高职高等数学 第一章 函数极限连续第四节
关于大学高等数学函数极限和连续
第一章 函数、极限和连续§ 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=fx, x ∈D定义域: Df, 值域: Zf.2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: Fx,y= 04.反函数: y=fx → x=φy=f -1y y=f -1 x定理:如果函数: y=fx, Df=X, Zf=Y 是严格单调增加或减少的； 则它必定存在反函数：y=f -1x, Df -1=Y, Zf -1=X且也是严格单调增加或减少的;㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=fx,x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若fx 1≤fx 2,则称fx 在D 内单调增加 ；若fx 1≥fx 2,则称fx 在D 内单调减少 ；若fx 1＜fx 2,则称fx 在D 内严格单调增加 ；若fx 1＞fx 2,则称fx 在D 内严格单调减少 ;2.函数的奇偶性：Df 关于原点对称 偶函数：f-x=fx 奇函数：f-x=-fx3.函数的周期性：周期函数：fx+T=fx, x ∈-∞,+∞ 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |fx|≤M , x ∈a,b ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c , c 为常数2.幂函数： y=x n , n 为实数3.指数函数： y=a x , a ＞0、a ≠14.对数函数： y=log a x ,a ＞0、a ≠15.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=fu , u=φxy=f φx , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算加、减、乘、除和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数§ 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限; 或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时,)(x f 的极限：⑵当0x x →时,)(x f 的极限：左极限：Ax f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：AxfxfAxfxxxxxx==⇔=+-→→→)(lim)(lim)(lim㈡无穷大量和无穷小量1．无穷大量：+∞=)(lim xf称在该变化过程中)(xf为无穷大量;X再某个变化过程是指：2．无穷小量：)(lim=xf称在该变化过程中)(xf为无穷小量;3．无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)((,)(1lim)(lim≠+∞=⇔=xfxfxf4．无穷小量的比较：lim,0lim==βα⑴若lim=αβ,则称β是比α较高阶的无穷小量；⑵若c=αβlimc为常数,则称β与α同阶的无穷小量；⑶若1lim=αβ,则称β与α是等价的无穷小量,记作：β～α；⑷若∞=αβlim ,则称β是比α较低阶的无穷小量; 定理：若：；，2211~~βαβα则：2121limlim ββαα=㈢两面夹定理1． 数列极限存在的判定准则：设：n n n z x y ≤≤ n=1、2、3…且： a z y n n n n ==∞→∞→lim lim则： a x n n =∞→lim2． 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x 0的某个邻域内的一切点 点x 0除外有：且：Ax h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0则：A x f x x =→)(lim 0㈣极限的运算规则若：B x v A x u ==)(lim ,)(lim则：①B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[②B A x v x u x v x u ⋅=⋅=⋅)(lim )(lim )]()(lim[③BA x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim )0)((lim ≠x v 推论：①)]()()(lim [21x u x u x u n ±±±②)(lim )](lim[x u c x u c ⋅=⋅③nnx u x u )]([lim )](lim [=㈤两个重要极限1．