高等数学第十一章无穷级数第五节函数的幂级数展开式的应用
中国海洋大学《高等数学Ⅱ》课程教学大纲
《高等数学Ⅱ》课程教学大纲
撰写人：姚增善
撰写时间：2011 年7月
一、课程基本信息
开课院系：数学科学学院
课程英文名称：Advanced Mathematics Ⅱ
课程类别：通识课
适用专业：理、工科各专业
是否独立开课：独立
先修课程：无
课程总学时：96+80=176学时
总学分：6＋5
二、课程性质、目的与任务：
《高等数学Ⅱ》是理、工科专业的一门重要基础课，通过本课程的教学，使学生获得函数、极限及连续、一元及多元函数微积分、向量代数和空间解析几何、无穷级数、常微分方程等方面的基本理论和基本运算技能。
为学习其它课程及今后工作奠定必要的数学基础。
在教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括能力，逻辑推理能力，空间想象能力和自学能力，要特别注意培养学生运用所学知识去分析、解决实际问题的能力。
三、教学安排：
四、考核方式：
考试形式：笔试(闭卷或开卷)、口试、写小论文等形式。
五、推荐教材及参考书资料（注明编者，出版社，出版时间及版次）：
教材：
刘新国主编，高等数学(上、下册)，石油大学出版社，2011年8第二版
参考书：
[1] 赵树嫄主编，微积分，中国人民大学出版社，1990年第二版
[2]同济大学编，高等数学（上、下册），同济大学编，高等教育出版社。
2002年7月第五版。
函数的幂级数展开式的应用一近似计算
。
拓展幂级数展开式在物 理、工程、金融等领域 的应用，提高近似计算
的精度和效率。
探索新的近似计算方法和技术
研究新的近似计算方法，如泰勒级数、傅里叶级 数等，以适应不同问题的需求。
结合人工智能和机器学习技术，开发自适应近似 计算算法，提高计算效率和精度。
探索混合精度计算方法，结合不同精度的数值计 算，以实现更高效的近似计算。
01
幂级数展开式的收敛性是指级数在某个区间内是收敛的，即其 和是有限的。
02
收敛性的判断对于幂级数展开式的应用至关重要，因为只有在
收敛的条件下，级数的近似值才具有意义。
收敛性的判断依据包括柯西收敛准则、阿贝尔定理等，这些准
03
则可以帮助我们确定幂级数的收敛域。
近似计算的精度控制
1
近似计算的精度控制是指在近似计算过程中，如 何控制近似值的误差范围，以确保结果的准确性。
收敛速度快
幂级数展开式的收敛速度通常比其他级数展开式更快，这意味着在 相同的精度要求下，幂级数展开式需要的项数更少。
适用范围广
幂级数展开式适用于多种类型的函数，包括初等函数和某些复杂函 数。
幂级数展开式的局限性
收敛范围有限
幂级数展开式的收敛范围通常较小，这意味着在某些情况下，需要非常接近展开点才能 得到有意义的结果。
幂级数展开式的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$
幂级数展开式的性质
01
幂级数展开式具有唯一性，即一个函数只有一个幂 级数展开式。
02
幂级数展开式具有收敛性，即当$x$取值在一定范围 内时，级数收敛，否则发散。
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式是一种用无穷多个幂次项来表示函数的展开式。
它是一种非常重要的数学工具，可以用来近似计算各种函数和解决各种数学问题。
在本文中，我们将介绍函数的幂级数展开式的定义、性质和应用，并通过一些实例来加深理解。
一、函数的幂级数展开式的定义给定一个实函数f(x)，如果它在一些区间[a, b]上无穷次可导，并且对每一个x∈[a, b]，都存在常数an（n=0,1,2,3,...）使得f(x) = ∑(n=0 to ∞) an(x-a)n，其中an是常数，这个展开式就称为函数f(x)在点a处的幂级数展开式。
其中(x-a)n表示x-a的n次幂。
二、函数的幂级数展开式的性质1.函数的幂级数展开式在其收敛半径内是收敛的，即对于任意x∈[a,b]，幂级数展开式都收敛。
收敛半径的计算可以使用柯西-阿达玛公式进行推导。
2.函数的幂级数展开式可以实现函数的逐项求导和逐项求积分操作，即对幂级数展开式的每一项进行求导或求积分操作后，得到的仍然是原函数在该点的幂级数展开式。
3.函数的幂级数展开式的和函数在展开区间内连续，但在展开区间端点处是否连续需要根据情况来确定。
如果和函数在展开区间端点处连续，那么展开式的收敛性在展开区间端点处也成立。
三、函数的幂级数展开式的应用1.函数逼近：幂级数展开式可以用来逼近各种函数，将一个函数表示为幂级数的形式，可以利用幂级数的性质对其进行计算和分析，从而更好地理解函数的性质。
2.函数求和：使用函数的幂级数展开式可以求解一些无穷级数的和，如调和级数、指数级数、三角级数等。
3.微分方程求解：幂级数展开式可以用来求解一些微分方程，通过将未知函数表示成幂级数的形式，将微分方程转化为幂级数方程，通过比较幂级数展开式的系数来求解未知函数。
4.概率统计：幂级数展开式在概率统计领域有广泛应用，如泰勒级数在正态分布、伽玛分布等概率分布的研究中的应用。
最后，我们通过两个实例来进一步了解函数的幂级数展开式的应用。
高等数学第十一章第五讲、函数展开为麦克劳林级数
n n1 f ( x ) a1 2a 2 ( x x0 ) na n ( x x0 )
n 2 f ( x) 2a2 3 2a3 ( x x0 ) n(n 1)an ( x x0 )
x n
x (, )，
第十一章
5、函数展开为幂级数
例4 将f ( x) ln(1 x)展开成麦克劳林级数.
