第三章晶格的热振动1019

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第3章晶格振动与晶体的热学性质

温度较低: 热运动较弱——在平衡位置附近微振动,平衡位
置是晶格格点,所以称为晶格振动；晶格振动是原子的热运动，对晶体的热学性能起主要贡献。
温度较高:
热运动较强——少数原子脱离格点－热缺陷；热运动很强——整个晶体瓦解，溶解。
温度很高:
晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质
固体热容量 ——是晶体热运动宏观性质的表现
系统有N个原胞
第2n+1个M原子的方程
第2n个m原子的方程 —— N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式
—— 两种原子振动的振幅A和B一般来说是不同的
第2n+1个M原子
第2n个m原子
方程的解
—— A、B有非零的解，系数行列式为零
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
—— 声学波
—— 光学波
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
平衡位置时，两个原子间的互作用势能发生相对位移后，相互作用势能
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
相邻原子间的作用力
dU f d
—— 恢复力常数
原子的运动方程:
—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
1
声子:晶格振动中格波的能量量子声子这个名词是模仿光子而来（因为电磁波也是一种简谐振动）。声子与光子都代表简谐振动能量的量子。所不同的是光子可存在于介质或真空中，而声子只能存在于晶体之中，只有当晶体中的点阵由于热激发而振动时才会有声子，在绝对零度下，即在OK时，所有的简正模式都没有被激发，这时晶体中没有声子，称之为声子真空。声子与光子存在的范围不同，即寄居区不同。

第三章晶格的振动

i [ q ( 2 n2 ) at ]Be it Ae it
原胞内的不同原子以相同的振幅和位相做整体运动。
长声学波代表原胞质心的振动。
2）光频支 2 2 cos qaA ( 2 M ) B 0 两种原子的振幅比：
2 A 2 M2 ( )2 B 2 cos qa
玻恩—卡门边界条件：晶格振动的波矢数等于晶体的原胞数。晶格振动的频率数等于晶体的自由度数
（振动模式数）
2. 一维单原子链的波矢数
N M x N 1 x1 i q ( N 1) a t i qa t Ae Ae i qna t x Ae n ei qNa 1 Nqa 2l 2l q Na
光学波代表原胞中两个原子的相对运动。
三、玻恩—卡门边界条件 1. 玻恩—卡门假设和主要结果 a. 由N个原子构成的原子链为无限长的原子链上的一段，这里N=mM m—每个原胞的原子数，M—原胞数。 b. 把这N个原子组成的一维原子链看成一个闭合环，它包含有限数目的原子，但实际上第N+1个原子就是第1个原子。只要N足够大，圆环半径远远大于晶格常数就局部看仍认为原子排列在一条直线上从而得出结论。
0
U 1 2U 2 U ( x0 ) U ( x0 ) ( ) x0 x x0 ( 2 ) x0 x x0 ... x 2 x U 1 2U U ( x0 ) ( ) x0 ( 2 ) x0 2 ... x 2 x
2

mM
{(m M ) [m 2 M 2 2m M cos(2qa)] }
1 2
2. 振动方程及其试探解类似于一维单原子链的讨论

第三章晶格振动与晶体的热学性质(全部课件)

3. 波数q： μ nq = Ae i (ωt − naq ) (3-22)
格波波数q具有2π/λ格式，量纲为[L]-1。aq改变2π的
整数倍，即aq→ n2π + aq 时所有原子振动没有不
同。如：
q1
格= 波24πa1（红相色位）差：aq1
=
π 2
格波2（绿色）：
q2
=
2π
/
4a 5
=
5π 2a
按一般小振动近似能保留到δ2，得到相邻原子间的作用力为：
F
=
− dV dδ
≈
−βδ
(3 - 20)
这说明了相邻原子间的力是正比于相对位移的弹性恢复力。
1、建立运动方程和求解：
a) 建立方程（考查图中第n个原子的运动方程）：
n-2 n-1
n
n+1 n+2
aa
β：力常数
β
β
μn-2
μn-1
μn
μn+1
4、分析力学得到的哈密顿量:
∑ H
=
1 2
3N
(
Q&
2 i
i=1
+
ω
2 i
Q
2 i
)
（3-7）（3-9）
1
5、正则方程及解形式 :
在简正坐标下的简谐振动就是简正振动，它的正则
方程(简正坐标下的运动方程)：
Q&&i
+
ω
2 i
Qi
=0
i=1,2,…,3N （3-10）
这是3N个相互无关的方程，表明在简正坐标下的振动是独立的简谐振动，其中的任意解为:
¾ 晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为一种振动模式。

《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质

一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支声学波。
◇具有N个原胞的晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量：取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原子的振动相互关联传播，形成格波。

