用代入法解二元一次方程组
再 见
y = -0.25
1、已知（2x+3y-4）２ +∣x+2y-7∣=0
则x= ，y= 。
2、已知
x
y
2 5
和
x 1 y 10
是方程
ax
by
15
的两个解，求a 、b 的值。
用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：
（1）选取方程变形，使得一个未知数用含有另一个未 知数的代数式表示。 （2）将变形的方程代入另一个方程中，得到一个一元 一次方程，解这个方程求得一个未知数的值。 （3）把这个未知数的值代入变形的方程，求得另一个 未知数的值。 （4）写出方程组的解。 （5）检验
x y 200
消代
元入
一元
这种解方程组的方法 称为“代入消元法” 简称“代入法”
x ........... 200
下面你会了吗？
永红小学
数
学
2y 3x 1 ①
例1：解方程组
x y 1 ②
合作交流
解：把 ②代入① ，得
2y －3（y－1） = 1
y＝ 2 把y＝2代入 ② ，得 x＝2－1=1
x 1
所以原方程组的解是
y2
这个解正确吗？
永红小学
试一试
例2：解方程组 3x+2y=14 ①
y=x-3
②
解:把②代入①,得
3x+2(x-3)=14
3x+2x-6=14 5x=20 X=4
把x=4代入②,得y=4-3=1 ∴方程组的解是 x=4
y=1
这个你会吗？
解方程组
2x7 y8 ① 4x9 y110 ②
想一想？
问题1：什么叫二元一次方程组的解？
答：二元一次方程组中各个方程
的公共解叫做这个二元一次方程
组的解。
问题2：
x3 y6
是
y2x x2 y10
的解吗？
你怎么验证的？
3．已知4x-y=-1，用关于x的代数式 表示y：___________； 用关于y的代数式表示x ：_________
⑵ 3x+2y=13① x - 2y = 5 ②
〖分析〗 可将2y看作一个数来求解。
解:由②得:
2y = x – 5 ③
把③代入① 得: 3x + (x – 5) = 13
4x = 18 ∴ x = 4.5
把x = 4.5代入③ 得: 2y = 4.5 – 5 = – 0.5 ∴ y = -0.25 ∴ 原方程组的解为 x = 4.5
①
3(x+1)=5(y-1) ②
〖分析〗可将(x+1)、(y-1)看作一个整体求解。
解: 把①代入② 得
3×2(y-1)= 5(y-1) + 4
6(y-1) =5(y-1)+4 (y-1) = 4 ③
∴y = 5
把③代入① 得:
x +1 = 2×4
=8
∴x = 7
∴原方程组的解为
x=7 y=5
解下列二元一次方程组
开动脑筋
一个苹果和一个梨的质量合计200g,这个 苹果的质量加上一个10g的砝码恰好与这个梨 的质量相等,问苹果和梨的质量各是多少g？
将“梨”换成“苹果+10g”
y ＝ x + 10 x + y ＝200
x + x +10 ＝200
数 学
合作交流
1 如何解二方元程组： y xx+110
x
1 2
y1
收获
谈收获
1、解二元一次方程组的基本思路是 消元 2、代入法解二元一次方程组的一 般步骤
练习：用代入法解下列方程组．
1． 3yxx8y
3
14
2． 2xx2yy 5
x2 y1
x2 y 1
已知关于x 、y的二元一次方程组
ax by bx ay
11 2
的一组解是
x
y
2 1
，
求a、b的值。
提高巩固
1.解下列二元一次方程组
x+1=2(y-1) ⑴
3(x+1)=5(y-1)
⑵ 3x+2y=13 3x-2y=5
你认为怎样代入更简便?
请用你最简便的方法解出它的解。
你的思路能解另一题吗?
