二项式定理(一)教案
36750_《二项式定理》教案1(人教A版选修2-3)
1.3二项式定理学习目标：1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力 学习重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 学习难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．二项式定理及其特例： （1）01()()nnnr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1nr rn n n x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：1rn rr r n T C ab -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：1 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵mn mn n C C -=）．直线2nr=是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kk nn n n n n k n k C C k k----+-+==⋅， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和： ∵1(1)1nr r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122nr nn n n n n C C C C C =++++++三、讲解范例：例1．在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明：在展开式01()()nnnr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n nnn n n n C C C C C -=-+-++-，即02130()()n n n n C C C C =++-++，∴0213n n n n C C C C ++=++，即在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=.例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++；（3）017||||||a a a +++.解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为∴0127a a a a ++++1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-，（2）令1x =，0127a a a a ++++1=-①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-=②①-②得：713572()13a a a a +++=--，∴1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+②得：702462()13a a a a +++=-+，∴70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（=xx x )1()1(11+-+，∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为711C 例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数 解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅， ∴此展开式中x 的系数为240 例5.已知n2)x 2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒=∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10 设第r+1项为常数项，又2r 510r 10r r 2r10r 101r x C )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r510=⇒=-， .180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180四、课堂练习：（1）()2025x y -的展开式中二项式系数的和为，各项系数的和为，二项式系数最大的项为第项；（2）1)nx的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为． （3）0n C +12n C +24n C ++2n n n C 729=，则123nn n n n C C C C ++++=（）A ．63 B.64 C.31 D.32（4）已知：5025001250(2)a a x a x a x =++++，求：2202501349()()a a a a a a +++-+++的值答案：（1）202，203，11； （2）展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴10n =，3734101()T C x==；（3）A ．五、小结：1．性质1是组合数公式rn rn nC C -=的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-，展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴6611660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=， 一般地当a 较小时(1)1na na +≈+。
《二项式定理》教案
