《运筹学》线性规划的对偶问题

3、资源影子价格的性质
z y b1w1 b2w2 bi wi bmwm z z b1w1 b2w2 (bi bi )wi bmwm z bi wi
w
o i
z o bi
最大利润的增量 第i种资源的增量
第i种资源的边际利润
■影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺 ■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子 价格一定等于0
总利润（元）
单位产品的利润（元/件）
产品产量（件）
max z c1x1 c2 x 2 c2 x 2
s.t.
a11x1 a12x 2 a1n x n x n1
a 21x1 a 22x 2 a 2n x n
x n2
b1
b2
a m1x1 a m2 x 2 a mn x n
差额成本=机会成本 ——利润
5、互补松弛关系的经济解释
wix ni
0xwni
0 x ni i 0 wi
0 0
x jwmj
0xwjm j
0 0
w m x
j j
0 0
在利润最大化的生产计划中 （1）边际利润大于0的资源没有剩余 （2）有剩余的资源边际利润等于0 （3）安排生产的产品机会成本等于利润 （4）机会成本大于利润的产品不安排生产
4、产品的机会成本
增加单位资源可以增加的利润
max z c1x1 c2x2 c jx j cn xn
s.t.
a11x1 a12x 2 a1jx j a1nx n b1 w1
a 21x1 a 22x 2 a 2jx j a 2nx n b2 w2
a m1 x1 a m2 x 2 a mj x j a mn x n bm wm
X
x1 x2
b1
b
b2 b3
特点：
1． max min 2．限定向量b 价值向量C
其它形式 的对偶
?
（资源向量）
3．一个约束 一个变量。
4． max z的LP约束“ ” min z 的
LP是“ ”的约束。
5．变量都是非负限制。
其他形式问题的对偶
min z=CTX s.t. AX≥b
线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出
二、原问题与对偶问题的数学模型
继续
三、对偶的经济解释
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一、对偶问题的提出
某工厂要生产两种新产品：门和窗。 问该工厂如何 安排这两种新产品的生产计划，可使总利润最大？
车间
单位产品的生产时间 （小时）
门
窗
1
1
0
2
0
2
3
3
2
单位利润（元） 300
500
每周可获得的 生产时间（小
min w 4 y1 12y2 18y3 1y1 0 y2 3y3 300 0 y1 2 y2 2 y3 500
原问题是求极小值，非规范形式的对应关系是： ①约束条件是“≤”符号 对偶变量y≤0 ②约束条件是“＝”符号 对偶变量y无约束 ③变量x≤0 对偶约束是“≥”符号 ④变量x无约束 对偶约束是“＝”符号
x1 x2 x3 x3 x4 10
s.t.
6x1 3x2 7x3 7x3 15 10 x1 12 x2 x3 x3 x5 19
10 x1 12 x2 x3 x3 x6 19
x1, x2 , x3 , x3, x4, x5, x6 0
max g( y) 10 y1 15 y2 19 y3 19 y4
x1
x2
xj
xn 0
减少一件产品可以节省的资源
机会成本 a1jw1 a 2 jw 2 a ijwi a mj w m
表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润
5、产品的差额成本（Reduced Cost）
机会成本
差额成本
利润
min y b1w1 b2 w 2 bm w m
线性规划的对偶问题
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第 3、4 题
原问题：
标准型：
min f ( x) 5x1 3x2 2x3
x1 x2 x3 10
s.t.