1sin lim 0=→xxx 或 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ 2．e xxx =+∞→)11(lim e x xx =+→10)1(lim§ 连续一、主要内容㈠ 函数的连续性 1. 函数在0x 处连续：)(x f 在0x 的邻域内有定义,1o 0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x2o)()(lim 00x f x f x x =→左连续：)()(lim 00x f x f x x =-→右连续：)()(lim 00x f x f x x =+→2. 函数在0x 处连续的必要条件：定理：)(x f 在0x 处连续⇒)(x f 在0x 处极限存在3. 函数在0x 处连续的充要条件：定理：)()(lim )(lim )()(lim 000x f x f x f x f x f x x x x x x ==⇔=+-→→→4. 函数在[]b a ,上连续：)(x f 在[]b a ,上每一点都连续;在端点a 和b 连续是指：)()(lim a f x f ax =+→ 左端点右连续；)()(lim b f x f b x =-→ 右端点左连续;a + 0b - x 5. 函数的间断点：若)(x f 在0x 处不连续,则0x 为)(x f 的间断点;间断点有三种情况：1o)(x f在0x 处无定义；2o)(lim 0x f x x →不存在；3o)(x f在0x 处有定义,且)(lim 0x f x x →存在,但)()(lim 00x f x f x x ≠→;两类间断点的判断： 1o 第一类间断点：特点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→都存在;可去间断点：)(lim 0x f x x →存在,但)()(lim 00x f x f x x ≠→,或)(x f在0x 处无定义;2o 第二类间断点：特点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→至少有一个为∞,或)(lim 0x f x x →振荡不存在;无穷间断点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→至少有一个为∞㈡函数在0x 处连续的性质1.连续函数的四则运算：设)()(lim 00x f x f x x =→,)()(lim 00x g x g x x =→1o)()()]()([lim 000x g x f x g x f x x ±=±→2o)()()]()([lim 000x g x f x g x f x x ⋅=⋅→3o)()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛≠→0)(lim 0x g x x2. 复合函数的连续性：则：)]([)](lim [)]([lim 00x f x f x f x x x x ϕϕϕ==→→3.反函数的连续性：㈢函数在],[b a 上连续的性质1.最大值与最小值定理：)(x f 在],[b a 上连续⇒)(x f 在],[b a 上一定存在最大值与最小值;fx0 a b xm-M0 ab x2.有界定理：) (xf在],[ba上连续⇒)(x f在],[b a上一定有界;3.介值定理：) (xf在],[ba上连续⇒在),(b a内至少存在一点ξ,使得：cf=)(ξ,其中：Mcm≤≤y yCfx0 a ξm0 a ξ1 ξ2 b x 推论：)(x f 在],[b a 上连续,且)(a f 与)(b f 异号⇒在),(b a 内至少存在一点ξ,使得：0)(=ξf ;4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的; 第二章 一元函数微分学 § 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念1．导数：)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义, 2．左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- 右导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 定理：)(x f 在0x 的左或右邻域上连续在其内可导,且极限存在；则：)(lim )(00x f x f x x '='-→-或：)(lim )(00x f x f x x '='+→+3.函数可导的必要条件：定理：)(x f 在0x 处可导⇒)(x f 在0x 处连续4. 函数可导的充要条件：定理：)(00x f y x x '='=存在)()(00x f x f +-'='⇒,且存在;5.导函数： ),(x f y '=' ),(b a x ∈)(x f 在),(b a 内处处可导; y )(0x f '6.