轴对称,作轴对称图形教案(横版)

教学过程一、复习预习1.角的平分线的定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

2.角的平分线的画法：（1）用量角器作；（2）把角对折使角的两边完全重合，折痕就是角的平分线；（3）尺规作图法：①以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ；②分别以M 、N 为圆心，大于MN 21的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点P ；③画射线OP，射线OP即为所求。

注意：用尺规作图时，作图的痕迹要保留，不能擦掉。

3.角平分线的性质：文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

几何表达：∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知）∴PA＝PB。

（角平分线的性质）4．角平分线的判定：文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

几何表达：∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知）∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定）5.三角形角平分线：1. 三角形角平分线定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段，叫三角形的角平分线。

注意：三角形的角平分线是线段。

2. 三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。

且任意三角形的角平分线都在三角形内部。

3. 三角形三条角平分线相交于三角形内部一点，并且这一点到三条边的距离相等（即内心）。

4. 三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到三边所在直线的距离相等。

5. 三角形两个外角的平分线交点共有3个，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个。

二、知识讲解考点/易错点1轴对称与轴对称图形：轴对称图形是指“一个图形”；轴对称是指“两个图形”的位置关系。

考点/易错点2轴对称与轴对称图形的性质：轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。

考点/易错点3线段的垂直平分线的性质：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

这是一个证明线段相等的办法。

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

考点/易错点4画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴：如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。

因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。

考点/易错点5轴对称变换：画一个图形关于某条直线对称的图形，只要分别作出这个图形上的关键点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形。

考点/易错点6用坐标表示轴对称：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数。

如(,)a b-，关于y轴对称的P a b关于x轴对称的点的坐标为(,)点的坐标为(,)-。

a b三、例题精析【例题1】【题干】判断下图中的图形是否为轴对称图形，若是，说出它有几条对称轴。

【答案】图②④⑤⑦⑧⑩是轴对称图形，其中图②④⑤⑧都有1条对称轴，图⑦有4条对称轴，图⑩有2条对称轴。

【解析】本题考查的是轴对称图形的概念，解决此类问题应联想轴对称图形的概念并展开想象。

【例题2】【题干】如图，阴影三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形有几条对称轴？【答案】阴影三角形与三角形①、②成轴对称；整个图形共有两条对称轴。

【解析】判断两个图形是不是成轴对称，关键是要把握轴对称的含义。

【例题3】【题干】图中的两个四边形关于某直线对称，根据图形提供的条件求,x y 。

【答案】证明：∵2AB EF ==，120A E ∠=∠=∴A 与E 、B 与F 是对称点∵F B ∠=∠，即70x =又100D H ∠=∠=∴D 与H 、C 与G 是对称点∴GF ＝BC ，即6y =。

【解析】由2AB EF ==，120A E ∠=∠=，可知A 与E 、B 与F 是对称点。

又由，可知D 与H 、C 与G 是对称点。

100D H ∠=∠=【例题4】【题干】如图，点,,A B C表示三个村庄，为了解决村民的饮水问题，现计划打一口井，要使水井到三个村庄的距离相等，请你确定水井的位置。

【答案】（1）连接AB、BC；（2）分别作AB、BC的垂直平分线交于点P，点P就是所要确定的水井的位置。

【解析】本题实际是找一个点，使之到三角形ABC三个顶点的距离相等。

可将此问题分解为几个步骤再进行解答：先找到A、B两点距离相等的点的集合；再找到B、C两点距离相等的点的集合；最后再找这两个集合的公共点。

【例题5】【题干】如图，在ABC∆中，AB AC=，AB的垂直平分线DE交AC于点E，若24AD AC cm+=，20BD BC cm+=，求BEC∆的周长。

【答案】∵12AD BD AB==，AB AC=∴12AD AC=∵24AD AC+=∴8AD BD==，16AC=又∵20BD BC+=∴12BC=∵DE 垂直平分AB∴EA EB =∴161228BE EC BC AC BC ++=+=+= 即BEC ∆的周长为28cm 。

【解析】解此题要注意利用“AB 的垂直平分线DE ”这个条件，以及要找出“24AD AC cm +=，20BD BC cm +=”这个条件中四条线段之间的联系。

【例题6】【题干】如图，ABC∆和DEF∆关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？【答案】（1）连接AD；（2）分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径作弧，两弧交于M、N两点；（3）作直线MN。

直线MN即为所求的直线（对称轴）。

【解析】因为两个图形关于某条直线对称时，其对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，所以只要确定一对对应点，然后连接这两点得到一条线段，再画出这条线段的垂直平分线，就能得到这两个图形的对称轴。

