基于神经网络的时间序列Lyapunov指数普的计算设计
毕业设计__基于神经网络的时间序列Lyapunov指数普的计算毕业设计论文
摘要 (II)Abstract (III)第一章绪论 (1)1.1 引言 (1)1.2 Lyapunov计算方法的定义 (2)第二章基于神经网络的Lyapunov指数谱的计算 (3)2.1 相空间重构 (3)2.2 Oseledec矩阵的确定 (3)2.3 QR分解 (5)2.4 小波神经网络 (7)2.5 基于RBF神经网络的Lyapunov指数谱计算方法 (10)2.6 Lyapunov指数实验计算代码 (11)2.6.1确定嵌入维数 (11)2.6.2确定延迟时间 (11)2.6.3计算Lyapunov指数普 (12)2.7 Lyapunov指数仿真实验结果 (14)2.7.1 实验一 (14)2.7.2 实验二 (16)小结 (18)总结 (19)参考文献 (20)致谢 (21)Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。
对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的Lyapunov 指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。
利用RBF 神经网络的非线性函数逼近能力, 由实验观察数据列计算系统的Lyapunov指数谱实例计算表明, 此种方法精度较高且计算量较小, 有重要的实际意义.关键词: Lyapunov 指数谱; 相空间重构; 人工神经网络AbstractLyapunov exponent is an important measure of system dynamics quantitative indicators, It is characterized by the average rate in the phase space between adjacent tracks convergence or divergence. For the existence of chaotic dynamics, can be very intuitive judgment from the largest Lyapunov exponent is greater than zero: a positive Lyapunov exponent, means that the system in phase space, regardless of the initial two-rail line spacing, however small, the difference will cannot predictAs time evolved exponential increase in the rate of so reached, which is chaos. Lyapunov exponents are one of a number of parameters that characterize the nature of a chaotic dynamical system. We calculate the Lyapunov exponents from an observed time series based on the ability thata RBF neural network can approximate nonlinear functions. The results show that this method needs less computing time and has higher precision, soit has practical significance.Keywords: Lyapunov exponents;Reconstruction of phase space;Artificial neural network第一章绪论1.1引言混沌系统的基本特点就是系统对初始值的极端敏感性，两个相差无几的初值所产生的轨迹，随着时间的推移按指数方式分离，Lyapunov指数[1]就是定量的描述这一现象的量。
常微分方程中的Lyapunov指数
常微分方程中的Lyapunov指数Lyapunov指数是一种用于研究动力系统稳定性的重要工具。
在常微分方程中，Lyapunov指数可以帮助我们判断一个系统的稳定性，从而可以更好地理解物理现象。
本文将从以下几个方面介绍Lyapunov指数。
一、什么是Lyapunov指数？Lyapunov指数是法国数学家Lyapunov在19世纪末首次引入的一个概念，用于描述动力系统在某一相空间内的稳定性。
Lyapunov指数是一个实数，通常用λ表示，其大小代表了系统的稳定程度。
当λ>0时，系统是不稳定的；当λ<0时，系统是稳定的；当λ=0时，系统处于稳态。
二、如何计算Lyapunov指数？计算Lyapunov指数的方法有很多种，其中最为常用的是Kaplan-Yorke公式。
这种方法需要进行线性化处理，将非线性动力系统转化为线性动力系统。
通常用牛顿迭代法求解微分方程，并对每个时间步长进行雅可比矩阵的计算，从而最终得到系统的Lyapunov指数。
三、Lyapunov指数在物理学中的应用Lyapunov指数在物理学中有着广泛的应用，尤其是在研究混沌现象中。
混沌是指系统发生不可预期的非周期性运动，常常出现在分子动力学、天体力学和流体力学中。
利用Lyapunov指数可以判断混沌现象的发生，从而更好地理解这些物理现象。
