三角形外角平分线定理
三角形内角角平分线与同位角外角角平分线的关系
三角形内角角平分线与同位角外角角平分线的关系在一个三角形中，角平分线是从一个角的顶点开始，向对边分出角度相等的线段。
一般来说，每个角都有两条角平分线。
同样地，一个角的外角角平分线是从角的某一侧开始延伸，分别与该侧延伸出的相邻两个角的角平分线所交的直线相交于同一点，使得外角与该直线所构成的两个角度相等。
一、性质定理：在任意三角形中，如果一条内角的角平分线和一条同位角的外角的角平分线相交于一点，那么这条角平分线所限定的两个内角与这条外角的两个补角相等。
证明：证明可以拆分为以下两步。
1. 证明角平分线的两个内角相等。
对于三角形ABC，假设AD是∠A的角平分线，BE是∠B的同位角的外角的角平分线，且两者相交于点P。
则根据角平分线的性质，∠DAP = ∠BAP，∠ABE = ∠PBC。
另一方面，由于∠A和∠B是同位角，它们的外角∠C和∠D也是同位角。
因此，∠DAB = ∠CBE。
接下来，由于三角形ABC的内角和为180度，因此∠A + ∠B + ∠C = 180度。
利用角度平分定理，可以得到∠CBE + ∠EBC + ∠ACP = ∠B将上述两个等式相加，并利用∠DAB = ∠CBE，得到由于∠BAC + ∠ABC = 180度，所以可以化简上式为因此，∠DAP和∠PBC是该三角形的两个对顶角，其相等性得到证明。
由于∠ABE = ∠DAP，∠EBC = ∠PBC，且根据之前的证明，∠DAP和∠PBC相等，因此上式可以进一步化简为2∠DAP + 2∠PBC = 180度 - ∠A - ∠B + ∠DAP + ∠PBC因此，证毕。
二、应用∠DAP = ∠PBC由于∠DAP和∠PBC相等，所以移项可得∠DAP = (1/2)(∠A + ∠B)即角平分线所限定的两个内角的度数分别为(1/2)(∠A + ∠B)和(1/2)(∠A + ∠B)。
三、总结本文介绍了三角形内角角平分线和同位角外角角平分线之间的关系，并给出了相关证明过程和应用示例。
三角形外角平分线定理。
三角形外角平分线定理。
三角形外角平分线定理是指一个三角形的一个外角的平分线与剩下的两个内角的垂直平分线相交于三角形的对边上同一点。
这是一个非常基本而有用的几何定理，适用于很多数学问题，例如计算三角形面积、角度大小和三角形的相似关系等。
一个三角形由三个顶点和三条边组成。
正如我们所知道的，一个三角形的内角和为180度，因此每个角度的平均值为60度。
如果我们从三个顶点出发，画出这个三角形的三个外角，那么这三个外角加起来应该等于360度，即一个圆的角度。
因此，每个外角的平均值也应该为120度，大于三角形内角的平均值。
接下来我们考虑一个特定的外角O。
根据三角形内角和为180度的规则，我们可以将该外角O分解成两个内角AOC和BOC，其中AOC和BOC是外角O所对应的两个内角。
此外，由于AOC和BOC以及O恰好处于同一平面上，我们可以想象在平面图中分别画出AOC和BOC的垂直平分线L1和L2。
现在我们来考虑这个问题的关键所在：垂直平分线的性质。
由于垂直平分线的定义是将一个角度分成两个等于该角度一半的角度，因此在我们的情况下，垂直平分线L1将AOC分成了两个等于O的一半的角度，即AOP和POB。
同样地，垂直平分线L2将BOC分成了POB和POC两个等于O的一半的角度。
现在我们来思考一下这两个角度：AOP和POC。
由于它们的和正好等于O，也就是外角，因此它们是对应角。
这意味着它们在平面上非常相似，具有相同的大小和形状。
因此，如果我们连接三角形的对边AC和BC，并沿着这条直线延伸垂线AD和BE，那么我们应该能够发现AOP 和POC分别相交于AD和BE上的同一个点P。
这个点P是三角形外角平分线定理的关键。
也就是说，如果我们在三角形的一个外角上画一条平分线，在该线上找到点P，那么连接点P和这个外角所对应的两个顶点，就能够得到两个分别相等的角度。
这个定理是非常有用的，因为它使得我们能够更好地理解三角形的特性，并且可以用于推导更复杂的几何定理。
三角形外角平分线定理例题
