第3讲-湍流运动方程
湍流
引言
➢ 湍流研究的内容和手段
1. 认识湍流： 利用实验或数值模拟为某些湍流流动提供定性或定量的流动信息
2. 模拟预测湍流： 对湍流进行理论或模式研究，建立可行的数学模型来准确预测湍流
3. 控制湍流： 利用实验、理论、数值模拟等手段，研究湍流流动的控制方案 减小阻力、增强混合、延迟转捩、控制分离
雷诺实验
➢ 常见的随机声波(噪声)也是一种随机运动，但它的粘性损 耗很小，本质上是非耗散的，因此不属湍流的范畴。
湍流的分类
湍流的分类
自然界和工程技术中遇到的绝大多数流动是湍流。 对此可以举出许多例子，比如地球大气边界层、较高的 对流层、太阳风中地球的尾迹、海洋中的水流、河流和 沟渠内的水流、船舶和飞机的尾流等。根据Ferziger （1983）的建议，可将湍流大致分为：
——开辟了湍流统计理论的道路
提出了雷诺应力的封闭问题
分子运动对湍流脉动的比拟
Boussinesqe 湍涡粘度
Prandtl
混合长度
近代湍流的奠基人
G.I. Taylor 英国 随机涡
N. Kolmogorov 苏联 各向同性湍流
周培源
中国 湍流模式理论
Osborne Reynolds
（1842－1912）
➢ 由于大涡单位质量的动能为0.5u2，能量传输率应为u3/l。 在某些剪切湍流中，也会出现能量的反向传递。
湍流的耗散性
6.湍流的耗散性（dissipation）。
➢ 在最小尺度涡的脉动中，能量不断被粘性转换为热，从 而不会进一步出现更小乃至无限小尺度的运动。
➢ 为补偿粘性耗散，湍流需要不断补充能量，湍流中能量 耗散率应与能量传输率相当，否则将很快衰减。
➢ 控制流动状态的参数为雷诺数 Re UmD /
高等流体力学：03第3讲_湍流运动方程
Dt
xi
7
NS方程（4）
运动方程 不可压缩流动的方程简化
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8
NS方程（5）
雷诺方程 NS方程的平均化处理
9
NS方程（6）
− 连续性假设？
NS方程自身有复杂的特性吗？
− 一般情况下，N-S方程初边值问题解的存在和唯一性尚未 完全 得到证明。只有在苛刻条件下，方程解的存在和唯一才有证明。
− 定常方程：存在解；但只有小雷诺数解才是唯一的
− 非定常二维方程：解是存在的，也是唯一的
− 非定常三维方程：小雷诺数时有唯一解；大雷诺数时情况比较 复杂，如只在一定时间内存在唯一解，雷诺数越大，存在唯一 解的时间区间越小。
13
雷诺应力方程（4）
雷诺应力方程 雷诺应力方程的各项
生成项
再分配项
扩散项
耗散项
14
雷诺应力方程（5）
湍动能方程
湍动能方程的各项
生成项
湍动能Βιβλιοθήκη 扩散项耗散项15
湍流标量的输运方程
标量方程 温度标量输运方程
被动性
16
高等流体力学
第3讲 湍流运动方程
内容
NS方程
− 湍流问题 − 连续性方程、运动方程 − 雷诺方程 − 脉动运动方程
雷诺应力方程
− 雷诺应力 − 雷诺应力输运方程 − 湍动能输运方程
湍流流动
6. 湍流流动
6.2 湍流流动的雷诺方程
传 输 原 理 － － 2 物 0 0 理 6 量 湍流依然受到宏观物理规律的制约，满足连续性方程与 纳维－斯托克斯方程及相应的定解条件。 湍流运动是一种极不规则的随机运动，脉动频率很高， 从一般给定时间的条件去求解瞬时运动是不可能的。 从实际应用角度看，某种统计平均值比瞬来自值更重要。v′ = z
v z = v z + v′ z
时均化与偏微分相互独立，表现在数学上，可交换运算次序。
物
vz = 1
τ
∫
τ
0
vz dτ
∂ v z ∂v z = ∂x ∂x
∂v′ z =0 ∂x
∂ 2vz ∂ 2vz = 2 2 ∂x ∂x
∂ 2 v′ z =0 2 ∂x
