第6章 湍流
湍流模型
第六章湍流模型湍流模型湍流运动中动量与能量交换主要受大尺度涡的影响湍流的基本方程无论湍流运动多么复杂，非稳态的连续方程和Navier-stokes 方程对于瞬时运动仍然是使用的。
对不可压流动：=01+=-+(grad )1+=-+(grad )1+=-+(grad )u p u v u t x v p v v t y w p w v w t zρρρ∇∂∂∇∇∂∂∂∂∇∇∂∂∂∂∇∇∂∂u u u u ()(v )()一、“雷诺平均”模式（RANS)根据湍流统计平均理论，湍流的速度、压强都可以分解为平均量和脉动量'i i iu u u=+p p p '=+其中，,i u p 为系综统计平均量，任意变量ф的时间平均值定义为:1()t ttt dt t φφ+∆=∆⎰,i u p ''为脉动量一、“雷诺平均”模式（RANS)对N-S 方程做系综平均()0i iu x ∂=∂遵循求导和系综平均可交换的原则，上式的线性项可直接写出:i iu u t t∂∂=∂∂21()i i i j i j i j ju u pu u f t x x x x νρ∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂一、“雷诺平均”模式（RANS)对非线性对流项()()(()())()()i j i j j i i j i j i j i j i j j j j j i j i j ju u u u u u u u u u u u u u u u x x x x u u u u x ∂∂∂∂''''''==++=+++∂∂∂∂∂''=+∂将以上方程代入N-S 方程的系综平均中:'2'''''''2'''''''2=01+=-+(grad )+[---]1+=-+(grad )[---]1+=-+(grad )[---]u p u u v u w u v u t x x y z v p u v v v w v v v t y x y z w p u w v w w w v w t zx y z ρρρ∇∂∂∂∂∂∇∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇∇+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇∇+∂∂∂∂∂u u u u ()()()()0i iu x ∂=∂21()()i i i j i j iji j j i u p u u u v u u f t x x x x x ρ∂∂∂∂∂''+=-+-+∂∂∂∂∂∂()ij i j R u u ρ''=-为雷诺应力项一、“雷诺平均”模式（RANS)()0i iu t x ρρ∂∂+=∂∂()1()[()]i i i j i j i ji j j u p u u u u u s t x x x x ρρμρρ∂∂∂∂∂''+=-+-+∂∂∂∂∂()()[()]j i j j i ju u s t x x x φρφρφρφ∂∂∂∂''+=Γ-+∂∂∂∂RANS方程和原N-S方程在形式上很相似，只是多了雷诺应力项（6个）。
工程流体力学课件 第06章 流体流动微分方程 - 4
时 可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。
③ 能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导 微分相方似程，方方法程：的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。 流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量 守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空 间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种 分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。 微元体分析方法的核心：将雷诺输运定理应用于流体微元控制体。