导数的几何性质： y ∆)(0x f '是曲线)(x f y =上点 ∆()00,y x M 处切线的斜率; o x 0㈡求导法则 1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1o v u v u '±'='±)（2ov u v u v u '⋅+⋅'='⋅)（3o2v v u v u v u '⋅-⋅'='⎪⎭⎫⎝⎛ )0(≠v 3.复合函数的导数：dxdu du dy dx dy ⋅=,或 )()]([})]([{x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' ☆注意})]([{'x f ϕ与)]([x f ϕ'的区别：})]([{'x f ϕ表示复合函数对自变量x 求导；)]([x f ϕ'表示复合函数对中间变量)(x ϕ求导;4.高阶导数：)(),(),()3(x f x f x f 或'''''函数的n 阶导数等于其n-1导数的导数; ㈢微分的概念 1.微分：)(x f 在x 的某个邻域内有定义,其中：)(x A 与x ∆无关,)(x o ∆是比x ∆较高阶的无穷小量,即：0)(lim 0=∆∆→∆x x o x 则称)(x f y =在x 处可微,记作：2.导数与微分的等价关系： 定理：)(x f 在x 处可微)(x f ⇒在x 处可导,且：)()(x A x f ='3.微分形式不变性：不论u 是自变量,还是中间变量,函数的微分dy 都具有相同的形式;§ 中值定理及导数的应用 一、主要内容 ㈠中值定理1.罗尔定理: )(x f 满足条件:y)(ξf ' )(x fa o ξb x a o x2.拉格朗日定理：)(x f 满足条件:㈡罗必塔法则：∞∞,型未定式 定理：)(x f 和)(x g 满足条件：1o）或）或∞=∞=→→(0)(lim (0)(lim x g x f ax ax ；2o 在点a 的某个邻域内可导,且0)(≠'x g ；3o）（或∞=''∞→,)()(lim )(A x g x f a x则：）（或∞=''=∞→∞→,)()(lim )()(lim )()(A x g x f x g x f a x a x☆注意：1o 法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限; 2o若不满足法则的条件,不能使用法则;即不是型或∞∞型时,不可求导;3o 应用法则时,要分别对分子、分母 求导,而不是对整个分式求导; 4o 若)(x f '和)(x g '还满足法则的条件,可以继续使用法则,即： 5o 若函数是∞-∞∞⋅,0型可采用代数变形,化成或∞∞型；若是0,0,1∞∞型可采用对数或指数变形,化成或∞∞型;㈢导数的应用 1．切线方程和法线方程：设：),(),(00y x M x f y =切线方程：))((000x x x f y y -'=-法线方程：)0)((),()(10000≠'-'-=-x f x x x f y y 2． 曲线的单调性：⑴),(0)(b a x x f ∈≥'内单调增加；在),()(b a x f ⇒⑵),(0)(b a x x f ∈>'内严格单调增加；在),(b a ⇒3.函数的极值： ⑴极值的定义：设)(x f 在),(b a 内有定义,0x 是),(b a 内的一点；若对于x 的某个邻域内的任意点x x ≠,都有：则称)(0x f 是)(x f 的一个极大值或极小值,称x 为)(x f 的极大值点或极小值点;⑵极值存在的必要条件：定理：)()(.2)()(.1=⇒⎭⎬⎫'xfxfxfxf存在。
《高等数学》教学日历
课程名称《高等数学》
使用班级学时数：６４学时
序
号
教 学 内 容
教学时数
教学类型
备注
讲授
习题
实验
1
第一章函数与极限
第一节 函数
2
讲练结合
2
第二节 数列的极限
2
讲练结合
3
第三节 函数的极限
2
讲练结合
4
第四节 极限运算法则
2
讲练结合
5
第五节 无穷小与无穷大
2
讲练结合
6
第六节 函数的连续性
第一节 微分方程的概念及可分离微分方程
2
讲2
讲练结合
24
第三节 二阶常系数齐次线性微分方程
2
讲练结合
25
第四章 习题讲练
2
讲练结合
26
第五章数学实验
第一节 Matlab简介及函数极限实验
2
27
第二节 微分实验
2
讲练结合
28
第三节 积分实验
2
29
第四节 微分方程实验
2
14
第七节 函数的微分及其应用
2
讲练结合
15
第二章习题讲练
2
讲练结合
16
第三章积分及其应用
第一节 定积分----求总量的模型
2
讲练结合
17
第二节微元法
2
讲练结合
18
第三节 微积分基本公式
2
讲练结合
19
第四节 积分方法
2
讲练结合
20
第五节 定积分的应用
2
讲练结合
21
第三章习题讲练
高职高等数学教材答案
高职高等数学教材答案第一章：函数与极限1. 函数与映射函数的定义：函数是一个数集到另一个数集的映射关系，每个自变量对应唯一的因变量。
映射的表示：可以通过映射图、函数表、解析式等多种方式来表示函数。
