基于奇异值分解的MVDR谱估计

现代信号处理学号：小组组长：小组成员及分工：任课教师：教师所在学院：信息工程学院2015年11月论文题目基于奇异值分解的MVDR方法及其在信号频率估计领域的应用摘要：本文主要是介绍和验证MVDR的算法，此算法应用于信号频率估计的领域中。

我们通过使用经典的MVDR算法验证算法的可行性，再通过引用了奇异值分解的思想对MVDR方法进行了改进，在验证这种改进思想的方法可行性时，我们发现基于这种奇异值分解的MVDR方法在信号频率估计上具有提高检测精度的特性，这也说明了这种思想在应用信号频率估计时是可行的。

关键词：MVDR算法奇异值分解信号频率估计论文题目（English）MVDR method based on singular value decomposition and its application in signal frequency estimation Abstract:In this paper, the algorithm of MVDR is introduced, and the algorithm is applied to the field of signal frequency estimation. By using the classical MVDR algorithm to verify the feasibility of the algorithm, and then through the use of the idea of singular value decomposition to improve the MVDR method, in the verification of the feasibility of the method, we found that the MVDR method based on the singular value decomposition has the characteristics of improving the detection accuracy in signal frequency estimation. It also shows that this idea is feasible in the application of signal frequency estimation.Key words: MVDR method Singular value decomposition Signal frequency estimation引言基于奇异值分解的特征提取算法在信号与图像处理等方面有着广泛的应用，国内外很多学者也对此进行了大量的研究。

奇异值分解在小波图像边缘检测中的应用，使得离散小波变换的全局尺度选择更加容易。

研究表明，奇异值分解具有理想的去相关特性，基于奇异值分解的信号分析方法可以对信号进行重构，较好的从背景噪声中分离出有用信号的特征信息[1]。

研究表明，基于奇异值分解的信号特征提取方法的关键在于奇异值特征阶数的选择，如何有效的选取特征值仍是一个有待研究的问题。

在许多领域, 所研究的信号通常被认为是具有各态历经性的平稳随机信号, 很难用确定的数学关系式去描述。

随机信号的功率谱能反映信号的频率成分以及各成分的相对强弱, 能从频域上揭示信号的节律, 是非确定性信号的重要特征。

因此, 可采用给定的N 个样本数据对相应平稳随机信号的功率谱密度进行估计,即功率谱估计(Power spectrum estimation)。

近年来, 基于特征分解功率谱估计方法已经在通信、雷达、导航、声纳、地震、射电天文和生物医学工程等科技领域中得到广泛应用。

MVDR (minimum variance distortion response)是J.Capon于1969年研究地震波的空间谱时提出的也称为Capon谱。

1971，Lacoss将该方法应用于单一时间序列谱估计, 并证明了该方法得出的估计是谱分量的最小方差无偏估计, 其思想是将正弦过程看成是频率未知的确定信号, 使该信号通过一个FIR系统,而噪声被尽量抑制, 该方法在自动语音识别(ASR)等领域已经得到广泛应用[2]。

1997 年ManoharN.Murthi和BhaskerD.Rao 首次将其应用到语音信号的谱包络估计中, 解决了LP谱对基音周期较高的浊音信号的频谱估计不准的问题。

和LP谱及FFT能量谱相比, MVDR谱具有更小的方差, 并且在保留语义信息的同时对说话人信息有一定的抑制作用, 这一特点令基于MVDR谱的MFCC（美尔频率倒谱系数）参数比传统的MFCC参数更加适合于关键词检出。

（基于最小方差无失真响应谱的语音特征提取）由于奇异值分解的特征提取方法应用的领域越来越广阔，本文提出了一种将奇异值分解的思想应用到MVDR信号频率谱估计的算法，这种基于奇异值分解的MVDR算法与经典的MVDR算法相比较，具有明显提高精度的优点。

在与经典的算法对比中，我们将观测矩阵进行了修改，从而将谱估计的推导公式也进行了改变。

通过实验仿真和验证，可以证明我们的这种方法是具有可行性的。

第一章 相关知识及算法流程1.1名词解释MVDR 的信号频率谱估计算法的英文全称是Minimum Variance Distortionless Response ，中文全称是最小方差无失真响应，通常应用于信号频率估计。

奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite 矩阵基于特征向量的对角化类似。

然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。

对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。

1.2奇异值分解的知识介绍1.2.1酉矩阵的定义定义：设n n A C ⨯∈，若A 满足H H A A AA I ==，则称矩阵A 为酉矩阵。

1.2.2奇异值的定义定义：设n n A C ⨯∈，且(0)rankA r =>。

又设H A A 的特征值为1210r r n λλλλλ+≥≥≥>===L L 式2-1 则称1,2,,)i i n σ==L 为A 的奇异值。

1.2.3矩阵的奇异值分解定理定理：设n n A C ⨯∈，且(0)rankA r =>，则存在m 阶酉矩阵U 和n 阶酉矩阵V ，使得000H U AV ∑⎛⎫= ⎪⎝⎭， 式2-2 其中12(,,,).r diag σσσ∑=L 而(1,2,,)i i r σ=L 为A 的正奇异值。

将式2-2改写为000H A U V ∑⎛⎫= ⎪⎝⎭， 式2-3 则称式2-3为矩阵A 的奇异值分解。

1.2.4矩阵的奇异值分解定理的证明证：记H A A 的特征值如式2-1所示，由于H A A 是Hermite 矩阵，所以存在n 阶酉矩阵V ，使得2120(,,,).00H H n V A AV diag λλλ⎛⎫∑== ⎪⎝⎭L 式2-4 将V 分块为()()1212 (,)n r n n r V V V V C V C ⨯⨯-=∈∈， 式2-5 将式2-5带入式2-4中，可得21122, 0H H H H V A AV V A AV =∑=， 式2-6于是进一步进行化简可得11112, 0H H r V A AV I AV --∑∑==。

式2-7记111U AV -=∑,由上式知11H r U U I =，即1U 的r 个列向量是两两正交的单位向量，取()2m m r U C ⨯-∈，使得()12U U U =为m 阶酉矩阵，即有21220, H H m r U U U U I -==，则有11121121122100000H H H HH H H U AV U AV U U U AV U AV U AV U U ∑⎛⎫⎛⎫∑⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪∑⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

式2-8至此，也就证明出一个任意的n 阶方阵一定会有其对应的奇异值分解。

1.3 MVDR 谱估计知识介绍1.3.1 MVDR 谱估计方法中常用到的标量函数关于向量的梯度公式***()2()0()2()2()2()2H H H J w c w wJ w w c c wJ w w Rw Rw w ∂∇==∂∂∇==∂∂∇==∂ 式2-91.3.2 MVDR 滤波器原理考虑有M 个权系数（抽头）的横向滤波器（transversal filter ）(或称FIR 滤波器)，如下图2-1所示。

滤波器的输入为随机过程()x n ，输出为1*0()()M i i y n w x n i -==-∑ 式2-10其中，i w 表示横向滤波器的权系数。

定义输入信号向量和权向量分别为()[()(1)(1)]T x n x n x n x n M =--+L11[]T M w w w w -=L 则输出可表示为*()()()H T y n w x n x n w == 式2-11 信号()y n 的平均功率可以表示为2{|()|}{()()}H H HP E y n E w x n x n w w Rw === 式2-12其中，矩阵M M R C ⨯∈为向量()x n 的M 维自相关矩阵，即(0)(1)(1)(1)(0)(2){()()}(1)(2)(0)H r r r M r r r M R E x n x n r M r M r -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦LLM M OM L 式2-13图2-1 M 抽头的FIR 滤波器假设滤波器输入信号()x n 是复正弦信号加白噪声，为1()()k K jw n kk x n e v n α==+∑ 式2-14其中，()v n 是加性白噪声，k α和k w 分别是第k 个信号复幅度和角频率。

复幅度||kj k k e ϕαα=包含了正弦信号的振幅||k α和初始相位k ϕ。

设感兴趣的期望信号是角频率为1w 的复正弦信号，则选择滤波器权向量w 应该遵循的原则是，使复正弦信号1jw n e 无失真地通过滤波器，而尽量抑制其余频率的信号和噪声。

设信号11jw n e α通过滤波器的响应为1()y n ，则1()y n 应为11111111(1)***1101111(1)***1011() =()jw n jw n jw jw n jw M M jw n jw jw M M y n e w e w e e w ee w e w e w αααα-------=++++++L L 式2-15定义向量11(1)1()[1]jw jw M T a w e e ---=L 式2-16则1111()()jw n H y n w a w e α= 式2-17所以，当权向量满足1()1H w a w =时，可使复正弦信号11jw n e α无失真地通过滤波器。