′ v x v y = (v x + v′ )(v y +vvv y = v x v y + v′ v y + v x v′ + v′ v′y x xy) x y x v x v y = v x v y + v′ v′y x
vx
vx
∂v y ∂x
+ vy
∂v y ∂y
+ vz
∂v y ∂z
=
µ ∂ v y ∂ v y ∂ v y 1 ∂p − + + ρ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ρ ∂y
2 2 2
µ ∂ 2v ∂ 2 v ∂ 2 v ∂vz ∂v ∂v + v y z + v z z = 2z + 2z + 2z ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂y ∂z
∂ v′2 ∂ v′y v′ ∂ v′ v′ ∂ 2vx ∂ 2vx ∂ 2vx ∂v x ∂v x ∂v x x = µ 2 + 2 + 2 − ρ x + ρ vx + vy + vz + z x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z
湍流一方程模型
一方程模型
延迟符
代入（v）式得雷诺应力的偏微分方程如下：
一方程模型
延迟符
该式也称为雷诺应力输运方程，其中各项的物理意义如下：
①单位质量流体雷诺应力的物质导数，包括当地变化率和迁移变化率。② 产生项，雷诺应力对时均流速场所做的变形功。③、④统称湍流扩散项，但其物理本质有所不同，其中：③实质为脉动流速场中单位质量流体雷诺应力 的迁移变化率。这一项为脉动流速的三阶矩，共有 27 项，又由于对称性，故只有 18 项。④由于脉动压力引起的湍流扩散。⑤为分子扩散项。⑥ 为粘性耗散项。⑦ 湍流脉动压力与脉动变形速率的作用，称为压力变形项。
此时雷诺方程为：
两式相减可以得到：
一方程模型
延迟符
将（ii）式中脚标 j 改为 l（因为是哑标，对方程式无影响，而对下一步推导却带来很大方便），得：
对于 N-S 方程和雷诺方程中 j 方向的方程相减得到：
一 u′j加上(iv)式乘以u′i ，然后加以时间平均，得：
一方程模型
延迟符
可以得到
式中
一方程模型
代入（i）式，并化简得
延迟符
从左到右共六项，物理意义如下：脉动动能的当地变化率脉动动能的迁移变化率产生项脉动流场的空间不均匀性而导致的脉动动能与脉动压能的迁移变化率脉动扩散项在动能方程中的脉动粘性耗散项，即ε
一方程模型
延迟符
下面将用更一般的方法来推导有关湍流脉动流速的有关方程。当不考虑质量力，或在重力场中，压力项代表流体动压力时，湍流瞬时的 N-S 方程可写成
一方程模型
延迟符
令 i＝j，并以
代入，即可得湍流脉动动能方程，即 k 方程：
该公式与第一次求得k方程是一致的
一方程模型
湍流模型方程
湍流模型方程
湍流模型方程是用来描述湍流流动的数学方程。
其中最经典的湍流模型方程是雷诺平均纳维-斯托克斯方程，也称为RANS方程。
雷诺平均纳维-斯托克斯方程是对流体流动进行平均处理后得到的方程，可以描述湍流的运动规律。
其方程形式如下：
∂(ρu_i)/∂t + ∂(ρu_iu_j)/∂x_j = - ∂p/∂x_i + ∂(τ_ij)/∂x_j + ρg_i + F_i
其中，ρ是流体的密度，u_i是速度分量，t是时间，x_i是空间坐标，p是压力，τ_ij是应力张量，g_i是重力分量，F_i是外力分量。
这个方程描述了流体的连续性、动量守恒和能量守恒。
湍流模型方程还包括了湍流模型，用来描述湍流的统计性质。
最常用的湍流模型是k-ε模型，它基于湍流运动的能量和湍流耗散率进行描述。
k-ε模型的方程如下：
∂(ρk)/∂t + ∂(ρku_i)/∂x_i = ∂(μ+μ_t)∂x_j ∂u_i/∂x_j - ρε + ρg_i + F_i