四、Lyapunov指数在控制系统中的应用除了在物理学中的应用外，Lyapunov指数还被广泛应用于控制系统中。
在控制系统中，通过计算Lyapunov指数可以判断系统是否稳定，并且可以设计出更好的控制策略。
此外，Lyapunov指数还可以用于描述系统的鲁棒性，即系统对干扰的抵抗能力。
五、Lyapunov指数的局限性尽管Lyapunov指数在控制系统和物理学中有着广泛的应用，但是它也存在一些局限性。
首先，计算Lyapunov指数常常非常复杂，需要耗费大量时间和计算资源。
其次，Lyapunov指数只能用于描述系统局部的稳定性，而不能用于描述全局的稳定性。
离散周期lyapunov方程和离散周期riccati方程的迭代算法
摘要作为线性时变系统的最简单形式，线性周期系统由于其广泛的应用，一直是学者们研究的热点。
线性周期系统，是一类系数矩阵带有周期性的线性系统，在各个领域中都有着广泛的应用。
为了研究离散周期系统的稳定性问题，离散周期Lyapunov方程的求解就显得至关重要。
同样，在进行离散周期系统的线性二次最优状态反馈控制器的设计时，需要用到离散周期Riccati方程的解。
基于这样的研究背景，本文针对离散周期系统下的Lyapunov方程和Riccati方程，给出了其求解的迭代算法。
针对离散周期Lyapunov方程，推导出了相应的迭代算法，分别对零初始条件和任意初始条件的情况给出了严谨的收敛性证明，并通过数值仿真验证了算法的有效性。
并且将最新估计信息的思想引入了迭代算法，得到了新的基于最新估计信息的迭代算法，同样对给出了算法在零初始条件下和非零初始条件下，迭代算法的严谨的收敛性证明，利用数值仿真例子证明了算法是有效并且收敛的。
并且通过对两种算法的数值仿真对比发现，基于最新估计信息的迭代算法的收敛速度要快于原始的迭代算法，从而验证了加入最新估计信息的迭代算法的优越性。
针对推导出的离散周期Riccati方程的迭代算法，给出了其在零初始条件下的收敛性证明，并通过数值仿真验证了算法的有效性，同样，为了改进算法，加入了最新估计信息，得到了新的基于最新估计信息的迭代算法。
同样对该算法的收敛性进行了严谨的证明与数值仿真验证，说明了该算法是有效可用的。
针对两种方程的迭代算法，为了研究最新估计信息对迭代算法的影响程度，引入了加权的思想，得到了带权重因子的新的迭代算法，并进行了收敛性证明。
通过数值仿真，给出了不同权重因子下的收敛性曲线，通过对比可以看出当全部使用最新估计信息时，算法的收敛速度最快，由此可见，加入最新估计信息能有效提高迭代算法的收敛速度。
关键词：离散周期系统；Lyapunov方程；Riccati方程；迭代算法AbstractAs the simplest form of time-varying linear systems, periodic linear systems have been attracting much attention during the past several decades. This is partially because this type of systems has very wide application. To investigate the stabilization problem of the periodic linear systems, it is important to achieve the solution of the periodic Lyapunov matrix equation. Similarly, the design of linear quadratic optimal state feedback controller based on the robust control is related to the stabilizing positive definite solution of Riccati equation. Based on this research background, we propose iterative algorithms for solving discrete-time periodic Lyapunov matrix equation and discrete-time periodic Riccati matrix equation.Iterative algorithms for discrete periodic Lyapunov equations are derived, respectively to the zero initial conditions and arbitrary initial conditions. And the proof of convergence is given. The effectiveness of the algorithm is verified by numerical simulation. And the latest information estimation theory is into the iterative algorithm, the proof of the convergence is also given. The validity of the algorithm is verified by numerical simulations. Finally, the simulation analysis of the two algorithms find that the