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，那么这个外角的平分线与三角形的一边相交，将这边分为两部分，这两部分与三角形的另外两个顶点连线，所构成的角中，哪一个角是直角？A. 靠近三角形顶点的角B. 靠近三角形外角顶点的角C. 两个角都不是直角D. 无法确定（正确答案）2.三角形ABC中，角A的外角平分线与边BC的延长线相交于点D，那么角A与角D的关系是？A. 角A等于角DB. 角A大于角DC. 角A小于角D（正确答案）D. 角A与角D的大小关系无法确定3.三角形的一个外角平分线与三角形的一边的延长线相交，则这个外角平分线与三角形的一边所夹的角等于？A. 相邻的一个内角B. 不相邻的一个内角的一半C. 不相邻的一个内角（正确答案）D. 相邻的一个外角的一半4.在三角形ABC中，若角A的外角平分线与边BC相交于点D，则角D与角A、角B的关系为？A. 角D = 角A + 角BB. 角D = 角A - 角BC. 角D = (角A - 角B) / 2（正确答案）D. 角D = 角B - 角A5.三角形的一个外角的平分线与三角形的一边相交，将这个角分为两个相等的角，这两个角与三角形的内角有何关系？A. 这两个角都等于相邻的内角B. 这两个角都等于不相邻的内角的一半C. 其中一个角等于不相邻的内角，另一个角等于相邻的内角的一半D. 其中一个角等于不相邻的内角，另一个角与相邻的内角无关（正确答案）6.在三角形ABC中，角A的外角平分线与边BC的延长线相交于点D，若角A =60度，则角D的度数为？A. 30度B. 60度C. 90度D. 无法确定，因为需要知道角B的度数（正确答案）7.三角形的一个外角的平分线与三角形的一边相交，则这个角的两个邻角（与三角形内部相邻的角）之和等于？A. 90度B. 180度（正确答案）C. 270度D. 360度8.在三角形ABC中，若角A的外角平分线与边BC相交于点D，且角B = 角C，则角D与角A的关系为？A. 角D = 角A / 2B. 角D = 角AC. 角D = 180度 - 角A（正确答案）D. 角D = 90度 - 角A / 2。
三角形内角角平分线和外角角平分线的定义
三角形内角角平分线和外角角平分线的定义三角形内角角平分线和外角角平分线是几何学中常见的概念，它们在三角形的角度分割中起着重要的作用。
在深入探讨这两种角平分线的定义之前，让我们先了解一下什么是三角形内角角平分线和外角角平分线。
内角角平分线是指从一个三角形的内角的顶点出发，将这个内角分成两个相等的角的线段。
换句话说，内角角平分线将一个三角形的内角平分成两个相等的角。
而外角角平分线则是从一个三角形的外角的顶点出发，将这个外角分成两个相等的角的线段。
内角角平分线和外角角平分线的作用是在三角形中，帮助我们更好地理解和分析三角形的性质和特点。
接下来，我们来详细探讨一下内角角平分线和外角角平分线的定义及性质。
首先，内角角平分线的定义是：在一个三角形中，从一个内角的顶点出发，经过这个内角的对边的中点，最终到达对边上的一点，使得这条线段将这个内角平分成两个相等的角。
内角角平分线有一个重要的性质，即内角角平分线与对边相交的点将对边平分为两个线段，而且这两个线段的比例等于三角形的两个其他边的比例。
这个性质在解题中经常被运用，可以帮助我们求解三角形中的各种角度和线段长度。
其次，外角角平分线的定义是：在一个三角形中，从一个外角的顶点出发，经过这个外角的非邻边的角平分线的交点，最终到达另一个角的顶点，使得这条线段将这个外角平分成两个相等的角。
外角角平分线也有一个重要的性质，即外角角平分线与三角形的另外两个角的角平分线相交于同一点。
这个性质的应用可以帮助我们证明三角形中的各种性质，例如证明三角形的内角和等于180度。
通过理解和掌握三角形内角角平分线和外角角平分线的定义及其性质，我们可以更加深入地研究三角形的性质和定理，解决相关的几何问题。
同时，在学习过程中，我们也能够培养逻辑思维和解决问题的能力，提高数学素养和应用能力。
总的来说，三角形内角角平分线和外角角平分线是在三角形中具有重要作用的概念，通过对其定义和性质的理解，我们可以更好地理解和应用三角形的相关知识，提升数学学习的效果和兴趣。
三角形角平分线相关定理
三角形角平分线相关定理三角形角平分线相关定理是三角形中的一个重要定理，它与三角形内部角平分线的性质有关。
在本文中，将详细介绍角平分线的定义、性质以及相关定理的证明和应用。
