勾股定理拓展提高题
(2021年整理)勾股定理拓展提高题
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B A6cm3cm1cmCBA勾股定理拓展提高题1、如图,长方体的底面边长分别为1cm 和3cm,高为6cm ．①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要__________cm ；②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ．2、如图1，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数_________图1 图2 图33、如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积4、如图3，数轴上的点A 所表示的数为x,则x 2-10的立方根为5、如图4,一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为图4 图56、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图5所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b,那么()2b a +的值为（ ）（A ）13 (B)19 （C)25 （D ）169• •ABADEBC7、已知△ABC 的三边长满足18,10==+ab b a ，8=c ，则为 三角形8、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄,DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？9、已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE=a,AF=b ，且32=EFGH S 正方形。
初中数学勾股定理提升训练1含答案
勾股定理提升训练1一．选择题（共16小题）1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．9，7，12B．2，3，4C．1，2，D．5，11，12 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90度，以Rt△ABC的三边为边分别向外作等边三角形△A'BC，△AB'C，△ABC'，若△A'BC，△AB'C的面积分别是8和3，则△ABC'的面积是（）A．33B．43C．53D．53．如图，在直角三角形ABC中，AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，点E为AC的中点，点D在AB上，且DE⊥AC于E，则CD＝（）A．3B．4C．5D．64．下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，，2B．7，24，25C．D．1，，5．如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE＝AB，AF＝AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A．S1+S3＝2S2B．S1+S3＝4S2C．S1＝S3＝S2D．S2＝（S1+S3）6．已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（）A．20B．10C．10D．287．在△ABC中，AB＝BC＝2，O是线段AB的中点，P是射线CO上的一个动点，∠AOC ＝60°，则当△P AB为直角三角形时，AP的长为（）A．1，，7B．1，，C．1，D．1，3，8．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，连接AC，点P是在四边形ABCD边上的一点；若点P到AC的距离为，这样的点P有（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．如图，Rt△ADC，Rt△BCE与Rt△ABC按如图方式拼接在一起，∠ACB＝∠DAC＝∠ECB ＝90°，∠D＝∠E＝45°，AB＝16，则S Rt△ADC+S Rt△BCE为（）A．16B．32C．160D．12810．如图是边长为1的3×3的正方形网格，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则AC边上的高是（）A．3B．C．D．11．若△ABC中，AB＝13，BC＝5，AC＝12，则下列判断正确的是（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．△ABC是锐角三角形12．如果a，b，c是直角三角形的三边长，那么2a，2b，2c为边长的三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定13．直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，下列结论：①a2+b2＝c2；②ab＝ch；③．其中正确的是（）A．①B．①②③C．①②D．①③14．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，则CD的长为（）A．4B．12﹣4C．12﹣6D．615．如图，公园里有一块草坪，已知AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB ⊥BC，这块草坪的面积是（）A．24平方米B．36平方米C．48平方米D．72平方米16．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝60°，AB＝16，AD⊥BC，垂足为D，∠ACB 的平分线交AD于点E，则AE的长为（）A．B．4C．D．6二．填空题（共3小题）17．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C 的面积和是9，则正方形D的边长______．18．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为______．19．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为______．三．解答题（共7小题）20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D为AC边上的个动点，点D从点A出发，沿边AC向C运动，当运动到点C时停止，设点D运动时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度的．（1）当t＝2时，求CD的长；（2）求当t为何值时，线段BD最短？21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE．（1）求AD的长；（2）求AE的长．22．（1）勾股定理的证法多样，其中“面积法”是常用方法，小明发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．（写出勾股定理的内容并证明）（2）已知实数x，y，z满足：，试问长度分别为x、y、z的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．23．