【例题7】【题干】如图，已知ABC∆关于直线m对称的图形。

∆，直线m，画出ABC【答案】（1）过点A作AD m⊥于点D，延长AD至A＇，使A＇D＝AD，得到点A关于直线m的对称点A＇；（2）同理，可作出点B、C关于直线m的对称点B＇、C＇；（3）顺次连接A＇B＇、B＇C＇、C＇A＇；则'''∆就是所求作的三角形。

A B C【解析】分别作出点A、B、C关于对称轴的对称点，然后连接这些对称点就可以得到轴对称变换后的图形。

【例题8】【题干】（1）如图甲，在平面直角坐标系中，(1,5)A -，(1,0)B -，(4,3)C -，求出ABC S ∆； （2）作出ABC ∆关于y 轴的对称图形111A B C ∆，并写出111A B C ∆三个顶点的坐标。

甲 乙【答案】（1）根据A 、B 、C 三点的坐标，可知5AB =，AB 边上的高为3所以，1155322ABC S ∆=⨯⨯=；（2）ABC∆关于y 轴的对称图形111A B C ∆如图乙所示，三个顶点的坐标分别为1(1,5)A ，1(1,0)B ，1(4,3)C 。

【解析】由于图形是在直角坐标系中，且坐标比较特殊，所以很容易得5AB =，AB 边上的高为3。

根据关于y 轴对称的点的坐标的特点，很容易求出111,,A B C 三个点的坐标，以点带面，即可作出111A B C ∆。

【例题9】【题干】如图，,Ox Oy是两条公路，在两条公路夹角的内部有一油库A，现想在两公路上分别建一个加油站，为使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，问加油站应如何选址？【答案】（1）作点A关于,Ox Oy对称的点M、N；（2）连接M、N，与,Ox Oy分别交于P、Q；点P、Q就是所求的加油站的位置。

【解析】要使油库和加油站组成的三角形的周长最小，可根据两点之间线段最短，只需令三角形的三边之和等于某两点之间的距离，因此考虑作点A关于,Ox Oy对称的点。

四、课堂运用【基础】1.如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（）【答案】解：根据轴对称图形的定义：第一个图形和第二个图形有2条对称轴，是轴对称图形，符合题意；第三个图形找不到对称轴，则不是轴对称图形，不符合题意．第四个图形有1条对称轴，是轴对称图形，符合题意；轴对称图形共有3个．故选C．【解析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此可知只有第三个图形不是轴对称图形．2. 如图所示的矩形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（）A．B．C．D．【答案】解：展开后应是C．故选C．【解析】根据长方形的轴对称性作答．3. 如图，ΔABC 与ΔC B A '''关于直线l 对称，则∠B 的度数为_________；【答案】解：∵△ABC 与△A ′B ′C ′关于直线l 对称，∴∠A=∠A ′=50°，∠C=∠C ′=30°； ∴∠B=180°-80°=100°． 故选D ．【解析】由已知条件，根据轴对称的性质可得∠C=∠C ′=30°，利用三角形的内角和等于180°可求答案．30︒lC'B'A'B CA50︒4. 已知点(2,3)A x +与点(5,7)B y -+关于x 轴对称，则x =________，y =________；【答案】解：根据坐标平面内关于x 轴对称的点的坐标特性可得： x+2=-5,y+7=-3；解得x=-7,y=-10. 【解析】两点关于x 轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数。

【巩固】1. 如图，正方形ABCD的边长为8cm，则图中阴影部分的面积为【答案】解：依题意有S=1/2×8×8=32cm2，故阴影部分的面积为32cm2．故答案是：32cm2．【解析】正方形为轴对称图形，一条对称轴为其对角线；由图形条件可以看出阴影部分的面积为正方形面积的一半．2.如下图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°。

BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，试证明：BE垂直平分AD。

【答案】证明：连接AD交BE于点F∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠CBE∵DE⊥BC∴∠BDE=∠BAC=90°又∵BE=BE∴△BAE≌△BDE∴BA=BD在△ABF和△DBF中B∵BA=BD，∠ABE=∠CBE，BF=BF ∴△ABF≌△DBF∴∠BFA=∠BFD AF=EF又∵∠BFA+∠BFD=180°∴∠BFA=∠BFD=12×180°= 90°∴BE垂直平分AD【解析】求证BE垂直平分AD，既要证明垂直，还要证明相等。