《二项式定理》教案（第一教时）执教人：时间：年月日一、教学目的> 学问目的：1、理解杨辉三角形。
其行为样例是：（1）能用不完全归纳法写出杨辉三角形；（2）能依据杨辉三角形对6）的二项式进展绽开。
2、驾驭二项式定理。
其行为样例是：（1）能依据组合思想及不完全归纳法猜出二项绽开式的系数。
：（尸=0,12・♦・,〃,〃£/7・）以及二项绽开式的通项7用=。
；4一/72" （2）能正确区分二项式系数和某一项的系数：（3）能应用定理对随意给定的一个二项式进展绽开、并求出它特定的项或系数。
> 实力目的：1、培育学生视察、分析、归纳、发觉事物内在规律的实力。
2、培育学生严格的逻辑思维实力及创建性思维实力。
A情感目的：培育学生自主探究意识，合作精神；体验二项式定理的发觉和创建历程，体会数学语言的简洁和严谨。
二、教学重点与难点1、重点：正确理解和驾驭二项式定理。
2、难点：二项式定理的推导，定理大致按“设想一打破一建构一论证”四个层次得到的。
（定理的证明本课不做要求）（教具：PPT课件）三、教学过程1、情景引入问题1：若今日是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？预期答复：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。
问题2：若今日是星期一，再过8〃（〃£N*）天后是星期几？怎么算？预期答复：将问题转化为求“8〃=（7 + 1）〃被7除后算余数”是多少，也就是探讨（4 +。
）〃（〃七N"）的绽开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。
（设计急图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。
臭苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和驾驭学问，并能正确陈述问题、顺当解决问题的倾向是学生学习的重要动力。
)2、新授(探究一>归纳)第一步：让学生绽开(a + b)1 = a + b(a + b)2 = a2 +2他 + 〃\(Q +Z?)3=(a +1>?(a + b) = o' +3a2h + 3ab2 +/ .(a + b)A = (。
二项式定理教案
1§1.3.1 二项式定理(1)教学目标：1．能用计数原理的思想理解二项式定理2．会求多项式的二项展开式,二项式系数以及二项展开式的通项; 经历二项式定理的推导过程,体会归纳－猜想－论证的思想方法,发展探究能力.教学重点：二项式定理教学难点：经历二项式定理的推导过程. 教学关键：二项式定理的理解 教学工具：多媒体 教学方法：讲授法 教学过程：一. 二项式定理的引入已知()1a b a b +=+,()2222a b a ab b +=++,()3322333a b a a b ab b +=+++,下面分析()4a b +的展开式,进而研究()na b +的展开式.()()()()()4a b a b a b a b a b +=++++,展开式的每一项是从每个括号里任取一个字母的乘积,因而各项都是四次式: 432234,,,,a a b a b ab b ;其中4a 的系数为04C (每个括号都不取b ),3a b 的系数为14C (任取一个括号取b 另三个括号内取a ),22a b 的系数为24C ,3ab 的系数为34C ,4b 的系数为44C .因此()40413*******44444a b C a C a b C a b C ab C b +=++++.参照上式,有()10111a b C a C b +=+;()202122222a b C a C ab C b +=++;()30312********a b C a C a b C ab C b +=+++.二. 二项式定理一般地,对于任意正整数n 有()()011*nn n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n --+=++++∈N右边的多项式叫做()na b +的二项展开式,共有1n +项,其中各项的系数()0,1,2,,rn C r n =叫做二项式系数,式中的r n r rnC a b -叫做二项展开式的通项,它是展开式的第1r +项,用1r T +表示,即1r n r rr nT C a b -+=. 用组合数的方法证明二项式定理.三. 例题：例1 求 的展开式. 612⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 661212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x ()63121-=x x2解:()()()()()()23456061524334256666666631222222C x C x C x C x C x C x C x⎡⎤=+-+-+-+-+-+-⎣⎦ 3223240192641260160x x x x x x=-+-+-+. 例2．(1) 求(1+2x)7的展开式的第4项的系数及二项式系数.(2) 求91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的3x 的系数。
《二项式定理》教学设计
《二项式定理》教学设计
一、教学目标
1、学习二项式定理的概念；
2、掌握二项式定理的证明方法；
3、熟练运用二项式定理计算阶乘。
二、课前准备
1、准备教学案例：“抛掷次数为n的骰子，其中点数之和为k，求出满足条件的概率”；
2、准备课堂活动：利用抽签游戏，引导学生理解二项式定理；
3、准备实物：骰子；
4、准备实践活动：利用抛掷骰子实验验证二项式定理。
三、课堂教学步骤
第一步、引入
1、介绍课题：二项式定理（一）；
2、简单介绍二项式定理的概念：其是指当抛掷次数为n的骰子时，点数之和为k的概率，可以表示为n个“1”和“0”的排列组合，其中“1”代表抛掷出的点数为6，“0”代表抛掷出的点数不为6第二步、活动