如图，在四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，BC＝12，CD＝x，x＞0，AB⊥AD．（1）求BD的长；（2）当x为何值时△BDC为直角三角形？（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．24．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD＝，DA＝5，∠B＝90°，求∠BCD的度数．25．如图所示，每个小正方形的边长为1cm（1）求四边形ABCD的面积；（2）四边形ABCD中有直角吗？若有，请说明理由．26．小颖用四块完全一样的长方形方砖，恰好拼成如图1所示图案，如图2，连接对角线后，她发现该图案中可以用“面积法”采用不同方案去证明勾股定理．设AE＝a，DE＝b，AD＝c，请你找到其中一种方案证明：a2+b2＝c2．勾股定理提升训练1参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．解：A、∵72+92≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项不符合题意；B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成三角形，不能组成直角三角形，故B选项不符合题意；C、∵12+（）2＝22，∴三条线段能组成直角三角形，故C选项符合题意；D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项不符合题意；故选：C．2．解：如图，设等边三角形△A'BC，△AB'C，△ABC'的面积分别是S3，S2，S1，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，∵△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90度，∴c2+b2＝a2，∴c2+b2＝a2．又∵S3＝×sin60°a•a＝a2，同理可求S2＝b2，S1＝c2，∴S1+S2＝S3，∵S3＝8，S2＝3，∴S1＝S3﹣S2＝8﹣3＝5，故选：D．3．解：∵点E为AC的中点，DE⊥AC于E，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠DCB＝∠B，∴CD＝BD，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴CD＝AB＝5，故选：C．4．解：A、∵12+（）2＝22，∴以1、、2为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵72+242＝252，∴以7、24、25为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵（）2+（）2≠（）2，∴以、、为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；D、∵12+（）2＝2，∴以1、、为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．5．解：∵在Rt△ABC中，AE＝AB，AF＝AC，∴AE＝BE，AF＝CF，EF2＝AE2+AF2，∴EF2＝BE2+CF2．∴π•EF2＝π•（BE2+CF2），即S2＝（S1+S3）．∴S1+S3＝4S2．故选：B．6．解：如图，∵AB＝5，AC＝7，BC＝8，过A作AD⊥BC于D，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2＝AD2，∴52﹣BD2＝72﹣（8﹣BD）2，解得：BD＝，∴AD＝＝，∴△ABC的面积＝10，故选：C．7．解：如图1，当∠APB＝90°时，∵AO＝BO，∴PO＝BO，∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB＝BC＝2，∴AP＝AB•sin60°＝2×＝；如图2，当∠ABP＝90°时，∵∠AOC＝∠BOP＝60°，∴∠BPO＝30°，∴BP＝＝＝，在直角三角形ABP中，AP＝＝；如图3，∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝AO，∵∠AOC＝60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP＝AO＝1，故选：C．8．解：∵AB＝BC＝2，AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，∵点P到AC的距离为，∴AP＝CP＝，∴在AB和BC边上存在这样的P点，∵AD＝2，∴D到AC的距离为，∴当点P与点D重合时，P到AC的距离为，∴这样的点P有3个，故选：D．9．解：∵∠ACB＝90°，AB＝16，∴AC2+BC2＝256，∵∠DAC＝∠ECB＝90°，∠D＝∠E＝45°，∴AD＝AC，BC＝CE，∴S Rt△ADC+S Rt△BCE＝256×＝128．故选：D．10．解：∵AC＝＝，△ABC的面积＝3×3﹣×2×3﹣×2×1﹣×3×1＝，∴则AC边上的高＝＝；故选：C．11．解：∵52+122＝169，132＝169，∴52+122＝132，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．故选：C．12．解：∵a，b，c是直角三角形的三边长，设c为斜边，∴a2+b2＝c2，又∵（2a）2+（2b）2＝4（a2+b2），（2c）2＝4c2，∴（2a）2+（2b）2＝（2c）2，即2a，2b，2c为边长的三角形是直角三角形，故选：A．13．解：∵直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，∴由勾股定理可知：a2+b2＝c2，①正确；这个直角三角形的面积＝ab＝ch，∴ab＝ch，②正确；∴a2b2＝c2h2，∴＝＝＝＝，③正确．故选：B．14．解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，∴BC＝AC＝12．∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin45°＝12×＝12CM＝BM＝12，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BM÷tan60°＝4，∴CD＝CM﹣MD＝12﹣4．故选：B．15．解：则由勾股定理得AC＝5米，因为AC2+DC2＝AD2，所以∠ACD＝90°．这块草坪的面积＝S Rt△ABC+S Rt△ACD＝AB•BC+AC•DC＝（3×4+5×12）＝36米2．故选：B．16．解：在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，AB＝16，∠B＝45°，∴BA＝DA＝8，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝60°，AD＝8，∴CD＝，∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝30°，∴DE＝CD•tan30°＝，∴AE＝AD﹣DE＝8﹣＝，故选：C．二．填空题（共3小题）17．解：根据勾股定理的几何意义得：S D＝S A+S B+S C＝9，可知，D的边长为＝3．故答案为：3．18．解：根据勾股定理，AB＝＝，BC＝＝2，AC＝＝3，∵AC2+BC2＝AB2＝26，∴△ABC是直角三角形，∵点D为AB的中点，∴CD＝AB＝×＝．故答案为：．19．