高等数学第十一章无穷级数第五节函数的幂级数展开式的应用

高等数学第十一讲幂级数

第十一讲 幂级数 §11.1 幂级数 幂级数的一般概念.型如 ∑∞ =-0 0)(n n n x x a 和 ∑∞ =0 n n n x a 的幂级数.幂级数由系数数列 }{n a 唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如∑∞ =0 n n n x a 的幂级数. 幂级数是最简单的函数项级数之一. 一、知识结构 1、幂级数的收敛域 定理1（Abel 定理）若幂级数∑n n x a 在点0≠=x x 收敛, 则对满足不等式| | ||x x <的任何x ,幂级数 ∑n n x a 收敛而且绝对收敛；若在点x x =发散,则对满足不等式 || ||x x >的任何x ，幂级数∑n n x a 发散. 证明 ∑n n x a 收敛, {n n x a }有界.设|n n x a |≤M , 有|n n n n n n Mr x x x a x a ≤?=|| |||,其中 1 || <=x x r .∑+∞

（ⅰ）+∞<<ρ0时, R ρ 1 = ; （ⅱ）ρ=0时+∞=R ;（ⅲ） ρ=∞+时 0=R . 证明 ∞ →n lim =n n n x a ||∞ →n lim ||||||x x a n n ρ=, (强调开方次数与x 的次数是一致的). ? …… 由于∞ →n lim ?=+ | || |1ρn n a a ∞→n lim ρ=n n a ||, 因此亦可用比值法求收敛半径. 幂级数∑n n x a 的收敛区间:) , (R R - . 幂级数 ∑n n x a 的收敛域: 一般来说, 收敛区间?收敛域. 幂级数 ∑n n x a 的收敛域 是区间) , (R R -、] , (R R -、) , [R R -或] , [R R -之一. 2、幂级数的一致收敛性 定理3 若幂级数∑n n x a 的收敛半径为R ，则该幂级数在区间) , (R R -内闭一致收 敛. 证明 ?] , [b a ?) , (R R -, 设} || , || max {b a x =, 则对∈?x ] , [b a , 有 || ||n n n n x a x a ≤, 级数∑n n x a 绝对收敛, 由优级数判别法? 幂级数∑n n x a 在] , [b a 上一致收敛.因此,幂级数∑n n x a 在区间) , (R R -内闭一致收敛. 定理4 设幂级数∑n n x a 的收敛半径为R ) 0 (>,且在点R x =( 或R x -= )收敛, 则幂级数 ∑n n x a 在区间] , 0 [R ( 或] 0 , [R - )上一致收敛 . 证明 n n n n n R x R a x a ??? ??=. ∑n n R a 收敛, 函数列?? ??????????? ??n R x 在区间] , 0 [R 上递减且一 致有界,由Abel 判别法,幂级数 ∑n n x a 在区间] , 0 [R 上一致收敛. 易见,当幂级数 ∑n n x a 的收敛域为] , [R R -(R ) 0>时,该幂级数即在区间

第十一章 无穷级数(习题及解答)

第十一章 无穷级数 §11.1 级数的概念、性质 一、单项选择题 1. 若级数 1 n n a q ∞ =∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )． (A ) 1q =； (B )1q =-； (C )1q <； (D )1q >． 答(D )． 2. 下列结论正确的是( )． (A)若lim 0n n u →∞ =，则1 n n u ∞ =∑收敛；(B)若1lim ()0n n n u u +→∞ -=，则1 n n u ∞ =∑收敛； (C)若1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =；(D )若1 n n u ∞ =∑发散，则lim 0n n u →∞ ≠. 答(C)． 3. 若级数1 n n u ∞ =∑与1 n n v ∞ =∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )． (A)121()n n n u v S S ∞ =±=±∑； (B )11 n n k u k S ∞ ==∑； (C) 21 n n kv kS ∞ ==∑； (D )11 2 n n n u S v S ∞ == ∑ ． 答(D ). 4. 若级数1 n n u ∞ =∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是( )． (A)1()n n u S ∞ =-∑收敛； (B) 1 1 n n u ∞ =∑收敛； (C) 1 1 n n u ∞ +=∑收敛； (D )1 n ∞=∑ 收敛. 答(C). 5. 若级数1 n n a ∞ =∑收敛，其和0S ≠，则级数121 ()n n n n a a a ∞ ++=+-∑收敛于( )． (A)1S a +； (B )2S a +； (C)12S a a +-； (D )21S a a +-．答(B). 6. 若级数∑∞ =1 n n a 发散，∑∞ =1 n n b 收敛则 ( )． (A) ∑∞ =+1)(n n n b a 发散； (B) ∑∞ =+1)(n n n b a 可能发散，也可能收敛； (C) ∑∞ =1 n n n b a 发散； (D ) ∑∞ =+1 2 2)(n n n b a 发散. 答(A).

