7.5(1)画角的和、差、倍

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六年级下册数学教案-第七章《线段与角的画法》｜沪教版

ABBAACCAABBAa六年级下册数学教案－第七章《线段与角的画法》｜沪教版7.1线段的大小的比较学习目标：初步把握线段大小比较的一样方法并会用数学符号表示；会用直尺、圆规等学习工具画一条线段等于已知线段，初步体验差不多的作图语句；3、把握两点间距离的概念，并明白得“两点之间线段最短”的意义．学习过程：一、线段、射线、直线 1、线段的表示方法：（1）我们能够用两个大写英文字母表示一条线段的两个端点.如图，记作：线段AB 或线段BA（2）用一个小写英文字母表示.如图，记作：线段a .2、线段的延长线：线段向一方延伸的部分叫做线段的延长线.延长线段AB 或反向延长线段BA. 延长线段BA 或反向延长线段AB.3、射线的表示方法：线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线.如图，记作：射线AC.点A 叫做射线AC 的端点，一条射线只有一个端点. 假如只显示端点A ，不显示点C ，依旧用两个大写英文字母表示.如图，记作射线AC.4、直线的表示方法：线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线.如图，记作：直线AB 或直线BA假如不显示点A 、点B ，依旧用两个大写英文BEDQPABlba 字母表示.如图，记作：直线AB 或直线BA也能够用一个小写英文字母表示.如图，记作：直线l.试一试： 1、填表：图形名称图形语言符号语言端点个数线段m直线b2、依照要求画图：如图，已知线段AB ，延长线段AB 到点C ，使AC=5cm ，反向延长线段AB 到点D ，使AD=2cm.操作：画线段AB 和CD ，使端点A 与端点C 重合，线段AB 与线段C D 叠合. 这时端点B 有几种可能的位置情形？例题1 如图,已知线段a , 用圆规、直尺画出线段AB , 使得AB =a . 例题2 先观看估量图中线段a ，b 的大小，然后用比较线段大小的方法验证你的估量，并用“ ”符号连结.例题3 如图，在教学楼到活动室之间有三条小路，假如把教学楼和活动室看作点，那么小路1是通过这两点的一条线段，请画出小路1，活动室_____确定一条____________________线段.联结两点的________的_________叫做两点之间的________._______________________最短.巩固练习：1、比较下列各图中两条线段AB与CD的大小.[来源:学&科&网]2、已知线段AB、CD，AB>CD,(1)假如将CD移动到AB的位置，使点C与点A重合，CD与AB叠合，那么点D的位置状况是__________________(2)假如将AB移动到CD的位置，使点A与点C重合，AB与CD叠合，那么点B的位置状况是__________________3、下列叙述正确的是（）A、联结两点的直线叫做两点之间的距离.B、联结两点的线段叫做两点之间的距离.C、联结两点的直线的长度叫做两点之间的距离.D、联结两点的线段的长度叫做两点之间的距离.7.2 画线段的和、差、倍学习目标：1、能用等式表示两条线段的和、差、倍关系并把握用直尺、圆规作线段的和、差、倍；2、明白得线段的中点的意义，能用数学符号语言表示线段的中点并能用直尺、圆规作线段中点；学习过程：一、新课探究1、观看：如图所示，A、B、C三点在一条直线上，1）图中有几条线段？2）这几条线段之间有如何样的等量关系？两条线段能够_____________，它们的和（或差）也是___________,其长度等于这两条线段_________的和（或差）.( )( )( )练习1：（书第90页练习7.2第1题）例题1：如图,已知线段a 、b ,（1）画出一条线段 , 使它等于a b +；（2）画出一条线段 , 使它等于a b -.解：（1） ①画___________；②在_________上顺次截取______________________；（2） ①画_____________；②在___________上截取_______，在_________ 上截取___________；摸索1：已知线段a ，类比乘法的意义，你能讲出2a ，3a ，……，na （n 为正整数，且1n >）的含义吗？例题2 如图,已知线段a 、b ,画出一条线段，使它等于2a b -.摸索2：如图，已知线段AB ，你能否在线段AB 的上找一点C ，使点C 把线段AB 分成相等的两条线段？将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点. 若已知点M 是线段AB 的中点，你能得到哪些等量关系？练习2：（书第90页练习7.2第2题）练习3（书第91页练习7.2第4题） 7.3 角的概念与表示学习目标：1、明白角的有关概念；2、把握角的四种表示方法；3、在用含方向角的射线表示方向的过程中，感受实际问题与数学问题间的互相转化.学习过程：一、角的概念abaDAB CEFHG ( )( )( )30︒45︒30︒CB AONSE W西东南北角是具有公共端点的两条射线组成的图形. [来源:学,科,网Z,X,X,K] 角的形成过程：操作：把圆规的两只脚由并在一起到逐步把一只脚旋转到另一个位置. 角是由___________绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形. 初始位置的那条射线叫做角的________，终止位置的那条射线叫做角的_________.角的始边转动到角的终边所通过的平面部分，叫做角的内部，简称角内，余下部分是角的外部，简称角外.二、角的表示方法（1）分别说出∠ABC 、∠POQ 、∠XYZ 的顶点和边.角 ∠ABC ∠POQ ∠XYZ 顶点边（2）专门地：我们书中所说的角，如不加以说明是指小于平角的角.（周角除外）反馈练习:1、用一个大写字母或一个希腊字母表示图中的角.2、图中共有（）个角，并分别表示出来. 三、方位角读法： 1、点A 在点O 的_____________方向2、点B 在点O 的_____________方向3、点C 在点O 的_____________方向4、画出表示南偏东50°的射线OP7.4角的大小的比较、画相等的角（1）学习目标：1、把握角的大小的比较方法；2、会使用量角器画角.学习过程：一、学习新课：1、如何样比较两个角的大小？方法一：_______________2、使用量角器的操作方法：（1）将量角器的中心点与角的顶点重合；（对中）（2）将量角器的零度刻度线与角的一边重叠；（对边）（3）看角的另一边落在量角器的什么刻度线上。

八年级数学上册 7.5.1 三角形内角和定理教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中八年级上册数

课题：三角形内角和定理教学目标：1.掌握“三角形内角和定理”，理解三角形内角和定理的证明方法及证明过程.2．灵活运用三角形内角和定理解决相关问题.3．通过猜想、推理等数学活动，探究三角形内角和定理的证明思路和过程，初步体会辅助线在证明中的作用．教学重点与难点：重点：三角形内角和定理及其证明.难点：三角形内角和定理的证明及灵活应用解决相关问题.课前准备：多媒体课件、三角形纸板等 .一、创设情境，复习引入问题1：平行线的性质？问题2：证明一个命题有哪些步骤？问题3: 关于三角形的知识，你都知道哪些呢？问题4：如图，按规定，一块模板中AB、CD的延长线应相交成85°角．因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC=32°，∠DCA=65°，此时AB、C D的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？处理方式：教师出示题目，学生回答问题，问题的设置不仅起到复习的目的，也为新课的引入做了铺垫．预设学生回答．1．两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角相等．2．证明一个命题的一般步骤:（1）分清命题的条件和结论，根据题意，画出图形．（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证．（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．3．三角形两边之和大于第三边；三角形具有稳定性；三角形按角分为直角三角形，锐角三角形和钝角三角形；三角形按边分为不等边三角形、等边三角形和等腰三角形；三角形三个内角和为180°．．．．．．4．不符合规定．延长AB、CD交于点O，∵△AOC中，∠BAC=32°，∠DCA=65°，∴∠AOC=180°-∠BAC-∠DCA=180°-32°-65°=83°＜80°，∴模板不符合规定．师导语：三角形的内角和从小学就开始学习，七年级又有了新的认识，这一节课我们将进一步通过动手操作、观察、合作、交流探究等方法来验证这一定理，并通过这一定理来解决有关问题．设计意图：设置问题情景，与学生前面所学知识紧密相连，在教学过程设计上从学生熟悉的知识创设情境，让学生简单地对三角形内角和的知识加以回忆，激发学生探究三角形内角和的兴趣．二、情境再现，探究新知（一）探索三角形内角和等于180°我们知道，三角形内角和等于180°．1．你还记得这个结论的探索过程吗？2．如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能说明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？处理方式：对于第一个问题教师引导学生可以用量角器测量，用准备好的三角形纸片或三角形纸板进行折叠或剪拼，完成后小组讨论并展示结果．对于第二个问题，教师结合学生的完成情况，让学生代表说出结论和思路，针对学生的回答教师给予肯定和补充．预设学生回答：1．（1）用测量的方法：由于误差原因，有时可能不是180°．（2）用折纸的方法：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合，最后得图示的结果．（3）用剪拼（撕纸）的方法：剪三个角，拼成一个平角；剪两个角，也是拼成一个平角；剪一个角，构造平行线，利用平行线判定和性质说明．2．构造平行线，可得同样效果．设计意图：在回忆中学习，在学习中探索，在探索中验证，通过学生亲身经历的探索活动，让学生进一步理解验证三角形内角和等于180°，不仅调动小组愉快的合作学习，也激发学生的学习兴趣．（二）证明三角形内角和等于180°根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说“三角形内角和等于180°”这一结论的证明思路吗？处理方式：结合探索三角形内角和，引导学生小组完成问题，学生发言后教师总结并板书证明过程及三角形内角和定理．已知：如图，△ABC．求证:∠A+∠B+∠C=180°。

