平差数学模型与最小二乘原理
第一章(近代平差理论简介)
1964年高德曼（Goldmen）蔡勒(Zelen)： Q，P满秩 Q ， P奇异（奇异权逆阵的最小二乘）
V T QV min
1971年劳（Rao）广义高斯——马尔柯夫
ˆ V AX L
R ( A) t
D 0 Q
2
det(Q) 0
2.4 最小二乘滤波、推估和配置
最小二乘平差：X未知参数是非随机的量，不具有随机 的性质 1969年克拉鲁普（Krarup），随后莫里兹（Moritz）提出了 带随机性的未知参数的平差； 根据所含未知参数的性质的不同分为： ① 滤波：L BY 未知参数信号Y与观测值建立了函数模型的滤波信号； ② 滤波推估: L BY' ' 除了含有滤波信号（未知参数）还含有：推估信号 Y；未 知参数与观测值没有建立函数模型。
随机模型的验后估计的方法有: ① 赫尔默特估计法： 2 T 建立各类观测值 Vi PVi 与对应的 i 的关系式，通过平差 求得的 ViT PVi ,求 i2 i2 i , ②MINQUE估计法（Rao 1970）： 最小范数：根据估计应具有的性质：无偏性，不变性， 最小范数。把满足这些性质的条件变成一个求最小迹的 极值问题，求极值的解。 BIQUE法（Koch 1980） ③库贝克（Kubik ）最大似然法： 假设随机变量服从正态分布，然法函数可表示为方差— 协方差的数学期望的函数，然后使该函数为最大。
ˆ BV AX f ˆ W CX E 0
当B=-E,C=0时,间接平差（参数平差） ˆ ˆ ( V BX l ) V AX f 当A=0,C=0时,条件平差： BV f ( AV W 0 ) 当B=-E时,带约束的间接平差：
ˆ V AX f
第四章平差数学模型与最小二乘法
几何模型中选定元素多于必要元素的元素 2、多余元素——几何模型中选定元素多于必要元素的元素 多余元素 几何模型中选定元素 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t时，独立量间会产生一个几 作为必要元素， 作为必要元素，则能唯一地确定 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ∆ABC形状与大小 。若选定了 L 1、 L 2 、 L 3 和 S 2 ，则有 L1 + L2 + L3 = 180° 形状与大小
函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。 函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。
一、条件平差法的函数模型
条件平差法： 观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 条件平差法：以观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 构成的条件方程为函数模型的平差方法 例如，在图 所示水准网中 所示水准网中， 为已知其高程的水准点 为已知其高程的水准点， 、 、 均为 例如，在图4-2所示水准网中，A为已知其高程的水准点，B、C、D均为 未知点。 未知点。网中观测向量的真值为 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T L = h1 h2 h3 h4 h5 h6
r ,n n,1 r ,1 r ,1
~ 为常数向量， A0为常数向量，将 L = L + ∆
代入上式， 代入上式，并令
W = AL + A0
(4-2-5) (4-2-6)
则有
A∆ +W = 0
多余观测数r。 （4-2-4）或（4-2-6）式为条件平差的函数模型。条件方程数 多余观测数 。 ） ）式为条件平差的函数模型。条件方程数=多余观测数
若用观测值组成上述两个条件方程，; L2 + L3 − 180° = ω ≠ 0
测量平差基础参考资料
第一章绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章 4种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第八章以及第十章的内容。
二、如何学好测量平差1. 要有扎实的数学基础。
只有牢固地把握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行温习，只有如此才能听懂这一节课。
2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。
3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。
第一章绪论本章要紧说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容和本课程的任务。
第二章误差散布与精度指标全章共分5节，是本课程的重点内容之一。
重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。
难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。
要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。
第三章协方差传播律及权全章共分7节，是本课程的重点内容之一。
重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。
难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。