1.解下列二元一次方程组
⑴ x+1=2(y-1)
8.2.1消元-代入法解二元一次方程组
——用代入法解二元一次方程组 2课时
随堂练习：
y=2x ⑴ x+y=12 3x-2y=9 ⑶ x+2y=3
你解对了吗？
x=4
1、用代入消元法解下列方程组
x+y=11 x-y=7
⑵ y=8
x=9 y=2
x=3
yБайду номын сангаас0
用代入法解二元一次 方程组的一般步骤
讨论
4x + 5y = 4
变
用含x 的一次式表示y： y= 用含y 的一次式表示x： 代 x=
思考题：
2 x 5 y 6 3x 5 y 16 变式： 已知关于x、y的方程组 和 ax by 4 bx ay 8 的解相同，求a b的值。
例题精练
ax 6 y 3 1.若关于x,y的方程组 与 2 x 5 y 11
a = -2b - 1 ③ 由②得： 把③代入①得：
2x + ay = 3b ax - by = 1 的解，
②
把b = -4/7 代入③，得： a = -2b - 1 = -2×（-4/7）-1 a = 1/7 ∴ a = 1/7
-2 + 2（-2b – 1）= 3b -2 – 4b – 2 = 3b -4b – 3b = + 2 + 2 -7b = 4 b = -4/7
4 4x 5 4 5y 4
1、将方程组里的一个方程变 形，用含有一个未知数的一次 式表示另一个未知数 2、用这个一次式代替另一个 方程中相应的未知数，得到一 个一元一次方程，求得一个未 知数的值 3、把这个未知数的值代入一 次式，求得另一个未知数的值
求 写
4、写出方程组的解
20.二元一次方程组解法(一)--代入法(基础) 知识讲解
二元一次方程组解法（一）--代入法（基础）知识讲解【学习目标】1.理解消元的思想；2.会用代入法解二元一次方程组.【要点梳理】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数.这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组1．（2015•贵阳）用代入法解方程组：的解为．【思路点拨】直接将下面的式子代入上面的式子，化简整理即可.【答案与解析】解：解，把②代入①得x+2=12，∴x=10，∴．故答案为：．【总结升华】当方程组中出现一个未知量代替另一个未知量的方程时，一般用直接代入法解方程组.举一反三：【变式】若方程y＝1－x的解也是方程3x＋2y＝5的解，则x＝____，y＝____.【答案】3，﹣2.2.用代入法解二元一次方程组：524050x y x y --=⎧⎨+-=⎩①②【思路点拨】观察两个方程的系数特点，可以发现方程②中x 的系数为1，所以把方程②中的x 用y 来表示，再代入①中即可.【答案与解析】解：由②得x＝5-y ③将③代入①得5(5-y)-2y-4＝0，解得：y＝3，把y＝3代入③，得x＝5-y＝5-3＝2所以原方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩．【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．举一反三：【变式1】与方程组2020x y x y +-=⎧⎨+=⎩有完全相同的解的是（）A．x+y－2=0B．x+2y=0C．(x+y－2)(x+2y)=0D．22(2)0x y x y +-++=【答案】D【变式2】若∣x－2y＋1∣＋(x＋y－5)2＝0，则x=，y=.【答案】3,2.类型二、由解确定方程组中的相关量3.（2016•莆田模拟）已知关于x，y 的二元一次方程组的解互为相反数，求k 的值．【思路点拨】将x=-y 代入第二个方程，解出y 的值，再代入上面的方程可得k 值.【答案与解析】解：，将x=-y 代入②得：-y+2y =﹣1，∴y=﹣1，∴x=1，将x=1，y=﹣1代入①得，k=1．【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．举一反三：【变式】（2015•昆山市二模）已知是二元一次方程组的解，则m﹣n 的值是．【答案】4解：把代入方程得：，解得：m=1，n=﹣3，则m﹣n=1﹣（﹣3）=1+3=4．4.若方程组ax+by=11(5-a)x-2by+14=0⎧⎨⎩的解为14x y =⎧⎨=⎩，试求a b 、的值.【答案与解析】解：将14x y =⎧⎨=⎩代入得a+4b=11(5-a)-2b 4+14=0⎧⎨⨯⎩，即a+4b=11a+8b=19⎧⎨⎩，解得a=3b=2⎧⎨⎩.【总结升华】将已知解代入原方程组得关于a b 、的方程组，再解关于a b 、方程组得a b 、的值.。
用代入法解二元一次方程组
用代入法解二元一次方程组
二元一次方程组是指由两个未知数和两个方程组成的方程组。
解二元一次方程组的一种常见方法是代入法。
代入法的基本思想是将一个方程中的一个未知数用另一个方程中的
已知数表示出来，然后将该表达式代入另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的方程。