t
z方向：vz dxdydz
t
6.2.3 以应力表示的运动方程
分别将微元控制体中x-,y-和z-方向的动量各对应项代入雷诺 输运定理，可得三个方向的运动微分方程。
X－：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
Y－：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
、vz z
)和体变形率(
vx x
vy y
vz z
)
正应力包含两部分：
v
①流体静压产生的正应力(压应力-p);
②流体运动变形产生的附加黏性正应力。与三个方向的线变形率
以及体变形率有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx p xx
xx 附加黏性正应力(或附加正应力)
连续性方程变为：
t
(vx )
湍流流动
6. 湍流流动
6.2 湍流流动的雷诺方程
传 输 原 理 － － 2 物 0 0 理 6 量 湍流依然受到宏观物理规律的制约，满足连续性方程与 纳维－斯托克斯方程及相应的定解条件。 湍流运动是一种极不规则的随机运动，脉动频率很高， 从一般给定时间的条件去求解瞬时运动是不可能的。 从实际应用角度看，某种统计平均值比瞬来自值更重要。v′ = z
v z = v z + v′ z
时均化与偏微分相互独立，表现在数学上，可交换运算次序。
物
vz = 1
τ
∫
τ
0
vz dτ
∂ v z ∂v z = ∂x ∂x
∂v′ z =0 ∂x
∂ 2vz ∂ 2vz = 2 2 ∂x ∂x
∂ 2 v′ z =0 2 ∂x
′ v x v y = (v x + v′ )(v y +vvv y = v x v y + v′ v y + v x v′ + v′ v′y x xy) x y x v x v y = v x v y + v′ v′y x
vx
vx
∂v y ∂x
+ vy
∂v y ∂y
+ vz
∂v y ∂z
=
µ ∂ v y ∂ v y ∂ v y 1 ∂p − + + ρ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ρ ∂y
2 2 2
µ ∂ 2v ∂ 2 v ∂ 2 v ∂vz ∂v ∂v + v y z + v z z = 2z + 2z + 2z ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂y ∂z
∂ v′2 ∂ v′y v′ ∂ v′ v′ ∂ 2vx ∂ 2vx ∂ 2vx ∂v x ∂v x ∂v x x = µ 2 + 2 + 2 − ρ x + ρ vx + vy + vz + z x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z
第六章——不可压缩粘性流体的内部流动
Du Dt
fx
1
p x
2u x2
2u y2
2u z 2
1
3
( V ) x
利用已知条件：
(1) =常数；=常数
(2)定常流动： 0
t
(3)充分发展流动:
u x
2u x2
0
,
u u( y )
(4)质量力沿x分量: fx 0
化简后得：
dp dx
d2u dy2
17
6.3 平板间的层流
压强p与y无关，速度u与x无关，积分得：
单位宽度上的流量为：
Q
h
udy
h g sin ( y2 2hy)dy gh3 sin
0
0 2
3
25
6.4 管内湍流 1. 湍流脉动现象与值 湍流（紊流） ：流动雷诺数Re> 2300的流动 湍流脉动现象：湍流流动参数随时间和空间作随机变化的现象。
26