【精品完整版】解析函数展开成幂级数的方法分析

解析函数展开成幂级数的方法分析 姓名：媛媛 学号：201100171431 专业：物理教育 指导教师：莉莉

解析函数展开成幂级数的方法分析 姓名 某某大学物理与电气信息工程学院 摘要：将解析函数展开成幂级数的方法不一，且比较复杂。本论文着重介绍了将解析函数展开成幂级数的几种方法以及分析。 关键词：解析函数，幂级数，展开，奇点等。 一前言 解析函数的应用及现状：解析函数边值问题和广义解析函数边值问题在奇异积分方程方面有广泛的应用，它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的应用。这些方面的理论及其应用，主要是由苏联学者建立和发展起来的。自20世纪60年代以来，中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作。 关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓，关于解析开拓的一般定义是，f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函数，若DÉD*，且在D*上f（z）=g（z）。则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓。解析开拓的概念可以推广到这样的情形：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，在D1∩D2上f（z)=g（z)则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。这样的完全解析函数实际是一个多值函数。黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。解析函数的基本性质：解析函数的导函数仍然是解析函数；单连通域内解析

06-函数展开成泰勒级数的方法--间接展开法PPT

函数展开成幂级数的间接展开法

一、基本初等函数的间接展开法根据唯一性，利用常见展开式，通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等 方法，求展开式。 ?基本公式：).,( ,)!12()1(sin ). ,( , !).1,1( 1101 200 +∞-∞∈+-=+∞-∞∈=-∈=-∑∑∑∞=+∞=∞ =x n x x x n x e x x x n n n n n x n n ，

二、典型例题例1. )( 的幂级数展开成将x a x f x =由于令注意到解 . ln , ln a x u e a a x x ==).,( ,! 1!2112+∞-∞∈+++++=u u n u u e n u ),(!ln !2ln ln 122+∞-∞∈+++++=x x n a x a a x a n n x 代入上式得 将 ln a x u =

++-+-+-=+)! 12()1(!51!31sin 1253n x x x x x n n , ),( 时解：当+∞-∞∈x 例2、. cos )( 的幂级数展开成将x x x f =对上式逐项求导得 +-+-+-=)! 2()1(!41!211cos 242n x x x x n n

.11)( )1(:x x f +='解例3、. 的幂级数展开成将下列函数x ∑?? ∞ =-=+=+000)1(1)1ln( n x n n x dt t t dt x 则). 1,1( ,1 )1(10-∈+-=+∞=∑x x n n n n ).1,1( ,)1()(1111 0 -∈-=--=+∑∞=x x x x n n n 又.arctan )()2( ; )1ln()( (1)x x f x x f =+=板书

函数的幂级数展开

教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 1． 教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展，但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力， 3. f (x )在 x 0 的某个邻域O (x 0, r )中能级数： （*).,(0r x O (1) x ∈(-∞, +∞)。 (2) =+0 !)12(n n )!12() 1(!5!31253+-+-+-=+n x x x x n n + …, x ∈(-∞, + ∞)。 (3) f (x ) = cos x = ∑∞ =-02! )2()1(n n n x n )! 2()1(!4!21242n x x x n n -+-+-= + …, x ∈(-∞, + ∞)。

