几种特殊类型函数的积分
特殊类型函数的积分法
特殊类型函数的积分法
特殊类型函数的积分法是数学中计算积分的一种常用方法。
由于它可以求出各种形状的函数的定积分，积分法用于求解各种类型函数的积分有着广泛的应用。
下面我们就来讨论特殊类型函数的积分法。
其中，多项式函数是最常用的特殊类型函数之一，以一元n次多项式函数为例，当n≥0时，函数的积分可以用分好多项式来表示：$\int{{{x}^{n}dx}}={\frac{{{x}^{n+1}}}{{n+1}}}+c$
而另一种特殊类型函数为指数函数，函数的积分可用如下形式表示：$\int{{e}^{kx}dx}={e}^{kx}/k+c$
又如，x的高次幂函数在求积分时，可使用以下形式进行：
$\int{{{x}^{n}dx}}={\frac{{{x}^{n+1}}}{{n+1}}}+c$
另外，对正弦函数和余项函数（cos（x），tg（x））的积分也同
样采用三角函数的基本定理：
$\int{{sinxdx=}-cosx+c}$
$\int{{cosxdx=}sinx+c}$
$\int{{tgxdx=}-ln\left|cosx\right|+c}$
以上就是特殊类型函数的积分，可以看出，对于不同形式的特殊类型函数，采用不同的积分法来求解。
特殊类型函数的积分属于一类规律性的积分，熟练掌握这些方法，可以快速准确地完成特殊类型函数的积分求解。
特殊类型函数积分
1）
Q（x）中如果含有因式
( x a)
k
则
要分解成称 k 个部分之和。且
A1 、 A2 、….
An 为常数，特别的
k=1 时，分解后得到：
A ( x a )
A3 Ak A1 A2 .... ( x a) k ( x a) k 1 ( x a) k 2 ( x a)
P( x) a0 x n a1 x n1 a2 x n2 ....... an Q( x) b0 x m b1 x m1 b2 xห้องสมุดไป่ตู้m2 ...... bn
=
A3 A A1 A2 .... k k k 1 k 2 ( x a) ( x a) ( x a) ( x a)
2
x 2 x 2 x 2
2
cos x
2
三、 简单无理式的积分
这里只讨论 R ( x ,
n
ax b ) 及
R (x,
n
ax b ) cx e 这两类函数的积分
3） 最后求 A、 M、 N、 最后用待定系数法 带入特殊 x 值 特殊有理式分解：
1】 2】 3】
A B 1 x2 x3 x 2 5x 6 1 A B C x ( x 1) 2 x ( x 1) 2 x 1
1 A Bx c 2 2 (1 2 x )( x 1) (1 2 x ) 1 x2
特殊类型函数积分
一、 有理函数的积分 1）有理式的定义：
由两个多项式的商所表示的函数：
P( x) a0 x n a1 x n1 a2 x n2 ....... an Q( x) b0 x m b1 x m1 b2 x m2 ...... bn
08几种特殊类型函数的积分
(t
2tdt
2
− 1)
2
,
2t t 2dt 1 1+ x (t 2 − 1)t 2 2 dt = −2∫ 2 ∫ x x dx = − ∫ t −1 (t − 1)
t −1 1 +C = −2 ∫ 1 + 2 dt = −2t − ln t +1 t − 1
2 1+ x 1+ x = −2 − ln x − 1 + C . x x
都是非负整数； 其中 m 、 n都是非负整数； a0 , a1 ,L, a n 及
b0 , b1 ,L, bm 都是实数，并且 a0 ≠ 0， b0 ≠ 0 . 都是实数，
假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式 真分式； (1) n < m , 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式 假分式； ( 2) n ≥ m , 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 利用多项式除法 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 多项式和一个真分式之和
2 k
M1 x + N1 M2 x + N2 Mk x + Nk + 2 + L+ 2 2 k k −1 ( x + px + q ) ( x + px + q ) x + px + q
其中 M i , N i 都是常数( i = 1,2,L , k ) .