元素的分类：自变量属于定义域，因变量属于值域。
2. 极限与连续极限的概念：当自变量趋近于某一值时，函数对应的因变量也趋近于一个确定的值。
极限的性质：极限存在且唯一，可以通过代入法、夹逼定理等方法进行求解。
连续的定义：函数在某一点连续，即该点的函数值与极限值相等。
3. 导数与微分导数的定义：描述函数在某一点的变化速率，也可以理解为切线的斜率。
导数的计算：可以使用导数定义、导数的性质、基本函数导数法则等进行计算。
微分的定义：微分等于函数在某一点的导数与自变量的增量的乘积。
4. 微分中值定理与泰勒公式中值定理的概念：描述函数在某一区间内的平均变化率与瞬时变化率相等的情况。
中值定理的类型：拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
泰勒公式的定义：用函数在某一点的导数以及高阶导数来逼近函数的方法。
第二章：数列与级数1. 数列与数列极限数列的定义：按照一定规律排列的一组数。
数列极限的概念：当数列项无限逼近某个确定的值时，称该值为数列的极限。
数列极限的性质：数列极限存在则唯一，可以使用夹逼定理等方法进行求解。
2. 级数与级数的收敛性级数的定义：将数列中的各项相加得到的无穷和。
级数的收敛性概念：当无穷项级数的部分和无限逼近某个确定的值时，称该级数为收敛的。
收敛级数的性质：收敛级数的部分和有界，可以使用比较判别法、比值判别法等进行求解。
3. 幂级数与函数展开幂级数的定义：一种特殊的级数形式，以自变量的幂次递增排列。
幂级数的收敛域：幂级数在收敛域内可以展开成函数的形式。
函数展开的应用：通过幂级数展开可以对函数进行逼近计算。
第三章：微分学应用1. 函数的极值与最值极值的定义：函数在某一点的导数为零或不存在时，称该点为极值点。
极值的判断：可以使用二阶导数判别法、端点判别法等进行判断。
高等数学第一章：函数与极限
第一章：函数与极限第一节：函数1、函数的性质：单调性，有界性（包括有界与无界），奇偶性，周期性。
（重点在于单调性与奇偶性）单调性：)()(,,212121x f x f x x X x x <⇒<∈∀单调增加。
)()(,,212121x f x f x x X x x >⇒<∈∀单调减少 有界性：M x f X x M ≤∈∀>∃)(,,0 无界性：M x f X x M >∈∃>∀)(,,0奇偶性：)()(x f x f -=偶，)()(-x f x f -=奇。
奇函数如果连续则一定经过0点，值为0周期性：)()(T x f x f +=，注意，a T x f a x f ++=+)()(， 如果)()(b ax f x f +=，T 为)(x f 的周期，则周期为aT第二节：极限1、数列极限定义：εε<->>∃>∀⇔=∞→A x N n N A x n n n ,,0,0limM x N n N M x n n n >>>∃>∀⇔∞=∞→,,0,0lim性质：1) 唯一性：收敛数列极限唯一 2) 有界性：收敛数列必有界3) 子数列收敛：注意震荡数列并不是，一个数列收敛，则它的所有子数列都收敛。
4) 保号性：A x n n =∞→lim ，当A>0时，存在从某个N 开始，n x > 0.5) 有序性: n n y x ≤，则n n n n y x ∞→∞→≤lim lim 。
四则运算：1) b a y x n n n +=+∞→）（lim2) b a y x n n n ⋅=⋅∞→）（lim3) bay x n n n =∞→）（lim ，（b ≠0） 2、函数极限定义：εε<->>∃>∀⇔=∞→a x f X x X a x f x )(,0,0)(lim 时，当εδδε<-<-<>∃>∀⇔=→a x f x x a x f x x )(0,0,0)(lim 00，当性质：1) 唯一性，左极限等于右极限。
高等数学 第一章 第四节 无穷小无穷大
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
若 为无穷大, 则
为无穷小 ;
若 为无穷小, 且
则
为无穷大.
(自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2
思考与练习 P41 题1 , 3
C
当
时,
C 显然 C 只能是 0 !
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
其中 为
时的无穷小量 . 证:
当
时,有
对自变量的其它变化过程类似可证 .
二、 无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在 一切满足不等式
(正数 X ) , 使对 的 x , 总有
①
则称函数
当
时为无穷大, 记作
若在定义中将 ①式改为 则记作
注意:
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
例如, 函数 当Βιβλιοθήκη 但所以时,
不是无穷大 !
