利用三角形内角平分线定理的逆定理更简单
数学八年级上册课件15.4角平分线第2课时 角平分线的性质定理及逆定理
C
P
O
EB
∴ △ PDO ≌ △ PEO，（AAS）
∴ PD=PE。（全等三角形的对应边相等）
知识梳理
证明几何命题的一般步骤： 1、明确命题的已知和求证； 2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知 和求证； 3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出 证明过程。
你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？
D
A
C P
E B
思考
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离 相等。那么到角的两边的距离相等的点是否在角 的平分线上呢？请说说你的想法及证明。
利用三角形全等，可以得到角的内部到角的两边 的距离相等的点在角的平分线上。
练习
1、如图， ∵ AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，
（在角的平分线上的点到这
直角三角形全等用
揭示概念
角平分线的概念：
一条射线 把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
A
1
C
o
2
B
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使
第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成 的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理 及逆定理
。。。。。。。。。。。。
学习目标
• 1、掌握角平分线定理及逆定理。 • 2、能利用角平分线定理及其逆定理解决几何图形中的
问题。 • 重点：角平分线的性质定理及其逆定理。
旧知回顾
三角形 全等的条件：
（1）定义（重合）法；
（2）解题 中常用的4 种方法
（3）HL
角平分线性质定理及逆定理-教学设计
为 E，老师一边说，师生共
同操作，让学生通过观察猜
想线段 PD 与线段 PE，线段
OC 与线段 OD 的数量关系。
3、 引导学生猜想当折痕与角
的的两边垂直时，线段 PD、
线段 PE 与边 OA、边 OB 的
关系，肯定它们的发现并引
导学生猜想通过这个特殊
的位置关系能得到什么结
论？
探究二：对上述猜想进行证明 已知： ____________________________________ __________________
求证：_______________ 证明：
角平分线性质定理：
1、 给学生留出时间和空间思 考如何把猜想变成现实。学 生讨论交流证明的方法。在 学生证明之前提示学生，怎 么把文字语言变成数学语 言，根据图形写出已知和求 证。
2、 小组讨论结束，选取证明 完成较好的一个同学的导 学案在多媒体展示，并让其 他同学质疑。
的角，这条
_
叫做这个角的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平分
线。
2、 点到直线的距离：从______外一点到
这条直线的_________长度，叫点到直
线的距离。
提问学生
1、 角平分线的定义是什么？ 2、 点到直线的距离是什么？ 板书：
C
O
A
通过角的定义你也可以从中
得到哪些角的数量关系?
复习旧知， 引入新课。激 发学生学习 兴趣和求知 欲。
角平分线的性质定理及逆定理的证明及运用。
灵活应用角平分线的性质定理及逆定理解决问题。
动手操作、小组合作、多媒体、导学案导学
教学过程设计
教学内容
教学方式
板书标题，课件出示学习目标、
学习重点、难点，找学生研读。
角平分线的性质教学设计
《角平分线的性质》教案——人教版《数学》八年级上册鞍山市二十六中学那琳11.3 《角平分线的性质》教案第二课时教学目标知识技能1、了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；2、会利用角的平分线的性质进行证明与计算.解决问题1、提高综合运算三角形全等的有关知识解决问题的能力2、初步了解角平分线的性质及判定在生活、生产中的应用数学思考通过让学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，使学生学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。
情感态度探讨角平分线性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
重点角平分线的性质的证明及运用。
难点角平分线性质的探究。
教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动1：情境引入：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？学生以小组为单位讨论，有部分学生疑惑，用以前学过的知识解决不了，引出新知识，等待学完再解决。
通过让学生动手画最短的路线，可以复习点到直线的距离这一概念，为探究角的平分线的性质作铺垫；同时也让学生感受到数学与实际生活是紧密相连的，从而激发学生的学习兴趣，体现人人学有价值的数学。
活动2：根据表中的图形和已知，猜想由已知可推出的结论，并用符号语言填写下表：1、学生可以讨论，独立思考，然后说出答案。
已知条件符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠POE=∠POD．由已知推出的结论：点P在∠AOB的平分线上．判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上[师]这样的话，我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．同学们思考一下，这两个性质有什么联系吗？[生]这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．[师]对，这是自己的语言，这一点在数学上叫“互逆性”．2、进一步引导学生用集合的观点概括两个性质，教师及时点拨讲解，让学生区别性质和判定两个的区别引导学生写出命题的已知、求证并加以证明，让学生熟悉证明文字命题的步骤，体会由实践活动得到的猜想,只能通过证明来验证,从而发展学生的理性思维。