一、角平分线的定义与性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的线段。
对于一个三角形ABC，如果从顶点A出发的线段AD将角BAC平分成两个相等的角，那么线段AD就是角BAC的角平分线。
角平分线有以下几个重要性质：1. 角平分线将对边分成两段，这两段的比例等于其他两边的比例。
即AB/AC = BD/CD。
2. 角平分线和三角形的边界相交，且相交点到对边的距离相等。
3. 三角形内部的角平分线都会交于一个点，该点称为三角形的内心。
4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等，即内心到三边的距离均相等。
二、角平分线相关定理1. 三角形内角平分线定理：三角形内一条角平分线上的点到三角形其他两边的距离之比等于这两边的长度之比。
即AD/BD = AC/BC。
证明：根据角平分线性质1可得AB/AC = BD/CD，再联立AB/AC = BD/CD和AD/BD = AC/BC两个等式，可以得到AD/BD =AC/BC。
2. 角平分线外角平分线定理：三角形外一条角平分线上的点到三角形其他两边的距离之比等于这两边的长度之比的倒数。
即AE/BE = AC/BC。
证明：根据角平分线性质1可得AB/AC = BD/CD，再联立AB/AC = BD/CD和AE/BE = AC/BC两个等式，可以得到AE/BE = AC/BC。
三、角平分线相关定理的应用角平分线相关定理在解决三角形相关问题时具有重要的应用价值。
以下是一些常见的应用场景：1. 求角平分线的长度：已知三角形两边和夹角的情况下，可以利用角平分线相关定理求角平分线的长度。
2. 求角平分线所分对边的长度比：已知三角形两边和夹角的情况下，可以利用角平分线相关定理求角平分线所分对边的长度比。
第二节角平分线定理
第二节角平分线定理【知识点拨】1、三角形内角平分线的性质定理：三角形内角的平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。
（试证明）2、三角形外角平分线性质定理：三角形外角平分线分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。
3、常见问题对于涉及角平分线的相关计算，常由角平分线性质定理列出比例式进行计算，对于关于角平分线的证明题，常由角平分线性质定理列出比例式进行代换，达到证明的目的。
【赛题精选】例1、在△ABC中，∠C＝900，CD是∠C的平分线，且CA＝3，CB＝4。
求CD的长。
例2、若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB＝4，PD＝3。
求A D·DC的值。
（2001年全国竞赛题）【说明】角平分线性质定理又提供计算线段的方法，解题时要注意应用。
计算时要注意对应关系，正确书写比例式。
对于求线段ab 的值的题目，常由相关定理证出等积式ab ＝cd ，求出cd 的值即可。
例3、I 是△ABC 内角平分线的交点，AI 交对应边于D 。
求证：BCAC AB ID AI +=。
例4、Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G 。
试求：CF 与GB 的大小关系如何？（1998年“希望杯”邀请赛题）【说明】欲证线段a ＝b ，由线段成比例定理得出含a 、b 的比例式，111n m x a =、222n m x b =， 然后证2211n m n m =，从而得到21x b x a =，再证21x x =，从而得到a ＝b 。
本题证法较多，如过点E 作EH ∥BC 交AB 于H ，则EH ＝GB ，再证EH ＝EC 、EC ＝CF ；或过F 作FM ⊥AB 于M ，证Rt △CEG ≌Rt △FMB 。
例5、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 交AB 于G ，AM 是BC 边的中线，交CG 于F 。
三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
