03-第3讲-湍流运动方程
湍流初级教程
湍流初级教程湍流是流体中的一种不规则运动，它是由于流体受到不同速度、不同方向的扰动而产生的，这些扰动会交替出现，形成不规则的涡流，并使流体表现出随机性、非线性等特征。
在实际工程中，湍流是普遍存在的，因此对湍流的理解及控制至关重要。
下面是一个湍流初级教程：1.湍流模型及其分类。
为了研究湍流，通常需要引入数学模型来描述湍流的演化和传输。
湍流模型主要可以分为两类：基于数据和基于物理。
基于数据的模型依赖于实验或数值模拟得到的数据，而基于物理的模型则基于流体力学的基本方程和基本物理原理进行构建。
常用的基于物理的湍流模型有RANS（雷诺平均Navier-Stokes）模型、LES（大涡模拟）模型、DNS（直接数值模拟）模型等。
2.湍流特性。
湍流有许多特性，其中一些重要的特性包括：-非线性：湍流中的各向异性和非线性效应是由于流体运动中存在的不对称性和动量传输导致的。
这使得湍流的预测变得非常困难。
-随机性：由于湍流的随机性，湍流运动是无规律的，不能通过简单的规律和关系来描述。
-涡流：湍流中存在许多大小不同的涡流结构，这些涡流结构不断变化并相互作用。
彼此之间是复杂的相互作用，将能量从大的涡流向小的涡流传递，形成一个级联的涡流系统。
3.湍流模拟方法。
湍流模拟方法通常可以分为实验室实验、数值模拟两类。
实验室实验可用于观察湍流现象，同时获得一些数据供数值模拟使用；数值模拟可以通过计算机计算来模拟湍流现象，根据所选的数学模型进行湍流计算。
4.湍流控制方法。
对于某些工程问题，需要对湍流进行控制以达到优化的效果，湍流控制方法主要包括：-增加流体粘性。
-改变流体性质。
-利用机械设备控制湍流。
-利用外场控制湍流。
以上是一些湍流初级教程的介绍，希望对初学者有所帮助。
高等流体力学：03第3讲_湍流运动方程
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NS方程（4）
运动方程 不可压缩流动的方程简化
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NS方程（5）
雷诺方程 NS方程的平均化处理
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NS方程（6）
− 连续性假设？
NS方程自身有复杂的特性吗？
− 一般情况下，N-S方程初边值问题解的存在和唯一性尚未 完全 得到证明。只有在苛刻条件下，方程解的存在和唯一才有证明。
− 定常方程：存在解；但只有小雷诺数解才是唯一的
− 非定常二维方程：解是存在的，也是唯一的
− 非定常三维方程：小雷诺数时有唯一解；大雷诺数时情况比较 复杂，如只在一定时间内存在唯一解，雷诺数越大，存在唯一 解的时间区间越小。
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雷诺应力方程（4）
雷诺应力方程 雷诺应力方程的各项
生成项
再分配项
扩散项
耗散项
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雷诺应力方程（5）
湍动能方程
湍动能方程的各项
生成项
湍动能Βιβλιοθήκη 扩散项耗散项15
湍流标量的输运方程
标量方程 温度标量输运方程
被动性
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高等流体力学
第3讲 湍流运动方程
内容
NS方程
− 湍流问题 − 连续性方程、运动方程 − 雷诺方程 − 脉动运动方程
雷诺应力方程
− 雷诺应力 − 雷诺应力输运方程 − 湍动能输运方程
湍流流动
6. 湍流流动
6.2 湍流流动的雷诺方程
传 输 原 理 － － 2 物 0 0 理 6 量 湍流依然受到宏观物理规律的制约，满足连续性方程与 纳维－斯托克斯方程及相应的定解条件。 湍流运动是一种极不规则的随机运动，脉动频率很高， 从一般给定时间的条件去求解瞬时运动是不可能的。 从实际应用角度看，某种统计平均值比瞬来自值更重要。v′ = z
v z = v z + v′ z
时均化与偏微分相互独立，表现在数学上，可交换运算次序。
物
vz = 1
τ
∫
τ
0
vz dτ
∂ v z ∂v z = ∂x ∂x
∂v′ z =0 ∂x
∂ 2vz ∂ 2vz = 2 2 ∂x ∂x
∂ 2 v′ z =0 2 ∂x
′ v x v y = (v x + v′ )(v y +vvv y = v x v y + v′ v y + v x v′ + v′ v′y x xy) x y x v x v y = v x v y + v′ v′y x
vx
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µ ∂ v y ∂ v y ∂ v y 1 ∂p − + + ρ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ρ ∂y
2 2 2
µ ∂ 2v ∂ 2 v ∂ 2 v ∂vz ∂v ∂v + v y z + v z z = 2z + 2z + 2z ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂y ∂z
∂ v′2 ∂ v′y v′ ∂ v′ v′ ∂ 2vx ∂ 2vx ∂ 2vx ∂v x ∂v x ∂v x x = µ 2 + 2 + 2 − ρ x + ρ vx + vy + vz + z x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z
湍流模型方程
湍流模型方程
湍流模型方程是用来描述湍流流动的数学方程。
其中最经典的湍流模型方程是雷诺平均纳维-斯托克斯方程，也称为RANS方程。
雷诺平均纳维-斯托克斯方程是对流体流动进行平均处理后得到的方程，可以描述湍流的运动规律。
其方程形式如下：
∂(ρu_i)/∂t + ∂(ρu_iu_j)/∂x_j = - ∂p/∂x_i + ∂(τ_ij)/∂x_j + ρg_i + F_i
其中，ρ是流体的密度，u_i是速度分量，t是时间，x_i是空间坐标，p是压力，τ_ij是应力张量，g_i是重力分量，F_i是外力分量。
这个方程描述了流体的连续性、动量守恒和能量守恒。
湍流模型方程还包括了湍流模型，用来描述湍流的统计性质。
最常用的湍流模型是k-ε模型，它基于湍流运动的能量和湍流耗散率进行描述。
k-ε模型的方程如下：
∂(ρk)/∂t + ∂(ρku_i)/∂x_i = ∂(μ+μ_t)∂x_j ∂u_i/∂x_j - ρε + ρg_i + F_i
∂(ρε)/∂t + ∂(ρεu_i)/∂x_i = C_1εk/μ (∂(μ+μ_t)∂x_i ∂u_i/∂x_j) - C_2ρε^2/k + ρg_iu_i + F_i
其中，k是湍流能量，ε是湍流耗散率，μ是动力粘度，μ_t是湍流粘度，C_1和C_2是经验常数。
这个模型方程描述了湍流能量和湍流耗散率的传输过程，可以用来计算湍流流动的各种统计量。
湍流方程及其解法
湍流方程及其解法湍流是大自然中常见的一种流动方式。
在许多工业和实际应用中，湍流的存在和发展是无法避免的。
因此，对湍流的研究一直是科学家们关注的焦点。
湍流方程是描述湍流流动的一组偏微分方程，其解法对于理解湍流现象有着重要意义。
一、湍流方程湍流方程可以分为两类：一类是基于平均场的运动方程，另一类是直接模拟湍流流动的Navier-Stokes方程。
对于前者，一般采用雷诺平均方法（RANS）来进行模拟。
RANS假设湍流流动可以用时间平均值表示，这样可以把湍流流动分解成平均流动和湍流脉动两部分。
根据这个假设，可以得到雷诺平均Navier-Stokes方程和湍流模型。
其中，湍流模型根据不同的湍流流动特性和物理机制，采用不同的假设和公式来描述湍流脉动。
对于后者，Navier-Stokes方程是描述流体运动基本规律的方程之一。
它由连续性方程和动量方程组成。
其中，连续性方程描述了连续体的质量守恒定律，动量方程描述了连续体的动量守恒定律。
由于这两个方程的非线性和耦合性，Navier-Stokes方程的解析解一直未能得到，只能采用数值方法对其进行求解。
二、湍流模拟方法对于湍流方程的求解，可以采用直接数值模拟（DNS）、大涡模拟（LES）和雷诺平均模拟（RANS）等方法。
DNS是直接模拟湍流流动的方法，它对Navier-Stokes方程进行数值求解，没有对湍流进行平均处理。
由于DNS需要对所有长度尺度的湍流涡进行精细模拟，所以计算量非常大。
目前，DNS主要用于理论研究和小规模问题的模拟。
LES是基于湍流能量分布的假设，将大尺度涡流动进行模拟，小尺度涡流动则采用湍流模型进行预测。
这样可以降低计算量，同时也能够保留一定的湍流结构。
LES主要用于工程实践问题的模拟。
RANS则是利用时间平均方法对流场进行模拟。
RANS基于湍流统计平均，采用不同的湍流模型来描述湍流脉动。
RANS计算量比DNS和LES小得多，但精度也相对较低，主要用于工程大规模问题的模拟。
湍流运动方程
湍流运动方程
湍流运动方程是描述湍流现象的基本方程之一，它在流体力学中具有重要的意义。
湍流是指流体在运动过程中产生的无规则、混乱的流动状态。
它具有高度的不可预测性和复杂性，因此对湍流的研究一直是流体力学领域的重点之一。
湍流运动方程能够描述湍流的运动规律和特性，为湍流现象的研究和应用提供了理论基础。
湍流运动方程的基本形式可以用一维不可压缩Navier-Stokes方程组来表示，即连续性方程和动量方程。
连续性方程描述了流体质点的质量守恒，它表明在流体运动过程中，单位体积内的质量保持不变。
动量方程则描述了流体质点的动量守恒，它包含了流体的惯性力、压力力和粘性力等因素的影响。
湍流运动方程的求解是一个极为复杂的问题，因为湍流本身的非线性和不可预测性使得方程的解析解难以得到。
目前，研究者主要采用数值模拟方法来求解湍流运动方程，通过计算机模拟湍流现象的发展和演化过程，从而获得湍流的统计特性和动力学行为。
湍流运动方程的研究不仅对于科学研究具有重要意义，也在工程技术领域有着广泛的应用。
例如，湍流运动方程的研究可以用于优化飞机、汽车和船舶等交通工具的设计，改善其流体力学性能；同时，湍流运动方程的研究也可以应用于气象预报、水力学和环境工程等领域，提高相关问题的解决效率和准确性。