convergence rate of the iterative algorithm based on the estimation of the latest information is faster than the original algorithm. It proves the superiority of the iterative algorithm adding the latest information of the estimation.Iterative algorithm for discrete periodic Riccati equations is derived, given the zero initial condition of convergence, and the effectiveness of the algorithm is verified through numerical simulation. In order to improve the algorithm with the latest estimate information, a new iterative algorithm based on the information of the latest estimation is given. The convergence of the new algorithm is proved and the validity of the algorithm is verified by numerical simulation. Through numerical simulation, the convergence curves of different weighting factors are given. It found that using the latest estimate information, the convergence speed is the fastest. Therefore, adding the latest estimation information can effectively improve the convergence speed of iterative algorithm.Key words：discrete-time linear periodic system，periodic Lyapunov equations，periodic Riccati equations，iterative algorithms目录摘要 (I)ABSTRACT ..................................................................................................................... I I 第1章绪论 . (1)1.1课题的来源及研究的背景意义 (1)1.2国内外在该方向上的研究现状及分析 (2)1.3本文的主要研究内容 (6)第2章离散周期系统Lyapunov方程快速迭代算法 (8)2.1相关的概念与性质 (8)2.2原始迭代算法 (9)2.2.1显式迭代算法 (9)2.2.2数值仿真 (12)2.3基于最新估计信息的迭代算法 (16)2.3.1显示迭代算法 (16)2.3.2数值仿真 (19)2.4本章小结 (24)第3章离散周期Riccati方程的迭代算法 (25)3.1相关的概念与性质 (25)3.2问题的描述 (25)3.3原始迭代算法 (25)3.3.1显示迭代算法 (26)3.3.2数值仿真 (28)3.4基于最新估计信息的迭代算法 (29)3.4.1显示迭代算法 (30)3.4.2数值仿真 (32)3.5本章小结 (34)第4章离散周期Riccati方程的加权最新估计迭代算法 (35)4.1 带加权因子的快速迭代算法 (35)4.2数值仿真 (37)4.3本章小结 (39)结论 (40)参考文献 (41) (45)致谢 (46)第1章绪论1.1课题的来源及研究的背景意义随着对控制系统的研究越来越深入，人们发现，许多生活中的系统是线性周期系统。
计算lyapunov指数,利用wolf方法[技巧]
![计算lyapunov指数,利用wolf方法[技巧]](https://img.taocdn.com/s3/m/97e9f7380166f5335a8102d276a20029bd646319.png)
!系统表现为常微分方程组：（洛伦兹系统）!使用Wolf方法，注意IVF与fortran下面使用库函数的不同PROGRAM LE_DIFEQEN!INCLUDE 'link_fnl_shared.h'!USE numerical_libraries!使用fortran65用下面的一句话，用IVF使用上面的两句话USE IMSLIMPLICIT NONEINTEGER,PARAMETER::N=3 ! 原始微分方程个数INTEGER,PARAMETER::NN=12 !系统变量个数N+N*NEXTERNAL FCN !计算微分方程的子程序INTEGER I,J,K,L,NSTEP,IDO!NSTEP为计算次数REAL::TOL,STPSZE,T,TEND!T为系统的初始时间值，执行一次IVPRK后设为TEND（所要计算的系统时间值）!STPSZE为从T到TEND的时间步长!TOL为期望的误差范围REAL::Y(NN),ZNORM(N),GSC(N),LE(N),PARAM(50)!ZNORM中放向量的模!LE中放李雅普洛夫指数!