高数A第7章课件：第七章习题课2
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高等数学教学课件7.2
证: 必要性. 设 a∥b , 取 ＝± b 当b与a
a
正向、反向时分别取正、负号,
且
b
a a
a故b • ຫໍສະໝຸດ .a b再证数 的惟一性 . 设又有 b＝ a , 则 ()a0
而a 0,故 0,即.
科学出版社
充分性. 已知 b＝ a , 则
当0时, a , b 同向 当0时, a , b 反向
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 : 0时，a与a同向 ，aa; 0时, a与a反向 ，aa;
0时, a0.
1aa
总之:
aa
1aa;
运算律 : 结合律 (a) (a)a
分配律 ()aaa
零向量: 模为 0 的向量, 记作 0， 或0. 其无确定的方向 负向量: 模相等, 且方向相反的向量, 记作 ab.
单位向量: 模为 1 的向量. 与 a 同向的单位向量记作
a 0.
科学出版社
向量的加法
平行四边形法则: b ab
a
三角形法则: ab b
a
向量的减法
bab(a) 特别 ba当 时 ,有
所以点 B (–2, –1, –3) .
科学出版社
(3) 求xOy 面上点 C 的坐标，使A C ∥ a 解: (3) 设点 C (x, y, 0)，则 A C (x 6 ,y 3 , 3 )
因为 AC//a. 所以 x6y33. 4 1 3
解得 x = 2, y = –2，因此点 C (2, –2, 0).
第二节
第七章
向量及其线性运算,
向量的坐标
一、向量的基本运算 二、向量的坐标, 向量运算的坐标表示
高数课件第七章
x x0 x x0
x x0
第七节 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量与无穷大量
极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x 0 ( 或 x X ) 的一切 x , 对应的函数值
（2）切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
关于无穷小量和无穷大量有如下定理
定理1 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
设 lim f ( x ) .
x x0
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 1 恒有 f ( x ) , 即 . f ( x) 1 当x x 0时, 为无穷小. f ( x)
2 2
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小, 记作 o( )；
( ２ ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小; 记作 ~ ;
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
1 当x x 0时, 为无穷大. f ( x)
x x0
第七节 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量与无穷大量
极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x 0 ( 或 x X ) 的一切 x , 对应的函数值
（2）切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
关于无穷小量和无穷大量有如下定理
定理1 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
设 lim f ( x ) .
x x0
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 1 恒有 f ( x ) , 即 . f ( x) 1 当x x 0时, 为无穷小. f ( x)
2 2
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小, 记作 o( )；
( ２ ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小; 记作 ~ ;
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
1 当x x 0时, 为无穷大. f ( x)
第七章习题课高等数学教学课件第七章
夹角公式： sin s n
sn
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3. 相关的几个问题
(1) 过直线
L:
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
的平面束 方程
1 ( A1x B1y C1z D1) 2 ( A2x B2 y C2z D2 ) 0
M1(t1 , 2t1 ,t1 1), M 2 (t2 ,3t2 4, 2t2 1) .
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M 0 , M1 , M 2 三点共线 M 0M1 // M 0M 2
t1 0, t2 2
M1 (0,0, 1), M 2 (2, 2,3) L: x 1 y 10 M2
M1 L
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例8.直线
绕 z 轴旋转一周, 求此旋转
转曲面的方程.
提示: 在 L 上任取一点
旋转轨迹上任一点, 则有
z x2 y2
得旋转曲面方程
x2 y2 z2 1
z
L
rr
Mo
M0
y
x
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cos 3 , cos 5 , cos 4
51
50
50
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例6.
求过直线L:
x 5y z 0 xz40
且与平面
x 4y 8z
12 0 夹成 角的平面方程.
提示: 过直线 L 的平面束方程
n1
4
n
其法向量为 n1 {1 , 5, 1 }.
已知平面的法向量为 n {1, 4, 8}
习题课
高等数学上册第七章课件.ppt
y C2 ex ,再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
第四节 可降阶的二阶微分方程
小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p(x) ,
令 y p(y) ,
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
第四节 可降阶的二阶微分方程
例 求解 解
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
第四节 可降阶的二阶微分方程
例
解初值问题
y e2y 0 y x 0 0 ,
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解:
y
C
e
P(x)d
x
eP(x)d x
Q(x) eP(x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•线性齐次方程解的结构
定理 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]
高三数学第七章第2课时优质课件
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2．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动 直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理 及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往将 角的顶点取在其中的一条直线上，特别地，可以取其中一条直 线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点．总之，顶 点的选择要与已知量有关，以便于计算，具体步骤如下： (1)利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平 移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上； (2)证明作出的角即为所求角； (3)利用三角形来求解．
∴EF∥BA1. 又 A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E、C、D1、F 四点共面． (2)∵EF∥CD1， ∵EF<CD1，
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∴CE 与 D1F 必相交，设交点为 P， 则由 P∈CE，CE 平面 ABCD，得 P∈平面 ABCD.