∂(ρε)/∂t + ∂(ρεu_i)/∂x_i = C_1εk/μ (∂(μ+μ_t)∂x_i ∂u_i/∂x_j) - C_2ρε^2/k + ρg_iu_i + F_i
其中，k是湍流能量，ε是湍流耗散率，μ是动力粘度，μ_t是湍流粘度，C_1和C_2是经验常数。
这个模型方程描述了湍流能量和湍流耗散率的传输过程，可以用来计算湍流流动的各种统计量。
第3章-均匀各项同性湍流
上面三式构成了不可压湍流的基本方程
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
下面考察不可压缩均匀湍流场中的湍动能和雷诺应力的演化。对于不 可压缩均匀湍流，一点的统计相关量的空间导数等于零，因此它的湍动能 利雷诺应力方程可以简化为：
由上式可见，均匀湍流场中湍动能总是耗散的
3.4.2 不可压缩均匀各向同性湍流的Karman-Howarth方程
脉动压强和速度相关项的作用使湍流脉动速度各向同性化， 一旦湍流场达到各向同性状态，压强—速度相关项就不再有任 何作用。
上式即为不可压缩各向同性湍流的2阶纵向速度相关方程。最早 由Karman和 Howarth(1938)导出，称为卡门--霍华斯方程。Karman-Howarth方程是线性偏微分方程，较之原始变量的N—S方程要简单 得多，不过，Karmnn--Howarth方程仍然是不封闭的。
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.4 均匀湍流中的湍动能传输链
在粘性作用下，脉动速度逐渐衰减，而且小尺度的成分衰减 得最快，于是在耗散过程中大尺度脉动成分占更多份额。
由于惯性在速度脉动的各个尺度间进行动量输运，它将大尺 度脉动的动能传输给小尺度脉动。
于是在粘性和惯性的联合作用下，湍流脉动场形成一种能量 传输链：大尺度湍流脉动通过惯性作用向小尺度湍流脉动不断输 送能量，这股能量在小尺度湍流脉动中耗散殆尽。
，或者说湍流脉
动总是衰减的，初始的湍动能在演化过程中将耗散殆尽。
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.2 不可压缩均匀湍流的谱理论 对湍流速度场和压强场进行傅立叶展开，经过一系列变换，
可以得到谱空间中湍流脉动的演化方程：
湍流方程及其解法
湍流方程及其解法湍流是大自然中常见的一种流动方式。
在许多工业和实际应用中，湍流的存在和发展是无法避免的。
因此，对湍流的研究一直是科学家们关注的焦点。
湍流方程是描述湍流流动的一组偏微分方程，其解法对于理解湍流现象有着重要意义。
一、湍流方程湍流方程可以分为两类：一类是基于平均场的运动方程，另一类是直接模拟湍流流动的Navier-Stokes方程。
对于前者，一般采用雷诺平均方法（RANS）来进行模拟。
RANS假设湍流流动可以用时间平均值表示，这样可以把湍流流动分解成平均流动和湍流脉动两部分。
根据这个假设，可以得到雷诺平均Navier-Stokes方程和湍流模型。
其中，湍流模型根据不同的湍流流动特性和物理机制，采用不同的假设和公式来描述湍流脉动。
对于后者，Navier-Stokes方程是描述流体运动基本规律的方程之一。
它由连续性方程和动量方程组成。
其中，连续性方程描述了连续体的质量守恒定律，动量方程描述了连续体的动量守恒定律。
由于这两个方程的非线性和耦合性，Navier-Stokes方程的解析解一直未能得到，只能采用数值方法对其进行求解。
二、湍流模拟方法对于湍流方程的求解，可以采用直接数值模拟（DNS）、大涡模拟（LES）和雷诺平均模拟（RANS）等方法。
DNS是直接模拟湍流流动的方法，它对Navier-Stokes方程进行数值求解，没有对湍流进行平均处理。
由于DNS需要对所有长度尺度的湍流涡进行精细模拟，所以计算量非常大。
目前，DNS主要用于理论研究和小规模问题的模拟。