八年级数学角的平分线的性质及其逆定理通用版知识精讲
初二数学角的平分线的性质及其逆定理通用版【本讲主要内容】角的平分线的性质及其逆定理【知识掌握】 【知识点精析】1. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等；2. 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
以上两个定理互为逆定理，要正确加以区分，性质1是指如果一个点在一个角的平分线上，可以得出它到角的两边的距离相等； 而性质2却与它恰好相反，如果一个点到角的两边距离相等，那么它的位置一定在这个角的平分线上。
通俗地说，性质1是先知点的位置，得到它的性质；性质2先由点满足某个性质，再确定它的位置。
【解题方法指导】例1. 已知：如图所示，E 是AD 上一点，∠=∠⊥⊥BAD CAD EB AB EC AC ，，。
求证：∠=∠DBE DCE分析：欲证∠=∠DBE DCE ，只要证DBE ∆≌DCE ∆即可。
由于DE 是它们的公共边，只要证出BE=CE ，∠=∠BED CED 即可，或证出BD=CD 。
已知AE 是∠BAC 的平分线，EB AB EC AC ⊥⊥，，可得出EB EC =，由∠=∠AEB AEC ，可得∠=∠BED CED 。
至此思路已通。
证明：∵AC EC AB EB CAD BAD ⊥⊥∠=∠，，∴=EB EC （角的平分线上的点到角的两边的距离相等）∵ABE BAE BED ∠+∠=∠，∠=∠+∠CED CAE ACE （三角形的外角等于不相邻的两个内角的和）DEDE CED BED =∠=∠∴又BDE ∆∴≌）（SAS CDE ∆ DCE DBE ∠=∠∴评析：如果由两次三角形全等来解决此题，实际上是把角平分线的性质又重新证了一遍，走了一个弯路，因此可直接由角平分线的性质，得出EB=EC 。
例2. 已知：如图所示，△ABC 中，D 是BC 的中点，F AC DF E AB DE 于，于⊥⊥，BE=CF 。
求证：AD 平分∠BAC 。
B D C分析：欲证AD 平分∠BAC ，由于DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，因此只要证明DE=DF 即可，可通过△BDE ≌△CDF 加以解决。
角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线得性质定理及其逆定理一、基础概念学习目标:掌握角平分线得性质定理及其逆定理得证明与简单应用,掌握尺规作图做角平分线,规范证明步骤。
(1)角平分线得性质定理证明:角平分线得性质定理:角平分线上得点到这个角得两边得距离相等。
证明角平分线得性质定理时,将用到三角形全等得判定公理得推论:推论:两角及其中一角得对边对应相等得两个三角形全等。
(AAS)推导过程:已知:OC平分∠MON,P就是OC上任意一点,PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为点A、点B.求证:PA＝PB.证明:∵PA⊥OM,PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO与△PBO中,∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②几何表达:(角得平分线上得点到角得两边得距离相等)如图所示,∵OP平分∠MON(∠1＝∠2),PA⊥OM,PB⊥ON,∴PA＝PB.(2)角平分线性质定理得逆定理:到一个角得两边距离相等得点,在这个角得平分线上。
推导过程已知:点P就是∠MON内一点,PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,且PA＝PB.求证:点P在∠MON得平分线上.证明:连结OP在Rt△PAO与Rt△PBO中,∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON得平分线上.②几何表达:(到角得两边得距离相等得点在角得平分线上.)如图所示,∵PA⊥OM,PB⊥ON,PA＝PB∴∠1＝∠2(OP平分∠MON)(3) 角平分线性质及判定得应用①为推导线段相等、角相等提供依据与思路;②实际生活中得应用.例:一个工厂,在公路西侧,到公路得距离与到河岸得距离相等,并且到河上公路桥头得距离为300米.在下图中标出工厂得位置,并说明理由.(4)角平分线得尺规作图活动三:观察与思考: 尺规作角得平分线观察下面用尺规作角得平分线得步骤(如图),思考这种作法得依据。
步骤一:以点O为圆心,以适当长为半径画弧,弧与角得两边分别交于A,B两点。
人教版数学八年级上册1.2角平分线的性质定理的逆定理(角平分线的判定)课件
定理的作用：判断点是否在角平分线上。
A D
P
EB
判断题： （1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( ) （2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是
∠AOB 的平分线； ( ) （3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB 距
离等于2cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．( )
l1
l3
l2
P2
l1
P1
P3
P4
l3
l2
如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( A )
A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是内心，即三条角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝1 ∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝1 ∠ACB2， ∠ABC＋∠ACB＝1280°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°.