1、布置抽签游戏：将班上学生分成2组，每组各抽取一张纸片，纸
片上分别写有“1”和“0”，由学生们举手抽签，当每组中有n个学生均
抽出“1”或“0”时，分数比较高的组即为胜利组；
2、进行讨论：根据抽签游戏，引导学生们讨论，抛掷次数为n的骰子，其中点数之和为k，求出满足条件的概率；
第三步、演示
1、讲解二项式定理：说明抛掷次数为n的骰子，其中点数之和为k。
二项式定理(第一课时)教案
二项式定理（第一课时）教案高二数学备课组教学目的：掌握二项式定理及其推导方法，二项展开式的有关特征，并能用它们计算和论证一些简单的问题。
教学重点：二项式定理、二项展开式、通项公式教学过程：一、新课引入有 n 个口袋，每个口袋都同样装有一红一黑两个小球，现依次从这些口袋中各取出一个小球，共有_____种不同的取法；“无黑” (全红) 的取法有_____种；“恰有1个黑球”的取法有_____种“恰有2个黑球”的取法有_____种“恰有r 个黑球”的取法有____种“全是黑球”的取法有______种.“取球”的不同结果共有_________个.()()()...()n a b a b a b a b +=+++展开式共有________项展开式中n a 的系数是______展开式中11n a b - 的系数是_______展开式中22n a b -的系数是_______展开式中n r r a b - 的系数是________展开式中 n b 的系数是______所以 0111*()......()n n n r n r r n n n nn n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈二、 二项式定理这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做 ()n a b + 的二项展开式, 其中的系数 r n C 叫做二项式系数， 展开式中的r n r r n C a b -叫做二项式的通项，用 1r T + 表示，即通项公式为1r n r r r n T C a b -+=(0,1,2,...,)r n =表示展开式的第 1r + 项注意: (1)公式中的,a b 可以是单项式，也可以是多项式 .(2)公式中,a b 的顺序不能颠倒二项展开式的性质(1)项数：展开式共有 1n + 项 (2) 系数：依次为01,,...,...,r n n n n n C C C C ，这些系数称为二项式系数注意：展开式中某一项的系数和该项二项式系数是不同的概念.(3) 指数：a 的指数从n 起依次减 1直到 0，b 的指数从0起依次增 1直到 n ，每项中 ,a b 的指数和为n .三、 例题分析例1 写出41(1)x+的展开式例2 求12()x a -的展开式的倒数第四项例3 试问822()x x -的展开式中有没有含4x 的项，若有，写出该项；若没有，说明理由四、学生练习1、 求5(2)a b +的展开式2、 10(1)x -的第六项系数是__________3、6展开式的第四项是__________, 二项式系数是a b(2)__________,系数是__________五、小结1、二项式定理是初中多项式乘法的延伸，又是后继学习概率的基础，要理解和掌握好展开式的规律，利用它对二项式展开，进行相应的计算与证明2、要注意“系数”、“二项式系数”等概念的区别与联系，对二项式展开式的特征要分析清楚，灵活正用、逆用展开式作业：P113 2. 4(1) (2))。
高中数学《二项式定理》教案
二项式定理教案
（一）教学目标
1．知识与技能：掌握二项式定理①能根据组合思想及不完全归纳，得出二项式定理和二项展开式的通项。
②能正确区分二项式系数和某一项的系数。
③能正确利用二项式定理对任意给定的一个二项式进行展开，并求出它的特定项。
2．过程与方法：通过定理的发现推导提高学生的观察，比较，分析，概括等能力。
（二）教学重点与难点
重点：二项式定理的发现，理解和初步应用。
难点：二项式定理的发现。
（三）教学方法
启发诱导，师生互动
（四）教学过程。
二项式定理(1)教学设计
二项式定理第一课时教案一、教材分析二项式定理是选修2－3的1.3节的第一课时，本节课是在学习了排列组合的基础上学习的，为后面学习概率中的二项分布奠定了基础，所以它是承上启下的一节课。
二项式定理不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。
通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。
二、学情分析学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一 定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。
但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。
本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。
因此本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。
三、教学目标：1、知识技能目标：（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理2、过程与方法目标通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会归纳－猜想－论证的思想方法,发展探究能力.3、情感、态度、价值观目标培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨四、教学重点、难点重点：用两个计数原理分析3)(b a +的展开式得到二项式定理；掌握二项展开式的通项公式；能应用它解决一些简单问题。
难点：用两个计数原理分析推导3)(b a +的展开式；用两个计数原理证明二项式定理五、教学过程（一）提出问题：引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式。