解：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，由勾股定理得：BC＝＝5，所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+×（）2+×3×4﹣×π×（）2＝6．故答案为：6．三．解答题（共7小题）20．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，当t＝2时，AD＝2，∴CD＝8；（2）当BD⊥AC时，BD最短，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠ABC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ADB，∴＝，∴＝，∴AD＝，∴t＝，∴当t为时，线段BD最短．21．解：（1）如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝10，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝5．（2）∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，设EC＝x，则AE＝BE＝8﹣x，故62+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝，∴AE＝8﹣＝．22．（1）证明：∵S五边形面积＝S梯形面积1+S梯形面积2＝S正方形面积+2S直角三角形面积，即：（b+a+b）b+（a+a+b）a＝c2+2×ab，即ab+a2+b2ab＝c2+ab，即：a2+b2＝c2；（2）解：根据二次根式的意义，得，解得x+y＝8，∴+＝0，根据非负数的意义，得解得x＝3，y＝5，z＝4，∵32+42＝52，∴可以组成三角形，且为直角三角形，面积为6．23．解：（1）如图，∵AB＝4，AD＝3，AB⊥AD．∴BD＝＝＝5，即BD的长度是5；（2）在直角△BCD中，BD＝5，BC＝12．①当CD为斜边时，由勾股定理知：CD＝＝＝13．②当CD、BD为直角边时，由勾股定理知：BC＝，即12＝，则CD＝．综上所述，CD的长度是13或．即x为13或时△BDC为直角三角形；（3）①当CD为斜边时，S四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+BD•BC＝+×5×12＝36．②当CD、BD为直角边时，S四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+BD•CD＝+×5×＝6+．综上所述，四边形ABCD的面积是36或6+．24．解：∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∠B＝90°，∴由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝32+32＝18，∵CD＝，DA＝5，∴CD2+AC2＝DA2，∴∠ACD＝90°，∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝45°+90°＝135°．25．解：（1）如图，∵四边形ABCD的面积＝S矩形AEFH﹣S△AEB﹣S△BFC﹣S△CGD﹣S梯形AHGD＝5×5﹣×1×5﹣×2×4﹣×1×2﹣×（1+5）×1＝14；（2）四边形ABCD中有直角．理由：连结BD，BC＝2，CD＝，CD＝5，∵CD2＝BC2+CD2，∴∠C＝90°，∴四边形ABCD中有直角．26．解：∵AE＝a，DE＝b，AD＝c，∴S正方形EFGH＝EH2＝（a+b）2，S正方形EFGH＝4S△AED+S正方形ABCD＝4×+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．。
勾股定理能力提高训练题
勾股定理能力提高训练题一.勾股定理中方程思想的运用例题1．如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）二.勾股定理中分类讨论思想的运用例题2．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积。
三.勾股定理中类比思想的运用例题3．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明四.勾股定理中整体思想的运用例题4．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4=_____．五.勾股定理中数型结合思想的运用例题5．在一棵树的10m 高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m 的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？练习题1、已知Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C ，的对边长分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，周长为L. （1）（2）、仔细观察上表中你填写的数据规律，如果a ，b ，c 为已知的正实数，且a+b-c=m ，那么S/L= （用含m 的式子表示） （3）、请说明你写的猜想的推理过程。
2、在Rt △ABC 中，∠ACB=900，AC=4，BC=3.在Rt △ABC 外部拼接一个合适的三角形， 使得拼成的图形刚好是一个等腰三角形。
要求画出图形并计算出边长。
勾股定理能力提升训练(整理4)
《勾股定理》能力提升训练一、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A ．32，42，52B ．34,5，C ．2,3,5，， D ．1，2，3 2. 下列说法中, 不正确的是 ( )A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形B. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形C. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形D. 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形3、若直角三角形的三边长别离为2，4，x ，则x 的可能值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、如图，在平面直角坐标系中，点P 坐标为（-2，3），以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（ ）A ．-4和-3之间B ．3和4之间C ．-5和-4之间D ．4和5之间五、如图，小亮将升旗的绳索拉到旗杆底端，绳索结尾恰好接触到地面，然后将绳索结尾拉到距离旗杆8m 处，发觉现在绳索结尾距离地面2m ，则旗杆的高度为（滑轮上方的部份忽略不计）为（ ） A ．12m B ．13m C ．16mD ．17m六、如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条抵达底部的直吸管在罐内部份a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）A ．12≤a ≤13B ．12≤a ≤15C ．5≤a ≤12D ．