LES是基于湍流能量分布的假设，将大尺度涡流动进行模拟，小尺度涡流动则采用湍流模型进行预测。
这样可以降低计算量，同时也能够保留一定的湍流结构。
LES主要用于工程实践问题的模拟。
RANS则是利用时间平均方法对流场进行模拟。
RANS基于湍流统计平均，采用不同的湍流模型来描述湍流脉动。
RANS计算量比DNS和LES小得多，但精度也相对较低，主要用于工程大规模问题的模拟。
湍流运动方程
湍流运动方程
湍流运动方程是描述湍流现象的基本方程之一，它在流体力学中具有重要的意义。
湍流是指流体在运动过程中产生的无规则、混乱的流动状态。
它具有高度的不可预测性和复杂性，因此对湍流的研究一直是流体力学领域的重点之一。
湍流运动方程能够描述湍流的运动规律和特性，为湍流现象的研究和应用提供了理论基础。
湍流运动方程的基本形式可以用一维不可压缩Navier-Stokes方程组来表示，即连续性方程和动量方程。
连续性方程描述了流体质点的质量守恒，它表明在流体运动过程中，单位体积内的质量保持不变。
动量方程则描述了流体质点的动量守恒，它包含了流体的惯性力、压力力和粘性力等因素的影响。
湍流运动方程的求解是一个极为复杂的问题，因为湍流本身的非线性和不可预测性使得方程的解析解难以得到。
目前，研究者主要采用数值模拟方法来求解湍流运动方程，通过计算机模拟湍流现象的发展和演化过程，从而获得湍流的统计特性和动力学行为。
湍流运动方程的研究不仅对于科学研究具有重要意义，也在工程技术领域有着广泛的应用。
例如，湍流运动方程的研究可以用于优化飞机、汽车和船舶等交通工具的设计，改善其流体力学性能；同时，湍流运动方程的研究也可以应用于气象预报、水力学和环境工程等领域，提高相关问题的解决效率和准确性。
湍流运动方程是描述湍流现象的基本方程，它具有重要的理论和应用价值。
通过研究湍流运动方程，可以深入了解湍流的运动规律和特性，为湍流现象的研究和应用提供理论支持。
湍流运动方程的研究不仅对于科学研究有着重要意义，也在工程技术领域具有广泛的应用前景。
通过进一步深入研究和探索，相信湍流运动方程的应用将会得到进一步的拓展和发展。
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4
因此，一般将流体运动的N - S方程作为湍流运动的基 本方程，即湍流场内任一空间点的速度、压强及密度 等的瞬时值都必须满足该方程。 尽管有学者对这一模型产生质疑，也曾试图另辟蹊径 ，寻找其它数学模型，但都没有令人信服的证据和结 果。而基于 N-S方程所得到的一些理论、计算结果和 实验结果吻合得很好。
2 u u ui uk p i i u f j i 2 x j xi 3 xi x j t xk ui D 0 Dt xi
DOSE, Zhejiang University
雷诺应力
雷诺应力的量级
雷诺应力的估计
DOSE, Zhejiang University
粘性应力的估计 两者之比
12
雷诺应力方程（3）
雷诺应力方程
雷诺应力方程的推导
脉动方程
DOSE, Zhejiang University
雷诺应力方程
13
雷诺应力方程（4）
雷诺应力方程
雷诺应力方程的各项
3
湍流流体仍属于连续介质！
较高Re数下，湍流场中存在很小的湍流运动尺度, 但 该尺度远大于分子的平均自由程。因此，流体可被 视为连续介质。 在与最小湍动尺度相当的 距离及与最小脉动周期相 近的时间内, 湍流场内的 物理量连续变化, 即空间 和时间上可微，可用常规 方法建立数学模型。
DOSE, Zhejiang University
笛卡尔坐标下
u v w ＝0 t x y z
DOSE, Zhejiang University
张量下标形式
ui 0 t xi
或
u D i 0 Dt xi
7
NS方程（4）
运动方程
不可压缩流动的方程简化
N-S方程-雷诺方程=脉动方程
N-S方程
雷诺方程