第三章晶格振动与晶体的热学性质

第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。

晶格振动对晶体的电学、光学、磁学、介电性质、结构相变和超导电性都有重要的作用。

本章的主题用最邻近原子间简谐力模型来讨论劲歌振动的本征频率；并用格波来描述晶体原子的集体运动；再用量子理论来表述格波相应的能量量子、3.1 连续介质中的波波动方程22220u ux Y tρ??-=??对足够长的介质，求行波的解：s v q ω=其中波相速ω=称作色散关系。

3.2 一维晶格振动格波讨论晶格振动时采用了绝热近似，近邻近似和简谐近似。

绝热近似：考虑离子运动时，可以近似认为电子很快适应离子的位置变化。

为简单化，可以将离子的运动看成是近似成中性原子的运动。

近邻近似：在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用；简谐近似：在原子的互作用势能展开式中，只取到二阶项。

0020021()()()()......2r r dU d U U r U r dr dr δ+=+++简谐近似——振动很微弱，势能展式中作二级近似：00'''001()()||2r r U r U r U U δ+=++相邻原子间的作用力02222,r Ud U d U f dr dr δβδβδ=-=-=-= ? ??????一维晶格振动格波考虑第n 个例子的受力情况，它只受最近邻粒子的相互作用即分别受到来自第n-1个粒子及第n+1个例子的弹性力11()n n n f u u β--=-- 11()n n n f u u β++=--1111(2)n n n n n n f f f u u u β-++-=-=--- 2112(2)n n n n d uf ma m u u u dtβ+-===---试探解以行波作试探解()i t naq nq u Ae ω-=2()()(2)i t naq i t naq iaq iaq m e e e e ωωωβ----=---利用：222cos()24sin (/2)iaq iaq e e qa qa -+-=-=得224sin (/2)qa m βω=，/2)qa ω=色散关系 s i n (/2)qa ω=长波极限因为色散曲线是周期的且关于原点对称，在0/q a π<<的区间内，频率仅覆盖在0m ωω<<的范围内。

(整理)第三章晶体子的热振动

第三章晶体中原子的热振动第一章、第二章中在讨论晶体的结合、固体中结合力性质以及相关物质性质（例第二章中的压缩系数或体弹性模量、抗张强度等）时曾忽略了晶体中原子热运动的影响（例当时考虑了T=0K 这种最简单的情况），认为固体中原子是处在平衡位置（即()()最小0,00r u rr u rr =∂∂=），这时整个晶体的势能最小，而实际上晶体中原子并非固定不动的，而是在其平衡位置附近或围绕其平衡位置作振动。

这种振动即本章所讨论的所谓热振动，在高于绝于零度以上的任何温度，这种运动都会发生，其振动频率大体在1012-1013次/S ，其振幅的数值决定于温度和晶体本身的性质，其振幅数量便大体为10-9cm 。

在较高温度下，振动原子通过偶然性的统计涨落，可获得高于平均能量的能量，当这种能量的大小足以摆脱周围原子束缚时，原子可离开其平衡位置而到达一个新的平衡位置，即产生扩散现象。

关于这方面的问题将在第四章中讨论。

本章讨论原子的热振动的情况，即在温度不太高时原子作微小振动的情况。

晶体中原子的热振动同晶体的许多重要宏观性质有关，例固体的比热、热膨胀、热传导等热学性质，电阻、超导电性等固体的电学性质，红外吸收与辐射等光学性质等。

所以，对晶体中原子热振动的研究和讨论是认识和了解固体中许多宏观性质、微观过程及其机理的重要基础。

本章只着重讨论其中的有关固体热学性质的部分，其它部分在本章最后的小结及后续章节、后续课程中可能有介绍（例电阻的产生机理、声子、电子运动等），因为热学性质是原子的振动在宏观性质上最直接的表现，对晶体原子振动的研究，最早是从热学性质开始的。

（在“统计热力学”中将讨论有关配分函数的处理及热力学函数的计算，本章中固体比热的计算，同上述内容有联系。

）§3.1晶体中原子的微振动及其量子化1．设晶体由N 个原子组成，它们相对于平衡位置的位移，分别用（x 1，x 2，x 3）、（x 4，x 5，x 6）……、（x 3N-2，x 3N-1，x 3N ）来表示，则其动能可表示为：∑=∙=Ni ii x m T 31221 （1）（)(212∙===x dt dx v mv T ）其中m i 是坐标为x 1的原子的质量。