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预初六年级（一）第一章数的整除1、整数和整除1.1整数和整除的意义1.2因数和倍数1.3能被2,5整除的数2、分解素因数1.4 素数、合数与分解素因数1.5 公因数与最大公因数1.6 公倍数与最小公倍数第二章分数1、分数的意义和性质2.1 分数与除法2.2 分数的基本性质2.3 分数的大小比较2、分数的运算2.4 分数的加减法2.5 分数的乘法2.6 分数的除法2.7 分数与小数的互化2.8 分数、小数的四则混合运算2.9 分数运算的应用第三章比和比例1、比和比例3.1 比的意义3.2 比的基本性质3.3 比例2、百分比3.4 百分比的意义3.5 百分比的应用3.6 等可能事件第四章圆和扇形1、圆的周长和弧长4.1圆的周长4.2弧长2、圆和扇形的面积4.3圆的面积4.4扇形的面积六年级（二）第五章有理数1、有理数5.1有理数的意义5.2数轴5.3绝对值2、有理数的运算5.4有理数的加法5.5有理数的减法5.6有理数的乘法5.7有理数的除法5.8有理数的乘方5.9有理数的混合运算5.10科学记数法第六章一次方程（组）和一次不等式（组）1、方程与方程的解6.1 列方程6.2 方程的解2、一元一次方程6.3 一元一次方程及其解法6.4 一元一次方程的应用3、一元一次不等式（组）6.5 不等式及其性质6.6 一元一次不等式的解法6.7 一元一次不等式组4、一次方程组6.8 二元一次方程6.9 二元一次方程组及其解法6.10 三元一次方程组及其解法6.11 一次方程组的应用第七章线段和角的画法1、线段的相等与和、差、倍7.1 线段的大小比较7.2 画线段的和、差、倍2、角7.3 角的概念与表示7.4 角的大小的比较、画相等的角7.5 画角的和、差、倍7.6 余角、补角第八章长方体的再认识1、长方体的元素2、长方体的直观图的画法3、长方体中棱与棱位置关系的认识4、长方体中棱与平面位置关系的认识5、长方体中平面与平面位置关系的认识初中七年级（一）第九章整式1、整式的概念9.1 字母表示数9.2 代数式9.3 代数式的值9.4 整式2、整式的加减9.5 合并同类项9.6 整式的加减3、整式的乘法9.7 同底数幂的乘法9.8 幂的乘方9.9 积的乘方9.10 整式的乘法4、乘法公式9.11 平方差公式9.12 完全平方公式5、因式分解9.13 提取公因式法9.14 公式法9.15 十字相乘法9.16 分组分解法6、整式的除法9.17 同底数幂的除法9.18 单项式除以单项式9.19 多项式除以单项式第十章分式1、分式10.1 分式的意义10.2 分式的基本性质2、分式的运算10.3 分式的乘除10.4 分式的加减10.5 可以化为一元二次方程的分式方程10.6 整数指数幂及其运算第十一章图形的运动1、图形的平移11.1 平移2、图形的旋转11.2 旋转11.3 旋转对称图形与中心对称图形11.4 中心对称3、图形的翻转11.5 翻折与轴对称图形11.6 轴对称七年级（二）第十二章实数1、实数的概念12.1 实数的概念2、数的开方12.2 平方根和开方根12.3 立方根和开立方12.4 几次方根3、实数的运算12.5 用数轴上的点表示实数12.6 实数的运算4、分数指数幂12.7 分数指数幂第十三章相交线，平行线1、相交线13.1 邻补角、对顶角13.2 垂线13.3 同位角、内错角、同旁内角2、平行线13.4 平行线的判定13.5 平行线的性质第十四章三角形1、三角形的有关概念及性质14.1 三角形的有关概念14.2 三角形的内角和2、全等三角形14.3 全等三角形的概念与性质14.4 全等三角形的判定3、等腰三角形14.5 等腰三角形的性质14.6 等腰三角形的判定14.7 等边三角形第十五章平面直角坐标系1、平面直角坐标系15.1 平面直角坐标系2、直角坐标系平面内点的运动15.2 直角坐标系平面内点的运动八年级（一）第十六章二次根式1 二次根式的概念及性质16.1 二次根式16.2 最简二次根式和同类二次根式2 二次根式的运算16.3 二次根式的运算第十七章一元二次方程1 一元二次方程的概念17.1 一元二次方程的概念2 一元二次方程的解法17.2 一元二次方程的解法17.3 一元二次方程根的判别式3 一元二次方程的应用17.4 一元二次方程的应用第十八章正比例函数和反比例函数1 正比例函数18.1 函数的概念18.2 正比例函数2 反比例函数18.3 反比例函数3 函数的表示法18.4 函数的表示第十九章几何证明1 几何证明19.1 命题和证明19.2 证明举例2 线段的垂直与角的平分线19.3 逆命题和逆定理19.4 线段的垂直平分线19.5角的平分线19.6 轨迹3 直角三角形19.7 直角三角形全等的判定19.8 直角三角形的性质19.9 勾股定理19.10 两点的距离公式八年级（二）第二十章一次函数1 一次函数的概念20.1 一次函数的概念2 一次函数的图像与性质20.2 一次函数的图像20.3 一次函数的性质3 一次函数的应用20.4 一次函数的应用第二十一章代数方程1 整式方程21.1 一次整式方程21.2 特殊的高次方程的解法2 分式方程21.3 可化为一元二次方程的分式方程3 无理方程21.4 无理方程4 二元二次方程组21.5 二元二次方程和方程组21.6 二元二次方程组的解法5 列方程（组）解应用题21.7 列方程（组）解应用题第二十二章四边形1 多边形22.1 多边形2 平行四边形22.2 平行四边形22.3 特殊的平行四边形3 梯形22.4 梯形22.5 等腰梯形22.6 三角形、梯形的中位线4 平面向量及其加减运算22.7平面向量22.8 平面向量的加法22.9平面向量的减法第二十三章概率初步1 事件及其发生的可能性23.1 确定事件和随机事件23.2 事件发生的可能性2 事件的概率23.3 事件的概率23.4 概率计算举例九年级（一）第24章相似三角形1 相似形24.1 放缩与相似形2 比例线段24.2 比例线段24.3 三角形一边的平行线3 相似三角形24.4 相似三角形的判定24.5 相似三角形的性质4 平面向量的线性运算24.6 实数与向量相乘24.7 向量的线性运算第25章锐角三角形1 锐角的三角比25.1 锐角的三角比的意义25.2 求锐角的三角比的值2 解直角三角形25.3 解直角三角形25.4 解直角三角形的应用第26章二次函数1 二次函数的概念26.1 二次函数的概念2 二次函数的图像26.2 特别二次函数的图像26.3 二次函数y=ax^2+bx+c的图像九年级（二）第27章圆与正多边形1 圆的基本性质27.1 圆的确定27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系27.3 垂径定理2 直线与圆、圆与圆的位置关系27.4 直线与圆的位置关系27.5 圆与圆的位置关系3 正多边形与圆27.6 正多边形与圆第28章统计初步1 统计的意义28.1 数据整理与表示28.2 统计的意义2 基本的统计量28.3 表示一组数据平均水平的量28.4 表示一组数据波动程度的量28.5 表示一组数据发布的量28.6 统计实习。