例 . 证明
证: 任给正数 M , 要使
只要取
则对满足
即 的一切 x , 有
所以 说明: 若
为曲线
则直线 的铅直渐近线 .
渐近线
三、无穷小与无穷大的关系
第四节
第一章
无穷小与无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系
一、 无穷小
定义1 . 若
时 , 函数
则称函数
为
时的无穷小 .
例如 :
函数
高等数学第一章函数与极限第四节 无穷小量与无穷大量
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2
例如：
limcos x 1, lim cos x 0
x0
x
lim 1 0, x x
2
(1)n
lim
0,
n n
x
例1 用定义证明
lim 0 x0 x 1
证明：x 0,取 1, x (1,1),即 x 1
简单地说， 绝对值无 限增大的 变量叫无 穷大量.
Y
0
X
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精确地讲：
1) lim f (x) x x0 M 0, 0,
当 x x0 时，有
f ( x) M . 故 lim f ( x) x x0
2)lim f (x) x
恒有
f (x)
1,
即
1 f (x)
.
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
注 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
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四 无穷小的运算法则
定理１ 有限个无穷小的和仍是无穷小。
lim 0,lim 0 lim( ) 0.
证：设及是当x 时的两个无穷小,
0, 0, 当 x x0 时，
即有 f ( x) A . 所以，f ( x)以A为极限。
例如： lim x 1 1, 有
x x
其中 1 0( x ) x
x1 1 1
x
x
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思考题：
当x x0时， ( x)是无穷小
M
高等数学第一章 (2)
图1－1
第一节 函数
（2）列表法。三角 函数表等是最常见的列表 表示的函数。
（3）解析法（公式 法）。其图像如图1－2所 示。
图1－2
第一节 函数
3.函数的特性
1 设函数f（x）的定义域为D,若存在正数M,使得对每一个 x∈D,
f（x）≤M 成立,则称f（x）为上的有界函数,否则,称f（x）为D上的无 界函数。 有界函数的几何意义：若函数f（x）为D上的有界函数,则函 数f（x）的图像完全落在直线y=M与y=-M之间。
值无限增大,记为x→∞。显然,同 时包含两种情况：当x>0时,记为x→+∞（读作x趋于正无穷大）；当 x＜0时,记为x→-∞（读作x趋于负无穷大）。
考察函数f(x)=[SX(]1[]x[SX)]和g(x)=arctanx的图像（如图116和图1-17所示）
图1-9
第一节 函数
③正切函数 y=tanx，k∈Z，x≠kπ+y∈（-∞，+∞），其图 像如图1-10所示。
图1-10
第一节 函数
④余切函数y=cotx，k∈Z，x≠kπ，y∈（-∞，+∞）,其 图像如图1－11所示。
图1－11
第一节 函数
第一节 函数
图1－12
图1－13
第一节 函数
③反正切函数y=arctanx，x∈（-∞，∞），y∈其图像如图 1－14所示。
二 介值定理
定理1-15 （介值定理）
设函数fx在闭区间a,b上连续,
且fa≠fb,若C为介于fa与fb之
间的任意实数,则至少存在一点
ξ∈a,b,
fξ=C。
图1-25
第五节 闭区间上连续函数的性质
推论1-4（零点定理） 若函数fx在闭区间a,b上连续, 且fa与fb异号,即fa·fb<0,则至 少存在一点ξ∈a,b,
高职高等数学-Ch1函数与极限
第一章 函数与极限§1-1 函数与极限一、 函数1.函数的定义设x ，y 是两个变量，D 是给定的一个集合，若对于D 中的每一个x 值，由某一法则f ，变量y 都有唯一确定的值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为(),yf x x D ，其中x 称为自变量，y 称为因变量，x 的取值围D 称为定义域，y 的取值围称为值域。
2.定义域数轴上使函数有意义的一切点的集合。
实际问题中要求根据实际意义具体确定。