6.4 管内湍流
图6-10 某热线仪测得的管内轴向瞬时速度
6
6.1 流动阻力
【解】油的平均流速为 V G 0.329(m / s)
A
流动沿程阻力损失为：
hf
l
d
V2 2g
9.94(m)
建立入口和出口间的伯努利方程
V12 2g
z1
p1
g
V22 2g
z2
p2
g
hw
出口端的油压
p0 p2 (V12 V22 ) g(z1 z2 ) p1 ghw 305090(Pa)
u U (1 y ) 2h
6-26
此时，平板间的速度随y呈线性分布，这种由上平板运动带
动流体产生的流动称为库艾特剪切流
流体力学第六章 流动阻力及能量损失
第六章流动阻力及能量损失本章主要研究恒定流动时，流动阻力和水头损失的规律。
对于粘性流体的两种流态——层流与紊流，通常可用下临界雷诺数来判别，它在管道与渠道内流动的阻力规律和水头损失的计算方法是不同的。
对于流速，圆管层流为旋转抛物面分布，而圆管紊流的粘性底层为线性分布，紊流核心区为对数规律分布或指数规律分布。
对于水头损失的计算，层流不用分区，而紊流通常需分为水力光滑管区、水力粗糙管区及过渡区来考虑。
本章最后还阐述了有关的边界层、绕流阻力及紊流扩散等概念。
第一节流态判别一、两种流态的运动特征1883年英国物理学家雷诺（Reynolds O.）通过试验观察到液体中存在层流和紊流两种流态。
1.层流观看录像1-层流层流（laminar flow），亦称片流：是指流体质点不相互混杂，流体作有序的成层流动。
特点：（1）有序性。
水流呈层状流动，各层的质点互不混掺，质点作有序的直线运动。
（2）粘性占主要作用，遵循牛顿内摩擦定律。
（3）能量损失与流速的一次方成正比。
（4）在流速较小且雷诺数Re较小时发生。
2.紊流观看录像2－紊流紊流（turbulent flow），亦称湍流：是指局部速度、压力等力学量在时间和空间中发生不规则脉动的流体运动。
特点：（1）无序性、随机性、有旋性、混掺性。
流体质点不再成层流动，而是呈现不规则紊动，流层间质点相互混掺，为无序的随机运动。
（2）紊流受粘性和紊动的共同作用。
（3）水头损失与流速的1.75~2次方成正比。
（4）在流速较大且雷诺数较大时发生。
二、雷诺实验如图6-1所示，实验曲线分为三部分：（1）ab段：当υ<υc时，流动为稳定的层流。
（2）ef段：当υ>υ''时，流动只能是紊流。
（3）be段：当υc<υ<υ''时，流动可能是层流（bc段），也可能是紊流（bde段），取决于水流的原来状态。
图6-1图6-2观看录像3观看录像4观看录像5实验结果（图6-2）的数学表达式层流：m1=1.0, h f=k1v , 即沿程水头损失与流线的一次方成正比。
高等大气物理：第六章 湍流的发生与描述
8
湍流运动的发生机制和运动结构
？
湍流运动的形成首先与流体运动的 稳定性密切相关
9
9
二、流体运动的稳定性
1、Re数：1883年， O.Reynolds在圆管水流试验中系统地 研究了湍流现象，引进了Re数
Re
> <
Rec
湍流 层流
不可压缩流体的稳定性可以用Re这样的无因次特征量 来表达
10
10
2、线性小扰动方法
• 奇怪吸引子的出现是由于高维相空间中的耗散系统，在演 化过程中要耗损掉快弛豫参量，剩下决定系统长时间行为 的慢弛豫参量； • 在这过程中，系统的相体积要不断地收缩,并趋向一个维 数比原来相空间维数低的有限区域——吸引子上；方程的 非线性，使得某些方向上的运动是不稳定的，局部看来呈 指数分离。为了在有限的区域里进行指数分离，空间运动 轨道只能采取无穷次折迭起来的办法
讨论基本流场的稳定条件 平均场＋扰动场 求解流体扰动衰减条件
11
不可压缩流体的navier-stokes方程
1 ∂p ∂ui ∂ui + uj =− + ν∆ui ∂x j ρ ∂x i ∂t ∂u j ∂x j =0
（3）
（2）
描述液体力学和等离子体的基本方程是纳维尔-期斯托克 斯方程，在2000年5月14日被巴黎国际数学大会列为21世纪世 界数学的七大难题之一