七年级数学下册第7章平面图形的认识(二)7.5 多边形的内角和与外角和作业设计 (新版)苏科版-

7.5 多边形的内角和与外角和一．选择题（共13小题）1．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是（）A．5°B．8°C．10°D．15°3．如图，将一X三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β4．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝（）A．130°B．120°C．110°D．100°5．星期天小明给在建筑工地的爸爸送工具，见一人字架，经测得∠1＝110°，则∠3比∠2大（）A．50°B．65°C．70°D．130°6．不是利用三角形稳定性的是（）A．自行车的三角形车架B．三角形房架C．照相机的三角架D．矩形门框的斜拉条7．一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（）A．8或9B．2或8C．7或8或9D．8或9或108．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（）A．4，3B．3，3C．3，4D．4，49．下列语句正确的是（）A．线段AB是点A与点B的距离B．过n边形的每一个顶点有（n﹣3）条对角线C．各边相等的多边形是正多边形D．两点之间的所有连线中，直线最短10．下列结论正确的是（）A．两直线被第三条直线所截，同位角相等B．三角形的一个外角等于两个内角的和C．多边形最多有三个外角是钝角D．连接平面上三点构成的图形是三角形11．如图，在六边形ABCDEF中，若∠A+∠B+∠C+∠D＝500°，∠DEF与∠AFE的平分线交于点G，则∠G等于（）A．55°B．65°C．70°D．80°12．用一些形状大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是（）A．三角形B．菱形C．正六边形D．正七边形13．下列组合不能密铺平面的是（）A．正三角形、正方形和正六边形B．正三角形、正方形和正十二边形C．正三角形、正六边形和正十二边形D．正方形、正六边形和正十二边形二．填空题（共8小题）14．在正三角形、正方形、正六边形、正八边形中，用相同的正多边形不能铺满地面的是．15．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正六边形和正十二边形，则第三个正多边形的边数是．16．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC的度数为．17．正十边形一个内角度数为．18．如图，在△ABC中，∠B＝63°，∠C＝51°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数°．19．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1＝度．20．分别根据下列图1、图2、图3中已知角的度数，写出相应∠α的度数．（1）；（2）；（3）21．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是．三．解答题（共5小题）22．如图所示，在四边形ABCD中，点E在BC上，AB∥DE，∠B＝78°，∠C＝60°，求∠EDC 的度数．23．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠C的外角∠ACD的平分线相交于点E，∠EBD＝30°，∠ECD＝65°，求∠A的度数．24．如图，在折纸活动中，小明制作了一X△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，求∠1+∠2的度数．25．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求这个多边形每一个内角的度数和它的边数．26．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2，探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为P4种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4+P4+P4＝×P4＝×P4＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种分割方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+P5+P5+P5═P5＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有种不同的分割方案．……【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形【分析】利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．【解答】解：设三个内角分别为2k、3k、4k，则2k+3k+4k＝180°，解得k＝20°，所以，最大的角为4×20°＝80°，所以，三角形是锐角三角形．故选：A．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”表示出三个内角求解更加简便．2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是（）A．5°B．8°C．10°D．15°【分析】依据直角三角形，即可得到∠BCE＝40°，再根据∠A＝30°，CD平分∠ACB，即可得到∠BCD的度数，再根据∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE进行计算即可．【解答】解：∵∠B＝50°，CE⊥AB，∴∠BCE＝40°，又∵∠A＝30°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠BCA＝×（180°﹣50°﹣30°）＝50°，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝50°﹣40°＝10°，故选：C．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．3．如图，将一X三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故选：A．【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．4．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝（）A．130°B．120°C．110°D．100°【分析】延长BO，交AC于点D，可得∠BOC＝∠C+∠ODC，∠ODC＝∠A+∠B，从而得出答案．【解答】解：延长BO，交AC于点D，∵∠BOC＝∠C+∠ODC，∠ODC＝∠A+∠B，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，∴∠BOC＝∠C+∠A+∠B＝20°+80°+30°＝130°．故选：A．【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．5．星期天小明给在建筑工地的爸爸送工具，见一人字架，经测得∠1＝110°，则∠3比∠2大（）A．50°B．65°C．70°D．130°【分析】由三角形的外角性质知∠3＝∠4+∠2，又已知∠1＝110°，根据平角的定义易得∠4，从而计算出∠3比∠2大多少．【解答】解：∵∠1+∠4＝180°，∠1＝110°，∴∠4＝70°．∵∠3＝∠2+∠4∴∠3﹣∠2＝∠4＝70°．故选：C．【点评】本题考查了三角形外角与内角的关系、平角的定义．三角形的外角与内角间的关系：外角与相邻内角互补；外角等于不相邻的两个内角的和．6．不是利用三角形稳定性的是（）A．自行车的三角形车架B．三角形房架C．照相机的三角架D．矩形门框的斜拉条【分析】利用三角形的稳定性进行解答．【解答】解：照相机的三角架不是利用其稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性，故选：C．【点评】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．7．一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（）A．8或9B．2或8C．7或8或9D．8或9或10【分析】根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．【解答】解：∵截去一个角后边数可以增加1，不变，减少1，∴原多边形的边数是7或8或9．故选：C．【点评】本题考查了多边形，关键是理解多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．8．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（）A．4，3B．3，3C．3，4D．4，4【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n ﹣2．【解答】解：对角线的数量＝6﹣3＝3条；分成的三角形的数量为n﹣2＝4个．故选：C．【点评】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．9．下列语句正确的是（）A．线段AB是点A与点B的距离B．过n边形的每一个顶点有（n﹣3）条对角线C．各边相等的多边形是正多边形D．两点之间的所有连线中，直线最短【分析】利用线段的性质和多边形的性质与特征，逐一判定即可．【解答】解：A、应是线段AB的长度是点A与点B之间的距离，故错误；B、过n边形的每一个顶点有（n﹣3）条对角线，故正确；C、各角相等，各边相等的多边形是正多边形，故错误；D、连接两点的所有连线中，线段最短，故错误．故选：B．【点评】此题考查多边形的意义与性质以及线段的意义与性质的运用．10．下列结论正确的是（）A．两直线被第三条直线所截，同位角相等B．三角形的一个外角等于两个内角的和C．多边形最多有三个外角是钝角D．连接平面上三点构成的图形是三角形【分析】根据平行线的性质定理，以及三角形的外角的性质定理，三角形的定义即可判断．【解答】解：A、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故选项错误；B、三角形的一个外角等于两个不相邻内角的和，故选项错误；C、多边形的外角和是360°，若外角的个数超过3个，则外角的和就超过360°，因而最多有3个外角，正确；D、连接平面上不在一条直线上的三点构成的图形是三角形，故选项错误．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质定理，以及三角形的外角的性质定理，是一个基础题．11．如图，在六边形ABCDEF中，若∠A+∠B+∠C+∠D＝500°，∠DEF与∠AFE的平分线交于点G，则∠G等于（）A．55°B．65°C．70°D．80°【分析】首先根据三角形的内角和定理，求出∠DEF与∠AFE的度数和是多少，进而求出∠GEF与∠GFE的度数和是多少；然后在△GEF中，根据三角形的内角和定理，求出∠G等于多少即可．【解答】解：六边形ABCDEF的内角和是：（6﹣2）×180°＝4×180°＝720°∵∠A+∠B+∠C+∠D＝500°，∴∠DEF+∠AFE＝720°﹣500°＝220°，∵GE平分∠DEF，GF平分∠AFE，∴∠GEF+∠GFE＝（∠DEF+∠AFE）＝×220°＝110°，∴∠G＝180°﹣110°＝70°．故选：C．【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角的计算，解答此题的关键是要明确：（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．12．用一些形状大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是（）A．三角形B．菱形C．正六边形D．正七边形【分析】分别求出三角形的内角和，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．【解答】解：A、三角形的内角和是180°，6个能密铺；B、菱形的内角和是360°，4个能密铺；C、正六边形每个内角为120度，能找出360度，能密铺；D、正七边形每个内角是：180°﹣360°÷°，不能整除360°，不能密铺．故选：D．【点评】本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．13．下列组合不能密铺平面的是（）A．正三角形、正方形和正六边形B．正三角形、正方形和正十二边形C．正三角形、正六边形和正十二边形D．