Mx + N ; 特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 2 x + px + q
代入特殊值来确定系数 A, B , C 取 x = 0, ⇒ A = 1 取 x = 1, ⇒ B = 1 取 x = 2, 并将 A, B 值代入 (1) ⇒ C = −1
几种特殊类型的函数的积分
dt dt 6 原式 6 3 2 (1 t t t ) t (t 1)(t 2 1) t
dt 3 2 ln( t 1) 3 arctan t C 6 ln t 3 ln t 1 2
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
解 原式
1 [ln x 10 ln( x 10 2)] C 20 1 1 ln x ln( x 10 2) C . 2 20
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例16 求
3
3
dx . 2 4 ( x 1) ( x 1)
2 4 3
x 1 4 ) ( x 1) 2 . 解 ( x 1) ( x 1) ( x1 2 x 1 则有 dt dx , 令t , 2 ( x 1) x1 4 1 dx 原式 t 3 dt x 1 4 2 2 3 ( ) ( x 1) x1 33 x 1 3 1 3 C. t C 2 x 1 2
ln 2 ln 3
C
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主讲人： 苏本堂
例2
计算
x2 dx 6 6 a x
3 3 1 1 3 1 x a 解:原式 3 2 dx ln 3 C 3 2 3 3 3 ( x ) (a ) 6a x a 例3 计算 1 cos x dx x sin x d ( x sin x ) ln | x sin x | C 解:原式 x sin x
x1 例10 求 2 dx. 2 x x 1 1 解 令x , (倒代换)
1 1 1 1 t t 原式 ( 2 )dt dt 2 1 12 t 1 t ( ) 1 t2 t 1 d (1 t 2 ) 2 arcsin t 1 t C dt 2 2 1 t 2 1 t
空间解析几何基础知识总结
(10) (11)
∫ sec x tan xdx = sec x + C ∫ csc x cot xdx =
x x e dx = e +C ∫
( 5)
( 6)
∫
1 dx = arcsin x + C 2 1− x
− csc x + C
∫ cos xdx = sin x + C
(12)
x a +C (13) ∫ a x dx = ln a
连续，则积分上限的函数 Φ( x ) =
x 1 1 arctan dx = +C ∫ a2 + x 2 a a
( 21)
∫
x−a 1 1 dx = ln | | +C 2 2 x −a 2a x+a
( 22)
a+ x 1 1 dx = ln | ∫ a 2 − x 2 2a a − x | + C
( 23)
∫
1 x dx = arcsin + C 2 2 a a −x
（3） 简单无理函数的积分
讨论类型: R( x , ax + b )
n
ax + b R( x , ) cx + e
n
解决方法: 作代换去掉根号．
令t = ax + b;
n
ax + b ; 令t = n cx + e
定积分
问题1:
曲边梯形的面积
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理
定积分 的性质
定积分
广义积分
定积分的 计算法
牛顿-莱布尼茨公式
∫
b
a
f ( x )dx = F ( b ) − F (a )
高数资料(特殊积分法)
t =∫ ⋅ 2 sin t cos t ⋅ d t = −2 ∫ t ⋅ d cos t cos t
= −2t cos t + 2 ∫ cos t ⋅ d t = −2t cos t + 2 sin t + C = −2 1 − x arcsin x + 2 x + C
5 3 2 = ln( x + 2 x + 4) − ∫ 3 2
dx
2
x + 1 1+ 3 5 x +1 3 arctan +C = ln( x 2 + 2 x + 4) − 3 3 2
例2
8 x + 31 2x + 4 dx ⋅ dx = 4 ∫ 2 ⋅ d x+ 15 ∫ 2 ∫ ( x 2 + 4 x + 13)2 ( x + 4 x + 13) 2 ( x + 4 x + 13) 2
1 1 1 = ∫ + ⋅dt 3 3 − t 3 + t 1 3+ t = ln +C 3 3−t
x 1 3 + tan 2 = ln +C x 3 3 − tan 2
例 6 解一
1 ∫ sin 4 x dx .