第六章 湍流的发生与描述
提出问题
湍流是怎样产生的？
利用实验方法来研究：动力扰动、热力扰动 利用数学方法来研究：Lorenz非周期
寻找解决 方法和思 路
得出结论
湍流形成过程流体运动的特征 混沌运动的特征
湍流的混沌特征
2
2
传热学第六章
流动全部为紊流
局部传热系数关联式 Nuxm 0.0296Rex4m/5Prm1/3
平均传热系数关联式 Num 0.037Rem4/5Prm1/3
Rex=0≥108 0.6 Prm 60
混合边界层
h
1 l
xc
0
hcx
dx
1
l
xc
hcx
2 dx
Rem
u d o
层流 Rem 1.4 105
层流、紊流的转变
特征速度 来流速度 u∞ 特征尺寸 管外径 d0
Rem＞1.4 105
定性温度 热边界层的平均温度 tm=1/2(t∞+tw)
1.流动的特征
圆柱前半部，沿流动方向流体处于加速减压状态，沿流向压 力逐渐减小。圆柱后半部，沿流向压力逐渐增加。最大粘滞 摩擦力处于圆柱表面处，因而圆柱表面附近的流体受到的阻 力最大。
小结：利用关联式获取表面换热系数的关键步骤
1，熟悉对象：如流过平板、圆柱、球或管束； 2，确定特征温度，查表获取特征温度下流体的热物理参数； 3，确定特征长度，计算Re数； 4，确定要获取局部、还是平均表面换热系数； 5，选择合适的关联式计算无量纲表面换热系数，即Nu数； 6，计算换热系数。
2017/10/23
第六章 单相对流换热的实验关联式
Convection Heat Transfer
§6-1 管内强制对流传热
6.1.1管内强制对流流动和换热的特征
入口段 充分发展段
1. 层流和湍流判别
层流： Re 2300 过渡区： 2300 Re 10000 旺盛湍流： Re 10000
Nu f
大学物理第6章 流体的运动
将在管中流动的甘油分成许多同轴
圆筒状的薄层，由于任意两相邻层存在 相对运动，流动较快的流层作用于流动 较慢的邻层一向前拉力，而流动较慢的 流层作用于流动较快的邻层一向后的阻 力，这一对力与接触面平行，大小相等 而方向相反，称为内摩擦力或黏滞力， 如图6-11所示。
图6-10 流体的黏滞性
r r+dr
实际流体都有黏滞性。
实际流体都是可压缩的。
为了使问题简化，只考虑流体的流动性 而忽略流体的可压缩性和黏滞性，引入一个 理想模型，称为理想流体（ideal fluid），它 是绝对不可压缩和完全没有黏滞性的流体。
6.1.2 稳定流动
一般来说，流体流动时，不但在同一时 刻，流体粒子通过空间各点的流速不同，而 且在不同时刻，流体粒子通过空间同一点时 的流速也不同，即流体粒子的流速是空间坐 标与时间坐标的函数。
由于流体不可压缩，根据质量守恒定律， 可知流入S1和流出S2的流体体积应相等，则
S1v1Δt=S2v2Δt 即
S1v1 =S2v2
这一关系式对于同一流管中任意两 个垂直于流管的截面都是适用的，即
Sv=恒量
上式表明，不可压缩的流体做稳定 流动时，通过同一流管各横截面的体积 流量相等，且等于恒量。
流速与横截面积成反比，截面面积 大处流速小，截面小处流速大。
在图6-3所示的流体中取一截面S， 则通过截面周边上各点的流线围成的管 状区域称为流管（tube of flow）。当流 体做稳定流动时，流线和流管的形状不 随时间而改变。
由于每一时刻空间一点上的流体质
点只能有一个速度，所以流线不可能相 交，流管内的流体不能穿越界面流出管 外，流管外的流体也不能穿越流管界面 流入管内，只能从流管的一端流进，从 另一端流出。流管的作用与管道相同。
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瞬时速度
ux ux u x
可用毕托管测得
(5-1a) 可用热线仪、 激光仪测得
时均速度 脉动速度
时均速度讨论Βιβλιοθήκη 均法式中，时均速度的定义为：
1 ux t
t
0
u x dt
其中 t 为平均周期，它比湍流周期大得多，以便得到