正方形、正六边形和正十二边形【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．【解答】解：A、正三角形、正方形和正六边形，可以密铺平面，比如：2个正方形，一个正六边形，一个正三角形．本选项不符合题意；B、正三角形、正方形和正十二边形，可以密铺平面，比如：2个正三角形、一个正方形、一个正十二边形．本选项不符合题意；C、正三角形、正六边形和正十二边形，不能密铺平面．本选项符合题意；D、正方形、正六边形和正十二边形．可以密铺平面，比如：一个正方形、一个正六边形、一个正十二边形．本选项不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．二．填空题（共8小题）14．在正三角形、正方形、正六边形、正八边形中，用相同的正多边形不能铺满地面的是正八边形．【分析】根据平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片．可求解．【解答】解：∵正三角形的内角为60°，正四边形的内角为90°，正六边形的内角为120°，正八边形的内角为135°∴＝6，＝4，＝3，＝2∴用相同的正多边形不能铺满地面的是正八边形故答案为正八边形【点评】本题考查了平面图形镶嵌，关键是利用平面图形镶嵌的定义解决问题．15．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正六边形和正十二边形，则第三个正多边形的边数是四．【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．【解答】解：由于正六边形和正十二边形内角分别为120°、150°，∵360﹣（150+120）＝90，又∵正方形内角为90°，∴第三个正多边形的边数是四．故答案为四．【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．16．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC的度数为110°．【分析】运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；【解答】解：∵∠A＝40°．∴∠ABC+∠ACB＝140°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠BPC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×140°＝110°，故答案为：110°．【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理是解题的关键．17．正十边形一个内角度数为144°．【分析】利用正十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；再根据内角与外角的关系可求出正十边形的每个内角的度数；【解答】解：∵一个十边形的每个外角都相等，∴十边形的一个外角为360÷10＝36°．∴每个内角的度数为 180°﹣36°＝144°；故答案为：144°．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系．多边形的外角性质：多边形的外角和是360度．边形的内角与它的外角互为邻补角．18．如图，在△ABC中，∠B＝63°，∠C＝51°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数 6 °．【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC的度数，则∠EAC即可求解，然后在△ACD中，利用三角形内角和定理求得∠DAC的度数，根据∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC即可求解．【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝63°，∠C＝51°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣63°﹣51°＝66°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠EAC＝∠BAC＝33°，在直角△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣51°＝39°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝39°﹣33°＝6°．故答案为：6．【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，正确理解∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC是关键，此题难度不大．19．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1＝165 度．【分析】由题意得出∠CAD＝60°、∠B＝45°、∠CAB＝120°，根据∠1＝∠B+∠CAB可得答案．【解答】解：如图，由题意知，∠CAD＝60°，∠B＝45°，∴∠CAB＝120°，∴∠1＝∠B+∠CAB＝45°+120°＝165°，故答案为：165．【点评】本题主要考查三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．20．分别根据下列图1、图2、图3中已知角的度数，写出相应∠α的度数．（1）50°；（2）27°；（3）50°【分析】（1）根据三角形的外角的性质，可得答案；（2）根据三角形的内角和，对顶角相等，可得答案；（3）根据多边形的外角和，可得答案．【解答】解：（1）α＝140°﹣90°，解得α＝50°．（2）180°﹣（α+30°）＝180°﹣（21°+36°），解得α＝27°．（3）n边形外角和为360°，如图，∵∠1+∠α+120°+120°＝360°，∴120°+120°+（180°﹣110°）+α＝360°，解得α＝50°，故答案为：50°，27°，50°．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和、外角和是解题关键．21．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是540°或360°或180°．【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解．【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°＝540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°＝180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故答案为：540°或360°或180°．【点评】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键．三．解答题（共5小题）22．如图所示，在四边形ABCD中，点E在BC上，AB∥DE，∠B＝78°，∠C＝60°，求∠EDC 的度数．【分析】由AB∥DE可得∠B＝∠DEC＝78°，已知∠C＝60°，根据三角形内角和定理即可得∠EDC的度数．【解答】解：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC＝78°，∵∠C＝60°，∴∠EDC＝180°﹣∠C﹣∠DEC＝180°﹣78°﹣60°＝42°．故∠EDC的度数为42°．【点评】本题主要考查了平行线的性质及三角形内角和定理，比较简单．23．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠C的外角∠ACD的平分线相交于点E，∠EBD＝30°，∠ECD＝65°，求∠A的度数．【分析】根据∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，想办法求出∠ABC，∠ACB即可．【解答】解：∵CE是∠ACD的角平分线，∴∠ACD＝2∠ECD＝130°，∴∠ACB＝50°，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠EBC＝60°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣50°＝70°．【点评】本题考查三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．如图，在折纸活动中，小明制作了一X△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，求∠1+∠2的度数．【分析】先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．【解答】解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°，∴∠AED+∠ADE＝∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣75°＝105°，∴∠1+∠2＝360°﹣2×105°＝150°．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．25．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求这个多边形每一个内角的度数和它的边数．【分析】已知关系为：一个外角＝一个内角×，隐含关系为：一个外角+一个内角＝180°，由此即可解决问题．【解答】解：设这个多边形的每一个内角为x°，由题意，得：180﹣x＝x，解得：x＝140，∴边数为360÷（180﹣140）＝9，答：这个多边形的每一个内角的度数为140°，它的边数为9．【点评】本题主要考查多边形内角与外角，用到的知识点为：各个内角相等的多边形的边数可利用外角来求，边数＝360÷一个外角的度数．26．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2，探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为P4种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4+P4+P4＝×P4＝×P4＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种分割方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+P5+P5+P5═P5＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有42 种不同的分割方案．……【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）【分析】探究四：同理可得：P7＝P6+P5+2P4+P5+P6＝2P6+2×P6+2×P6＝3P6＝42（种）；【结论】根据四边形、五边形、六边形、七边形的对角线把图形分割成三角形的方案总结规律可得：P n＝P n﹣1；【应用】利用规律求得P8的值即可．【解答】解：探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，如图所示：不妨把分制方案分成五类：第1类：如图1，用A，G与B连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形，由探究三知，有P6种不同的分割方案，所以，此类共有P6种不同的分割方案．第2类：如图2，用A，G与C连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第3类：如图3，用A，G与D连接，先把七边形分割转化成1个三角形和2个四边形．由探究一知，有2P4种不同的分割方案．所以，此类共有2P4种分割方案．第4类：如图4，用A，G与E连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第5类：如图5，用A，G与F连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形．由探究三知，有P6种不同的分割方案．所以，此类共有P6种分割方案．所以，P7＝P6+P5+2P4+P5+P6＝2P6+2×P6+2×P6＝P6＝3P6＝42（种）．故答案为：18，42；【结论】：由题意知：P5＝×P4，P6＝P5，P7＝P6，…∴P n＝P n﹣1；【应用】根据结论得：P8＝×P7＝×42＝132．【点评】此题主要考查了多边形的对角线，图形变化类，研究了多边形对角线分割三角形的关系，关键是能够得到规律，有难度，注意利用数形结合的思想．。