要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。
第四章平差数学模型与最小二乘原理全章共分5节。
重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。
难点：函数模型的线性化，随机模型。
要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；关于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。
误差理论与测量平差四章
引用参数 X=H1
X%
h%1 h%4 h%5 0
h%1 h%2 h%6 0
h%3 h%4 h%6 0
h%1
1 0
1
1
0 0
1 0
X% HA
011 000 110 000
0
0
1
1
0
hh%%12
1
2
x
2 m in
1
nE(
1
2
)
2
n
得证
二、最小二乘原理 1.最小二乘法
例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：
yˆ ˆ ˆ
实际上： y v ˆ ˆ
为了求ˆ 与
ˆ, 在
1， 2，L
测定其位置，
n
得y1, y2 L yn ,则：
vi ˆ ˆ yi , (i 1, 2L n)
W AL A0
二、附有参数的条件平差函数模型 例 引用参数 X=SAB 参数的个数 U=1 n=5, t=3
r=n-t=5-3=2 条件方程个数：
C=r+U=3 可以列出三个条件方程：
S%12 S%22 X%2 2S%2 X%cos L%1 0 S%12 S%22 X%2 2S%1X%cos L%2 0 S%12 S%22 X%2 2S%1 S%2 X%cos L%3 0
hh%%34
hh%%56
0
0
0 1
X%
0
0
0
H
A
第3章最小二乘平差
几何模型、物理模型或几何、物理综合模型。 （测量控制网如水准网、三角网、GPS网等都属于几何模型） 建立不同的函数模型，就有了不同的平差方法。测量中常 用的有： 1、条件平差法、附有参数的条件平差； 2、间接平差法、附有限制条件的间接平差；
3、附有限制条件的条件平差法。
例如：为确定一个三角形的形状，若等精度独立 观测了三角形三个内角，观测值方差为 2 。 则平差的数学模型可表达为：
L1 L1 L1 1800 0 或： E ( L1 ) E ( L1 ) E ( L1 ) 1800 0
函数模型：
随机模型：
2 0 0 Q11 0 2 DL 0 2 0 0 0 Q22 2 0 0 0 0
1、条件平差法
条件平差的函数模型 观测值的数学期望之间的函数关系式,又称为条件方程。 条件平差 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差方法。
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0 h1 h2 h3 0
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0 h1 h2 h3 0 h1 h2 h4 h6 0 .......
X1
X2
L3 X 1 X 2 180
0
t=2，选2个参数，函数模型：
选：X 1 L1 X 2 L2
1 0 0 , B0 0 B 0 1 0 1 1 180
3,1
L B XB
3,2 2,1
0
3,1
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0
《测量平差》学习辅导
《测量平差》学习辅导第一章测量平差及其传播定律一、学习要点（一）内容：测量误差的概念、测量误差来源、分类；偶然误差概率特性；各种精度指标；真误差定义；协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律；权逆阵及其传播规律。
（二）基本要求：1．了解测量平差研究的对象和内容；2．掌握偶然误差的四个概率特性；3．了解精度指标与误差传播偶然误差的规律；4．了解权的定义与常用的定权方法；5．掌握协方差传播率。
（三）重点：偶然误差的规律性，协方差、协因数的概念、传播律及应用；权的概念及定权的常用方法。
（四）难点：协方差、协因数传播率二、复习题（一）名词解释1．偶然误差2．系统误差3．精度4．单位权中误差（二）问答题1．偶然误差有哪几个概率特性?2.权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些?（三）计算题σ的量测中误差1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm，dσ。
σ=±0.2mm，求该两点实地距离S及中误差s三、复习题参考答案 （一）名词解释1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。
2．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。
3．精度：表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各种观测结果与其中数的接近程度。
4．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。
（二）问答题1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的概率相同；④偶然误差的数学期望为零。
2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ，则定义：22ip σσ=，称为观测值L i 的权。
