对偶规划

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对偶规划的名词解释

对偶规划的名词解释偶规划（dual programming）是运筹学中的一个重要概念，它起源于线性规划问题的研究。

在线性规划中，我们通常的目标是要最小化（或最大化）一个线性目标函数，同时满足一定的线性约束条件。

而对偶规划则是通过对原始问题进行变换，从另一个角度出发，提供了一种解决问题的新思路。

它与原始问题之间存在着对偶关系，通过对偶规划，我们可以更好地理解问题，获得额外的信息，进而得到更好的解。

对偶规划的基本概念可以从凸优化理论中的拉格朗日对偶性展开解释。

在一个凸优化问题中，包含有目标函数和约束条件。

对于每一个约束条件，我们可以引入一个拉格朗日乘子，构建一个拉格朗日函数。

通过最小化目标函数和最大化拉格朗日函数，我们可以得到原始问题的下界和上界。

而对问题进行对偶化，则是通过最小化拉格朗日函数和最大化目标函数来获得上界和下界。

在对偶规划中，我们最常见的是原始问题和对偶问题之间的关系。

对于一个线性规划问题，原始问题的目标是最小化一个线性目标函数，同时满足一组线性约束条件。

而对偶问题则是通过对原始问题进行变换，通过最大化一个线性目标函数，同时满足一组线性约束条件，来得到原始问题的下界。

通过求解原始问题和对偶问题，我们可以获得问题的最优解和最优值，并且两者相等。

对偶规划在实际问题中有着广泛的应用。

在运输问题中，我们通常需要确定特定货物的最佳运输方案，以最小化运输成本。

通过对偶规划，我们可以得到不同地点之间的运输成本，进而计算出最优的方案。

在资源分配问题中，我们可以通过对偶规划来确定最佳资源分配策略，以满足不同需求的最佳利益。

在供应链优化问题中，对偶规划可以帮助我们确定最优的供应链合作策略和成本分摊方式，以提高整体的运作效率和利润。

除了在实际问题中的应用，对偶规划在运筹学理论研究中也发挥着重要的作用。

对偶规划为我们提供了一个从不同角度思考和解决问题的思维框架。

通过对原始问题进行对偶化，我们可以获得一些额外的信息和性质，对问题进行更深入的分析和理解。

第三章线性规划的对偶理论

s.t. AX=b X≥0 由于 AX=b 即 AX=b
AX≤b AX≥b
AX≤b -AX≤-b 所以，原问题可化为 max z=CX s.t. AX≤b -AX≤-b X≥0
A
X≤ -A
b
-b
14
设Y'：AX≤b的对偶变量（行向量） Y''：-AX≤-b的对偶变量（行向量）按对称形式的对偶关系可得出原问题的对偶问题如下： min w =Y'b-Y''b= （Y'-Y''）b （Yb=bTYT） s.t Y'A-Y''A≥C （ YA=ATYT） Y'≥0，Y''≥0 令Y= Y'-Y''，则对偶问题为 min w =Yb s.t YA≥C Y符号不限结论：原问题中约束条件为等式，对应的对偶变量无非负要求；反过来同样成立。
s.t. 2y1+ y2+ 4y3 ≥2
2y1+2y2+ 4y4 ≥3 y1, y2 , y3 , y4 ≥ 0
解：2.首先将原式变形
m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
对于非对称形式的规划，可以按照下面的对应关系直接给出其对偶规划。（1）对原问题模型为“max，约束条件为≤”或“min，约束条件为≥” 的形式，对应的对偶规划的变量大于 0 ；反之，若原问题模型为“max，≥”或“min，≤” 的形式，对应的对偶规划的变量小于0。（ 2 ）原问题线性规划的决策变量大于 0 ，则对偶问题的模型为“max，约束条件为≤”或“min，约束条件为≥” 的形式；若原问题线性规划的决策变量小于0；则对偶问题的模型为“max，≥”或“min，≤” 的形式。