沪教版数学六年级(下)一课一练及单元测试卷和参考答案

数学六年级（下）一课一练及单元测试卷目录第五章有理数3 5.1有理数的意义（1） 3 5.2 数轴（1） 7 5.3 绝对值（1） 11 5.4有理数的加法（1） 15 5.5有理数的减法（1） 19 5.6 有理数的乘法（1） 23 5.7 有理数的除法（1） 27 5.8 有理数的乘方（1） 31 5.9 有理数的混合运算（1） 35 5.10 科学记数法（1） 39六年级(下)数学第五章有理数单元测试卷一43第六章一次方程（组）和一次不等式（组）6.1 列方程（1） 47 6.2 方程的解（1） 51 6.3 一元一次方程及其解法（1） 55 6.4 一元一次方程的应用（1） 59 6.5 不等式及其性质（1） 63 6.6 一元一次不等式的解法（1） 67 6.7 一元一次不等式组（1） 716.8 二元一次方程（1） 75 6.9 二元一次方程组及其解法（1） 79 6.10 三元一次方程组及其解法（1） 83 6.11一次方程组的应用（1） 87 第六章一次方程（组）和一次不等式（组）单元测试卷一93第七章线段与角的画法7.1 线段的大小的比较（1） 97 7.2 画线段的和、差、倍（1） 101 7.3 角的概念与表示（1） 105 7.4 角的大小的比较画相等的角（1） 109 7.5 画角的和、差、倍（1） 113 7.6 余角、补角（1） 117 六年级(下)数学第七章线段和角的画法单元测试卷一121第八章长方体的再认识8.1 长方体的元素（1） 125 8.2 长方体直观图的画法（1） 127 8.3 长方体中棱与棱位置关系的认识（1） 129 8.4 长方体中棱与平面位置关系的认识（1） 131 8.5 长方体中平面与平面位置关系的认识（1） 133 六年级(下)数学第八章长方体的再认识单元测试卷一137 参考答案 141数学六年级（下）第五章有理数5.1有理数的意义（1）一、填空题1、在1、﹣1.2、﹣2.5、0、、、3.14中，负数有个。

苏教版七年级上册数学[角(基础)知识点整理及重点题型梳理]

苏教版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习角（基础）知识讲解【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的换算及运算；2. 掌握借助三角尺或量角器画角的方法，并熟悉角大小的比较方法；3. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；5. 掌握余角、补角及对顶角的概念及性质，会用其性质进行有关计算；6．了解方位角、钟表上有关角，并能解决一些实际问题．【要点梳理】要点一、角的概念及表示1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：在表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，再注上相应数字或字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角的比较与运算1.角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3.角的和、差关系如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1＋∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC ＝12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点三、余角、补角、对顶角1.余角与补角（1）定义：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．类似地，如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．2.对顶角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．要点诠释：(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线. （2）性质：对顶角相等．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念及表示1.下列语句正确的是 ( )A．两条直线相交，组成的图形叫做角．B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角．C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角．D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．【答案】C【解析】根据角的定义判断【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区别．举一反三：【变式】写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角； (3)图中共有几个角(小于180°).【答案】解：(1)能用一个字母表示的角∠A、∠C．(2)以B为顶点的角∠ABE、∠ABC、∠CBE．(3)图中共有7个角．类型二、角度制的换算2. 把25.72°用度、分、秒表示； (2)把45°12′30″化成度（精确到百分位）．【思路点拨】第(1)题中25.72°中含有两部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可．第(2)题中，45°12′30″含有三部分45°，12′和30″，其中45°已经是度，只要把12′和30″化成度即可．【答案与解析】解：(1)0.72°＝0.72×60′＝43.2′，0.2′＝0.2×60″＝12″，所以25.72°＝25°43′12″．(2)130300.560'⎛⎫'''=⨯=⎪⎝⎭，112.512.50.2160⎛⎫'=⨯ ⎪⎝⎭°≈°所以45°12′30″≈45.21°．【总结升华】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行，“越级”化单位容易出错．举一反三：【变式】 (1)把26.29°转化为度、分、秒表示的形式；(2)把33°24′36″转化成度表示的形式．【答案】 (1)26.29°＝26°＋0.29°＝26°＋0.29×60′＝26°＋17.4′＝26°＋17′＋0.4×60″＝26°17′＋24″＝26°17′24″(2)33°24′36″＝33°＋24′＋36×160'⎛⎫⎪⎝⎭＝33°＋24′＋0.6′＝33°＋24.6′＝33°＋24.6×160⎛⎫⎪⎝⎭°＝33.41°【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后再进行计算.类型三、角的比较与运算3.不用量角器，比较图1和图2中角的大小．(用“＞”连接)【思路点拨】图1中两角∠α、∠β均为锐角，因此，在不能测量的情形下，我们可以将图中的∠α向∠β平移，让∠α与∠β始边重合，观察终边的位置来比较角的大小．图2中的三个角按角的分类，∠1为锐角，∠2为直角，∠3为钝角，因此按照各自的范围就可以将它们的大小比较出来．【答案与解析】解：(1)如图所示，将∠α平移使∠α的始边与∠β的始边重合，发现∠α落在∠β内部，因此∠β＞∠α．(2)由图可知∠1是锐角，∠1＜90°，∠2是直角，即∠2＝90°，∠3是钝角，即90°<∠3＜180°，因此∠3＞∠2＞∠1．【总结升华】本例给出的两题是在不用量角器测量角的情况下比较角的大小，一种方法是叠合比较法，另外一种方法则是根据角的分类，由图形观察角的不同分类，按照常见的锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角来比较大小．举一反三：【变式】已知∠AOB(如图所示)，画一个角等于这个角．【答案】作法：如图，(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧l，交O′A′于点C′；(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，交弧l于点D′；(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．4. 如图所示，已知OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，OB是∠AOD的平分线，求∠AOD的度数．【答案与解析】解：因为OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，所以∠BOD＝2∠BOC=2×20°＝40°．又因为OB是∠AOD的平分线，所以∠AOD＝2∠BOD＝2×40°＝80°．【总结升华】应用角的平分线的定义时根据两点：若OB是∠AOC的平分线，则①∠AOB＝∠BOC＝12∠AOC；②∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，在解题时要学会灵活应用．【角 397364 角的有关计算例3】举一反三：【变式】已知：如图，OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOC=80︒，求：∠MON.【答案】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，∴∠MOB=12∠AOB，∠BON=12∠BOC.(角平分线的定义)∴∠MON=∠MOB＋∠BON=12∠AOB＋12∠BOC=12(∠AOB＋∠BOC)=12∠AOC=12×80︒=40︒ .即∠MON=40︒.类型四、余角、补角、对顶角5.（2016春•曹县校级月考）一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数．【思路点拨】这类题目要先设出这个角的度数．设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数．【答案与解析】解：设这个角为x°，则其余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°，依题意有180﹣x=2（90﹣x）+40，解得x=40．答：这个角的度数是40°．【总结升华】本题考查了余角和补角，是基础题，列出方程是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•崇左）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（）A． B．C．D．【答案】C．解：四个选项中，只有选项C满足∠1+∠2=90°，即选项C中，∠1与∠2互为余角．类型五、方位角及钟表上有关角问题6.（2015•浦东新区三模）已知小岛A位于基地O的东南方向，货船B位于基地O的北偏东50°方向，那么∠AOB的度数等于．【答案】85°．【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°，∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°，故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A，B的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键．7.计算： 4时15分时针与分针的夹角.【答案与解析】解法一：如下图，设4时15分时针与分针的夹角为∠α(注：夹角指小于180°的角)，时针转过的角度为：30°×4＋0.5°×15，分针转过的角度为：6°×15，所以∠α＝30°×4＋0.5°×15-6°×15＝37.5°．解法二：如上图，∠AOC＝30°×1＝30°，∠BOC＝0.5°×15＝7.5°．所以∠AOB＝37.5°．即4时15分时针与分针的夹角为37.5°．【总结升华】求钟表中时针与分针的夹角有两种方法：第一种方法利用时针与分针的每分钟转速求解，比如解法一；第二种方法直接根据图形求夹角，如解法二．。