湍流运动方程是描述湍流现象的基本方程，它具有重要的理论和应用价值。
通过研究湍流运动方程，可以深入了解湍流的运动规律和特性，为湍流现象的研究和应用提供理论支持。
湍流运动方程的研究不仅对于科学研究有着重要意义，也在工程技术领域具有广泛的应用前景。
通过进一步深入研究和探索，相信湍流运动方程的应用将会得到进一步的拓展和发展。
湍流的数学模型
湍流的数学模型第五讲流体仿真与应用◆湍流认识19世纪，一般都认为湍流是一种完全不规则的随机运动，Reynolds最初将这种流动现象称之为摇摆流（sinuous motion），其后Kelvin将其改名为湍流（turbulence），这个名字一直沿用至今。
◆湍流物理特征湍流由各种不同尺度的涡旋叠加而成，其中最大涡尺度与流动环境密切相关，最小涡尺度由粘性确定；流体在运动过程中，涡旋不断破碎、合并，流体质点轨迹不断变化；在某些情况下，流场做完全随机的运动，在另一些情况下，流场随机运动和拟序运动并存。
“随机”和“脉动”是湍流流场的重要的物理特征。
▼不可压缩时均运动控制方程组之所以出现方程组出现不封闭（需求解的未知函数较方程数多），在于方程中出现了湍流脉动值的雷诺应力项。
要使方程组封闭，必须对雷诺应力做出某些假定，即建立应力的表达式（或者引入新的湍流方程），通过这此表达式把湍流的脉动值与时均值等联系起来。
基于某些假定所得出的湍流控制方程，称为湍流模型。
湍流模型雷诺应力模型雷诺应力方程模型代数应力方程模型两一零方程模型方程模型方程模型湍动粘度类模型◆雷诺应力类模型这个模型的特点是直接构建表示雷诺应力的补充方程，然后联立求解湍流时均运动控制方程组。
▼雷诺应力方程是微分形式的，称为雷诺应力方程模型。
▼若将雷诺应力方程的微分形式简化为代数方程的形式，则称为代数应力方程模型。
▼一方程模型一方程模型考虑到湍流的对流输运和扩散输运，因此比零方程模型更为合理。
但是，一方程模型中如何定长度比尺仍是不容易决定的问题，因此在实际工程计算很少应用。
两方程模型是指补充2个微分方程使湍流时均控制方程组封闭的一类处理方法。
▼二方程模型两方程模型中标准模型及各种改进模型在工程中获得了最广泛的应用。
εκ−▼标准两方程模型εκ−○标准两方程模型常数取值εκ−▼标准模型的控制方程εκ−▼标准模型的适应性εκ−①模型中的相关系数，主要根据一些特定条件下的试验结果而确定的。
湍流ns方程
湍流ns方程湍流NS方程是描述流体运动中湍流行为的一组方程。
它是基于Navier-Stokes方程推导出来的，其中考虑了湍流的非线性和非定常性。
湍流是流体中的一种复杂而无规律的流动状态，它具有高度的不确定性和随机性，无法用简单的解析解来描述。
因此，湍流NS 方程的提出对于研究流体湍流行为具有重要意义。
湍流NS方程由连续性方程和动量方程组成。
连续性方程描述了质量守恒的原理，它表达了流体在任意时刻的质量流入和流出的平衡关系。
动量方程描述了流体运动的力学性质，它包括了流体的加速度、压力和粘性力等因素的影响。
湍流NS方程的解析解很难求得，因此研究湍流通常采用数值模拟的方法。
通过将湍流NS方程离散化，并借助计算机进行数值计算，可以得到湍流的一些统计特性。
这对于解决实际工程中与湍流相关的问题具有重要意义。
例如，在飞机设计中，湍流对飞行性能和燃料消耗等方面都有影响，因此需要研究湍流行为以优化飞机的设计。
湍流NS方程的研究还有助于理解湍流的产生和发展机制。
湍流的产生是由于流体运动中存在的各种不稳定性机制，例如惯性力、压力梯度和粘性力等。
这些机制相互作用，形成了湍流的能量级联过程，使得流体的能量逐渐由大尺度转移到小尺度。
湍流NS方程通过描述这些机制的数学模型，为研究湍流的能量级联和尺度耗散等问题提供了基础。
在湍流研究中，还有一些重要的湍流模型被广泛应用。
这些模型基于湍流NS方程，通过对流体中湍流能量传递和耗散过程的建模，来近似描述湍流行为。
其中最著名的模型之一是k-ε模型，它通过对湍流能量和湍流耗散率的方程进行求解，来估计湍流的各种统计特性。
这种模型在工程领域中得到了广泛应用。
湍流NS方程是研究流体湍流行为的重要工具。
它描述了流体在湍流状态下的运动规律，对于解决实际工程中的湍流问题具有重要意义。
湍流NS方程的研究不仅有助于优化工程设计，还有助于理解湍流的产生和发展机制。
通过数值模拟和湍流模型的应用，可以在一定程度上揭示湍流的统计特性和尺度耗散过程。
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张量下标形式
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NS方程（4）
运动方程
不可压缩流动的方程简化
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涡量输运方程（3）
涡量方程 涡量的平均方程和脉动方程
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涡量脉动方程
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涡量输运方程（4）
涡量方程 脉动量的拟涡能
拟涡能
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雷诺应力