线性规划中的对偶规划模型及对偶理论

MaxZ 2x1 x2
s.t.53xx11
4x 2x
2 2
15 10
x1, x2 0
MinW 15y1 10y2
3y1 5y2 2 s.t.4y1 2y2 1
y1, y2 0
2、非对称形式的对偶关系：
（1）原问题
n
MaxZ c j x j j 1 n
s.t. j1 aij x j bi i 1,2, , m x j 0 j 1,2, , n
(特点：等式约束)
对偶问题
m
MinW bixi i 1
m
s.t. i1 aij yi 来自cjj 1,2, ,n
yi符号不限， i 1,2, ,m
（特点：对偶变量符号不限，系数阵转置）
（2）怎样写出非对称形式的对偶问题？把一个等式约束写成两个不等式约束，再根据对称形式的对偶关系定义写出；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产品的资源转让收益不小于生产该种产品时获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材料的单位定价；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现有的工时及原材料转而接受外来加工时，那么上述的价格系统能保证不亏本又最富有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
课堂练习：写出下面线性规划的对偶规划：
MinZ 4x1 2x2 3x3
4x1 5x2 6x3 7
s.t.182x1x191x32 x2
10x3 14
11
x1 0, x2符号不限, x3 0
下面的答案哪一个是正确的？为什麽？
MaxW 7 y1 11y2 14y3 MaxW 7 y1 11y2 14y3
x2

第二章线性规划的对偶理论

max 3 2 A= 2 1 0 3 c=
对偶问题： Min f = 65 y1 + 40 y2 + 75 y3
s.t. 3y1 + 2 y2
y1, y2 , y3
min
≥1500
≥ 0
2y1 + y2 + 3y3 ≥2500
b=
65 40 75
A=
3 2
2 1
0 3
b=
1500 2500
1500 2500
例：
Min z= 5x1+ 25x2 7x1+ 75x2 ≤98 s.t. 5x1 + 6x2 = 78 24x1+ 12x2≥54 x1≥0 、x2 ≤ 0
怎么样，没问题吧！
Max w= 98y1+ 78y2 + 54y3 7y1+ 5y2 + 24y3 ≤ 5 s.t. 75y1+ 6y2 + 12y3 ≥25 y1 ≤ 0 、y2无限制、 y3≥0
二、对偶规划问题的求解
1、利用原问题的最优单纯形表
3x1 x2 3x3 ≤100 x1, x2 , x3 ≥0 解: 对偶问题为
min w 100y1 100y2
max z 4 x1 3x2 7 x3 s.t. x1 2 x2 2 x3≤100
s.t.
2 y1 y2 ≥3 2 y1 3 y2≥7
原问题检验数与对偶问题的解的总结
•在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松弛变量检验数的绝对值 •容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题对应变量的检验数的绝对值 •由于原问题和对偶问题是相互对偶的，因此对偶问题的检验数与原问题的解也有类似上述关系。 •更一般地讲，不管原问题是否标准，在最优解的单纯型表中，都有原问题虚变量(松弛或剩余) 的检验数对应其对偶问题实变量 (对偶变量)的最优解，原问题实变量 (决策变量) 的检验数对应其对偶问题虚变量 (松弛或剩余变量)的最优解。因此，原问题或对偶问题只需求解其中之一就可以了。

