试讲课件(一元二次方程)
一元二次方程优秀公开课课件(比赛课)ppt
教学目标：
• 一元二次方程概念 • 解一元二次方程的方法 • 一元二次方程应用题
一元二次方程概念
• 一元二次方程概念及一元二次方程一 般式及有关概念．
一元二次方程概念
• 只含有一个未知数（一元），并且未知 数的最高次数是2（二次）的整式方程， 叫做一元二次方程．
一元二次方程特点
• （1）都只含一个未知数x； • （2）它们的最高次数都是2次的； • （3）•都有等号，是方程．
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念； 2 0(a 0) （2）一元二次方程的一般形式 ax bx c •和 二次项、二次项系数，一次项、一次项 系数，常数项的概念及其它们的运用．
第二课时
• 1．一元二次方程根的概念； • 2．根据题意判定一个数是否是一元二次 方程的根及其利用它们解决一些具体题 目．
b b2 4ac x 2a
根公式，得出方程的根
注意:
• ①当时 b 4ac 0 ，方程无解； • ②公式法是解一元二次方程的万能方法； • ③利用 的值，可以不解方程 2 就能判断方程根的情况； b 4ac
2
一元二次方程的根的判别式
• 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的判 别式△＝ b2 4ac • 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； • 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， • 当△＜0时，方程没有实数根．
b b2 4ac x 2a
（
b2 4ac 0 ）
• • • •
一般步骤： 2 ①将方程化为一般形式 ax bx c 0(a 0) ②确定方程的各系数a，b，c，计算 b 2 4ac 的值； ③当b2 4ac 0 ，将a，b，c以及 b2 4ac 的值代入求
试讲课件(一元二次方程)
一元二次方程的解法例析【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。
根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。
一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。
整式方程的概念：方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数。
因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。
下面再讲一元二次方程的解法。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。
配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。
公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。
先化为一般形式再用公式。
因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。
方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。
【举例解析】例1：用开平方法解下面的一元二次方程。
（1）；（2）分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如的方程，其解为。
通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；解：（1）∴（注意不要丢解）由得，由得，∴原方程的解为：，（2）由得，由得∴原方程的解为：，说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。
用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。
例3：用配方法解下列一元二次方程。
（1）；（2）分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为1，变为的形式。
《一元二次方程》课件
掌握一元二次方程的解法，包括 直接开平方法、配方法、公式法
和因式分解法
了解一元二次方程在实际生活中 的应用，如求最值、解决几何问
题等
02
一元二次方程的定义和形式
一元二次方程的定义
总结词
一元二次方程是只含有一个未知 数，且未知数的最高次数为2的整 式方程。
详细描述
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常 数，且 a ≠ 0。它表示的是一个未 知数 x 的二次方程，且只含有一个 未知数。
求解方法
通过因式分解、配方法或公式法求解 一元二次方程。
练习题与答案解析
练习题1
解方程 x^2 - 6x + 9 = 0。
练习题2
已知方程 x^2 - (k + 1)x + k = 0 的两个根是α和β，且α + β = k + 1，求k的值。
练习题3
解方程 (x - 1)^2 = (2x - 1)^2。
一元二次方程课件
目录
• 引言 • 一元二次方程的定义和形式 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的应用 • 总结与回顾
01
引言
课程简介
课程名称
一元二次方程
适用对象
初中学生和高中学生
课程目标
帮助学生掌握一元二次方程的基本概念、解法和 应用
学习目标
理解一元二次方程的基本概念和 形式
公式法
总结词
直接使用求根公式求解一元二次方程 。
详细描述
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的求根公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a neq 0$。
一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件
详细描述
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
• 解一元二次方程的数学思想主要包括转化思想和数形结合思想 。转化思想是将二次方程转化为一次方程或常数项，数形结合 思想则是将一元二次方程与二次函数图像结合起来，通过图像 直观地理解方程的解。
THANKS
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详细描述