三角形的一个外角平分线与这个角的对边所在直线相交，连结这个角的顶点和交点的线段叫做三角形外角平分线。
三角形的三条角平分线相交于一点，这一点称为三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。
三角形内角平分线的性质定理：三角形的内角平分线内分对边成两条线段，那么这两条线段与这个角的两边对应成比例。
三角形外角平分线的性质定理：三角形的外角平分线分对边成两条线段，那么这两条线段与相邻的两边对应成比例。
设⊿ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形的外角平分线都在三角形外。
2、三角形的一条内角的平分线与不相邻的两个外角的平分线交于一点，该点叫做三角形的旁心。
3、三角形角平分线有个有趣的性质：三角形ABC中角A的平分线为AD，则AB:AC=BD:CD。
(可用面积法证明)4、三角形的角平分线都在三角形内。
5、设三角形ABC，∠A平分线AD，AB=c,AC=b,BC=a,半周长p=(a+b+c)/2,三条角平分线为ta,tb,tc,AD=ta,BE=tb,CF=tc,根据角平分线性质，BD/CD=c/b,(角平分对边二部分之比为其邻边之比），(b+c)/b=(BD+CD)/CD=a/CD,（合比）CD=ab/(b+c),在△ADC中，根据余弦定理，AD^2=b^2+CD^2-2CD*b*cosC=b^2+a^2b^2/(b+c)^2-2ab^2*cosC/(b+c),根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab),AD^2= b^2+a^2b^2/(b+c)^2-b(a^2+b^2-c^2)/(b+c)AD^2=bc[(b+c)^2-a^2]/(b+c)^2=bc[(b+c-a)(b+c+a)]/(b+c)^2,T a=AD=√[(bc*2p*(2p-2a))/(b+c)=[2/(b+c)]√[bcp(p-a)].同理可证，tb=[2/(a+c)]√[acp(p-b)].tc=[2/(a+b)]√[abp(p-c)].6、三角形的三条角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
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三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比。
已知：如图8-5甲所示，AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分线。
求证：BA/AC=BD/DC
思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。
证明1：过C作CE∥DA与BA交于E。
则：BA/AE=BD/DC
∵∠DAF=∠CEA；（两线平行，同位角相等）
∠DAC=∠ECA；（两线平行，内错角相等）
∠DAF=∠DAC；（已知）
∴∠CEA=∠ECA；（等量代换）
∴ AE=AC；
∴BA/AC=BD/DC 。
结论1：该证法具有普遍的意义。
思路2：利用面积法来证明。
已知：如图8-5乙所示，AD是△ABC内角∠BAC的外角∠CAF的平分线。
求证：BA/AC=BD/DC.
证明2：过D作DE⊥AC于E，DF∥⊥BA的延长线于F；
∵∠DAC=∠DAF；（已知）
∴ DE=DF；
∵BA/AC=S△BAD/△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比）BD/DC=S△BAD/△DAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比）∴BA/AC=BD/DC
结论：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。
在该证法中，我们看△BAD和△DAC的面积时，先以BA和AC作底，而以DF、DE为等高。
然后以BD和DC 为底，而高是同高，图中并没有画出来。
你学会这种变换角度看问题的方法了吗？。