第三章_晶格振动与热学性质

fn ＝fnR － fnL ＝ (un+1－un) － (un－un-1)
＝ (un+1＋un-1－2un)
n-1 n n+1 n-1 n n+1 fnL fnR un-1 un un+1
10
第n个原子在平衡位置的运动方程为：
d un m 2 ( un 1 un 1 2un ) dt
得到：
M 2 A 1( B A ) ( A Be
)
m 2 B 2 ( Aeiqa B) 1 ( B A)
整理，得：
(1 2 M 2 ) A (1 2e iqa ) B 0 (1 2e ) A (1 2 m ) B 0
a 一维单原子链
6
在t时刻，第n个原子偏离平衡位置的位移为un
n-2 n-1 n n+1 n+2
a
un-2
un-1
un
r un+1
un+2
一维简单晶格振动
r － a = un+1 －un的意义表示相邻格点的相对位移： > 0：伸长；< 0：缩短
r = un+1 + a －un
7
序号n和n+1的两个原子在t时刻的距离为：
e
iqNa
un Ae
i ( qnat )
1

a
q
2l q Na
a
l 是整数

N N l 2 2
允许的波矢数目等于N （原胞数）
21
二、一维复式格子
一维复式格子的格波解：
力常数晶格常数

固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质

固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。

只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。

由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。

对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。

和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。

这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。

若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。

当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。

晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。

ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。

这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。

若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。

23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。

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即时，
，由于
很小，
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
色散关系: 频率与波矢为线性关系
§1 一维晶格的振动
相邻两个原子振动相位差为0；
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
波长远大于原子间距，一个波长中包含很多原子，晶格可看做是连续介质。
相速度与群速度相等，为与波矢无关的常数。
§1 一维晶格的振动
（2）格波波矢的取值和布里渊区相邻原子的位相差：时，所有原子的振动没有任何改变格波1（红色标示）的波矢：
第三章
相邻原子的位相差：
格波2（绿色标示）的波矢：
相邻原子的位相差：波矢的取值：
晶格动力学和晶体的两种波矢下，格波描述的原热子振动是完全相同。学的取值区间第一布里渊区性质
§2 一维晶格的振动
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
声子具有能量、动量，可以看做是准粒子格波在晶体中的散射可以理解为声子和原子之间的碰撞电子波在晶体中的散射可以看做是电子和声子之间的相互作用光在晶体中的散射可以看做是光子和声子之间的相互作用
§1 一维晶格的振动
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
§2 一维晶格的振动
1.运动方程及其解
若只考虑最近邻原子的相互作用，容易列出第2n个原子和2n+1 第三个原子的运动方程
章晶格动当原子链包含N个原胞（即有 N个质量为M的原子和N个质量为m 力，的原子共2N个原子）时，应有2N个方程组成的联立方程组。学和晶方程解的形式为：体的热学性质
=
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
即：
为整数表明描述有限晶格振动状态的波矢不能连续取值，只能取一些分立的值。波矢的取值范围：
所以：
§1 一维晶格的振动
h只能取N个整数。波矢q也只能取N个不同的分立值。所以在布里渊区包含N个状态。第一布里渊区状态数说明：每个波矢在第一布里渊区占的线度：
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
§1 一维晶格的振动
4.原子位移和简正坐标的关系第q个格波引起第n个原子的位移：第n个原子的总位移：则：令：即比较得到简正坐标和
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
线性变换
幺正变换
§2 一维晶格的振动
方程的右端为:
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
方程的两端消去共同因子，得利用欧拉公式后得:
即频率为:
§2 一维晶格的振动
2.格波特性（1）格波
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
不同原子间相位差：
相邻两个原子的相位差：
格波的波形图
如果不同原子间相位差为的整数倍时，则原子因振动而产生的位移相等，即
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
周恒为
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
原子、分子都在作不停地运动
气体、固体、液体分子原子的运动形式不同晶体中的原子分子在其平衡位置做微振动，平衡位置即是晶格格点