高数 第十一章 无穷级数第四讲 幂级数

第四讲 幂级数 授课题目（章节）： §11.3 幂级数 教学目的与要求： 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念； 掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法； 了解幂级数在收敛区间内的基本性质，会求幂级数的和函数。 教学重点与难点： 幂级数的收敛半径、收敛域的求法 讲授内容： 一、函数项级数的概念 定义1.12(),(),,() n u x u x u x 是定义在区间I 上的函数列，称和式 12()()()n u x u x u x ++++ 为定义在区间I 上的（函数项）级数，记为 1 ()n n u x ∞ =∑ 定义2.若0x I ∈，常数项级数0()n u x 收敛，则称0x 为函数项级数1()n n u x ∞ =∑的收敛点； 若0x I ∈，常数项级数0()n u x 发散，则称0x 为函数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑的发散点； 1 ()n n u x ∞ =∑的收敛点（发散点）的全体称为1 ()n n u x ∞ =∑的收敛域（发散域） 。 定义3.在收敛域上，函数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑的和是关于x 的函数，称之为和函数()s x 。 即在收敛域上， 1 ()n n u x ∞ =∑()s x = 例求函数项级数21n x x x +++++ 的收敛域及和函数。 二、幂级数及其收敛域 定义 4.函数项级数2012n n a a x a x a x +++++ 称为关于x 的幂级数，记为

n n n a x ∞ =∑；（0 0n n n x a x ∞ ==∑ 时，收敛） 函数项级数2010200()()()n n a a x x a x x a x x +-+-++-+称为关于0()x x -的幂 级数，记为 () n n n a x x ∞ =-∑。 定理 1.(Abell 定理)如果幂级数 n n n a x ∞ =∑当00(0)x x x =≠时收敛，则0||||x x <时， n n n a x ∞ =∑绝对收敛；如果 n n n a x ∞ =∑当0x x =时发散，则0||||x x >时， n n n a x ∞ =∑发散。 推论 如果幂级数 n n n a x ∞ =∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则 必有一个正数R ，使得 当||x R <时，幂级数 0n n n a x ∞ =∑绝对收敛； 当||x R >时，幂级数 0n n n a x ∞ =∑发散； 当x R =±时，幂级数 n n n a x ∞ =∑可能收敛可能发散。 定义5.正数R 称为幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径；区间(,)R R -+称为幂级数 n n n a x ∞ =∑的 收敛区间。 注：（1）若 n n n a x ∞ =∑仅在0x =一点收敛，则规定收敛半径0R =，这时收敛域为点0x = （2）若 n n n a x ∞ =∑在整个数轴上都收敛，则规定收敛半径R =+∞，这时收敛域为 区间(,)-∞+∞； （3）若收敛半径0R >，则收敛域为(][)[](,)R R -+或-R,+R 或-R,+R 或-R,+R 。 收敛半径的求法：公式法、比值法

常用函数的幂级数展开式

目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法—利用泰勒公式; (2) 间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开 2. 常用函数的幂级数展开式 x e ?1=) ,(∞+-∞∈x )1(ln x +?x =] 1,1(+-∈x x +2!21x +, ! 1 ΛΛ+++n x n 221x -331x +Λ+-441x 11 )1(++-+n n x n Λ+式的函数. 目录 上页 下页 返回 结束 Λ++-++! )12()1(1 2n x n n x sin ?x =!33x -!55x +Λ+-!77x x cos ?1=!22x - !44x +Λ+-!66x Λ+-+! )2()1(2n x n n m x )1(+?1=x m +2 ! 2)1(x m m -+Λ +ΛΛ++--+n x n n m m m ! )1()1(当m = –1 时x +11 ,)1(132ΛΛ+-++-+-=n n x x x x ) ,(∞+-∞∈x ) ,(∞+-∞∈x ) 1,1(-∈x )1,1(-∈x

目录上页下页返回结束 四、物体的转动惯量 设物体占有空间区域Ω, 有连续分布的密度函数.),, (z y x ρ该物体位于(x , y , z ) 处的微元v z y x y x d ),,()(2 2ρ+因此物体对z 轴的转动惯量: ???+=Ω ρz y x z y x y x I z d d d ),,()(2 2=z I d O x y z Ω对z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故连续体的转动惯量可用积分计算. 目录上页下页返回结束 类似可得:???=Ω ρz y x z y x I x d d d ),,( ???=Ω ρz y x z y x I y d d d ),,( ???=Ω ρz y x z y x I O d d d ),,( )(22z y +)(22z x +)(222z y x ++对x 轴的转动惯量 对y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量