规划数学对偶理论

理论框架的局限性
当前对偶理论主要基于某些特定的数学框架，对于一些复杂问题可能无法提供有效的解决方案。
计算复杂度问题
对偶理论中的一些算法具有较高的计算复杂度，对于大规模问题可能难以在可接受的时间内得出结果。
缺乏实际应用场景
目前对偶理论的应用主要集中在理论研究层面，缺乏在现实世界复杂问题中的应用实例。
02
线性规划的对偶理论
线性规划问题
定义
线性规划问题是在一组线性不等式约束下，寻找一组线性变量的最优解的问题。
目标函数
线性规划的目标函数是线性的，我们需要找到一组变量使得目标函数取得最小值或最大值。
约束条件
线性规划的约束条件也是线性的，通常表示为不等式或等式。
线性规划的对偶问题
定义
01
线性规划的对偶问题是通过将原问题的约束条件和目标函数进
求解方法
通过递归求解子问题，并记录子问题的最优解，避免重复计算。
动态规的基础上，对某些约
束或目标函数进行变换，从而得到的新问题。
特点
02 对偶问题与原问题具有相同的最优解，但求解难度可
能降低。
应用
03
通过对偶问题可以更有效地求解原问题，特别是在处
理约束优化问题时。
投资组合优化
对偶理论也可以应用于投资组合优化问题，通过对偶问题的求解，可以找到最优的投资组合方案。
03
非线性规划的对偶理论
非线性规划问题
定义
非线性规划问题是在满足一系列约束条件下，最小化或最大化一个非线性函数。
类型
包括无约束、有约束、凸优化、非凸优化等。
求解方法
常用的求解方法包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。
对偶理论的重要性

运筹学基础-对偶线性规划(2)

用单纯形法同时求解原问题和对偶问题
原问题是：
maxZ=2x1 +x2 5x2 ≤15 6x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1 , x2 ≥0
5x2 +x3 =15 6x1 + 2x2 +x4 = 24 x1 + x2 +x5 = 5 xi ≥0
原问题的标准型是：maxZ=2x1 +x2+0x3+0x4 +0x5
b
15 24 5 0
x1 0 6 1 2
比值
-
24/6=4
5/1=5
检验数j
对偶问题剩余变量 y4、y5
对偶问题变量 y1、y2 、y3
检验数行的－ (cj-zj)值是其对偶问题的一个基本解yi ；
原问题变量
0 2
原问题松驰变量
1 0 0 0 0 1/6 -1/6 -1/3 0 0 1 0
3
x3 x1
x2 1 检验数j= cj-zj
-1/4 -1/2
对偶问题剩余变量 y4、y5
对偶问题变量 y1、y2 、y3
此时得原问题最优解:X*=(7/2,3/2,15/2,0,0)T，Z*=17/2 则对偶问题最优解:Y*=(0,1/4,1/2,0,0)T，S*=17/2
又例：用单纯形法同时求解原问题和对偶问题
定理6（互补松弛定理）
在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。
注：证明过程参见教材59页性质5证明
讨论:
互补松弛定理也称松紧定理，它描述了线性规划达到最

对偶线性规划

对偶线性规划对偶线性规划是一种常见的优化问题求解方法，它可以用于解决线性规划问题。

对偶线性规划的基本思想是通过引入对偶变量来转化原始问题为对偶问题，从而求解原始问题的最优解。

假设我们有一个线性规划问题：\begin{align*}\text{min } &C^TX\\\text{s.t. } &AX \ge b\\&X \ge 0\end{align*}其中，$X$是一个$n$维向量，$C$为目标函数的系数矩阵，$A$为约束条件的系数矩阵，$b$为约束条件的右边常数。

对偶问题的定义为：\begin{align*}\text{max } &b^TY\\\text{s.t. } &A^TY \le C\end{align*}其中，$Y$为对偶变量。

对于原始问题的每一个约束 $i$，引入一个对应的对偶变量$Y_i$。

根据线性规划的对偶性定理，如果原始问题存在最优解$X^*$ 和对偶问题存在最优解 $Y^*$，那么它们满足以下关系：\begin{align*}C^TX^* &= b^TY^*\\\text{且 } AX^* &\ge b\\A^TY^* &\le C\\X^* &\ge 0\end{align*}通过求解对偶问题，可以得到原始问题的最优解。