然后通过解这个方程得到一个未知数的值，再将该值代入另一个方程中求得另一个未知数的值，从而得到方程组的解。
下面我们通过一个例子来说明代入法的具体步骤：
假设有以下二元一次方程组：
方程1：2x + y = 7
方程2：x - y = 1
首先，我们可以选择一个方程，例如方程2，将其中的x用另一个方程中的已知数表示出来。
根据方程2，我们可以得到x = y + 1。
接下来，我们将得到的x的表达式代入另一个方程中，即将x替换成y + 1。
代入方程1得到：
2(y + 1) + y = 7
接着，我们解这个只含有一个未知数的方程：
2y + 2 + y = 7
3y + 2 = 7
3y = 5
y = 5/3
得到y的值之后，我们将其代入方程2中求得x的值：
x - (5/3) = 1
x = 1 + 5/3
x = 8/3
因此，该二元一次方程组的解为x = 8/3，y = 5/3。
除了代入法，求解二元一次方程组的方法还有消元法和克莱姆法等。
不同的方法适用于不同的情况，代入法在某些情况下可能比其他方法更方便或更容易理解。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法进行求解。
《代入法解二元一次方程组》教学反思
《代入法解二元一次方程组》教学反思1、《代入法解二元一次方程组》教学反思1、发现的问题：在学习《二元一次方程组》时，学生对本节课的内容和前面学习的一元一次方程有点类似，学生学习起来感到枯燥无味。
课堂气愤涣散，效率不高。
2、解决问题的过程：在学习二元一次方程组时，可以用中国古代著名数学问题“鸡兔同笼”或“百鸡百钱”问题作为引入。
学生被这种有趣的问题吸引，积极思考问题的答案，以“趣”引思，使学生处于兴奋状态和积极思维状态，不但能诱发学生主动学习，而且还能增长知识，了解了我国古代的数学发展，培养学生的爱国主义精神。
3、教学反思：一堂成功的`数学课，往往给人以自然、和谐、舒服的享受，在数学教学中，我们要紧密联系学生的生活实际，在现实世界中寻找数学题材，让教学贴近生活，让学生在生活中看到数学，摸到数学，体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，体验到数学的魅力。
让学生接触与生活有关的数学问题，势必会激发学生的学习兴趣，从而有效的提高课堂教学效率，使学生真正喜欢数学、学好数学、用好数学。
2、《加减法解二元一次方程组》的教学反思本节课是加减法解二元一次方程组的第2课时，是在学习过直接采用加减消元法解二元一次方程组的基础上，来进一步解决较复杂的二元一次方程组的求解问题的。
我应用“先学后教，当堂训练”的教学模式，对教学过程精心设计，创设情境，复习设疑，引发兴趣；提出问题，学生讨论，分散难点；自主学习与小组互动、合作学习相结合，培养学生观察能力、合作意识和探索精神；以学生自学、互学为主，把课堂还给了学生，面向全体，促进课堂动态生成，让学生全面发展，课堂教学生命化，取得了良好的课堂效果，得到了教研组听课老师的好评。
但其中也有一些不足。
优点：1、组内帮扶作用发挥的突出。
虽然大家都知道加减消元法，但有些同学不太明确怎样变形成可直接加减的形式，而通过组内帮扶，正好能帮助教师分散解决个别问题，从而大大提高了这节课的'课堂效率。
代入消元法解二元一次方程组
由题意得
5x 2 y
500
x
250
y
① ②
由①，得
y 5x 2
把③代入②，得
③
50x02505x22500000
解得 x=20000
2
把x=20000代入③，得 y=50000
x 20000
y
50000
答：这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶.
代入消元法解二元一次方程组
5x2y
y4 5
①
2 x 7 y 90 ②
解：由①，得 5(x-2)=3(y+4)
5x-10=3y+12
5x-3y=22
x 223y ③ 5
代入消元法解二元一次方程组
例5
用代入法解方程组
x 2
3
y4 5
①
2 x 7 y 90 ②
解:令 x2 y4 = k，则x=3k+2，③y=5k-4，④
①
2x+y=40
②
解:由①，得 y=22-x ③ 把③代入②，得 2x+(22-x)=40
2x+22-X=40
得 X=18 把X=18代入③，得 y=4
∴原方程组的解是
x 18
y
4
答:该队胜18场，负4场.
代入消元法解二元一次方程组
二元一次方程组中有两个未知数，如果消 去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为 我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出 一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将 未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫 做消元思想.
