量的坐标）
10. 四面体ABCD 中，2AB CD ==，4AC AD BC BD ====，则异面直线AB 与CD 的距离为
11. 若复数z 满足|1||1|2z z -⋅+=，则||z 的最小值为
12. 关于旋转体的体积，有如下的古尔丁（guldin ）定理：“平面上一区域D 绕区域外一直线（区域D 的每个点在直线的同侧，含直线上）旋转一周所得的旋转体的体积，等于D 的面积与D 的几何中心（也称为重心）所经过的路程的乘积”，利用这一定理，可求得半圆盘2210
x y x ⎧+≤⎨≤⎩，绕直线23x π=旋转一周所形成的空间图形的体积为
二. 选择题
13. 若一圆柱的侧面积等于其表面积的23
，则该圆柱的母线长与底面半径之比为（ ） A. 1:1 B. 2:1 C. 3:1 D. 4:1
14. 已知12,z z C ∈，“120z z ==”是“212
||0z z +=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
15. 参数方程2cos sin cos 2sin x y θθθθ
=-⎧⎨=+⎩()θ∈R 表示的曲线是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
16. 设12345(,,,,)x x x x x 是1，2，3，4，5的一个排列，若112()()0i i i i x x x x +++--<对一切{1,2,3}i ∈恒成立，就称该排列是“交替”的，“交替”的排列的数目是（ ）
A. 8
B. 16
C. 24
D. 32
三. 解答题
17. 已知m 是实数，关于x 的方程E ：2(21)0x mx m -++=.
（1）若2m =，求方程E 在复数范围内的解；
（2）若方程E 有两个虚数根1x 、2x ，且满足12||2x x -=，求m 的值.
18. 已知椭圆E 的方程为2
214
x y +=，其左焦点和右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆E 上位于第一象限的一点.
（1）若三角形12PF F 的面积为
32
，求点P 的坐标； （2）设(1,0)A ，记线段PA 的长度为d ，求d 的最小值.
19. 设λ是正实数，20(1)x λ+的二项展开式为22001220a a x a x a x +++⋅⋅⋅+，其中
0120,,,a a a ⋅⋅⋅均为常数.
（1）若3212a a =，求λ的值；
（2）若5n a a ≥对一切{0,1,,20}n ∈⋅⋅⋅均成立，求λ的取值范围.
20. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，AB m =，点M 是棱CD 的中点.
（1）求异面直线1B C 与1AC 所成的角的大小；
（2）是否存在实数m ，使得直线1AC 与平面1BMD 垂直？说明理由；
（3）设P 是线段1AC 上的一点（不含端点），满足1
AP PC λ=，求λ的值，使得三棱锥 111B CD C -与三棱锥11B CD P -的体积相等.
21. 设抛物线Γ的方程为24y x =，点P 的坐标为(1,1).
（1）过点P ，斜率为1-的直线l 交抛物线Γ于U 、V 两点，求线段UV 的长；
（2）设Q 是抛物线Γ上的动点，R 是线段PQ 上的一点，满足2PR RQ =，求动点R 的轨迹方程；
（3）设AB 、CD 是抛物线Γ的两条经过点P 的动弦，满足AB CD ⊥，点M 、N 分别是弦AB 与CD 的中点，是否存在一个定点T ，使得M 、N 、T 三点总是共线？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
一. 填空题
1. 34
π 2. 46i - 3. 110 4.
5. 6. 2
214
x y -= 7. 3 8. 12 9. 1(,1,2)2- 10. 2π
11. 1
12. 2π
二. 选择题
13. B 14. A 15. A 16. D
三. 解答题
17.（1）12i +，12i -；（2）0或8.
18.（1）；（2.
19.（1）2；（2）56
[,]1615.
20.（1）2π
；（2（3）1
2.
21.（1）；（2）2(31)8(31)y x -=-；（3）(2,0).。