解
1 2 3 n 1 x x x ...... x ....., x (1,1) 1 x x 1 1 2 1 3 1 n1 0 1 xdx x 2 x 3 x ...... n 1 x ......, x (1,1) 1 2 1 n ln(1 x) x x ...... x ......, x [1,1) 2 n
5、函数( x0 ) n!
( n 0,1,2,)
. 泰勒系数是唯一的, f ( x )的展开式是唯一的
第十一章
于是，幂级数的形式为：
5、函数展开为幂级数
( x0 ) n ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) n! n 0 f ( x0 ) 2 + ( x x0 ) 2! 称f(x)在Xo处的 f ( x0 ) 3 + ( x x0 ) ...... 3! 泰勒级数 (n) f ( x0 ) n + ( x x0 ) ...... n!
第十一章
5、函数展开为幂级数
例1 将f ( x) ex展开成麦克劳林级数.
x x x (n) e | 1, ( e ) | 1,......,( e ) | x 0 1. 解 x 0 x 0 x
高等数学系列教材目录表
高等数学系列教材目录表第一章：极限与连续1.1 极限的概念1.2 极限的运算法则1.3 无穷小与无穷大1.4 一元函数的连续性第二章：函数的导数与微分2.1 导数的定义2.2 导数的基本运算法则2.3 高阶导数与高阶微分2.4 隐函数与参数方程求导第三章：一元函数的微分学应用3.1 最值与最值存在条件3.2 凹凸性与拐点3.3 曲线的渐近线3.4 微分中值定理与Taylor公式第四章：不定积分4.1 不定积分的概念4.2 基本积分表与换元法4.3 分部积分与定积分的计算4.4 函数积分的性质第五章：定积分5.1 定积分的概念5.2 定积分的计算方法5.3 反常积分5.4 定积分的应用第六章：微分方程6.1 常微分方程的基本概念6.2 可分离变量与齐次方程6.3 一阶线性微分方程6.4 高阶线性微分方程第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的极限与连续7.2 多元函数的偏导数7.3 隐函数与参数方程的偏导数7.4 多元函数的全微分第八章：重积分8.1 二重积分的概念与计算8.2 极坐标系下的二重积分8.3 三重积分的概念与计算8.4 数值积分与重积分的应用第九章：曲线曲面积分9.1 第一类曲线积分9.2 第二类曲线积分9.3 曲面积分的概念与计算9.4 应用实例解析第十章：无穷级数10.1 数项级数的概念与性质10.2 收敛级数的判定10.3 幂级数与函数展开10.4 泰勒级数与麦克劳林级数第十一章：常微分方程11.1 一阶常微分方程11.2 高阶常微分方程11.3 实际问题建模与解答11.4 系统常微分方程第十二章：向量代数与解析几何12.1 向量空间与基底12.2 向量的内积与外积12.3 线性方程组与矩阵12.4 空间曲线与曲面第十三章：多元函数微分学的应用13.1 梯度与方向导数13.2 多元函数的极值与最值条件13.3 二次型与正定性13.4 特征值与特征向量第十四章：多元积分学14.1 二重积分的计算技巧14.2 三重积分的计算技巧14.3 坐标变换与积分的几何应用14.4 曲线曲面积分的计算方法第十五章：无穷级数的应用15.1 幂级数的收敛域与函数展开15.2 Fourier级数与函数展开15.3 数学物理方程的解析解15.4 波动方程与热传导方程第十六章：曲线积分与曲面积分的应用16.1 曲线积分的物理应用16.2 曲面积分的物理应用16.3 物理场的散度与旋度16.4 应用实例解析与计算第十七章：多元函数的傅里叶级数17.1 多元函数的Fourier级数展开17.2 空间中的Fourier级数与Fourier变换17.3 矢量值函数的Fourier级数展开17.4 傅里叶级数的物理应用第十八章：向量场与格林公式18.1 向量场的数学描述18.2 向量场的积分与路径无关性18.3 格林公式的证明与应用18.4 微分形式与斯托克斯公式这是一份高等数学系列教材的目录表，涵盖了极限与连续、函数的导数与微分、微分方程、重积分、曲线曲面积分、无穷级数、向量代数与解析几何、多元函数微分学的应用等主要内容。
高等数学无穷级数111精品文档
的敛散性.
