基于奇异值分解的图像压缩及实现

基于奇异值分解的图像压缩及实现
本文利用奇异值分解方法，来对图片进行压缩，过程中我们
利用Matlab 编程来达到这个目的。

一：实验方法及原理
奇异值：矩阵A 的奇异值定义如下：设n
*m r
C A ∍（r>0），且A A T 的特征值分别为
0n 1r r 21==⋯⋯=≥≥⋯⋯≥+λλλλλ （1）
则称i i λσ=
（i=1，2，…，n ）为A 的奇异值。

奇异值分解定理：设Σ=diag(r 21...σσσ，，
，)，由式（1）可知，i σ（i=1，2，…，r ）为A 的非零奇异值。

U 为m 阶酉矩阵（n 阶复
方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基，则U 是酉矩阵），V 为n 阶酉矩阵，若满足矩阵等式
（2）
则称式（2）为A 的奇异值分解。

若U 写成U =[m 21u ......u u ，，
，]的形式，V 写成V=[n 21v ......v v ，，
，]的形式，则式（2）可写成如下形式：
（3）
由于大的奇异值对图像的贡献大，小的奇异值对图像的贡献小，所以可以从r 个奇异值生成矩阵中选取前k 个（k<r ）近似表示图像A ，即取：
（4）
近似表示图像A。

存储图像A需要mn个数值，存储图像k A需（m+n+1）k个数值，若取
（5）
则可达到压缩图像的目的，比率
（6）
称为压缩率
二：实验过程
1.实验数据来源：
本实验所需要的实验原图片是lena.bmp，处理后的图片设置为lena2.bmp。

并获取图片的描述矩阵，为512*512阶8位的方阵。

设为A，同时也是原始矩阵，本实验主要是对A进行奇异值分解，用一个更小阶的矩阵来描述A，从而达到实验目的。

2.实验过程：
提取图像lena.bmp数据，将图片读入Matlab中，存储的是数据矩阵并且设置为512*512的矩阵A，将矩阵A中的数据转换为double型，以适应svd函数的要求，运用函数[U,S,V]=svd(A)进行图像的奇异值分解，分别得到对角奇异值矩阵S为512*1阶，以
及U 左奇异值矩阵为512*512阶，V 右奇异值矩阵为512*512阶。

将S 对角化后，显示的奇异值见图1：
0100200300400500600
1
2
3
4
5
6
7
4
图1.奇异值分布图
然后利用分解后的矩阵重构原矩阵A ，并进行数据格式转换，设置压缩数k ，分别令k=40、80、120、160、200五个数据，利用svds 函数将选择k 之后的新矩阵进行A 的重构，即运用U*S*V ’进行重构，其中S 为40*40的对角矩阵，U 为512*40的左奇异值矩阵，V 为512*40的右奇异值矩阵，重构时需将重构的矩阵进行字型转换为uint8类，将重构后的矩阵放置在outfile 中，最后显示重构后的图像。

Matlab 实现代码见附录1.
（1）图片压缩流程如图2所示：
图2.图像压缩程序流程 图3.图像解压流程 （2）图像重构流程图见图3. 三．实验结论
由式（5）、（6）可知，如果从分解后的对角矩阵中选择k 个大奇异值以及这些奇异值相对应的左右奇异向量逼近原图像，便可以使用k （n+1）个数值代替原来的n*n 个图像数据，显然要到达图像压缩的效果，就一定要求k （n+1）<2n ,在发送图像时，只需要k （n+1）个有关奇异值和奇异值向量的数据即可，接收到数据时就利用这些数据进行重构出原图像。

k 值越小，需要保存的数据就越少，k 月接近n ，重构出来的
图像就越和源图像相似。

所以在图像压缩时，只要选择合适的奇异值个数，解压缩后的图像就可以满足视觉要求，一般情况下，对于256≤n≤2048的图像，选取25≤k≤100时，都有较满意的视觉效果。

实验结果图如图4所示，其中a代表原图，b为k=40时的效果图，c、d、e、f分别为k=80、120、160、200时的效果图：
(a)(b)
(c) (d)
(e) (f) 附录1
>> infile='D:\lena.bmp';
>> outfile='lena2.bmp';
>> A=imread(infile);
>> A=double(A);
>> [U,S,V]=svd(A);
>> S=diag(S);
>> plot(S)
>> k=40;
>> [U,S,V]=svds(A,k);
>> im=uint8(U*S*V');
>> imwrite(im,outfile);
>> imshow(im)
>> k=80;
>> [U,S,V]=svds(A,k);
>> im=uint8(U*S*V'); >> imwrite(im,outfile); >> imshow(im)
>> k=120;
>> [U,S,V]=svds(A,k); >> im=uint8(U*S*V'); >> imwrite(im,outfile); >> imshow(im)
>> k=160;
>> [U,S,V]=svds(A,k); >> im=uint8(U*S*V'); >> imwrite(im,outfile); >> imshow(im)
>> k=200;
>> [U,S,V]=svds(A,k); >> im=uint8(U*S*V'); >> imwrite(im,outfile); >> imshow(im)。