x u = tan , 2
2u sin x = , 2 1+ u
2 2
1 3 = − cot x − cot x + C . 3 结论 比较以上三种解法, 比较以上三种解法 便知万能置换不一定是最佳 方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 方法 故三角有理式的计算中先考虑其它手段 不得已才用万能置换. 不得已才用万能置换
常用积分公式
常用积分公式积分公式是微积分中常用的一种工具，用于求解函数的定积分。
通过积分公式，我们可以将复杂的函数积分转化为简单的数学形式，从而更容易求解。
1. 基本积分公式基本积分公式是求解不同类型函数的基础，下面列举了一些常见的基本积分公式：(1) ∫kdx = kx + C （k为常数）(2) ∫x^ndx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C （n 不等于-1）(3) ∫1/x dx = ln|x| + C （x不等于0）(4) ∫e^x dx = e^x + C(5) ∫a^x dx = (1/ln(a)) * a^x + C （a不等于0且a不等于1）(6) ∫sin(x) dx = -cos(x) + C(7) ∫cos(x) dx = sin(x) + C(8) ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C(9) ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C(10) ∫sec(x)*tan(x) dx = sec(x) + C(11) ∫csc(x)*co t(x) dx = -csc(x) + C以上是一些基本的积分公式，对于这些公式的求解，可以根据具体的函数形式进行运算。
2. 特殊类型函数的积分公式除了基本积分公式，对于一些特殊类型的函数，常常需要使用相应的积分公式进行求解，下面列举了几个常见的特殊类型函数的积分公式：(1) ∫e^ax*sin(bx) dx = (a*sin(bx) - b*cos(bx)) / (a^2 + b^2) + C(2) ∫e^ax*cos(bx) dx = (a*cos(bx) + b*sin(bx)) / (a^2 + b^2) + C(3) ∫sin^2(x) dx = (1/2) * x - (1/4) * sin(2x) + C(4) ∫cos^2(x) dx = (1/2) * x + (1/4) * sin(2x) + C(5) ∫sin^3(x) dx = -(1/3) * cos(x) + (1/12) * cos(3x) + C(6) ∫cos^3(x) dx = (1/3) * sin(x) + (1/12) * sin(3x) + C(7) ∫sec(x) dx = ln|se c(x) + tan(x)| + C(8) ∫csc(x) dx = ln|csc(x) + cot(x)| + C需要注意的是，某些特殊类型的函数的积分公式可能没有明确的表达式，此时需要进行适当的变量替换或其他数学技巧来求解。
求不定积分的基本方法
1 例13. 求不定积分 ∫ dx . (2 + cos x) sin x sin x 解: 原式 = ∫ (令 u = cos x) dx 2 (2 + cos x ) sin x 1 =∫ du 2 ( 2 + u )(u − 1) A=1
1 ( 2+u )(u −1)
习题课 不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
第四章
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一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
∫ f ( x ) dx
第一类换元法 第二类换元法
∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) dt
分部积分
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1 dx . 例4. 设 y ( x − y ) = x , 求积分 ∫ x − 3y 解: y ( x − y ) 2 = x 令 x − y = t, 即 y = x −t
2
t3 x= 2 , t −1
t t 2 (t 2 − 3) y = 2 , 而 dx = 2 dt 2 t −1 (t − 1)
=
x x − 3 ln(e 6
+ 1) − 2
x 3 ln(e 3
x + 1) − 3 arctan e 6
+C
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3 cos x − sin x dx . 例11. 求 ∫ cos x + sin x
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(x M 2 1 x p N q 1 x ) k (x 2 M 2 p x N q x 2 ) k 1 x M 2 k x p N k q x
其 中 A i， M i,N i都 是 常 数 (i1,2,,k)， 用 待 定
系 数 法 确 定
a
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A4,B2,C1, 5 55
a
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(12x)1(1x2)1542x152xx215.
(12x)1(1x2)dx1542xdx152xx215dx
5 4 1 1 2 x d x 5 2 1 x x 2d x 1 5 1 1 x 2 dx
5 2 1 1 2 x d (2 x ) 1 5 1 1 x 2 d2 x 1 5 1 1 x 2 dx
a
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例 3：求积分 I
x4 2x2 1 x3 1 dx
；
解1: x4 x3 2 x2 11x2xx 23 x1 1
x(x21x)2(x2xx11) xxA 1xB 2 x xC 1
解得： A2,B4,C5, 33 3
Ixd x3 2x1 1d xx4 3 2 x x 5 31dx
2 ln |1 2 x| 1 ln 1 x (2 ) 1 arx c C t.an
5
5
5
a
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例2：求积分 x(x11)2dx.