代入消元法解二元一次方程组
y=ax+b或x=my+n 1、用含x的代数式表示y：
用代入法解二元一次方程组
s 1 ， t ８．
t 8
3x=4y 3. 2x+5y =23
3 解.由: y = x 4
③
15 x=23 4
把③代入 : 2x+
则
8x+15x =92 x =4 把x =4代入③ :y=3 x =4
y =3
3x 4 y 16， 4. 5 x 6 y 33 ．
4
用代入法解方程组 变形 x－y=3 解得x
x =y+3.
代入 消x
3x－8y=14
x=2 y=－1 解得y 一元一次方程 3(y+3)－8y=14.
用y+3代替x， 消未知数x．
二.用代入法解方程组
1.
① 4x－y 7 ， ② 3x 4 y 10 ．
解：由①，得
y 4x 7
代入法的核心思想是消元
代入消元法解二元一次方程组的一般步骤.
代 入 法 的 核 心 思 想 是 消 元
用一个未知数表示另一个未知数
代入消元
解一元一次方程得到一个未知数的值 求另一个未知数的值
一.用含x的式子表示y
1. x+y =3 2. x- y =3 3. 3x =4y 4. 2x -y =3 解. y =3 -x . 解. y =x - 3
把③代入②，得
③
3x 4(4 x 7) 10 x2 代入③得 y 1 ．
x 2， 所以， y 1
3s t 5 ， ① 2. s 2t 15 ； ②
解：由①得 解得 ③ 所以
t 5 3s
代入②得
s 1
代入③，得
s 2(5 3s) 15
用代入消元法解二元一次方程组教案
用代入消元法解二元一次方程组教案用代入消元法解二元一次方程组教案利用代入消元法解二元一次方程教案〔北师大版新课标实验教材八年级上册〕一、教学目的1、知识与技能会用代入消元法解二元一次方程组；理解解二元一次方程时的“消元”思想、“化未知为”的化归思想。
2、过程与方法运用代入消元法解二元一次方程；理解解二元一次方程时的“消元”思想，初步体会“化未知为”的化归思想。
3、情感、态度、价值观在学生理解解二元一次方程时的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“”和化复杂问题为简单问题的化归思想。
感受学习数学的乐趣，进步学习数学的热情；培养学生合作交流，自主探究的`好习惯。
二、教学重、难点1、教学重点会用代入消元法解二元一次方程组；理解解二元一次方程时的“消元”思想、“化未知为”的化归思想。
2、教学难点“消元”的思想；“化未知为”的化归思想。
三、教学设计1、复习，引入新课上次课我们学习了二元一次方程、二元一次方程组，以及二元一次方程、二元一次方程组的解的定义。
下面请同学们回忆一下它们分别是怎样定义的？〔同学们说，说不完的老师利用ppt进展展示〕我们知道：合适一个二元一次方程组的一组未知数的值叫做这个二元一次方程组的解。
那么，我们能不能求出它的解呢？要怎样求呢？2、新课讲解〔1〕来看我们课本上的例子：上次课我们设老牛驮了x包，小马驮了y包，并建立如下的方程组。
...........(1)?x?y?1.......... ?x?1?2(y?1)........ ....(2)?如今要求老牛和小马到底各驮几个包裹？就需要我们求出该方程组的解对吧？我们前面已经学习了怎样求解一元一次方程，下面请同学们讨论怎样通过已学的知识解这个方程组？〔学生讨论，老师巡视指导〕通过同学们的讨论我们已经有理解题思想。
首先，由方程〔1〕将x视为数解出y=x-2,由于方程组中一样的字母表示同一未知数，所以可以用x-2代替方程〔2〕中的y，即将y=x-2代入方程〔2〕。
用代入法解二元一次方程组
用代入法解二元一次方程组代入法是解二元一次方程组的一种常用方法，它的基本思路是将一个方程中的一个变量用另一个方程中的已知量表示出来，再将其代入另一个方程中，从而得到只含有一个变量的方程。
以二元一次方程组为例，设方程组为：$$begin{cases}a_1x+b_1y=c_1a_2x+b_2y=c_2end{cases}$$ 其中$a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$均为已知数。
我们先假设已经求出了$x$的值，那么可以将其代入第一个方程中，得到：$$a_1x+b_1y=c_1 Rightarrow b_1y=c_1-a_1x$$进而解出$y$，即：$$y=frac{c_1-a_1x}{b_1}$$将这个式子代入第二个方程中，就可以得到只含有$x$的方程： $$a_2x+b_2frac{c_1-a_1x}{b_1}=c_2$$化简后即可解出$x$，再代回去求出$y$。