七年级数学下册第7章 7.5 多边形的内角和与外角和课时练习(含答案解析)

7.5 多边形的内角和与外角和一．选择题1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（）A．120°B．105°C．60°D．45°2．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．193．过某个多边形一点顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形4．把一副三角板按如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．160°C．155° D．150°5．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形6．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）A．40°B．45°C．50°D．60°7．正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．88．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．αC．90°+αD．360°﹣α9．（2017•云南）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形10．（2017•临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形11．（2017•台湾）如图为互相垂直的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情形，若∠A=100°，∠B=∠D=85°，∠C=90°，则根据图中标示的角，判断下列∠1，∠2，∠3的大小关系，何者正确（）A．∠1=∠2＞∠3 B．∠1=∠3＞∠2 C．∠2＞∠1=∠3 D．∠3＞∠1=∠2 12．（2017•株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（）A．145°B．150°C．155° D．160°13．（2017•郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（）A．180°B．210°C．360° D．270°14．（2017•长沙）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形二．填空题15．（2017•广东）一个n边形的内角和是720°，则n=．16．（2017•西宁）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是．17．（2017•青海）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=．18．（2017•成都）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为．19．（2017•泰州）将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为．20．（2017•福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于度．21．（2017•南京）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D=°．三．解答题22．已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE．（1）当∠BAC=40°时，∠BPC=，∠BQC=；（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC 的度数．23．（1）阅读理解：如图1是二环三角形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°理由：连接A1A4∵∠1+∠2+∠A1OA4=180°∠A5+∠A6+∠A5OA6=180°又∵∠A1OA4=∠A5OA6∴∠1+∠2=∠A5+∠A6∴∠A2+∠3+∠1+∠2+∠4+∠A3=360°∴∠A2+∠3+∠A5+∠A6+∠4+∠A3=360°即S=360°（2）延伸探究：①如图2是二环四边形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A8=720°，请你加以证明②如图3是二环五边形，可得S=，聪明的你，能根据以上的规律直接写出二环n边形（n≥3的整数）中，S=度．（用含n的代数式表示最后的结果）24．分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：．（2）从十五边形的一个顶点可以引出条对角线，十五边形共有条对角线：（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．25．请你裁定，你一定要主持公道啊！小明和小方分别设计了一种求n边形的内角和（n为大于2的整数）的方案：（1）小明是在n边形内任取一点P，然后分别连接PA1，PA2，…，PA n（如图①）；（2）小方是在n边形的一边A2A3上任取一点P，然后分别连接PA1，PA4，…，PA n（如图②）．请你评判这两种方案是否可行；如果不可行，请你说明理由；如果可行，请你分别沿着两种方案的设计思路，求出n边形的内角和．26．探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．27．问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为．问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC=．请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；解决问题1：如图（3）已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，并说明理由；解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为．28．△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D．（1）如图1，求证：∠AIB=∠ADI；（2）如图2，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F．①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；②若∠BAC=70°，求∠F的度数．29．如图1，已知△ABC，射线CM∥AB，点D是射线CM上的动点，连接AD．（1）如图2，若∠ACB=∠ABC，∠CAD的平分线与BC的延长线交于点E．①若∠BAC=40°，AD∥BC，则∠AEC的度数为；②在点D运动的过程中，探索∠AEC和∠ADC之间的数量关系；（2）若∠ACB=n∠ABC，∠CAD内部的射线AE与BC的延长线交于点E，∠CAE=n ∠EAD，那么∠AEC和∠ADC之间的数量关系为．30．如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是180°”的结论．小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把∠1和∠2移动到∠3的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了．小明的证明过程如下：已知：如图，△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：延长BC，过点C作CM∥BA．∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠ACB=180°．请你参考小明解决问题的思路与方法，写出通过实验方法2证明该结论的过程．31．（1）如图①，你知道∠BOC=∠1+∠2+∠A的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明；（2）如图②，设x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E，运用（1）中的结论填空．x=；x=（3）如图③，一个六角星，其中∠BOD=80°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．参考答案与试题解析一．选择题1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（）A．120°B．105°C．60°D．45°【分析】先求出∠2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，∠2=90°﹣45°=45°，由三角形的外角性质得，∠1=∠2+60°，=45°+60°，=105°．故选B．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．2．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．19【分析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣1）边形．【解答】解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形．故选A．【点评】此题主要考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．3．过某个多边形一点顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，依此可得n的值．【解答】解：根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，∴n﹣2=5，即n=7．故选C．【点评】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．4．把一副三角板按如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．160°C．155° D．150°【分析】先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1，再求出∠α即可．【解答】解：如图，∠1=∠D+∠C=45°+90°=135°，∠α=∠1+∠B=135°+30°=165°．故选：A．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．5．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形【分析】利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．【解答】解：设三个内角分别为2k、3k、4k，则2k+3k+4k=180°，解得k=20°，所以，最大的角为4×20°=80°，所以，三角形是锐角三角形．故选A．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”表示出三个内角求解更加简便．6．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD﹣∠BPC=（x﹣40）°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP=∠PAC=50°．故选C．【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．7．正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角为135°，∴外角是180﹣135=45°，∵360÷45=8，则这个多边形是八边形，故选D．【点评】本题考查了外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，难度适中．8．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．αC．90°+αD．360°﹣α【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，关键是先求出∠ABC+∠BCD的度数．9．（2017•云南）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【分析】设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．【解答】解：设这个多边形是n边形，则（n﹣2）•180°=900°，解得：n=7，即这个多边形为七边形．故本题选C．【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．10．（2017•临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得（n﹣2）•180°=360°×2解得n=6．则这个多边形是六边形．故选：C．【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n ﹣2）•180°．11．（2017•台湾）如图为互相垂直的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情形，若∠A=100°，∠B=∠D=85°，∠C=90°，则根据图中标示的角，判断下列∠1，∠2，∠3的大小关系，何者正确（）A．∠1=∠2＞∠3 B．∠1=∠3＞∠2 C．∠2＞∠1=∠3 D．∠3＞∠1=∠2【分析】根据多边形的内角和与外角和即可判断．【解答】解：∵（180°﹣∠1）+∠2=360°﹣90°﹣90°=180°∴∠1=∠2∵（180°﹣∠2）+∠3=360°﹣85°﹣90°=185°∴∠3﹣∠2=5°，∴∠3＞∠2∴∠3＞∠1=∠2故选（D）【点评】本题考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练运用多边形的内角和与外角和，本题属于基础题型．12．（2017•株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（）A．145°B．150°C．155° D．160°【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，∴6x=180°，∴x=30°，∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，故选B．【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识，学会构建方程解决问题，属于基础题．13．（2017•郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（）A．180°B．210°C．360° D．270°【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可．【解答】解：∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F=∠2+∠D+∠3+∠F=∠2+∠3+30°+90°=210°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．14．（2017•长沙）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【分析】根据三角形内角和等于180°计算即可．【解答】解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，则x+2x+3x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，∴这个三角形一定是直角三角形，故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．二．填空题15．（2017•广东）一个n边形的内角和是720°，则n=6．【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．【解答】解：依题意有：（n﹣2）•180°=720°，解得n=6．故答案为：6．【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．16．（2017•西宁）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是9．【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得=40，解得n=9．故答案为9．【点评】本题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°，比较简单．17．