角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
A
D
N
F
P
M
结论：
B
C
E
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等。
如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路和 一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在何处？
公路
公路
铁路 S
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C P
C P
已知 条件
三角形的内角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
角平分线的性质定理的逆定理
（1）若连接 AM ，则 AM 是否平分 BAD ？请你证明你的结论． （2）线段 DM 与 AM 有怎样的位置关系？请说明理
M 3 A 四、总结梳理（3分钟） 1、角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2、定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线 （3）垂直距离。 五、过关检测（10 分钟）
探究 3. 1、如图，已知 PD⊥OA,PE⊥OB,且 PD =PE，那么 P 点在∠AOB 的平分线上吗？为什么？
A
要求和方法
D
P O E B
通 过 已 学的三角形 全等的知识 证明 OP 平分 ∠AOB，从而 得出角平分 线的性质定 理的逆定理。
小结：角平分线的性质定理逆定理：
2、例题讲解：
。
如图，△ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P． 求证：点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等． （分析：点 P 到 AB、BC、CA 的垂线段 PD、PE、PF 的长就是 P 点到三边的距离，•也就是 说要证：PD=PE=PF．而 BM、CN 分别是∠B、∠C 的平分线，•根据角平分线性质和等式的传 递性可以解决这个问题． ）
年级
课型：新授课 班级： 小组： 设计：王磊 姓名：
导学案
审核： 审批： 使用时间：____月____日 星期__ 第___1 _课时 学习过程 累计___2__课时
课题：角平分线的性质定理的逆定理
流程及学习内容 一、解读目标（2 分钟） 学习目标：1、探索并证明角的平分线的定理的逆定理。 2、会应用角的平分线的性质定理及其逆定理进行计算和证明。 学习重点、难点预设： 角的平分线的定理的逆定理的探索与证明，及灵活应用。 二、夯实基础（10 分钟）
三角形角平分线逆定理
三角形角平分線逆定理
過一三角形頂點的線分(或外分)對邊所得的兩條線段與這頂點的兩邊對應成比例為這個角的內角(或外角
)平分線。
如圖，對于
給定的 ABC ，若BD DC =AB AC
，則AD 為∠BAC 的內角(或外角)平分線。
B
B
證明(1)
1.過C 作DA 的平行線，交BA 的延線于E ;
2.因與三角形一邊平行的直線截其它兩邊所得的對應線段成比
例，BA AE =BD DC ，
3.由于給定BA
AC
=BD DC ，得AC =AE,∠AEC =∠ACE
4.∠BAD =∠AEC =∠ACE =∠DAC ;
5.AD 平分∠BAC 。
B
證明(2)
1.過C 作DA 的平行線，交BA 于F ;
2.因與三角形一邊平行的直線截其它兩邊所得的對應線段
成比例，
BF F A =BC CD ,BF +F A AF =BC +CD DC ,BA AF =BD DC
=BA
AC 3.AC =AF,
∠EAD =∠AF C =∠ACF =∠DAC ;
4.AD 為∠BAC 的外角平分線。
B
參考資料
1.Durell.A New Geometry for Schools,1963.(P.475)
1。
信阳市七中八年级数学下册第一章三角形的证明4角平分线第1课时角平分线的性质定理及逆定理教案新版北师大
1．判断．
(1)所有的命题都是公理；所有的真命题都是定理．
(2)所有的定理是真命题；所有的公理是真命题．
2．请你完成下列定理的证明．
(1)同角(等角)的补角相等；
(2)同角(等角)的余角相等．
几何证明如下：
(1)已知：∠1＝∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．
求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角(已知)，
三.运用新知 , 深化理解
1.见教材P29例1
2.如以下图 , 已知 : ∠C=90° , DE是AB的垂直平分线 , D为垂足 , 交BC于E , AB=2AC. 求证 : CE=DE.
证明 : 连接AE , 由于∠C=90° , AB=2AC,
∴∠B=30° , ∠CAB=60°.
∵DE是AB的垂直平分线 ,
（5）[(m－n)3]4－[(m－n)2]6=0 （ √ ）
四、小结：
幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
第2课时 公理、定理及证明
1．理解公理和定理的概念；会在简单情况下判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题．
2．通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法．
3．使学生在接受专业知识的同时增强学习的兴趣，调动学生探索发现问题的积极性．
[教学说明]请同学们自己尝试着证明上述结论 , 然后在全班进行交流．教师在教学过程中対有困难的学生要给予指导.
[归纳结论]角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
探究2 : 角平分线的判定定理.
已知 : 在∠AOB内部有一点P , 且PD⊥OA , PE⊥OB , D、E为垂足且PD=PE.
求证 : 点P在∠AOB的角平分线上．
角的平分线教案
角的平分线教案角的平分线教案角的平分线教案1教学目标1．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用．2．理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题．3．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。
教学重点和难点角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点．性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点．教学过程设计一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明1，复习引入课题．（1）提问关于直角三角形全等的判定定理．（2）让学生用量角器画出图3－86中的∠AOB的角平分线OC．2．画图探索角平分线的性质并证明之．（1）在图3－86中，让学生在角平分线OC上任取一点P，并分别作出表示Ｐ点到∠AOB两边的距离的线段PD，PE．（2）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理．（3）引导学生叙述角平分线的性质定理（定理1），分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式．3．逆向思维探求角平分线的判定定理．（1）让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2——角平分线的判定定理．（2）教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1，由所给条件判定出角平分线是定理2．（3）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程．4．理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合．（1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）．（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）．由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．二、应用举例、变式练习练习1填空：如图3－86（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA 于DPE⊥OB于E．∴---------（角平分线的性质定理）．（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴OP平分∠AOB（-------------）例1已知：如图3－87（a），ABC的角平分线BD和CE交于F．（l）求证：F到AB，BC和AC边的距离相等；（2）求证：AF平分∠BAC；（3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等；（4）怎样找△ABC内到三边距离相等的点？（5）若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图3-87（b），那么（1）～（3）题的结论是否会改变？怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？说明：（1）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（1）题）和判定定理（第（2）题）的目的．（2）此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。