对偶问题的最优解 $Y^*$ 可以通过对偶问题的约束条件进行求解，这些约束条件是由原始问题的约束条件得到的。

而原始问题的最优解 $X^*$ 可以通过计算 $X^* = A^TY^*$ 来获得。

对偶线性规划的重要应用是在解决具有特殊结构的线性规划问题时，通过引入对偶变量可以有效地简化问题的求解过程。

对偶问题的最优解可以提供关于原始问题的有用信息，如最优解的界限、敏感性分析等。

总结起来，对偶线性规划是一种有效的优化问题求解方法，通过引入对偶变量，可以将原始问题转化为对偶问题，并通过求解对偶问题来得到原始问题的最优解。

运筹学0903对偶规划

X * (20, 24,84, 0, 0)T
56
第三节资源定价的决策方案
二、资源获利决策
如果决策者考虑自己不生产甲乙两种产品，而把原拟用于生产
这两种产品的原材料、设备工时、电量资源全部出售给外单位，或者做代加工，则应如何确定这三种资源的价格。
设原材料的单位出让获利为y1，设备工时的单位出让获利为y3，电量的单位出让获利为y2 。
哪些是非瓶颈资源和瓶颈资源？
28
影子价格=资源成本+影子利润
影子价格并不是资源的实际价格，而是企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况决定的，并不是由市场来决定的
影子价格的应用
1.影子价格与市场价格对比：成本：A：20元/小时 B：15 C：10 市场：A:21;B:15;C:12
根据对偶规划，很容易写出对偶问题的对偶问题模型。
2、最优性定理
设，X 分别Y 为原问题和对偶问题的可行解，且
C X 则bTY ，分X别为Y各自的最优解。 3. 对偶性定理
若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且
两者的目标函数值相等。
4. 互补松弛性
最优解的充分必要条件是 Y * X，s 0 Ys X * 0
第r个约束的右端项为br，增量br，其它数据不变。新的基解为
X B ' B1(b b)
0
B1b
B 1
br
B 1b
a1r*br
a2
r
*br
0
amr*br
b1* b2*
br
a1r* a2r*
bm*
amr*
只要X'B≥0 ，则可保持最优基不变。
air*