原子间的相互作用使晶体中各个原子间的运动相互耦合、相互有关
晶格（晶体）振动：结构系统可以看成是一个相互耦合的振动系统，这种运动就称为晶格振动
二、一维双原子链振动许多晶体的原胞里原子数多于一个。为了表示复式格子的晶格振动特性，考虑由两个不同原子组成的一维双原子链。一维双原子链：P原子质量为M,Q原子质量m,相邻同种原子间的距离为a(复式格子的晶格常数）。质量为M的原子位于2n-1,2n+1,2n+3…..；质量为m的原子位于2n,2n+2,2n+4……..
从晶体中原子的振动出发去讨论晶体的宏观性质，称为晶格动力学
晶格振动与晶体的热学性质密切相关与电学、光学、介电等性质也密切相关
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
晶格动力学是固体物理学中最基础、最重要的部分之一。教学目标： 1.晶格动力学的基本概念和方法 2.晶格动力学在研究热血性质中的应用
但晶格的运动形式复杂，为了便于迅速理解晶格振动的主要特点，先考虑一维情况，再推广到三维情况
相速度是指特定频率为，波矢为的波的传播速度群速度描述平均频率为，平均波矢为的波包（波矢紧密相近的波群）速度，它表征能量和动量的传播速度
§1 一维晶格的振动
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
§1 一维晶格的振动
(4)长波近似和短波近似
长波近似：在布里渊区中心附近
第三章
晶格动力第一布里渊区的线度：学和第一布里渊区状态数：晶体的上式说明，允许的波矢数目等于N，振动谱是分离谱。N是晶热格的原胞数目，因此我们得出一个结论：晶格振动的波矢数学性目等于晶体的原胞数。质
§1 简正模和格波
总结：近似—只考虑近邻原子之间的相互作用格波——晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式格波的研究思路 1.先计算原子之间的相互作用力 2.根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程 3.特点分析结果：晶格振动的波矢数目q等于晶体的原胞数N。晶格振动的独立模式数等于系统的自由度数。一维单原子链中传播的长波近似下的格波叫声学波，一只纵模，两只横模。
5.动能和势能具有平方和的形式原子位移为实数，要求为N项独立的模式，具有正交性，即
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
利用
和
得到
§2 一维晶格的振动
6.动能的正则坐标表示将 7.势能的正则坐标表示将代入得：和代入得到：
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
波恩-卡曼边界条件: 由个原子头尾相接形成一个环状链，原子数目有限，但各原子完全等价，第j个原子的运动与第 j+N个原子的运动情况完全相同。其中的原子运动近似为直线运动，在处理问题时要考虑到环链的循环性。
学和晶体的热学性质
§1 一维晶格的振动
一维链的条件
设第n个原子的位移为，那么再增加 N个原子之后，第N+n个原子的位移为则有：
运动方程：
解的形式：
§1 一维晶格的振动
频率：周期：
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
动能：势能：
系统总能量：
§1 一维晶格的振动
二、一维单原子链振动
1.运动方程及其解
如图所示，一维晶格是由质量为m的全同原子所构成，相邻原子平衡位置的间距，即晶格常数为a，第n个原子的平衡位置为 ,用un表示序号为n的原子在t时刻偏离平衡位置的位移．平衡位置时，两个原子间的相互作用势能为第n个原子和第n+1个原子间的相对位移为后，相互作用势能为：
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
§1 一维晶格的振动
第三章
上式中首项为常数令为0，此项为0（平衡时势能取极小值）当很小时，即简谐近似—振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项。相邻原子间的相互作用为
如果只考虑相邻原子的相互作用，则第n个原子离开平衡位置所受到的作用力为：
，
§2 一维晶格的振动
因为M＞m,复式格子中不同原子振动的振幅一般来说是不同的。可按下列原则得出：①同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同． ②相隔一个晶格常数a的同种原子，相位差为qa．
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
向上代表原子沿X轴向右振动，向下代表原子沿X轴向左振动
§1 一维晶格的振动
如果不同原子间相位差为的奇数倍时，则原子因振动而产生的位移相反，即
第三章
晶这说明，晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的格位相关系，即在任意时刻，原子的位移有一定的周期分布，动力也即原子的位移构成了波，这种波称为格波。由于讨论的学是简谐近似，所以格波是平面波。和晶格中格波和连续介质波具有完全类似的形式。一个晶体格波表示的是所有原子同时做频率为的振动。的格波的波长：热学格波的波矢：性代表沿格波传播方向的单位矢。质质中的弹性波的一致。相邻原子间的相互作用力：原子链的伸长模量
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
格波的传播速度：
连续介质中弹性波的传播速度：可见，两者相速度相同，所以，对一维单原子链，晶格可看做是连续介质格波看做弹性波。在连续介质中传播的波为弹性波，其波速为声速，故单原子链中传播的长波近似下的格波叫声学波。
§1 一维晶格的振动
短波近似：
第三章
色散关系：由
得
频谱是非线性的，格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致；格波的波长：两个相邻原子的振动相位相反；
晶格动力学和晶体的热学性质
§1 一维晶格的振动
不同频率的格波传播速度不同，群速度与波矢有关：
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
短波极限下：
§1 一维晶格的振动
3.波恩-卡曼边界条件
第三以上的讨论是将一维单原子晶格看做无限长来处理的，这样章
所有的原子是等价的。每个原子的振动形式都一样。实际的晶体都为有限的。形成的链不是无穷长，这样两头的原子就晶格不能用中间原子的运动方程来描述。波恩-卡曼提出采用周期动性条件可以解决上述困难。力
§1 一维晶格的振动
只要研究清楚第一布里渊区的晶格问题就可以，其它区域不能提供新的物理信息第三章晶格动力学和晶体的热学性质