一元二次方程的一般形式包括未知数 x 的平方项、一次项和常数项，其中 a、b 、c 可以是任何实数，但 a 不能为0，否则不是二次方程。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是满足该方程的未知数的值。
详细描述
一元二次方程的解也称为根，是使方程成立的未知数的值。对于一般形式的一元 二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的解可以通过公式或因式分解等方法求得。
公式法
01
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
02 03
详细描述
一元二次方程的解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$， 其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。通过代入系数值，可以直接求得 方程的解。
举例
对于方以代入公式得到 $x = frac{-(4) pm sqrt{(-4)^2 - 4 times 2 times 2}}{2 times 2}$，解得 $x = 1$ 或 $x = 2$。
一元二次方程课件
在物理学中，物体的运动速度、加速度和时间之间存在二次函数关系。例如，在自由落体运动中，物体下落的距离与时间的关系可以用二次函数来描述。
物体运动
在平面几何中，一些图形如圆形、椭圆、抛物线等可以用一元二次方程来表示。例如，圆的一般方程为x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中D^2+E^2-4F>0。
在一些古代文学作品中，一元二次方程被用作解决情节问题的工具，如中国的古代小说《水浒传》等。
在一些古代音乐作品中，也体现了一元二次方程的思想，如音乐中的和声与一元二次方程的根的关系。
在现代数学中，一元二次方程被广泛应用于代数学、几何学、物理学等多个领域。
在经济学中，一元二次方程被用于研究价格与需求之间的关系，以及如何制定最优价格策略等。
D的符号决定了方程根的情况，是判断方程根存在与否的重要依据。
根的判别式可以应用于解一元二次方程，根据D的符号可以判断方程根的情况。
也可以用于求解一元二次方程的根的公式，通过D可以求出方程的两个实数根。
04
CHAPTER
一元二次方程的实际应用
假设投资金额为p，年利率为r，投资时间为t年，那么未来某一时刻的投资收益为E=p(1+r)^t。当收益时间t和年利率r固定时，投资收益E与投资金额p成二次函数关系。
06
CHAPTER
一元二次方程的历史与文化
在中世纪，阿拉伯数学家开始深入探讨一元二次方程的解法，并发展出了一些新的方法。
到了文艺复兴时期，欧洲数学家如笛卡尔和费马等人对一元二次方程有了更深入的认识，并为其提供了更多的解法。
一元二次方程源于古希腊数学家，如毕达哥拉斯和欧几里得等，他们开始研究如何求解一元二次方程。
一元二次方程(第一课时)课件
02
理解一元二次方程的解 法，并能够灵活运用。
03
通过练习题巩固所学知 识，提高解题能力。
04
为下节课学习一元二次 方程的应用做好准备。
感谢您的观看
THANKS
一元二次方程(第一课时 )ppt课件
目 录
• 引言 • 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的根的性质 • 课堂练习与解答 • 总结与回顾
01
引言
课程背景
01
一元二次方程是初中数学的重要 内容，是代数知识的基础之一。
02
通过学习一元二次方程，学生可 以加深对代数概念的理解，提高 解决实际问题的能力。
进阶练习题
总结词
提高解题能力
详细描述
进阶练习题是在基础练习题的基础上进行提升，难度有所增加。这些题目需要学生灵活 运用一元二次方程的知识点，提高解题能力和思维灵活性。
综合练习题
总结词
综合运用知识
详细描述
综合练习题是将一元二次方程与其他知识点 进行综合运用，题目难度较大，需要学生具 备较高的思维能力和综合运用知识的能力。 这类题目有助于培养学生的思维能力和创新 能力。
学习目标
掌握一元二次方程的 标准形式和一般形式 。
能够运用配方法求解 一元二次方程。
理解一元二次方程的 解的概念和解的判别 式。
02
一元二次方程的定义
一元二次方程的数学定义
总结词
一元二次方程是只含有一个未知 数，且未知数的最高次数为2的方 程。
详细描述
一元二次方程的标准形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程表示 一个未知数 x 的二次方程，其中 x 的最高次数是2。根与系数的关系根 Nhomakorabea系数的关系
一元二次方程课件
通过将一元二次方程转化为完全平方的形式来求解。
公式法
利用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a求解。
图像法
通过观察一元二次方程的图像来求解。
利用配方法解一元二次方程
1
步骤一
将一元二次方程展开。
2
步骤二
通过加减同项式转化为完全平方。
3
步骤三
应用二次平方公式求解。
利用公式法解一元二次方程
一元二次方程在数学竞赛中的应用
一元二次方程是数学竞赛中常见的考点，通过掌握解法和技巧，可以更好地应对竞赛题目。
利用解一元二次方程的方法求 解其他方程
解一元二次方程的方法可以应用于解其他类型的方程，如三次方程、指数方 程等。
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法可以分类为配方法和公式法，根据方程的性质和判别式的值来选择解法。
解一元二次方程的常见错误及 避免方法
常见错误包括计算错误、应用错误的解法、无效的代数操作等。避免方法包 括检查计算过程、理解方程的性质等。
凹凸性
当a > 0时，抛物线开口朝上；当 a < 0时，抛物线开口朝下。
解一元二次方程在实际生活中的应用
物理学
用于求解自由落体、抛体运动等问题。
经济学
用于建立成本、收益或利润方程来研究最佳决策。
工程学
用于计算曲线的最高或最低点，以便优化设计。
一元二次方程的根与系数的关系
两实根
当判别式Δ > 0时，方程有两个 不相等的实根。
找出一元二次方程的零点
方程y = ax^2 + bx + c的零点就是使y = 0的x值，即方程的实根。
求一元二次方程的最大值或最 小值
24.1 一元二次方程课件(共20张PPT)
授课老师：
时间：2024年9月15日
解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得 x(x-1)=10，整理，得 x2-x-20=0.