DOSE, Zhejiang University
脉动பைடு நூலகம்程
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雷诺应力方程（1）
雷诺应力
-
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ui ' u j ' > ¶xj
慢 层 质 点 上 跃
u'< 0
快 层 质 点 下 跃
DOSE, Zhejiang University
u'> 0
11
雷诺应力方程（2）
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涡量输运方程（1）
涡量
涡量的定义
涡线
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DOSE, Zhejiang University
涡量
涡量输运方程（2）
涡通量
涡通量守恒
18
DOSE, Zhejiang University
涡量输运方程（3）
涡量方程
涡量的平均方程和脉动方程
涡量输运方程
涡量平均方程
DOSE, Zhejiang University
高等流体力学
第3讲 湍流运动方程
宋 丹
浙江大学海洋学院 Ocean College, Zhejiang University
wanzhanhong@ DOSE, Zhejiang University
内容
N-S方程
− − − − 湍流与N-S方程 连续性方程、运动方程 雷诺方程 脉动方程
生成项 再分配项
DOSE, Zhejiang University
扩散项
耗散项
14
雷诺应力方程（5）
湍动能方程
生成项
湍动能
扩散项
耗散项
15
DOSE, Zhejiang University
湍流标量的输运方程
标量方程
温度输运方程
DOSE, Zhejiang University
具有被动性！
涡量脉动方程
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涡量输运方程（4）
涡量方程
拟涡能 生成项
脉动量的拟涡能
扩散项
DOSE, Zhejiang University
耗散项
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涡量的输运方程
− 涡量、涡量方程
雷诺应力方程
− 雷诺应力 − 雷诺应力输运方程 − 湍动能输运方程
DOSE, Zhejiang University
湍流标量方程
2
N-S方程（1）
湍流与N-S方程
湍流能用N-S方程描述吗？
− 脉动的产生是否是因为质点的平均运动特性无法得到满足？ − 连续性假设是否成立？
ui ui 2 ui 1 p uj fi 2 t x x x j i j ui 0 xi
8
NS方程（5）
雷诺方程
NS方程的平均化处理：
DOSE, Zhejiang University
9
NS方程（6）
脉动方程
DOSE, Zhejiang University
5
NS方程（2）
物理原理 反映流体物质的特性
− 流体的本构方程 − 流体的状态方程
反映普适规律
− 物质守恒定律 − 牛顿运动定律 − 能量守恒定律
DOSE, Zhejiang University
6
NS方程（3）
连续性方程
三维连续性方程
N-S方程自身的复杂性
− 一般情况下， N-S方程关于初、边值问题的解的存在性和唯一 性尚未完全得到证明，只有在极苛刻的条件下才存在唯一解
DOSE, Zhejiang University
− 定常方程：存在解，但只有小雷诺数解才是唯一的 − 非定常二维方程：存在唯一解 − 非定常三维方程：小雷诺数时存在唯一解；大雷诺数时情况比 较复杂：只在一定时间内存在唯一解；雷诺数越大，存在唯一 解的时间区间越小