（2017•青海）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=24°．【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可．【解答】解：正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，正方形的每个内角是：360°÷4=90°，正五边形的每个内角是：（5﹣2）×180°÷5=3×180°÷5=540°÷5=108°，正六边形的每个内角是：（6﹣2）×180°÷6=4×180°÷6=720°÷6=120°，则∠3+∠1﹣∠2=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）=30°+12°﹣18°=24°．故答案为：24°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．18．（2017•成都）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为40°．【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠A的度数为：40°．故答案为：40°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确表示出各角度数是解题关键．19．（2017•泰州）将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为15°．【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠α=60°﹣45°=15°，故答案为：15°．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．20．（2017•福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于108度．【分析】根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，∠4，根据等腰三角形的内角和，可得∠7，根据角的和差，可得答案．【解答】解：如图，由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，∠5=∠6=180°﹣108°=72°，∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，故答案为：108．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角是解题关键．21．（2017•南京）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D=425°．【分析】根据补角的定义得到∠AED=115°，根据五边形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵∠1=65°，∴∠AED=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°﹣∠AED=425°，故答案为：425．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．三．解答题22．已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE．（1）当∠BAC=40°时，∠BPC=70°，∠BQC=125°；（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC 的度数．【分析】（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC的度数．【解答】解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，∴∠CBP+∠BCP=（∠DBC+∠BCE）=110°，∴∠BPC=180°﹣110°=70°，∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，∴∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，∴∠QBC+∠QCB=55°，∴∠BQC=180°﹣55°=125°；故答案为：70°，125°；（2）∵BM∥CN，∴∠MBC+∠NCB=180°，∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∴（∠DBC+∠BCE）=180°，即（180°+∠BAC）=180°，解得∠BAC=60°；（3）∵∠BAC=120°，∴∠MBC+∠NCB=（∠DBC+∠BCE）=（180°+α）=225°，∴∠BOC=225°﹣180°=45°．【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．23．（1）阅读理解：如图1是二环三角形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°理由：连接A1A4∵∠1+∠2+∠A1OA4=180°∠A5+∠A6+∠A5OA6=180°又∵∠A1OA4=∠A5OA6∴∠1+∠2=∠A5+∠A6∴∠A2+∠3+∠1+∠2+∠4+∠A3=360°∴∠A2+∠3+∠A5+∠A6+∠4+∠A3=360°即S=360°（2）延伸探究：①如图2是二环四边形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A8=720°，请你加以证明②如图3是二环五边形，可得S=1080，聪明的你，能根据以上的规律直接写出二环n边形（n≥3的整数）中，S=360（n﹣2）度．（用含n的代数式表示最后的结果）【分析】在（1）的基础上类似作辅助线，把要求的所有角转换到一个多边形中，再根据多边形的内角和定理进行求解．【解答】解：（1）如图所示，则S=∠A1+∠A2+…+∠A8=S=∠A1+∠A2+…+∠A5+∠M+∠1+∠2=（6﹣2）×180°=720°．（2）依此类推，得是二环五边形时，则S=1080°；推而广之，二环n边形（n≥3的整数）时，S=360（n﹣2）．【点评】此题主要是巧妙构造辅助线把要求的角能够构造到一个多边形中．n边形的内角和是（n﹣2）×180°．24．分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S=n（n﹣3）．（2）从十五边形的一个顶点可以引出12条对角线，十五边形共有90条对角线：（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．【分析】（1）根据多边形对角线的条数的公式即可求解；（2）根据多边形对角线的条数的公式代值计算即可求解；（3）根据等量关系：一个多边形对角线的条数与它的边数相等，列出方程计算即可求解．【解答】解：如图所示：（1）用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S=n（n﹣3）；（2）十五边形从一个顶点可引出对角线：15﹣3=12（条），共有对角线：×15×（15﹣3）=90（条）；（3）设多边形有n条边，则n（n﹣3）=n，解得n=5或n=0（应舍去）．故这个多边形的边数是5．故答案为：S=n（n﹣3）；12，90．【点评】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有帮助．25．请你裁定，你一定要主持公道啊！小明和小方分别设计了一种求n边形的内角和（n为大于2的整数）的方案：（1）小明是在n边形内任取一点P，然后分别连接PA1，PA2，…，PA n（如图①）；（2）小方是在n边形的一边A2A3上任取一点P，然后分别连接PA1，PA4，…，PA n（如图②）．请你评判这两种方案是否可行；如果不可行，请你说明理由；如果可行，请你分别沿着两种方案的设计思路，求出n边形的内角和．【分析】两种方案都是可行的，方案一可按照思路：n个三角形的内角和减去一个周角的度数，方案二按照思路：（n﹣1）个三角形的内角和减去一个平角的度数．【解答】解：小明和小方的方案均可行．理由如下：小明的方案：n边形的内角和等于n个三角形的内角和减去一个周角，即n边形的内角和为n×180°﹣360°为（n﹣2）×180°；小方的方案：n边形的内角和等于（n﹣1）个三角形的内角和减去一个平角，即n边形的内角和为（n﹣1）×180°﹣180°为（n﹣2）×180°．【点评】本题考查了多边形的内角和，解答本题关键是仔细观察所给图形，利用三角形的内角和定理解答．26．探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．【解答】解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD=180°﹣∠ADC﹣∠ACD=180°﹣（∠ADC+∠ACD）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A；探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD=180°﹣∠ADC﹣∠BCD=180°﹣（∠ADC+∠BCD）=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）=（∠A+∠B）．【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．27．问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P．问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“外角的性质”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC=∠B+∠C．请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；解决问题1：如图（3）已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，并说明理由；解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为∠P=90°+（∠B+∠D）．【分析】问题1：根据三角形的外角的性质即可得到结论；问题2：根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；解决问题1：根据四边形的内角和等于360°可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；解决问题2：根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．【解答】解：问题1：连接PO并延长．则∠1=∠A+∠2，∠3=∠C+∠4，∵∠2+∠4=∠P，∠1+∠3=∠AOC，∴∠AOC=∠A+∠C+∠P；故答案为：∠AOC=∠A+∠C+∠P；问题2：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠2+∠B=∠3+∠P，∠1+∠P=∠4+∠D，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=×（28°+48°）=38°；解决问题1：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠4）+∠D，在四边形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，在四边形APCD中，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴∠P=180°﹣（∠B+∠D）；解决问题2：如图4，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1+∠2）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P=180°+∠D+∠B，∴∠P=90°+（∠B+∠D）．故答案为：∠P=90°+（∠B+∠D）．解法二：如图3，∵AP平分△AOB的外角∠FAD，CP平分△COD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，分别作∠BAD、∠BCD的角平分线交于点M，则∠5=∠6，∵∠1+∠2+∠5+∠6=180°，∴∠2+∠6=90°，即∠PAM=90°，同理：∠PCM=90°，∴在四边形APCM中，∠P+∠M=180°，由问题2，得∠M=（∠B+∠D）．∴∠P=180°﹣（∠B+∠D）．如图4中，作∠BCD的角平分线，交AP的延长线于点N，则∠1=∠2，由问题2，得∠N=（∠B+∠D）．∵CP平分△COD的外角∠BCE，∴∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠4=90°，即∠PCN=90°，∵∠APC=∠PCN+∠N∴∠APC=90°+（∠B+∠D）．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．28．△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D．（1）如图1，求证：∠AIB=∠ADI；（2）如图2，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F．①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；②若∠BAC=70°，求∠F的度数．【分析】（1）只要证明∠AIB=90°+∠ACB，∠ADI=90°+∠ACB即可；（2）①只要证明∠IDC=∠DCF即可；②首先求出∠ACE﹣∠ABC=∠BAC=70°，再证明∠F=∠ACE﹣∠ABC=（∠ACE ﹣∠ABC）即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AI、BI分别平分∠BAC，∠ABC，∴∠BAI=∠BAC，∠ABI=∠ABC，∴∠BAI+∠ABI=（∠BAC+∠ABC）=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，∴在△ABI中，∠AIB=180°﹣（∠BAI+∠ABI）=180°﹣（90°﹣∠ACB）=90°+∠ACB，∵CI平分∠ACB，∴∠DCI=∠ACB，∵DI⊥IC，∴∠DIC=90°，∴∠ADI=∠DIC+∠DCI=90°+∠ACB，∴∠AIB=∠ADI．（2）①解：结论：DI∥CF．理由：∵∠IDC=90°﹣∠DCI=90°﹣∠ACB，∵CF平分∠ACE，∴∠ACF=∠ACE=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，∴∠IDC=∠ACF，∴DI∥CF．②解：∵∠ACE=∠ABC+∠BAC，∴∠ACE﹣∠ABC=∠BAC=70°，∵∠FCE=∠FBC+∠F，∴∠F=∠FCE﹣∠FBC，∵∠FCE=∠ACE，∠FBC=∠ABC，∴∠F=∠ACE﹣∠ABC=（∠ACE﹣∠ABC）=35°【点评】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．29．如图1，已知△ABC，射线CM∥AB，点D是射线CM上的动点，连接AD．（1）如图2，若∠ACB=∠ABC，∠CAD的平分线与BC的延长线交于点E．①若∠BAC=40°，AD∥BC，则∠AEC的度数为35°；②在点D运动的过程中，探索∠AEC和∠ADC之间的数量关系；（2）若∠ACB=n∠ABC，∠CAD内部的射线AE与BC的延长线交于点E，∠CAE=n ∠EAD，那么∠AEC和∠ADC之间的数量关系为∠AEC=∠ADC．【分析】（1）①先根据三角形的内角和求∠ACB=70°，由平行线的性质得：∠DAC=70°，利用角平分线得：∠DAE=35°，最后利用平行线的内错角相等得结论；②设∠CAE=x，∠BAC=y，在△ACD和△ABE中根据三角形内角和表示∠ADC和∠AEC，可得结论；（2）如图3，设∠ABC=x，∠EAD=y，则∠ACB=nx，∠CAE=ny，在△ACE中根据外角的性质得：∠AEC=nx﹣ny=n（x﹣y），在△ADC中，根据三角形内角和可得∠ADC的度数，由此可得结论．【解答】解：（1）①如图2，∵∠BAC=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°，∵∠ACB=∠ABC，∴∠ACB=70°，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=70°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠DAC=×70°=35°，∵AD∥BC，∴∠AEC=∠DAE=35°，故答案为：35°；②∠ADC=2∠AEC，理由是：设∠CAE=x，∠BAC=y，则∠EAD=x，∠ABC=，∵AB∥CM，∴∠ACM=∠BAC=y，∴∠ADC=180﹣2x﹣y，△ABE中，∠AEC=180﹣x﹣y﹣=90﹣x﹣，。