5≤a ≤137、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能组成一个直角三角形三边的线段是（ ）A. CD、EF、GHB. AB、EF、GHC. AB、CD、GHD. AB、CD、EF八、如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无裂缝无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（）A．12厘米B．16厘米C．20厘米D．28厘米9、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，若是以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以那个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、1510. 直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A. ab=h2 B. a2+b2=2h2 C.a1+b1=h1D.21a+21b=21h11.已知，如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的动点，ACPE⊥于E，BDPF⊥于F，若是AB=3，AD=4，那么（）A.512=+PFPE； B.512＜PFPE+＜513；C. 5=+PFPE D. 3＜PFPE+＜412.已知直角三角形两边x、y的长知足｜x2－4｜＋652+-yy＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿.13、如图，每一个小正方形的边长为1，A、B、C 是小正方形的极点，则∠ABC的度数为；14、如图，在△ABC中，∠B=45°，AB= 2，BC= 3+1，则边AC的长为；15、如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为；16、如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为；17、数轴上的点A所表示的数为x，则x2—10的立方根为18、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积别离是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ；A DPE F第6题B A6cm 3cm 1cm19、如图，长方体的底面边长别离为1cm 和3cm ，高为6cm ． ①若是用一根细线从点A 开始通过4个侧面缠绕一圈抵达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ；②若是从点A 开始通过4个侧面缠绕3圈抵达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ．20、一直角三角形斜边的长是2，周长是2+7，则该三角形的面积是； 解答题：21、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个极点均在格点上，请证明△ABC 是直角三角形．20、在一棵树的10米高的B 处有两只猴子，为了抢吃水池边A 处水果，一只猴子爬下树跑到离C 处20米远的A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，若是两只猴子所通过的距离相等，求这棵树的高．21、已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=3，BC=4将△BCD 沿BD所在直线翻折，使点C 落在点F 上，若是BF 交AD 于E ，求AE 的长．22、如图，在△ABC 中，∠C=90°，角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为s ，周长的一半为e ． （1）填写表：（2）观看表，令m=e-a ，n=e-b ，探讨m 、n 与s 之间的关系，并对你的结论给予证明．23.四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．⑴记正方形ABCD 的边长为11=a ，按上述方式所作的正方形的边长依次为n a a a a ,,,,432 ，请求出432,,a a a 的值；⑵依照 以上规律写出n a 的表达式．24、在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 别离为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。
中考数学复习《勾股定理》专项提升训练(附答案)
中考数学复习《勾股定理》专项提升训练(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )A.25B.14C.7D.7或252.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是( )3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为( )A.13B.8C.12D.104.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则AB＝( )A.4B.233C.433D.335.适合下列条件的△ABC中，∠A，∠B，∠C是三个内角，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，直角三角形的个数是( )①a＝7，b＝24，C＝25；②a＝1.5，b＝2，c＝7.5；③∠A：∠B：∠C＝1：2：3; ④a＝1，b＝2，c＝ 3.A.1个B.2个C.3个D.4个6.若△ABC的三边分别为5、12、13，则△ABC的面积是( )A.30B.40C.50D.607.一架250cm的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯脚距墙终端70cm，如果梯子顶端沿着墙下滑40cm，那么梯脚将向外侧滑动( )A.40cmB.80cmC.90cmD.150cm8.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )A.2.5B.2 2C. 3D. 59.如图，在△ACB中，有一点P在AC上移动，若AB＝AC＝5，BC＝6，则AP＋BP＋CP的最小值为( )A.4.8B.8C.8.8D.9.810.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为( )A.12秒B.16秒C.20秒D.30秒.二、填空题11.在△ABC中，三边长分别为8、15、17，那么△ABC的面积为．12.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a2－c2－b2)2＋∣c﹣b∣＝0，则△ABC的形状为_______________.13.已知等腰直角三角形的面积为2，则它的周长为.(结果保留根号)14.如图，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(5，3)，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为 .15.如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM＝3，MN＝5，则BN 的长为____________．