3.定义域的求法原则 （1）分母不为零 （2）0≥x x ， （3）ln ,0x x >（4）arcsin ,arccos ,11x x x -≤≤（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集 例1：求211yx 的定义域解：210x定义域为(,1)(1,)例2：求24ln 1yx x 的定义域 解：042≥-x 且10x22≤≤-x 且1x定义域为(1,2)4.函数的表示法 （1）表格法将自变量的值与对应因变量的值列成表的方法。
（2）图像法在坐标系中用图像来表示函数关系的方法。
（3）解析式法将自变量和因变量之间的关系用数学公式表示的方法。
解析式分为三类：（a ）显函数函数y 由x 的解析式直接表示出来，如()y f x（b ）隐函数函数自变量x 和因变量y 由(,)0F x y 确定，如sin 0xy y（c ）分段函数函数在其定义域不同围有不同表达式如符号函数10sgn 0010x yxxx或0()0x x f xxx x 二、反函数1.定义设函数的定义域为f D ，值域为f V 。
对于任意的f V y ∈，在f D 上至少可以确定一个x 与y 对应，且满足()x f y =。
如果把y 看作自变量，x 看作因变量，就可以得到一个新的函数：()y f x 1-=。
我们称这个新的函数()y f x 1-=为函数()x f y =的反函数，而把函数()x f y =称为直接函数。
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1 1 为无穷小；反之，如果 f x 为无穷小，且 f x 0 ，则 为无穷大。 f x f x
例 2 自变量在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大？ 1 1 y 2 y 2x 1 3 y ln x 4 y 2x x 1 解 1 (1) 因为 lim x 1 0 ， 即 x 1 时，x 1 为无穷小， 所以 为 x 1 时的无穷大； x 1 x 1
x
x
沈
x
1 1 0 ，当 x 时， 为无穷小 x x 1 x 1
x2
(2) 因为 2 lim 2 x 4 0 ，所以当 x 2 时， 2 x 4 为无穷小
阳
2 y 2x 4
x
工
3 y 2
程
x
学
x
院
1 是 x 时的无穷小。 2x
x
即 lim ln x ，所以 x 及 x 0 时， y ln x 都是无穷大；
x 0
(4)因为 lim 2 x 0, 所以 x 时 2 x 为无穷小，因此
x
4．函数、极限与无穷小的关系 定理 2
x x0
沈
穷大。
阳
工
程
学
院
1 2 x 为 x 时的无 2 x
沈
1 x
2.lim
阳
arctan x x x
工
3.lim cos n 2 x n
程
学
院
2、无穷小的比较: 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶. 3、等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件.
但并不是所有的无穷小都
x )时的无穷大量，简称无穷大，记作 lim f x (或 lim f x )。
x x0
x
特殊情形：正无穷大，负无穷大． lim f ( x) (或 lim f ( x) )
x x0 ( x ) x x0 ( x )
常用等价无穷小:当x 0时, sin x ~ x, tan x ~ x, ln(1 x) ~ x, 例４ arcsin x ~ x, arctan x ~ x, e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 2 x . 2
Байду номын сангаас
求下列极限 tan 2 x sin x (1) lim (2) lim 3 x 0 sin 5 x x 0 x 3 x 解
课后作业：P19:3(2)(6)(8)
沈
阳
工
程
学
院
定义３ 设 , 是同一过程中的两个无穷小, 且 0.
(1) 如果 lim
, 则称 是比 低阶的无穷小. (3) 如果 lim C (C 0), 就说 与 是同阶的无穷小;
(2) 如果 lim
沈
0, 就说是比高阶的无穷小, 记作 o( );
定 义 1 当 在 给 定 的 x x0 或x 时 ， f x 以 零 为 极 限 ， 则 称 f x 是
x x0 或x 下的无穷小量，简称无穷小，记作 lim f x 0(或 lim f x 0)
x x0 x
阳
工
程
学
院
特殊地 如果 lim 记作 ~ ;
1, 则称与是等价的无穷小;
定理３ 证： lim
设 ~ , ~ 且 lim
存在, 则 lim lim .
lim( ) lim lim lim lim .