非线性系统的初值Y(1)=10.0Y(2)=1.0Y(3)=0.0!线性系统的初值DO I=N+1,NNY(I)=0.0END DODO I=1,NY((N+1)*I)=1.0LE(I)=0.0END DO!参数设置参数设置参数设置参数设置IDO=1PARAM=0PARAM(4)=5000000param(10)=1.0T=0.0TOL=1E-2NSTEP=1000000STPSZE=0.01DO I=1,NSTEPTEND=STPSZE*REAL(I)CALL IVPRK(IDO,NN,FCN,T,TEND,TOL,PARAM,Y)!以下部分将N个向量正交单位化!V1=(Y(4),Y(7),Y(10))!V2=(Y(5),Y(8),Y(11))!V3=(Y(6),Y(9),Y(12))!.......! Normalize the first vectorZNORM(1)=0.0DO J=1,NZNORM(1)=ZNORM(1)+Y(N*J+1)**2END DOZNORM(1)=SQRT(ZNORM(1))DO J=1,NY(N*J+1)=Y(N*J+1)/ZNORM(1)END DO!Generate the new orthonormal set of vectorsDO J=2,N! Generate J-1 GSR coefficientsDO K=1,(J-1)GSC(K)=0.0DO L=1,NGSC(K)=GSC(K)+Y(N*L+J)*Y(N*L+K)END DOEND DO! Construct a new vectorDO K=1,NDO L=1,(J-1)Y(N*K+J)=Y(N*K+J)-GSC(L)*Y(N*K+L) END DOEND DO! Calculate the vector's normZNORM(J)=0.0DO K=1,NZNORM(J)=ZNORM(J)+Y(N*K+J)**2 END DOZNORM(J)=SQRT(ZNORM(J))! Normalize the new vectorDO K=1,NY(N*K+J)=Y(N*K+J)/ZNORM(J)END DOEND DODO K=1,NLE(K)=LE(K)+ALOG(ZNORM(K))/ALOG(2.0) !计算指数END DOEND DOCALL IVPRK(3,NN,FCN,T,TEND,TOL,PARAM,Y)DO K=1,NWRITE(*,'(f12.2)') LE(K)/TEND DOSTOPEND PROGRAM LE_DIFEQENSUBROUTINE FCN(N,T,Y,YPRIME)IMPLICIT NONEINTEGER N,IREAL T,Y(12),YPRIME(12)YPRIME(1)=16.0*(Y(2)-Y(1))YPRIME(2)=-Y(1)*Y(3)+45.92*Y(1)-Y(2)YPRIME(3)=Y(1)*Y(2)-4.0*Y(3)DO I=0,2YPRIME(4+I)=16.0*(Y(7+I)-Y(4+I))YPRIME(7+I)=(45.92-Y(3))*Y(4+I)-Y(7+I)-Y(1)*Y(10+I)YPRIME(10+I)=Y(2)*Y(4+I)+Y(1)*Y(7+I)-4.0*Y(10+I)END DORETURNEND SUBROUTINE。
如何计算时间序列的一维李雅普诺夫指数谱
时间序列的一维李雅普诺夫指数谱是一种用于衡量时间序列非线性动力学特征的重要指标。
通过计算时间序列的一维李雅普诺夫指数谱，我们可以了解时间序列的混沌程度、非线性动力学特征以及系统的演化规律。
下面将从计算一维李雅普诺夫指数谱的基本原理、计算步骤以及应用案例等方面进行介绍。
一、计算一维李雅普诺夫指数谱的基本原理1. 时间序列的非线性动力学特征在进行一维李雅普诺夫指数谱的计算之前，我们首先需要了解时间序列的非线性动力学特征。
时间序列通常是由一系列按时间顺序排列的数据点组成，而这些数据点之间可能存在着复杂的非线性关系。
传统的线性分析方法已经不能完全满足对时间序列的分析需求，非线性动力学理论的引入为我们提供了一种新的分析时间序列的思路。
2. 李雅普诺夫指数的概念李雅普诺夫指数是刻画动力学系统混沌行为的重要指标，它能够反映系统中微小扰动的增长率，从而揭示系统的混沌特性。
对于一维的时间序列数据，我们可以通过计算一维李雅普诺夫指数来揭示时间序列的混沌特征。
3. 一维李雅普诺夫指数谱一维李雅普诺夫指数谱可以帮助我们更直观地了解时间序列的非线性动力学特征。
它能够给出时间序列中各个频率对应的李雅普诺夫指数，从而揭示时间序列在不同频率下的混沌特性，为我们深入分析和理解时间序列提供了重要的参考。
二、计算一维李雅普诺夫指数谱的步骤1. 数据预处理我们需要对时间序列数据进行预处理，包括数据清洗、去噪等操作。
在数据预处理的过程中，我们需要确保数据的准确性和完整性，以保证后续计算的准确性和可靠性。
2. 计算傅里叶变换接下来，我们需要对预处理后的时间序列数据进行傅立叶变换，将时间序列数据转换到频域中。
通过傅立叶变换，我们可以将时间序列从时域转换到频域，从而得到时间序列在不同频率下的分量。
3. 计算相空间重构在得到时间序列在不同频率下的分量之后，我们需要进行相空间重构，将时间序列的不同分量映射到相应的高维空间中。
相空间重构是计算一维李雅普诺夫指数谱的关键步骤，它能够帮助我们更好地理解时间序列的非线性动力学特征。
基于神经网络的Lyapunov指数谱的计算
(1) 所示系统的全部L yap unov 指数Ζ
α 收稿日期: 1999212221 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