解 由于
nlimun
lim n2 2n5 n(3n1)(3n1)
1 9
0
发散
用级数收敛的必要条件 ln imun 0, 判别级数发散.
例
判别级数
n1
1 3n
lnn 3 3n
敛散性.
解
因调和级数
1
n 1 3 n 发散.
1
n1n(n51)21n
n1
5 n(n1)
n1
1 2n
n 1n(n 51)5n 1 n 1n1 1
令gn5kn1k1k11
5(1
1 ), n1
ln im gn5ln i (m 1n1 1)5,
常数项级数的基本概念
级数收敛的必要条件 lnimun 0
记住等比级数(几何级数) aq n 的收敛性
n0
基本审敛法
1. 当ln i m un0,则级数发散
2. 由定义, 若sns,则级数收敛
3. 按基本性质
级数收敛的必要条件: ln im un 0
设 un 为收敛级数, a为非零常数,
性质4 设级数 u n 收敛, 则对其各项任意
n1
加括号所得 新级数仍收敛于原级数的和.
注 ①一个级数加括号后所得新级数发散,
则原级数发散.
事实上, 设级数收敛, 根据性质4 加括后 的级数就应该收敛了.
②一个级数加括号后收敛, 原级数敛散 性不定.
例(如 11)(11)收敛 1111 发散
部分和定义 un 前n项 的 和 n1 S n u 1 u 2 u 3 u n
函数的幂级数展开式的应用
dx
2 (1)n π n0 n!
1 2
x
2n
dx
0
2 π
n0
(1)n n! (2n
1)
1 22n
1
2
1 2
ex2
dx
π0
1 π
1
1 22
3
2
4
1 5
2!
26
1 7
3!
欲使截断误差
rn
1 π
n!(2n
1 1)
n2
比较系数得: a0 0, 6a4 2a3 1
(n 1)(n 2)an (n 2)an1 0 (n 2, n 4)
可任意取值, 因是求特解, 故取 a1 a2 0,
从而得 当n > 4 时,
a3 0,
a4
1 6
an
n
1
1an1
(n
exi y ex (cos y i sin y) ex
z x i y r cos i sin r ei
第七节 第六节
作业 (6-11)
P289 2 (2) (4) (5); 3 (1) ; 4; 6 P298 1 (1); 2(2)；3(1); 4(2); P329 10 (1) ; 11(1)
r2
1 ( π )5 5! 20
1 (0.2)5 1 105
120
3
sin π π 1 ( π )3 0.157080 0.000646 20 20 3! 20
高等数学第11章 无穷级数
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20
21
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11.4 幂级数
幂级数是函数项级数的一种重要情形，我们首先介 绍函数项级数的几个基本概念。 11.4.1 函数项级数的一些基本概念设｛un（x）｝ 是定义在区间I上的一个函数列，则由这函数列所构成的 表达式
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11.4.2 幂级数的基本概念
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28
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11.6 函数幂级数展开式的应用
11.6.1 近似计算 例11.28 计算ln2的近似值，误差不超过0.0001. 解 若用展开式
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பைடு நூலகம்
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11.7 傅立叶级数
11.7.1 三角级数 我们常会碰到周期运动，如描述简谐振动的正弦函 数
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11.5 函数展开成幂级数
前面已讨论了幂级数的性质以及求一个收敛的幂级 数的和函数.若给定一个函数，能否找一个幂级数来表示 此函数？如果能找到，函数的幂级数表示式是否唯一？ 11.5.1 泰勒级数 高等数学上册讲过泰勒公式，若f（x）在点x0的某 邻域内存在n+1阶的连续导数，则
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11.3 一般项级数
上节我们讨论了正项级数的敛散性，一般级数的敛 散性问题要比正项级数复杂，本节我们只讨论特殊类型 级数的敛散性问题。 11.3.1 交错级数