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• ①保持利润水平不降低。 • 用于生产两种产品的资源若将其出售和出租，应不低于自行生产带来
的利润，于是有“2y1+y2 +4y3+0y4≥2”和“2y1+2y2+0y3+4y4≥3” 成立。 • ②资源价格最低。 • 为使资源成功出售和出租，希望价格越低越好，因此:min W=12y1+8y2+16y3+12y4。
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2.2 对偶问题的数学模型
• 最终得到非常规线性规划问题的对偶模型为 • (2)决策变量取值无约束。 • 已知线性规划模型: • 令X=X ′ -X ″ ，模型转化过程如下:
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2.2 对偶问题的数学模型
•即
• 2. 2. 3原问题与对偶问题模型对应关系
• 通过对常规和非常规对偶模型的推导，可得出原问题与对偶问题模型的对应关系，如表2-2所示。根据表中对应关系，不仅可以快速写出一般线性规划问题模型的对偶形式，也可以求出特殊线性规划问题 (如运输问题)模型的对偶形式。
第2章对偶规划
• 2.1对偶问题的提出 • 2.2对偶问题的数学模型 • 2.3对偶问题的性质 • 2.4 对偶单纯形法 • 2.5 灵敏度分析与参数分析
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2.1 对偶问题的提出
• 【例2-1】某厂拟在计划期(如一周)内安排生产甲、乙两种产品，经预测，生产每单位产品所消耗的原材料、设备工时以及所获利润情况如表2-1所示。假设所生产的产品能全部售出，问:该厂在计划期内如何安排生产才能获得最大的利润?为保持利润水平不降低，资源出售或出租的最低价格应是多少?
强对偶定理表明，当原问题(或对偶问题)达到最优时，对偶问题(或原问题)也一定达到最优，且两者对应的最优目标函数值相等。
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2.3对偶问题的性质
• 2. 3. 4互补松弛定理
• 互补松弛定理:如果x和Y分别为原问题和对偶问题的可行解，它们分别为原问题和对偶问题最优解的充要条件是:(C-YA)X=0与Y(b-AX) =0 。
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2.1 对偶问题的提出
• ③资源价格非负。 • 资源出售和出租的价格不能为负值，因此必须满足:y1，y2，y3，y4≥
0。 • 综上，可以获得一个新的数学模型:
• 模型(1-1)与模型(2-2)互为对偶模型，可看出两者的参数之间存在对应关系。
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2.2 对偶问题的数学模型
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2.3对偶问题的性质
• 2. 3. 1对称性定理
• 对称性定理:对偶问题的对偶是原问题。 • [2-9]证明模型(2-4)是模型(2-3)的对偶形式。 • 证明:首先对模型(2-4)做出如下处理: • 目标函数等式两端同乘以“-1”，则“min(-W) =Y(-b)”成立。约束条
件两端同乘以“-1”则“Y(-A) ≤( -C)”成立，则模型(2-4)变为
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2.3对偶问题的性质
• ②充分条件:若P和D同时有可行解，那么它们有最优解。
• 2. 3. 3强对偶定理
• 强对偶定理可以有三种表述形式: • 第一种:原问题P(max)有最优解的充要条件是对偶问题D(min)有最优
解，且两个问题的最优目标函数值相等。 • 证明:必要性。若原问题有最优解，则对偶问题有最优解。 • ①存在性。 • ②相等性。 • 充分性可由对称性定理得到证明。证毕。
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2.3对偶问题的性质
• 关于影子价格，存在着不同的表述:影子价格是资源和产品在完全自由竟争市场中的供求均衡价格;影子价格是没有市场价格的商品或服务的推算价格，它代表着生产或消费某种商品的机会成本;影子价格为商品或生产要素的边际增量所引起的社会福利的增加值。
• (2)影子价格的含义。 • 下面以生产计划问题为例，说明影子价格的含义。 • 在线性规划问题模型中，右端项表示资源的限制使用量，当某一项资
• (3)影子价格的经济解释。
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2.3对偶问题的性质
• 日常生活中，影子的大小随光线的不同而不同。影子价格就如同市场价格的影子，可以高于或低于市场价格。当影子价格低于市场价格时，说明某项资源用于生产所带来的收益小于用于出售获得的收益，应优先考虑出售资源;当影子价格高于市场价格时，说明某项资源用于生产所带来的收益大于用于出售获得的收益，应将资源用于生产。因此，影子价格是一种机会成本，可为生产管理者、决策者提供决策依据。在市场经济条件下，当某种资源的市场价格低于影子价格时，可以买进这种资源，扩大生产;相反地，当市场价格高于影子价格时，可卖出这种资源来获取更大的利润。
• 解:这是一个已知资源、求利润最大化的生产计划问题，根据题意，可设甲、乙产品的产量分别为x1和x2，则该线性规划问题数学模型为