10
系统工程理论与实践
2001 年 8 月
从实验观察到的数据确定系统的 L yap unov 指数, 可采用W o lf 方法[3]和 BBA [4]方法等Λ 其中W o lf 方 法仅适用于求系统的最大 L yap unov 指数, BBA 法可求出系统的全部 L yap unov 指数, 但此种方法运算量 很大, 而且需要的数据点很多, 使其应用受到很大限制Λ本文利用B P 神经网络能够任意逼近非线性函数的 性质, 用于求解实验观察数据的全部 L yap unov 指数, 可克服上述困难Λ
A (i)Q (i - 1) = Q (i)R (i)
(16)
式中, Q (i) 为正交矩阵, R (i) 为上三角矩阵, Q (0) 是 d ×d 阶单位矩阵Ζ 按 (16) 式所示过程 Q R 分解 N 次,
得到矩阵 A 的 Q R 分解如下:
A = Q (N ) R (N ) R (N - 1) …R (1)
第8期
基于神经网络的L yap unov 指数谱的计算
11
Χk1 =
5Χ 5x k, 1
,
Χk2
=
5Χ 5x k, 2
,
…,
Χkd
=
5Χ 5x k, d
(11)
确定雅可比矩阵D F (k) 的过程即为确定 (11) 式的过程Ζ
(9) 式表明, 对于重构的相空间向量 y (k ) , 它在 k 时刻的微小变化 ∃y (k ) , 在雅可比矩阵D F (k ) 的作用
-Lyapunov指数的计算方法
【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。
关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。
（1）定义法定义法求解Lyapunov指数.JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。
以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数% a=0.15,b=0.20,c=10.0% dx/dt = -y-z,% dy/dt = x+ay,% dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化，必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;1 a 0;z 0 x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码：% 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = [1,1,1];orthmatrix = [1 0 0;0 1 0;0 0 1];a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; % 时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);% 取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];%正交化y0 = ThreeGS(y0);% 取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);lp = lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0';end% 作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 为3*3向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为———— 0.063231 0.092635 -9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.09 0 -9.77需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。
基于Lyapunov指数的时间序列PPT文档共29页
4.2 最大Lyapunov指数计算
4.3 混沌预测
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.4 结果分析
六、结论
本文基于Lyapunov指数，对混沌时间序 列进行预测方法的研究。首先基于混沌时间 序列，合理选择嵌入维数和嵌入时间延迟， 完成相空间重构。其次，计算Lyapunov指数。 Wolf法计算最大Lyapunov指数概念明确，思 路清晰，原理相对简单，因此本文选择Wolf 法来求取最大Lyapunov指数的值。经过验证， 求取的Lyapunov指数值大于零，根据混沌信 号特性，说明此时产生了混沌，需要研究混 沌序列预测方法。
SUMMER TEMPLATE
基于Lyapunov指数的时间序列
基于Lyapunov指数的时间序列
班级： 姓名： 指导老师：
定理1.3
定义1.3说明混沌映射具有三个要素:不可 预测性，不可分解性以及具有规律性。
（2）、混沌的特征
混沌具有内在随机性 混沌具有分性特征 混沌具有标度不变性，是一种无周期的
通过跟踪邻近点的演化轨迹实现当
前点的状态预测，短期预测可以达到提 高预测精度。这其中邻近点的选择对预 测结果影响很大。本文采取最小距离点 作为邻近点，利用其在相空间中的演化 趋势预测当前点的演化行为，仿真结果 说明了本文方法的有效性。针对本文经 过相空间重构，和Lyapunov指数的计算， 并且基于Lyapunov指数完成了混沌预测， 得到了初步预测结果。