六年级数学教材目录(沪教版)

六年级数学教材目录（沪教版）第一章数的整除第1节整数和整除1.1整数和整除的意义1.2因数和倍数1.3能被2，5整除的数第2节分解素因数1.4素数，合数与分解素因数1.5公因数与最大公因数1.6公倍数与最小公倍数拓展求三个整数的最小公倍数第二章分数第1节分数的意义和性质2.1 分数与除法2.2 分数的基本性质2.3 分数的大小比较第2节分数的运算2.4 分数的加减法2.5 分数的乘法2.6 分数的除法2.7 分数与小数的互化拓展无限循环小数与分数的互化2.8 分数，小数的四则混合运算2.9 分数运算的应用第三章比和比例第1节比和比例3.1 比的意义3.2 比的基本性质3.3 比例第2节百分比3.4 百分比的意义3.5 百分比的应用3.6 等可能事件第四章圆和扇形第1节圆的周长和弧长4.1 圆的周长4.2 弧长第2节圆和扇形的面积4.3 圆的面积4.4 扇形的面积第五章有理数第1节有理数5.1 有理数的意义5.2 数轴5.3 绝对值第2节有理数的运算5.4 有理数的加法5.5 有理数的减法5.6 有理数的乘法5.7 有理数的除法5.8 有理数的乘方5.9 有理数的混合运算5.10 科学计数法第六章一次方程（组）和一次不等式（组）第1节方程与方程的解6.1 列方程6.2 方程的解第2节一元一次方程6.3 一元一次方程及其解法6.4 一元一次方程的应用第3节一元一次不等式（组）6.5 不等式及其性质6.6 一元一次不等式的解法6.7 一元一次不等式组第4节一次方程组6.8 二元一次方程6.9 二元一次方程组及其解法6.10 三元一次方程组及其解法6.11 一次方程组的应用第七章线段与角的画法第1节线段的相等与和，差，倍7.1 线段的大小的比较7.2 画线段的和，差，倍第2节角7.3 角的概念和表示7.4 角的大小比较，画相等的角7.5 画角的和，差，倍7.6 余角，补角第八章长方体的再认识第1节长方体的元素第2节长方体直观图的画法第3节长方体中棱与棱位置关系的认识第4节长方体中棱与平面位置关系的认识第5节长方体中平面与平面位置关系的认识。

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二、画角的和、差、倍
例题１：如图，已知∠α、∠β，画一个角，使它（1）等于∠α+∠β．（2）等于∠α-∠β
D
β α B C ∠ABD就是所要画的角. β α B A D A C 解：①用量角器画出∠ABC＝ ∠α; ②以点B为顶点，射线BC为一边，在∠ ABC 的外部用量角器画∠ 内部 CBD＝ ∠β 。
）
三、角的和、差、倍意义的简单应用
2.如图，已知∠ABD=（3x）°，∠DBE=（30+x）°, ∠CBE=（3x+10）°,且A、B、C在一直线上，求∠ABD的度数
D EΒιβλιοθήκη ABC三、角的和、差、倍意义的简单应用
3.利用一副三角尺可以画出哪些角度的角（小于平角）？
●本课小结
角的和﹑差。
两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的和（或差）。一个角的 n 倍也是一个角，它的度数等于这个角的度数的n倍用量角器画角的和、差、倍
BOC AOC AOB ________.
二、画角的和、差、倍
例题１：如图，已知∠α、∠β，画一个角，使它（1）等于∠α+∠β．
α
β
1.用量角器画 2.尺规作图
二、画角的和、差、倍
例题１：如图，已知∠α、∠β，画一个角，使它（1）等于∠α+∠β．
D
β α B A ∠ABD就是所要画的角. C 解：①用量角器画出∠ABC＝ ∠α; ②以点B为顶点，射线BC为一边，在∠ ABC 的外部用量角器画∠CBD＝ ∠β 。
7.5（1）画角的和、差、倍
●新课探知
C
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3 个角，它们分别如图，图中共有 ___
AOB, AOC, BOC 是________________________
B A
O
AOC 试一试： AOB BOC _______; BOC AOC _______; AOB __________
试一试：如果要画一个角等于2∠α-∠β呢？
既然能用量角器，不妨把α、 β量好后，把它们的度数相加、相减、n倍，然后直接画出符合条件的角。(n为正数)
三、角的和、差、倍意义的简单应用
1.根据图形填空：如图,∠AOB= ∠BOC= ∠COD,那么∠AOD= ∠AOC+（ =( )+∠BOD =（）+∠BOC+( ) =3( )