第二章 平差数学模型与最小二
3-2中
表3-3
近似坐标(m)
近似方位角
2 (187966.645 , 29506889.655)
3 (186847.276 , 29507771.035)
4 (186760.011 , 29509518.179)
5 (184817.621 , 29509341.465)
T1 = 67˚ 14′ 28.3″ T2= 141˚ 47′ 00.5″ T3 = 92˚ 51′ 33.8″ T4= 185˚ 11′ 54.0″ T5 = 249˚ 30′ 24.0″
0.9221 0.6186 0.9988 0.0906 1.2502 1.5267 0.9840 0.9417 0
W= [ 3.9 -1.6 1.7 ]T
第3点平差后坐标函数式
xˆ3 x1 xˆ1 xˆ2 x1 sˆ1 cosTˆ1 sˆ2 cosTˆ2
yˆ3 y1 yˆ1 yˆ 2 y1 sˆ1 sin Tˆ1 sˆ2 sin Tˆ2
在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多 的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据一点 的坐标，通过直接测定的角度和距离求定另一些点 的坐标；根据一点的高程，通过直接测定的高差求 定另一些点的高程等等。这也充分说明要确定一个 几何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只 需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通过 它们之间的函数描述而确定出来，这种描述所求量 与已知量之间的关系式称为函数模型。
r=n-t
(2-1-1)
式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r称为 多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学 中也叫自由度。
既然一个几何模型能通过t个必要而独立的量唯一 的确定下来，这就意味着在该模型中，其它的量都可 以由这t个量确定下来，即模型中任何一个其它的量 都是这t个独立量的函数，都与这t个量之间存在有一 定的函数关系式。现在模型中有r个多余观测量，因 此，一定也存在着r个这样的函数关系式。
测绘技术中的平差计算方法详解
测绘技术中的平差计算方法详解测绘技术是一个复杂而多样化的领域，涉及到测量和计算等多个方面。
其中，平差计算是测绘技术中的一个重要环节，用于处理测量数据的误差，并确定准确的测量结果。
本文将详细介绍测绘技术中的平差计算方法，包括主要的几种方法以及其原理和应用。
一、最小二乘法平差最小二乘法平差是测绘技术中常用的一种平差方法，其原理是通过最小化测量数据的残差平方和，找到最优的平差结果。
具体而言，最小二乘法平差可以分为两个步骤，即观测方程的建立和最小二乘平差计算。
观测方程的建立是最小二乘法平差的首要步骤。
观测方程是通过观测数据和控制点坐标之间的关系建立的，通常采用线性模型，分为多余观测方程和未知数观测方程。
多余观测方程用于约束未知数之间的关系，而未知数观测方程用于计算未知数的值。
最小二乘平差计算是基于观测方程的误差理论和最小二乘法原理进行的。
具体而言，最小二乘平差计算首先确定观测方程的权阵，即观测误差的方差-协方差矩阵的逆阵。
然后，通过迭代计算的方式，不断更新未知数的值，直到满足平差条件为止。
最终，得到的平差结果可以用于控制点坐标的计算和精度评定等。
最小二乘法平差在测绘技术中有广泛的应用。
例如，地理信息系统（GIS）中的空间数据处理和地图制图，常常需要进行最小二乘法平差来获得准确的空间坐标。
此外，最小二乘法平差还在大地测量、工程测量和海洋测绘等领域中得到广泛的应用。
二、权值平差除了最小二乘法平差外，权值平差也是测绘技术中常用的一种平差方法。
它通过给予不同观测量不同的权值，来提高平差结果的准确性。
具体而言，权值平差可以分为权值设计和平差计算两个步骤。
权值设计是权值平差的首要步骤。
权值设计是通过评定每个观测量的精度，为观测方程赋予权值。
通常情况下，权值可以根据观测量的可靠性、测量仪器的准确性和操作员的经验等因素来确定。
平差计算是基于观测方程的权值进行的。
权值平差首先通过测量原始数据的残差和权阵，确定观测方程的权阵。
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平差数学模型与最小二乘原理
§ 1 测量平差概述 § 2 测量平差的数学模型 § 3 函数模型的线性化 § 4 最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程， 需要建立水准网，为了确定待定点的平面 坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、 测边网、边角网），我们常把这些网称为 几何模型。每种几何模型都包含有不同的 几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边 的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等 元素。这些元素都被称为几何量。
A L~
rn n1
A0
r 1
0 r 1
将 L~ L 代入，并令 W (AL A0 )
则
A W 0
上式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础
的平差计算称为条件平差法。
2. 附有参数的条件平差法