下面我们来看一个具体的例子：$$begin{cases}2x+3y=84x-5y=-7end{cases}$$首先，我们假设已经求出了$x$的值，那么可以将其代入第一个方程中，得到：$$2x+3y=8 Rightarrow 3y=8-2x$$进而解出$y$，即：$$y=frac{8-2x}{3}$$将这个式子代入第二个方程中，就可以得到只含有$x$的方程： $$4x-5frac{8-2x}{3}=-7$$化简后得到：$$x=frac{1}{2}$$最后，我们再代回去求出$y$：$$y=frac{8-2timesfrac{1}{2}}{3}=frac{7}{3}$$ 因此，该二元一次方程组的解为$(x,y)=left(frac{1}{2},frac{7}{3}ight)$。
整体代入法解二元一次方程
整体代入法解二元一次方程
整体代入法是解二元一次方程的一种方法。
对于一个二元一次方程，即形如ax+by=c的方程，其中a、b、c为已知数，x、y为未知数。
整体代入法的步骤如下：
1. 从一个方程中解出一个未知数，例如从ax+by=c中解出x，得到x=(c-by)/a。
2. 将所解出的未知数代入另一个方程中，例如将x=(c-by)/a代入另一个方程bx+dy=e中，得到b(c-by)/a+dy=e。
3. 化简得到一个只含有一个未知数的一元一次方程，例如将上面的方程化简为y=(ae-bc)/(ad-b^2)。
4. 将求出的未知数代入到任意一个原方程中，求解另一个未知数，例如将y=(ae-bc)/(ad-b^2)代入方程ax+by=c中，得到x=(ce-bd)/(ad-b^2)。
5. 最后得到方程的解为(x,y)=(ce-bd)/(ad-b^2), (ae-bc)/(ad-b^2)。
需要注意的是，在使用整体代入法时，需要保证ad-b^2不等于0，否则方程无解或有无数解。
代入消元法解二元一次方程组第一课时
8.2消元-----用代入法解二元一次方程组（第一课时）【学习目标】1、 知识与技能：会用代入法解简单的二元一次方程组。
2、 过程与方法：经历探索代入消元法解二元一次方程组的过程，理解代入消元法的基本思想所体现的化归思想方法。
3、 情感与态度：通过提供适当的情景资料，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作讨论中学会交流与合作，培养良好的数学思想，逐步渗透类比、化归的意识。
【教学重点】用代入法解二元一次方程组的消元过程。
【教学难点】探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程。
【教学过程】一、体验园1、把方程写成用含x 的式子表示y 的形式2、把写成用含y 的式子表示x 的形式.二、探索园 问题 篮球联赛中,每场都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？问题1 你能根据问题中的等量关系列出二元一次方程组吗？问题2 这个实际问题能列一元一次方程求解吗？问题3 对比方程和方程组，你能发现它们之间的关系吗？问题4 对于二元一次方程组，你能写出求出x 的过程吗？问题5 怎样求出y ？例题：解方程组 ⎩⎨⎧=-=-14833y x y x23;x y -=23;x y -=1、解二元一次方程组的一般步骤：1、 ____2、____3、_____4、______2、上面解方程组的基本思路是把“二元”转化为“一元” —— “消元”，即将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想.3、代入消元法：三、训练园1、方程-x+4y=-15用含y 的代数式表示x 为（ ）A ．-x=4y-15B ．x=-15+4yC. x=4y+15 D ．x=-4y+152、将y=-2x-4代入3x-y=5可得（ ）A.3x-（2x+4）=5B. 3x-（-2x-4）=5C.3x+2x-4=5D. 3x-2x+4=53、用代入法解方程组⎩⎨⎧=+=+832152y x y x 较为简便的方法是（ ） A ．先把①变形B ．先把②变形C ．可先把①变形，也可先把②变形D ．把①、②同时变形4、用代入法解二元一次方程组（1）⎩⎨⎧-==+32823x y y x （2）⎩⎨⎧=+=-24352y x y x解： 解：四、三省园对自己说，你有什么收获？对同学说，你有什么温馨提示？对老师说，你还有什么困惑？。