1 sin x 0 ，故 lim 0 x x x x
三、 无穷小的比较
2 2
1 例如， 当x 0时, x, x , sin x, x sin 都是无穷小. x 观察各极限
lim
lim
x2 0, x 2比3 x要快得多 ; x 0 3 x
sin x 1, sin x与x大致相同 ; x 0 x 1 x 2 sin x lim sin 1 不存在. 不可比. lim 2 x 0 x 0 x x 极限不同, 反映了趋向于零的“ 快慢” 程度不同.
例如, 函数 y 3 x 6 是 x 2 时的无穷小，而函数 y
注意 (1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆; (2)零是可以作为无穷小的唯一的数. 例 1 自变量在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小？
1 1 y x 1
解 (1) 因为 lim
（3）因为 lim 2 0 ，所以当 x 时， 2 无穷小
注意:
(1).无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
(2)切勿将 lim f ( x) 认为极限存在.
x x0
(3)．当 x x0 。 x x0 ， x ， x 时可得到相应的无穷大定义
3. 无穷大与无穷小的关系 定理 1
在自变量的同一变化过程 x x0 (或 x )中，如果 f x 为无穷大，则
课堂练习： 求下列极限 1.lim x sin
x 0
小结： 1、无穷小与无穷大是相对于过程而言的. ①主要内容: 两个定义;二个定理;三个性质，一个推论. ②几点注意: (1)无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数； (2)无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. (3)无界变量未必是无穷大.
1 1 (2)因为 lim 为无穷小，所以 2 x 1 为 x 时的无穷 0 ，即 x 时， x 2 x 1 2x 1
大；
(3)因为 x 时 ln x ，即 lim ln x , x 0 时， ln x ，
lim f ( x) A f ( x) A ( x), 其中 ( x) 是当 x x0 时的无穷小.
注意：定理 2 在 x x0 。 x x0 ， x ， x ， x 时仍然成立
二、 无穷小的性质 性质 1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 性质 2 有限个无穷小的乘积仍是无穷小。 性质 3 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小。 例 3 求下列函数的极限 2x 3 sin x 1 lim 2 lim x 1 x 2 5 x 4 x x
(1) 当x 0时, tan 2 x ~ 2 x ， sin 5 x ~ 5 x
所以 (2)
lim
tan 2 x 2x 2 lim x 0 sin 5 x x 0 5 x 5
当x 0时, sin x ~ x ， x3 3x ~ x3 3 x
所以
sin x x 1 1 lim 3 lim 3 lim 2 x 0 x 3 x x 0 x 3 x x 0 x 3 3
第四节 无穷小与无穷大(Infinitely Small and Infinitely Great) 教学目的：理解无穷小量和无穷大量的概念，掌握无穷小量、无穷大量之间的关 系，掌握它们的性质及无穷小的比较。 内 容：1. 无穷小与无穷大 2. 无穷小的性质 3. 无穷小的比较 教学重点: 无穷小量和无穷大量的概念 教学难点: 无穷小量和无穷大量有关性质，等价无穷小的应用。 教 具：多媒体课件 教学方法: 启发式教学 教学过程： 1.引入新课: 本节根据函数极限的两种特殊结果来给出无穷小和无穷大的定义 2.教学内容： 一、 无穷小与无穷大 1. 无穷小的定义
x
1 4 y 4
1 1 (4) 因为 lim 0 ，所以当 x 时， 为无穷小 x 4 4
2. 无穷大的定义 定义 2 如果 x x0 ( 或 x ) 时 ， f x 无限增大 ， 则称 f x 为当 x x0 ( 或
3 lim x
2x 1 x2 x
x2 5x 4 2x 3 解 (1) 由 lim 0 ,可知 lim 2 x 1 x 1 2x 3 x 5x 4 (2)当 x 时， sin x 1 ，所以是有界函数，又因为 lim
x x 1 2x 1 1 1 (3) lim 2 lim lim 00 0 x x x x x x 1 x x 1 x