16.如图，已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB1C1；再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第三个等边三角形AB2C2；再以等边三角形AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第四个等边三角形AB3C3……记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3……则Sn＝ .三、作图题17.在如图所示的5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，按下列要求画图或填空；(1)画一条线段AB使它的另一端点B落在格点上(即小正方形的顶点)，且AB＝22；(2)以(1)中的AB为边画一个等腰△ABC，使点C落在格点上，且另两边的长都是无理数；(3)△ABC的周长为，面积为．四、解答题18.如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．(1)证明：△ABC是直角三角形．(2)请求图中阴影部分的面积．19.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°.(1)求∠BAC的度数.(2)若AC＝2，求AD的长.20.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一点.过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F.(1)求证：EO＝FO；(2)若CE＝4，CF＝3，你还能得到那些结论？21.在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？(假设绳子是直的，结果保留根号)22.某菜农要修建一个塑料大棚，如图所示，若棚宽a＝4m，高b＝3m，长d＝40m。
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习一、填空题(共5道，每道4分)1.教材1题：△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是_______.2.教材3题：在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．3题图5题图3.教材4题：△ABC周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是_____.4.教材5题：将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是_____.5.教材10题：矩形ABCD中，BC=4，DC=3，将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，求EF的长_____.二、解答题(共5道，每道10分)1.教材9题：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=8cm，BC=6cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使它落在斜边AB上的点C′处，求CD的长以及折痕BD的平方1题图2题图2.教材8题：如图，已知DE=m，BC=n，∠EBC与∠DCB互余，求+的值.3.教材12题：如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B´处，点A对应点为A´，且B´C=3，求CN和AM的长.3题图4题图5题图4.教材14题：如图，某隧道的截面是一个半径为米的半圆形，一辆高米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？5.教材16题：如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向150km的B处有一台风中心正以20km/h的速度向BC方向移动，已知城市A到BC的距离AD=90km（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点（2）如果在距台风中心30km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必顺在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为6km/h）三、证明题(共3道，每道10分)1.教材2题：如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，F为BC上的一点且BC=4CF，试说明△AEF是直角三角形.1题图2题图3题图2.作业1题：如图，已知P是矩形ABCD内任一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD23.教材6题：如图所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．。
勾股定理提高题(含答案)
勾股定理提高训练一、简答题1、如图，矩形ABCD的长AB=4cm．宽BC=3cm，P、Q以1cm/s的速度分别从A、B出发，沿AB、BC方向前进，经多少秒后P、Q之间的距离为 2cm？2、如图，直线表示草原上一条河，在附近有A、B两个村庄，A、B到的距离分别为AC＝30km,BD=40km，A、B两个村庄之间的距离为50km.有一牧民骑马从A村出发到B村，途中要到河边给马饮一次水。
如果他在上午八点出发，以每小时30km的平均速度前进，那么他能不能在上午十点三十分之前到达B村？3、《中华人民共和国道路交通管理条例》规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了吗?(参考数据转换:1m/s=3.6km/h)4、如图，四边形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，AB=4，BC=9．（1）求CD 的长为__________．（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向点C运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，△PDC为等腰三角形？5、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多少cm？6、如图，折叠长方形的一边AD，使点D 落在BC边上的点F处， BC=15cm，AB=9cm 求（1）FC的长，（2）EF的长.9、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，现将直角边AC折叠到AB边上，点C落在AB边上的E点，折痕为AD．若AC=6，BC=8．求△ADB的面积．10、如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=8米，CD=6米，∠ADC=90°，AB=26米，BC=24米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？11、已知三边满足，请你判断的形状，并说明理由．12、如图7,四边形ABCD中,.试判断的形状,并说明理由.13、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．14、已知a、b、c为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状。