6x1 3x2 7x3 15 |10 x1 12 x2 x3 | 19
x1 0, x2 0, x3 不限
对偶问题：
max[ f ( x)] 5x1 3x2 2x'3 2x3
a11w1 a 21w 2 a m1w m w m1
资源价格（元/吨）
a12w1 a 22w2 a m2 w m
wm2
c1
c2
a1n w1 a 2n w 2 a mn w m
w1
w2
wm
w m1
wmn cn wm2 wmn 0
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解w1、w2、...、 wm称为m种资源的影子价格（Shadow Price）
s.t.
a11w1 a 21w 2 a m1w m w m1
a12w1 a 22w2 a m2 w m
wm2
c1
c2
a1n w1 a 2n w 2 a mn w m
w1
w2
wm
w m1
wmn cn wm2 wmn 0
wm j (w1a1j w2a 2 j wma mj ) c j WTa j c j
1y1 0 y2 3y3 300厂
0 y1 2 y2 2 y3 500家
原问题
对偶问题
max
s.t.
z CX AX b
ms.itn.
w Yb YA C
X 0
Y0
一 般 规 律
3个约 束 2个变
量C (c1, c2 )
2个约束 3个变量
Y (y1,y2,y3 )
A (aij )
时）
4 12 18
x 设 门产量––––– 1
x 窗产量––––– 2
如何安排生产， 使获利最多？
max z 300x1 500x2
s.t. 2x1
4
2x2 12
3x1 2x2 18
x1, x2 0
厂 家
y 设： 车间1 —— 元／1 时 y 车间2 –––– 元／时2 y 车间3 –––– 元／时3
非规范型模型的“非”无非有4个方面: ①约束条件是“≥”符号 对偶变量y≤0 ②约束条件是“＝”符号 对偶变量y无约束 ③变量x≤0 对偶约束是“≤”符号 ④变量x无约束 对偶约束是“＝”符号
max z 300x1 500x2 s.t. 2x1 0x2 4 0x1 2x2 12 3x1 2x2 18 x1, x2 0
二、原问题与对偶问题的对应关系
原问题
目标函数 Max
约
m个
束
条
件
=
决
n个
策
0
变
0
量
无约束
资源系数 b 价值系数 C 约束条件系数矩阵 A
对偶问题
目标函数 Min
m个
决
0
策
0
变
无约束
量
n个
约
束
条
=
件
价值系数 bT
资源系数 CT 约束条件系数矩阵 AT
Байду номын сангаас
例:
max z 5x1 3x2 2x3 4x4 5x1 x2 x3 8x4 8
消耗的资源（吨） x1
x2
xn
x n1
xnm bm xn2 xnm 0
单位产品消耗的资源（吨/件）
剩余的资源（吨） 资源限量（吨）
2、对偶问题
原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y
总利润（元）
资源限量（吨）
min y b1w1 b2 w 2 bm w m
s.t.
s.t 2x1 4x2 3x3 2x4 10
x1,x2 0 x3,x4无约束
对偶问题为
min w 8y1 10y2
5 y1 2 y2 0
s.t.
y1 4 y2 3 y1 3y2 2
8 y1 2 y2 4
y1 0, y2无约束
三、对偶的经济解释
1、原始问题是利润最大化的生产计划问题
付出的代价最小， 且对方能接受。
出让代价应不低于
用同等数量的资源
收
自己生产的利润。
购
厂家能接受的条件：
1y1
出 用0同让y等代2数价量应3的不y3资低源于300
单位产品门出租 收入不低于300元
0
y1
自己2生y2产的2利y润3 。
500
单位产品窗出租 收入不低于500
收购方的意愿：
元
min w 4 y1 12 y2 18 y3
X ≥0
min z=CTX s.t. AX=b
X ≥0
min z=CTX
s.t. AX≤b
X ≥0
max y=bTW s.t. ATW≤C
W ≥0
max y=bTW s.t. ATW≤C
W ：unr
max y=bTW s.t. ATW≤C
W ≤0
关键口诀：对偶问题约束符号由原问题变量符号确 定，对偶问题变量符号由原问题约束符号确定。
s.t.
y1 3y2 12 y3 12 y4 3 y1 7 y2 y3 y4 2
y1 0, y2 不限, y3 0, y4 0
s.t.
y1 6 y2 10 y3 10 y4 5 y1 3y2 12 y3 12 y4 3 y1 7 y2 y3 y4 2
y1 0, y2 不限, y3 0, y4 0
max g( y) 10 y1 15 y2 19 y3 19 y4
y1 6 y2 10 y3 10 y4 5