稳定的平均值，它又比非稳定的特征时间小得多，以便 把 t 视为一个瞬间值。 由于脉动速度的脉动频率极大，故一般只需要取几秒左 右即可满足平均周期的要求。 从微观上讲，湍流根本无所谓稳态，但是从统计的观点 来看，湍流又有稳定状态，但这是指均量而言。 全部湍流理论就是研究脉动值和平均值之间的相互关系。
度可高达I 40%
二、湍流的基本方程
雷诺等人认为：湍流的真实速度场仍满足C.E.方程和 在此前提下，第三章导出的方程在运用于湍流时，各
N-S方程。
强度量等均应视为瞬时值，经时均化后，对原方程进 行处理。
方程中的均时值仍保持层流方程的形式，而脉动值 处理后反映了湍流因素。
本章仅讨论不可压缩粘性流体的湍流流动。
5. 时均值的运算法则
设：
A、B 为湍流中,物理量的瞬时值
A 、 B 为湍流中物理量的均时值
A、B 为湍流中物理量的脉动值
运算法则
P100
1）瞬时值之和(差)的平均值等于各平均值之和(差)
A B A B
2）时均值的平均值等与原来的时均值
A A
3）脉动值的时均值等于零
A 0
2）模型表述
e yx
u xuy
根据混合长概念，将时均值与脉动值联系起来，
l
d ux u x l dy
（5-18）
脉动值与时均值关系，推导见 P103。
uy C u x
（5-19）
两脉动速度成正比，推导见 P104
模型表述
综上所述可知
d ux u x l dy
图a
② 流层的波动
高压向低压运动的结果，使得起伏进一步加剧。 最终在横向压力和剪应力的综合作用下，促使旋涡形
成。
图b
实际流动中，初始干扰可由各种意想不到的因素所引起，
所以涡团的产生带有极大的随机性。
2)漩涡的脱离
产生涡团后，若只是在原地旋转，还不能形成湍流。 只有当涡团脱离原流层进入新流层，流动内部扰动加
Du x
Dt
e e e xx yy yy xx yx g x zx x y z x y z
经过时均化处理后多出 3项； 这些附加的应力项是由于流体质点涡团脉动所产生的
湍流应力(或称雷诺应力)，是湍流运动的特征。
湍流应力可用脉动速度与之相关联。 得到湍流应力表达式，如下：
（2-27a）
上述方程中
u x u x u x
ux ux
均时化处理后，得
t e ij ij ij
ij
t ij
e ij
总粘性 分子 湍流应力 应力 粘性应力
将上述关系代入（2-27a），得到雷诺方程
雷诺方程
上述关系代入（2-27a），得到雷诺方程
证明见讲义P135
运算法则
4）两个瞬时值之积的时均值，等于两个时均值之积
与两个脉动值之积的时均值之和
AB A B AB
5）瞬时值导数的时均值等于时均值的导数值
A A x x
（对空间坐标求导）
A A t t
（对时间求导）
6. 湍流强度 I（intensity of turbulence）
2)漩涡的脱离
涡团上下的速度差，造成了涡团下方压力大于上方
压力，产生了“茹可夫斯基”升力，有了上升的趋势。
涡团要能脱离原处，必须克服两个阻力：
一是，涡团启动和加速过程所需的惯性力，
二是，涡团在运动过程中的摩擦阻力。 在涡团脱离前，惯性阻力为主， 在涡团上升时，增加了摩擦阻力。
2)漩涡的脱离
本章主要内容
一、湍流的基本概念
二、湍流的基本方程 三、光滑管内的湍流 四、粗糙管中的湍流（自学） 五、沿平板湍流边界层的近似解 六、沿平板混合边界层的近似解
一、湍流的基本概念 1. 流型转变 2. 湍流原因 3. 湍流特点 4. 速度的表示方法 5. 时均值的运算法则 6. 湍流强度
所以，均时化处理后的连续性方程为
ux u y uz 0 x y z
（5-8）
时均化处理后的连续性方程与层流方程形式上相同。
2. 运动方程的时均化 —— 雷诺方程
下面来推导湍流的动量方程 首先考虑 N-S方程 在直角坐标系中 x 向 的表达式
t zx Dux g x Dt x y z t xx t yx
本节主要内容
1. 连续性方程的均时化
2. 运动方程的时均化
3. 普朗特混合长理论