同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝DA， ∴P∈直线 DA.∴CE、D1F、DA 三线共点．
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文字语言 图形语言 符号语言 如果两个不重合的平面 若A∈α,A∈β, 有一个公共点 ____________，那么它 公理3 则 有且只有 们___________一条通过 α∩β＝l,且A∈l ______________ 这个点的公共直线 若a∥b，b∥c, 平行于同一条直线的两 公理4 a∥c 平行 条直线______ 则________ 若AO∥A′O′, B′O′ BC∥_______,则 空间中，如果两个角的 ∠AOB＝ 等角 两条边分别对应平行， ∠A′O′B′, 定理 那么这两个角相等或互 或∠AOC和 补 ∠A′O′B′ 互补
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考点 2
异面直线的判定 (2013· 金华模拟)在图中，G，N，M，H 分别是正
高等数学课件-习题课2
哈 尔
解 x 0 :f( x ) ( 3 x 2 ) 6 x ;
滨 工
x 0 :f( x ) ( x 2 ) 2 x ;
程 大 学
f(0)lim 2x2x|x|0;
x 0
x
高
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
lim2x02; x0 x
等 数 学
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
滨
工 解 首,先 f(x)在x0处必须 ,从 连 而 续
程
大
f(00)f(00).
学
f(0 0 ) lism a in x 0 , x 0
高
等
f ( 0 0 ) li [m 1 l n x ) b ( ] b ,
数
x 0
学
b0.
对任意 a ,当 x 给 0 ,f定 (x )都 的 存 ; 在
dy
y
t
dx x t
1
1 1 t2
1 1 t2
2t
t; 2
等
数 学
1
d2y
2 t dx2
(
dy dx
)t
xt
2
1 1 t2
1 t2
4t
例8
用微分法则求函数
y
arctan1 1
x2 x2
的微分和
哈 尔 滨 工 程 大
导数.
解
dy1(111xx22)2d(11xx22)
学
高 等
1(1 11 x x2 2)2(1x2) (2(x 1)d x x 2)(2 1x2)2xdx u vduudv
6x0 lim 6;
x0 x
因 f (0 为 ) f (0 ),所以 f(0)不存 . 在
高等代数课件 第七章
①对于任意 , V , ( ) ( ) (). ②对于任意 a F, V , (a ) a ( )
易证上面的两个条件等价于下面一个条件：
③对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) a ( ) b ()
在②中取 a 0 ，对③进行数学归纳，可以得到：
（1） (0) 0
x1
A
x2
.
xn
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基 {1, 2 ,, n} 的矩阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2 ,, xn，) 而σ(ξ)的坐标是 ( y1, y2 ,, yn，)
例6 取定F的一个n元数列 a1, a2,, an , 对于 F n
的每一向量 x1, x2,, xn , 规定
a1x1 a2 x2 an xn F
则，σ是 F n到F的一个线性映射(这个线性映射也叫做 F上一个n元线性函数或 上F n一个线性型).
例7 对于F[x] 的每一多项式 f(x)，令它的导数
因而（9）成立。
三、线性变换的多项式
线性变换的乘法满足结合律：
对于任意 , , L(v), 都有
( ) ( ).
因此, 我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次
幂
n
n
这里n是正整数。
我们再定义
0
这里ι表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这样 一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。
加法: : ( ) ( ) 数乘: k : k ( ) ,
易证上面的两个条件等价于下面一个条件：
③对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) a ( ) b ()
在②中取 a 0 ，对③进行数学归纳，可以得到：
（1） (0) 0
x1
A
x2
.
xn
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基 {1, 2 ,, n} 的矩阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2 ,, xn，) 而σ(ξ)的坐标是 ( y1, y2 ,, yn，)
例6 取定F的一个n元数列 a1, a2,, an , 对于 F n
的每一向量 x1, x2,, xn , 规定
a1x1 a2 x2 an xn F
则，σ是 F n到F的一个线性映射(这个线性映射也叫做 F上一个n元线性函数或 上F n一个线性型).
例7 对于F[x] 的每一多项式 f(x)，令它的导数
因而（9）成立。
三、线性变换的多项式
线性变换的乘法满足结合律：
对于任意 , , L(v), 都有
( ) ( ).