七、致谢
在本次毕业设计过程中，我遇到了不少的困难， 但是越是在困难的时候，就越能感受的老师和同学的 关心。
每当遇到困难时，李世涛老师都会帮我分析，给出 最合适的解决方法。而且还会不定时的检查我的设计 进展，及时指出系统的问题，使我少走了很多弯路。 在翻译，开题报告等方面，对我们也是严格要求，让 我们提前交，然后老师会给我们纠正不规范的地方， 然后再改再纠正。李世涛老师这种严谨的态度，对学 生的认真负责，让我深深地感动。
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基于神经网络的时间序列Lyapunov指数普的计算设计目录摘要 (I)Abstract............................................................... I I 第一章绪论. (1)1.1 引言 (1)1.2 Lyapunov计算方法的定义 (2)第二章基于神经网络的Lyapunov指数谱的计算 (3)2.1 相空间重构 (3)2.2 Oseledec矩阵的确定 (3)2.3 QR分解 (5)2.4 小波神经网络 (6)2.5 基于RBF神经网络的Lyapunov指数谱计算方法 (9)2.6 Lyapunov指数实验计算代码 (10)2.6.1确定嵌入维数 (10)2.6.2确定延迟时间 (10)2.6.3计算Lyapunov指数普 (11)2.7 Lyapunov指数仿真实验结果 (13)2.7.1 实验一 (13)2.7.2 实验二 (14)小结 (17)总结 (18)参考文献 (19)致谢 (20)摘要Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。
对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的Lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。
利用RBF 神经网络的非线性函数逼近能力, 由实验观察数据列计算系统的Lyapunov指数谱实例计算表明, 此种方法精度较高且计算量较小, 有重要的实际意义.关键词: Lyapunov 指数谱; 相空间重构; 人工神经网络AbstractLyapunov exponent is an important measure of system dynamics quantitative indicators, It is characterized by the average rate in the phase space between adjacent tracks convergence or divergence. For the existence of chaotic dynamics, can be very intuitive judgment from the largest Lyapunov exponent is greater than zero: a positive Lyapunov exponent, means that the system in phase space, regardless of the initial two-rail line spacing, however small, the difference will cannot predict As time evolved exponential increase in the rate of so reached, which is chaos. Lyapunov exponents are one of a number of parameters that characterize the nature of a chaotic dynamical system. We calculate the Lyapunov exponents from an observed time series based on the ability that a RBF neural network can approximate nonlinear functions. The results show that this method needs less computing time and has higher precision, so it has practical significance.Keywords: Lyapunov exponents;Reconstruction of phase space;Artificial neural network第一章绪论1.1引言混沌系统的基本特点就是系统对初始值的极端敏感性，两个相差无几的初值所产生的轨迹，随着时间的推移按指数方式分离，Lyapunov指数[1]就是定量的描述这一现象的量。
Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。
对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来:一个正的Lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。
Lyapunov指数的和表征了椭球体积的增长率或减小率,对Hamilton系统,Lyapunov指数的和为零; 对耗散系统,Lyapunov指数的和为负。