1. 连续性方程的均时化
已知，对于不可压缩流体，不论运动是否稳态，连续
性方程都是
ux u y uz 0 x y z
（2-12）
将上述瞬时速度拆成均时速度和脉动速度两项，
然后进行时均化处理：
1．流型转变—雷诺实验
湍流流动现象，最早是由雷诺观察得到的。
1883年，他通过著名的雷诺实验，观察到当
Re>12000时，管内流动从层流转变为湍流流动。
此时，流线不再呈现有规律的层状流动，而
是在各个方向上呈现出杂乱无章地，以大小不 同的流速运动，同时发生强烈的混合，总的流 动方向还是指向下游。
剧。根据连续性原则，各流层间必然会有涡团的交换， 这种交换不断进行，就形成了湍流。 那么在什么条件下，才能使涡团脱离原流层呢？
当流线由左向右流动时，涡团顺时针
旋转，此时涡团上方与外流流向一致， 由于粘性力的作用使涡团上方的流体 进一步加速，压力变小。
而涡团下方则与外流流向相反，使得
团涡下部进一步减速，压力增大，形 成由下往上的压差。
yx
e yx
d ux d ux u x u y l dy dy
2
模仿层流时的牛顿粘性定律（分子粘性应力）
dux dy
湍流脉动造成的应力，写成
式中
e yx
d ux e dy
2
(5-23)
涡流粘度
d ux e l dy
(5-24)
说明
值得注意的是粘性系数
这样统计平均处理的方法就成为描述湍流流动的主要
工具。
4. 瞬时速度表示方法 — 时均法
在湍流理论中，对变量有多种统计平均方法 如时均法、体均法、质均法、概率平均法。 这里以变量速度为例，介绍时间平均法。
时均法的基本思想是：将湍流时的瞬时速度看作是由 时间统计平均速度和脉动速度组合而成，其表达式为：
(2)外界干扰，是形成涡团的重要外部条件。
3. 湍流特点
从以上的讨论中得到，随机性是湍流的主要 特点。
它具有如下特点：
（1）即使保持在相同的实验条件下重复试验，
每次试验得到的结果也不可能相同。
有人实测了管内湍流流动时轴向速度分量和时
间的实验。
湍流中时均速度表示图（图5-5）
脉动速度
是分子的运动特性，与物体
性质、温度、压力等有关而与流体是否运动无关，是 物性常数；
（5-6）
湍流强度 I
2 2 2 u u u x y z
I
1 2 2 2 ( u x u y uz ) 3 ux
若 x, y, z 三个方向上的湍动同性，则有
上式可简化为：
I
2 u x
ux
(5-7)
针对不同的湍流状况，湍动强度的数值有很大差别。 例如，管流时，湍流强度 I 110% 对于自由喷射和尾流这样的高度湍动流动，其湍流强
uy C u x
e yx
2 d ux u x u y C l dy
2
d ux l dy
2
2
式中 l 为混合长，相关系数 C 是接近 1 的值。 进一步写成
e yx
d ux d ux u x u y l dy dy
2
模型表述
时均速度
瞬时速度
由图可见，对宏观上是稳定的流动，其流线也不再是
一条水平流线，而是在水平流线上叠加了有众多的小 尖峰（涡团造成的脉动）。
湍流特点
（2）在相同的实验条件下，对
任何一次实验所测试的物理量 进行足够多次的算术平均处理， 其平均值趋于一确定值。
lim 1 N
N
B( x , y , z , t ) B ( x , y , z , t )
于是这一流层受到了一对力偶的作用。
流层
力偶的产生
1）旋涡的形成
② 流层的波动
波动（或扰动）
当这对力偶受到来自横向干扰时就有可能产生旋涡。 某一偶然的初始扰动，使得流线呈微波状（见图a）。 波动使波峰上方流道截面变小，流速加大，压力降低“-”，
波峰下方流道截面变大，流速加大，压力加大“+” 显然这样的压力分布是不平衡的，高压区的流体将向邻近 的低压区运动（见图a）。
湍流应力表达式
e xx
e yx
ux
2
u xuy
（5-12）
ux u z
e zx
e 以 yx u x u y 为例说明其含义，见图
下面用时均速度来表达脉动值以减少方程变量。
3．普朗特混合长理论