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2.1 对偶问题的提出
• 同时，也可以将A,B,C,D四种资源出售或出租以获得利润，假设出售材料A和B及出租设备C和D所得单位利润分别为y1,y2,y3和y4(千元)，为解决上述问题需要同时满足以下三个条件:
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2.3对偶问题的性质
• 第二种:对于原问题P(max)和对偶问题D(min)，若P无界，则D不可行;若D无界，则P不可行。
• 该定理可由弱对偶定理证明。需要注意的是:该定理的逆不成立。因为，当P无可行解时，其对偶问题或者无可行解，或者具有无界解。
• 第三种:若X和Y分别是P (max)和D (min)的可行解，则它们分别为原问题和对偶问题最优解的充要条件是CX*=Y*b。
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2.2 对偶问题的数学模型
• 2. 2. 2非常规线性规划模型的对偶形式
• 本教材定义“约束条件为等式”或“决策变量取值无约束”的模型为非常规模型。
• (1)约束条件为等式。 • 若原问题模型为
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2.2 对偶问题的数学模型
• 因AX=b<=>b≤AX ≤ b，原模型可转化为 • 根据模型(2-3)和模型(2-4)可转化为对偶形式，化简过程如下:
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2.3对偶问题的性质
• 2. 3. 6影子价格
• (1)影子价格的提出。 • 影子价格(Shadow Price)又称计算价格、预测价格、最优价格，是
荷兰经济学家詹恩·丁伯根在20世纪30年代末首次提出来的，并将其定义为“在均衡价格的意义上表示生产要素或产品内在的或真正的价格”。萨缪尔逊认为，“影子价格反映资源在得到最佳使用时的价格”。联合国把影子价格定义为“一种投入(比如资本、劳动力和外汇)的机会成本或它的供应量减少一个单位给整个经济带来的损失”。影子价格是运用线性规划的数学模型计算得出的，是反映社会资源获得最佳配置的一种价格。
• 2. 2. 1常规线性规划模型的对偶形式
• 原问题数学模型可用矩阵形式表达:
• 若原问题具有最优解，其检验数必定小于或等于零，即σ≤0或CCBB-1A≤0。令Y=CBB-1，则有不等式C-YA ≤ 0或YA≥C成立。由于松弛变量XS对应价格向量CS = 0，则有不等式σS=CS-CBB-1I ≤0或CBB1≥0(即Y ≥ 0)成立。同时，希望资源价格Y和数量b的乘积越小越好，即min W=Yb，则对偶问题见数学模型(2-4)，本教材称模型(2-3)和模型(2-4)为常规形式。
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2.3对偶问题的性质
• 当然随着资源的买卖，它的影子价格也将随之发生变化，直到影子价格与市场价格相等时，即可停止资源的买卖。
• (4)影子价值与影子价格。 • 事实上，价值和价格是两个不同的概念，因此影子价值不同于影子价
格。影子价值含义比较广泛，既包括影子价格，也包括影子利润。因此，在解决实际问题时，应对影子价值和影子价格进行区分:若原问题求利润最大，则对偶问题最优解就是影子利润;若原问题求产值最大，则对偶问题最优解就是影子价格。影子价格和影子利润存在以下关系: • 影子价格=资源成本+影子利润(2-13)
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2.3对偶问题的性质
• 互补松弛定理经常表示为:
该定理表明，在线
性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量取值为非
零，则该约束条件为严格等式;反之，如果原问题约束条件为严格不
等式，则其对应的对偶变量一定为零。
• 2. 3. 5对偶最优解定理
• 最优解定理表达了原问题最终单纯形表中变量的检验数与对偶问题最优解之间的关系。在原问题最终单纯形表中，松弛变量检验数的相反数对应于对偶问题原变量的取值，原变量检验数的相反数对应于对偶问题松弛变量的取值。这个定理与两个互为对偶问题的最优解有关，因此本教材称其为“对偶最优4对偶单纯形法
• 2. 4. 1原理与特点
• (1)定义与原理。 • 对偶单纯形法是用对偶性质求解线性规划问题的一种方法。不要误解
为专门用于求解对偶问题的单纯形法。通过对普通单纯形法和对偶单纯形法的比较可以找到对偶单纯形法的求解思路。 • 普通单纯形法:在迭代过程中，在保持原问题可行(XB=B-1b≥0)的条件下，向对偶问题可行(YA≥C)的方向迭代，从而实现σ=C-CBB-1A≤0 (C-YA≤0或YA≥C)。 • 与此相反，对偶单纯形法的思路是在保持对偶问题可行(C-CBB-1A≤0) 的条件下，向原问题可行(B-1b≥0)的方向迭代，最终实现XB≥0。
YA≥C,Y≥0。在“AX≤b”两端左乘“Y”，有YAX≤Yb;在“YA≥C”两端右乘“X”，有YAX≥CX。因此，不等式"CX≤AX≤Yb”成立，即 CX≤Yb。证毕。 • 推论:原问题P和对偶问题D有最优解的充要条件是它们同时具有可行解。 • 证明: • ①必要条件:若P和D有最优解，则它们同时有可行解。
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