如果耗散系统的吸引子是一个不动点,那么所有的Lyapunov指数通常是负的。
如果是一个简单的m维流形(m = 1或m = 2分别为一个曲线或一个面) ,那么,前m个Lyapunov指数是零,其余的Lyapunov指数为负。
不管系统是不是耗散的,只要λ1 > 0就会出现混沌。
在非线性动力系统分析中,系统的全部Lyapunov指数称为Lyapunov指数谱,它表示相空间中每一维相邻轨道如何随时间分离,具有拓扑映射不变性,且与系统的初始状态无关,是对系统进行刻划和分类的重要指标需确定Lyapunov指数的系统分为两种情况,一种情况是已知系统满足的微分方程或映射关系,另一种情况是只知道实验观察到的数据L在这两种情况下,人们确定其Lyapunov指数的方法不同，对第一种情况,可有规范的方法精确求出系统的Lyapunov指数。
假设系统的映射关系为:W (k + 1) = £(W (k ) ) (1-1)轨道的扰动满足:δW (k + 1) =δ F (W (k ) ) δW (k ) (1-2)其中,£是D维空间的映射ZD£(W ) 是D ×D 阶雅可比矩阵,选择一初始状态, 可得到l个矩阵的乘积:D £l = D £ ( l) • D £ ( l - 1) •••D £(1) (1-3) 其中,D £ (k ) = D £(W (k ) ) Z 根据Oseledec 乘积遍历性定理[13] , 系统的Lyapunov 指数谱为矩阵 (1-4) 本征值的对数。
其中T 表示矩阵的转置。
可利用数值方法求出(1-4)式所示矩阵的本征值,进而求出由映射。
从实验观察到的数据确定系统的Lyapunov 指数, 可采用Wolf 方法[5]和BBA[4 ]方法等。
其中Wolf 方法仅适用于求系统的最大Lyapunov 指数,BBA 法可求出系统的全部Lyapunov 指数,但此种方法运算量很大,而且需要的数据点很多,使其应用受到很大限制。
1.2 Lyapunov 计算方法的定义设在x 点平均每次迭代所引起的指数分离中的指数为)(x λ，显然当0)(>x λ时，动力系统关于点x 具有敏感的依赖性。
)(x F k 为初始点经过k 次迭代后的相点，于是原相距ξ的两点经过k 次迭代后相距为)()()(x F x F e k k x k -+=ξξλ (1-8) 取极限0→ξ，∞→k ，得：(1-9) 根据这一原理可以采取跟踪初值相近的两个邻近点演化轨道距离的变化来估计Lyapunov 指数。
根据初始邻近点的选取，以及跟踪方法的不同又有不同的计算方法。
ξξλξ)()(ln1lim lim )(0x F x F n x k k k -+=→∞→第二章 基于神经网络的Lyapunov 指数谱的计算2.1 相空间重构在实验中，对一个多维系统的测量，往往得到的只是一维时间序列。
假设对一个确定的动力系统的观测函数为)(t x ，经过采样后，得到一个单变量的时间序列，D N n n x ,,2,1)},({ =其中)}({n x 表示τn t +0时刻的观测值，τ为采样时间间隔，0t 为采样起始时间。
利用时滞方法可以通过这样一个时间序列在d 维欧式空间构造一条轨道)(n y ：)])1((,),(),([)(T d n x T n x n x n y -++=T d N n D )1(,,2,1--= (2-1) 其中d 称为嵌入维数，T 为时滞，是τ的整数倍，T 的选取原则是使)(n y 与)(T n y +之间的相关性最小。
根据Taken 相空间重构定理[12]，一般的，如果12+>m d （其中m 为原来动力系统的相空间维数），那么得到的)(n y 就是原来动力学系统相应的一条轨道到d R 中的嵌入。
由此可以得到d R 上的一个动力学系统：))(()(k y F T k y =+ (2-2) 通过研究此系统的性质就可以了解原来动力学系统的性质。
需要指出的是，嵌入维12+>m d 只是相空间重构的充分条件，而非必要条件，确定嵌入维有很多种方法，比较常用的是Grassberger-Procaccia 相关积分法[13]。
2.2 Oseledec 矩阵的确定（2-2）式的映射关系可以写成以下形式：(2-3)令)(1,k x x k =，)(2,T k x x k +=，…，))1((,T d k x x d k -+=，)(1,T k x x T k +=+， )2(2,T k x x T k +=+，…，)(,dT k x x d T k +=+显然有关系：(2-4)其中γ是未知映射，若（2-2）式出现微小扰动，则可以得到：)()()(k y k F D T k y ∆=+∆ (2-5) 其中)(k F D 为映射F 的雅科比矩阵，其形式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+++),,,(,2,1,,3,2,2,1,d k k k d T k k T k k T k x x x x x x x x γ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-kd d k k k k k F D γγγγγ)1(321100000010000010)((2-6)上述矩阵的最后一行满足：(2-7) 确定雅科比矩阵)(k F D 的过程即为确定（2-7）式的过程。
（2-5）式表明，对于重构的相空间向量)(k y ,它在k 时刻的微小变化)(k y ∆，在雅科比矩阵)(k F D 的作用下，将反映到T k +时刻重构的相空间向量)(T k y +取值的微小变化。