解:
x
(
1 x 1 )2
A x(x B1)2xC 1,
1 A ( x 1 ) 2 B C ( x x 1 ) x( 1 )
（2）按Q(x)的分解结果，将P(x)拆成若干个部分 Q(x)
分式的和（部分分式是指如下两种类型的分式： (xAa)n，(x2M pxxNq)n，n1,2,，p2 4q0）。
a
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具体步骤如下：
（1）分母中若有因式 (xa)k，则分解后含有下列项:
(x A 1 a)k(x A a 2)k1xA ka, （2）分母中若有因式 (x2px q)k, 其中 p24q0
此 处 P(x)， Q(x)之 间 没 有 公 因 式 ， 即 P(x)是 Q(x)
既 约 分 式 。
(1) nm , 称此有理函数是真分式；
(2) nm , 称此有理函数是假分式；
a
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说明：
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和。
例
x
3 x2
第四节
第四章
几种特殊类型 函数的积分
一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理式的积分
a
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一、有理函数的积分
定义：两个多项式的商表示的函数称为有理函数.
即
Q P ( (x x ) )b a 0 0 x x m n b a 1 1 x x m n 1 1 b a m n 1 1 x x a b n m
Ixd x3 2x31 1d3x(x1 1)23dx 24
1 x 2 2 ln |x 3 1 |2ar2 c x 1 t a Cn
23
3
3
a
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说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法.
例 4：求积分 I
代入特殊值来确定系数 A,B,C
取 x0, A1 取 x1, B1
取 x2, 并将 A,B值代入 (1) C 1
a
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x(
1 x
1)2
1x(x11)2x11.
x(
1 x
1)2dx1 x(x 11)2x1 1dx
1 xd x(x 11)2d xx1 1dx
ln |x|1ln |x1| C . x1
(
x2
4
x
1 4)(
x2
4
x
dx 5)
；
解: I(x24 1 x4x24 1 x5 )dx (x 12)2d x(x2 1)21dx
1 arcxta 2) nC( x2
x
1
1
x
x211.
多项式的不定积分是容易求的，因此， 下面我们只讨论真分式的不定积分。
a
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设 P (x )是 真 分 数 ， 它 的 不 定 积 分 可 按 下 面 步 骤 求 ： Q (x )
（ 1） 将 Q(x)在 实 数 范 围 内 分 解 成 一 次 多 项 式 和 二 次 多 项 式 的 乘 积 ： (xa)k， (x2pxq)l， 其 中 p24q0， k,l是 正 整 数 ；
四种典型部分分式的积分:
1.
x
A
a
dx
Aln x a C
2.
(
x
A a)n
dx
1
A n
(
x
a )1 n
C
(n 1)
3.
Mx N x2 px
q
dx
4.
(
x
M 2
x px
N q
)n
dx
变分子为
M 2
(2x
p)
N
Mp 2
再分项积分
( p2 4q 0 , n 1)
Hale Waihona Puke a机动 目录 上页 下页 返回 结束6
24
1 x 2 2 ln |x 3 1 |2ar2 c x 1 t a Cn
23
3
3
a
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例 3：求积分 I
x4 2x2 1 x3 1 dx
；
解2: x4 x3 2 x2 11x2xx 23 x1 1 x3 2x33x21xx311x3 2x33x 21x21x1
例1 求积分
1 (12x)(1x2)dx.
解
1 (12x)(1
x2)1A2xB 1xxC 2 ,
1 A ( 1 x 2 ) ( B C ) x 1 ( 2 x ),
整理得 1 ( A 2 B ) x 2 ( B 2 C ) x C A ,
A 2B 0,
B
A
2C 0, C 1,
a
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Ixd x3 2x1 1d x3 22 xx 2 1 x 2 3 1dx
x d 3 2 x x 1 1 d 3 2 x x 2 2 x x 1 1 d x x 2 1 x 1 dx
x d x 3 2 x1 1 d x 3 2 d (x x 2 2 x x 1 1 ) (x 1 1 )23 dx