拓展提升
课堂小结
1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0).3.一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根.4.根据题意列一元二次方程
为什么规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0(a≠0)
一次项系数
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
知识点1
一元二次方程的定义
①
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x，请列出方程，并谈谈所列方程的特征.
x2+12x-15=0
x2-90x+1 400=0，x2-45x+350=0，x2+12x-15=0
建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．
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一元二次方程的解法例析
【要点综述】：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。
根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。
一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。
整式方程的概念：方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数。
因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。
下面再讲一元二次方程的解法。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；
3、公式法；
4、因式分解法。
如下表：
方法适合方程类型注意事项
直接开平
方法
≥0时有解，＜0时无解。
配方法二次项系数若不为1，必须先把系
数化为1，再进行配方。
公式法≥0时，方程有解；
＜0时，方程无解。
先化为一般形
式再用公式。
因式分解法方程的一边为0，另
一边分解成两个一
次因式的积。
方程的一边必须是0，另一边可用
任何方法分解因式。
【举例解析】
例1：用开平方法解下面的一元二次方程。
（1）；（2）
分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如的方程，
其解为。
通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；
解：（1）
∴（注意不要丢解）由得，由得，∴原方程的解为：，
（2）
由得，
由得∴原方程的解为：，
说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，
像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。
用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，
只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。
例3：用配方法解下列一元二次方程。
（1）；（2）
分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为1，
变为的形式。
第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，
即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，即：，
接下去即可利用直接开平方法解答了。
第（2）题在配方时应特别注意在方程两边加上一次项系数的一半的平方。
解：（1）
二次项系数化为1，移常数项得：，
配方得：，即直接开平方得：
∴，∴原方程的解为：，
（2）
（3）二次项系数化为1，移常数项得：
方程两边都加上一次项系数一半的平方得：
即
直接开平方得：∴，
∴原方程的解为：，
说明：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。
配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；
再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务。
例4：用公式法解下列方程。
（1）；（2）
分析：用公式法就是指利用求根公式，使用时应先把一元二次方程化成一般形式，
然后计算判别式的值，当≥0时，把各项系数的值代入求根公式即可得到方程的根。
但要注意当＜0时，方程无解。
第（1）小题应先移项化为一般式，再计算出判别式的值，
判断解的情况之后，方可确定是否可直接代入求根公式；第（2）小题为了避免分数运算的繁琐，
可变形为，求出判别式的值后，再确定是否可代入求根公式求解。
解：（1），
化为一般式：求出判别式的值：＞0
代入求根公式：，∴，
（2）
化为一般式：求出判别式的值：＞0
∴∴，
说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。
但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根要进行化简。
例5：用分解因式法解下列方程。
（1）；（2）
分析：分解因式法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，
让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，
就是原方程的两个根。
第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因式；
第（2）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。
解：（1）
左边分解成两个因式的积得：
于是可得：，∴，
（2）
化简变为一般式得：
左边分解成两个因式的积得：
于是可得：，∴，
说明：使用分解因式法时，方程的一边一定要化为0，这样才能达到降次的目的。
把方程一边化为0，把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程。
因为这是把方程降次的重要手段之一。
总结：直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。
公式法适
用于任何一元二次方程，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。
但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的重要的数学方法之一。
最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般式，同时应使二次项系数化为正数。
因此在解一元二次方程时，首先观察是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。
通常先把方程化为一般式，但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解。