二项式定理教学设计教案
二项式定理教学设计教案第一章：导入1.1 教学目标让学生了解二项式定理的背景和意义。
引导学生通过实际例子发现问题，激发学习兴趣。
1.2 教学内容引入二项式定理的概念，解释其在数学中的重要性。
通过具体的例子，如完全平方公式，引导学生观察和总结一般规律。
1.3 教学活动利用多媒体展示完全平方公式的例子，引导学生观察和总结。
组织小组讨论，让学生分享自己的发现和思考。
1.4 教学评价通过小组讨论和问题解答，评估学生对二项式定理的理解程度。
第二章：二项式定理的表述2.1 教学目标让学生掌握二项式定理的表述和公式。
引导学生理解二项式定理的推导过程。
2.2 教学内容给出二项式定理的表述和公式，解释各项的系数和指数的含义。
通过示例，引导学生理解二项式定理的推导过程。
2.3 教学活动通过示例和练习，让学生熟悉二项式定理的表述和公式。
引导学生参与推导过程，加深对二项式定理的理解。
2.4 教学评价通过练习和问题解答，评估学生对二项式定理的掌握程度。
第三章：应用二项式定理3.1 教学目标让学生学会运用二项式定理解决实际问题。
引导学生运用二项式定理进行组合计数和概率计算。
3.2 教学内容解释二项式定理在组合计数和概率计算中的应用。
提供实际问题，引导学生运用二项式定理解决问题。
3.3 教学活动通过示例和练习，让学生掌握二项式定理在组合计数和概率计算中的应用。
组织小组讨论，让学生分享自己的解题方法和经验。
3.4 教学评价通过小组讨论和问题解答，评估学生对二项式定理应用的掌握程度。
第四章：拓展与深化4.1 教学目标让学生了解二项式定理的拓展和深化内容。
引导学生思考二项式定理在数学中的广泛应用和意义。
4.2 教学内容介绍二项式定理的拓展内容，如多项式定理和整数定理。
探讨二项式定理在数学中的广泛应用，如组合数学、概率论等领域。
4.3 教学活动通过示例和练习，让学生了解二项式定理的拓展内容。
组织小组讨论，让学生思考二项式定理在数学中的应用和意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二项式定理教案（一）
一、教学目标：
1．知识技能：
（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广
（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理
2．过程与方法
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式
3．情感、态度、价值观
培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨
二、教学重点、难点
重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式得到二项式定理。
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。
三、教学过程
（一）提出问题：
引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式。
如2222)(b ab a b a ++=+， 那么： 3)(b a +=? 4)(b a +=? 100)(b a +=? 更进一步：n b a )(+=？
（二）对2)(b a +展开式的分析
))(()(2b a b a b a ++=+ 展开后其项的形式为：22,,b ab a
考虑b ，每个都不取b 的情况有1种，即02c ,则2a 前的系数为02c
恰有1个取b 的情况有12c 种，则ab 前的系数为12c
恰有2个取b 的情况有22c 种，则2b 前的系数为22c
所以 222122022222)(b c ab c a c b ab a b a ++=++=+
类似地 333223213303
3223333)(b c ab c b a c a c b ab b a a b a +++=+++=+ 思考：))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+=?
问题：
1)．4)(b a +展开后各项形式分别是什么？
4a b a 3 22b a 3ab 4b
2)．各项前的系数代表着什么？
各项前的系数 就是在4个括号中选几个取b 的方法种数
3)．你能分析说明各项前的系数吗？
每个都不取b 的情况有1种，即04c ,则4a 前的系数为04c
恰有1个取b 的情况有1
4c 种，则b a 3前的系数为14c
恰有2个取b 的情况有24c 种，则22b a 前的系数为24c
恰有3个取b 的情况有34c 种，则3ab 前的系数为34c
恰有4个取b 的情况有44c 种，则4b 前的系数为44c
则 44433422243144044)(b c ab c b a c b a c a c b a ++++=+
推广：得二项展开式定理：
一般地，对于*N n ∈有
......)(333222110++++=+---b a c b a c b a
c a c b a n n n n n n n n n n n n n n n r r n r n b c ab c b a c +++---11......
右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式
r r n r n b a c -：二项展开式的通项，记作1+r T
n n r n n n n c c c c c ,......,,......,,,21
0： 二项式系数
注1）．二项展开式共有1+n 项，每项前都有二项式系数
2）．各项中a 的指数从n 起依次减小1，到0为此
各项中b 的指数从0起依次增加1，到n 为此
如n n n n r r n n n n x x
c x c x c x c x +++++++=+--11221
......1)1( 四、应用（例题）
五、课堂练习
六、课后作业
七、总结与归纳
八、板书设计。