雷诺应力方程（1）
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快
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质
点
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下
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雷诺应力方程（2）
雷诺应力 雷诺应力的量级
雷诺应力的估计 粘性应力的估计 两者之比
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雷诺应力方程（3）
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DOSE, Zhejiang University
因此，一般将流体运动的N - S方程作为湍流运动的基 本方程，即湍流场内任一空间点的速度、压强及密度 等的瞬时值都必须满足该方程。
尽管有学者对这一模型产生质疑，也曾试图另辟蹊径 ，寻找其它数学模型，但都没有令人信服的证据和结 果。而基于 N-S方程所得到的一些理论、计算结果和 实验结果吻合得很好。
雷诺应力方程 雷诺应力方程的推导
脉动方程
雷诺应力方程
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雷诺应力方程（4）
雷诺应力方程
雷诺应力方程的各项
生成项
再分配项
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扩散项
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雷诺应力方程（5）
湍动能方程
湍动能
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雷诺方程
NS方程（5）
NS方程的平均化处理：
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脉动方程
NS方程（6）
N-S方程-雷诺方程=脉动方程
N-S方程
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雷诺方程
脉动方程
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湍流流体仍属于连续介质！
较高Re数下，湍流场中存在很小的湍流运动尺度, 但 该尺度远大于分子的平均自由程。因此，流体可被 视为连续介质。
在与最小湍动尺度相当的 距离及与最小脉动周期相 近的时间内, 湍流场内的 物理量连续变化, 即空间 和时间上可微，可用常规 方法建立数学模型。
N-S方程自身的复杂性
− 一般情况下，N-S方程关于初、边值问题的解的存在性和唯一 性尚未完全得到证明，只有在极苛刻的条件下才存在唯一解
− 定常方程：存在解，但只有小雷诺数解才是唯一的 − 非定常二维方程：存在唯一解 − 非定常三维方程：小雷诺数时存在唯一解；大雷诺数时情况比
较复杂：只在一定时间内存在唯一解；雷诺数越大，存在唯一 解的时间区间越小
扩散项
耗散项
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湍流标量的输运方程
标量方程 温度输运方程
具有被动性！
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涡量输运方程（1）
涡量 涡量的定义
涡线
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涡量 涡通量
涡量输运方程（2）
涡通量守恒
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物理原理
NS方程（2）
反映普适规律
反映流体物质的特性
− 物质守恒定体的状态方程
− 能量守恒定律
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连续性方程
NS方程（3）
三维连续性方程
笛卡尔坐标下
高等流体力学
第3讲 湍流运动方程
海洋科学与工程学系 Department of Ocean Science and Engineering
wanzhanhong@
DOSE, Zhejiang University
内容
N-S方程
− 湍流与N-S方程 − 连续性方程、运动方程 − 雷诺方程 − 脉动方程
涡量的输运方程
− 涡量、涡量方程
雷诺应力方程
− 雷诺应力 − 雷诺应力输运方程 − 湍动能输运方程
湍流标量方程
DOSE, Zhejiang University
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N-S方程（1）
湍流与N-S方程
湍流能用N-S方程描述吗？
− 脉动的产生是否是因为质点的平均运动特性无法得到满足？ − 连续性假设是否成立？