因此, 我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次
幂
n
n
这里n是正整数。
我们再定义
0
这里ι表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这样 一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。
加法: : ( ) ( ) 数乘: k : k ( ) ,
《高等数学(下册)》课件 高等数学 第7章
列条件：
0) 满足下
（1）un1 un (n 1，2 ，3， ) ；（2）lnim un 0 ， 则级数收敛，且其和 S u1 。
例2 判别以下级数的敛散性：
（1） (1)n
n 1
1 n
；（2）
n 1
(1)n1
n 2n 1
；
解
（1）该级数为交错级数。因为
un1
1 n 1
1 n
un
，且
lim
un
1 3n 2
1 3n
1
，而级数
是发散的，由比较审
n1 3n
敛法可知，级数 1 发散。
n1 3n 2
（2）因为
un
1 n2n
1 2n
，而几何级数
1 2n
n 1
是收敛的，由比
较审敛法可知，级数
1 n1 n2n
收敛。
1
1
（3）因为 un (n 1)(n 3) n2
1
，而
p-
级数
1 5
1 8
1 9
1 16
1 2k 1
1
1 2k 1
2
1 2k
1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 k ． 22
由于k可以任意大，所以数列Sk 无界，从而部分和数列Sk 也
无界，因此调和级数 1 是发散的。
n1 n
定理1
对于 p- 级数
1 np
n 1
( p 0)，当
p 1
，1 3
，由性质2可知，
级数
1
发散。
n1 n 3
性质3（级数收敛的必要条件） 若级数 un 收敛，则它的一般项 n 1
0) 满足下
（1）un1 un (n 1，2 ，3， ) ；（2）lnim un 0 ， 则级数收敛，且其和 S u1 。
例2 判别以下级数的敛散性：
（1） (1)n
n 1
1 n
；（2）
n 1
(1)n1
n 2n 1
；
解
（1）该级数为交错级数。因为
un1
1 n 1
1 n
un
，且
lim
un
1 3n 2
1 3n
1
，而级数
是发散的，由比较审
n1 3n
敛法可知，级数 1 发散。
n1 3n 2
（2）因为
un
1 n2n
1 2n
，而几何级数
1 2n
n 1
是收敛的，由比
较审敛法可知，级数
1 n1 n2n
收敛。
1
1
（3）因为 un (n 1)(n 3) n2
1
，而
p-
级数
1 5
1 8
1 9
1 16
1 2k 1
1
1 2k 1
2
1 2k
1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 k ． 22
由于k可以任意大，所以数列Sk 无界，从而部分和数列Sk 也
无界，因此调和级数 1 是发散的。
n1 n
定理1
对于 p- 级数
1 np
n 1
( p 0)，当
p 1
，1 3
，由性质2可知，
级数
1
发散。
n1 n 3
性质3（级数收敛的必要条件） 若级数 un 收敛，则它的一般项 n 1
高等数学第七章.ppt
规
划
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
(1)
的
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
(2)
标
准
……
型
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
(m)
x1 ，x2 ，…xn≥0
第三节 单纯形法
其简缩形式为
一
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
线 性
n
aij x j bi
ZA=300 ZB=175 ZC=110 ZD=150
x2 15 A
3x1+x2=15
可行域
10
B
x1+x2=10
5
C
O
5
10
A(0,15) B(2.5,7.5) C(9,1) D (15,0)
x1+6x2=15
D
15
x1
10x1+20x2＝0
第三节 单纯形法
单纯形方法是一种较为完善的、步骤 化的线性规划问题求解方法。它的原理涉 及到较多的数学理论上的推导和证明，我 们在此仅介绍这种方法的具体操作步骤及 每一步的经济上的含义。为更好地说明问 题，我们仍结合实例介绍这种方法
第
一
节
线
《经济大词典》定义线性规划：一种
性
具有确定目标，而实现目标的手段又有
规
一定限制，且目标和手段之间的函数关
划 模 型
系是线性的条件下，从所有可供选择的 方案中求解出最优方案的数学方法。
的
基
本
原
理
二、线性规划三要素
第
2020高考文科数学(人教A版)总复习课件：第七章 不等式、推理与证明7.2
7.2 基本不等式及其应用
必备知识·预案自诊
关关键键能能力力··学学案案突突破破
学科素养·微专题
-14-
考点1
考点2
考点3
解析: (1)∵a,b∈R,且 ab>0,
∴������4+4������4+1
������������
≥
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4������2���������������2��� +1=4ab+���1���������≥4,
������2
2������ ������
+
������2 ������2
· ������2+2���������2���������+������2-1
=5+2������������ + 2������������≥5+2
2������ ������
×
2������������=9,
当且仅当2������
C. ������������≥2
D.a2+b2≥8
解析:4=a+b≥2 ������������(当且仅当 a=b 时,等号成立),
即 ������������≤2,ab≤4,���1��������� ≥ 14,选项 A,C 不成立;
1 ������
+
1 ������
=
������+������ ������������
考点1
第七章
考点2
考点3
7.2 基本不等式及其应用
必备知识·预案自诊
关关键键能能力力··学学案案突突破破
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-11-