在平差问题中，设观测值个数为n，必要 观测个数为t，则可以列出r=n-t个条件方 程，现又增设了u个独立量作为未知参数， 且0 <u<t,每增加一个参数应增加一个条 件方程，因此，共需列出r+u个条件方程， 以含有参数的条件方程为平差函数模型 的平差方法，称为附有参数的条件平差 法。
4. 附有限制条件的间接平差
其函数模型的一般形式为
L~ F (X~)
n1
( X~) 0
S 1
线性形式的函数模型为
测量平差概述
在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多 的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据 一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定 另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接 测定的高差求定另一些点的高程等等。这也充 分说明要确定一个几何模型，并不需பைடு நூலகம்知道其 中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就 可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描 述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间 的关系式称为函数模型。
测量平差概述
在测量工作中，并不是对模型中的所有量都进 行观测。假设对模型中的几何量总共观测n个， 当观测值个数小于必要观测个数，即n<t, 无法 确定模型的解；如果观测值个数恰好等于必要 观测个数，即n=t,则可唯一地确定该模型，但 对观测结果中含有的粗差和错误都将无法发现。 为了能及时发现测量中的粗差和错误，提高观 测成果的精度和可靠性，通常使观测值个数大 于 必 要 观 测 个 数 ， 即 使 n>t， 设 ： r=n-t 式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r 称为多余观测个数，在统计学中也叫自由度。
测量平差概述
有了多余观测，观测值之间必然不能满足理论上的条件 方程，即观测值产生了矛盾，从而使观测值不能完全吻 合于几何模型。
为了消除矛盾，通常用另一组被称为“观测值估值（又 叫平差值、最或是值、最或然值）来代替观测值。
任何一个观测值估值都可以看作是一个改正了的观测值， 是由观测值加上改正数而得到，观测值的改正数，它们 必须在计算之前被计算出来。但这种改正数有无数多组 （如：对三角形闭合差的分配），但从统计学角度讲， 只有一组改正数能得到最优解。为求唯一的一组最优改 正数，必须附加一定的约束条件，我们把按照某一准则 求得观测值新的一组最优估值的计算过程叫平差。
§2-2 测量平差的数学模型
在测量工作中，涉及的是通过观测量确定某些 几何量的大小等有关数量问题，因此，常考虑 如何建立相应的数学模型及如何解算这些模型。 由于测量观测值是一种随机变量，所以，平差 的数学模型与传统数学上的模型不同，它不仅 要考虑描述已知量与待求量之间的函数模型， 还要考虑随机模型，在研究任何平差方法时， 函数模型和随机模型必须同时予以考虑。
选择几何模型中t个独立量为平差参数，将每一 个观测量表达成所选参数的函数，共列出 r+u=r+t=n个这种函数关系式，以此作为平差的 函数模型的平差方法称为间接平差。
3. 间接平差法(参数平差法)
一般而言，如果某一平差问题中,观测值个数为n，
必要观测个数为t，多余观测个数为r=n-t，再增
选u个独立参数， u=t，则总共应列出c=r+u=n
个函数关系式，其一般形式为
L~ F (X~)
n1
如果这种表达式为线性的，一般为
L~ B X~ d
n1 nt t1 n1
将 L~ L 代入上式，并令 l L d
则
B X~ l
n1
nt t1 n1
上式就是间接平差的函数模型。
4. 附有限制条件的间接平差
如果在某平差问题中，选取u>t个参数， 其中包含t个独立参数，则多选的s=u- t 个参数必定是t个独立参数的函数，即在u 个参数之间存在着s个函数关系式。方程 的总数c=r+u=r+t+s=n+s个，建立模型时， 除了列立n个观测方程外，还要增加参数 之间满足的s个条件方程，以此作为平差 函数模型的平差方法称为附有条件的间 接平差。
2. 附有参数的条件平差法
一般而言，在某一平差问题中,观测值个数为n， 必要观测个数为t，多余观测个数为r=n-t，再增 选u个独立参数，0 <u<t，则总共应列出c=r+u 个条件方程，其一般形式为
F (L~, X~) 0
c1
如果条件方程是线性的，其形式为
A L~ B X~
cn n1 cu u1
A0
c1
0
将 L~ L 代入上式，并令 W (AL A0 )
则得
A B X~ W 0
cn n1 cu u1 c1
上式为附有参数的条件平差的函数模型。
3. 间接平差法(参数平差法)
一个几何模型可以由t个独立的必要观测量唯一 的确定下来，因此，平差时若把这t个量都选作 参数，即u=t（这是独立参数的上限），那么通 过这t个独立参数就能唯一地确定该几何模型， 换句话说，模型中的所有量都一定是这t个独立 参数的函数，每个观测量也都可以表达为所选t 个独立参数的函数。
函数模型
1. 条件平差法 2. 附有参数的条件平差法 3. 间接平差法(参数平差法) 4. 附有限制条件的间接平差 5. 附有条件的条件平差（综合平差模型）
1. 条件平差法
一般而言，如果有n个观测值，必要观测个数为t， 则应列出r=n-t个条件方程，即
F (L~) 0
如果条件方程为线性形式，则可以直接写为