勾股定理提高训练
CB AB 第7题F ED C B A 第9题 BA6cm3cm 1cm第10题图勾股定理提高训练（一）1、在Rt △ABC 中,若直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为_____________．2、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm ，直角边的长为3cm ，则另一条直角边的长为( ). A ．4cm B ．4cm 或cm 34 C ．cm 34 D ．不存在 4、在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB 222AC BC ++的值是（ ）A.2B.4C.6D.85、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．6、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”， 在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路 （假设2步为1米）7、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，D 是AB 的中点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则DE 的长是_____________.8、把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．9．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与 A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3B ．4 CD ．510、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ；②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ．勾股定理提高训练（二）1、如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°2、下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）A.9，12，15B.43,1,45 C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，9715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)3、满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三个内角比为1∶2∶1 B.三边之比为1∶2∶5 C.三边之比为3∶2∶5 D. 三个内角比为1∶2∶34、已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ） A.2 B.102 C.10224或 D.以上都不对5、 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）A B C D6、△ABC 的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 7、已知△ABC 的三边长满足18,10==+ab b a ，8=c ，则为 三角形.8、将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( )．A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不是直角三角形 9、在三角形ABC 中，AB=12cm ，AC=5cm ，BC=13cm ，则BC 边上的高为 AD= cm .10、下列命题中是假命题的是( )．A ．△ABC 中,若∠B =∠C －∠A ,则△ABC 是直角三角形.B ．△ABC 中,若a 2=(b +c )(b －c ),则△ABC 是直角三角形. C ．△ABC 中,若∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶5则△ABC 是直角三角形.D ．△ABC 中,若a ∶b ∶c =5∶4∶3则△ABC 是直角三角形.11．如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD 的面积.第11题图12、如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ，求树高AB .13、如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B＝45°,AD ＝1，B C ＝4，求DC 的长．11、在数轴上作出表示10的点．12、如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校 A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．BACD . 第12题图B C A DA D EBC13．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？14、如图所示，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3， 求AB 的长.第14题图。
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B A
6cm
3cm
1cm
C
B A 勾股定理拓展提高题
1、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ． ①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ；
②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ．
2、如图1，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数
_________
图1 图2 图3
3、如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积
4、如图3，数轴上的点A 所表示的数为x ，则x 2
—10的立方根为
5、如图4,一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为
图4 图5
6、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图5所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2
b a +的值为（ ）
（A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169
7、已知△ABC 的三边长满足18,10==+ab b a ，8=c ，则为 三角形 • • A B
A D E
B C
8、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？
9、已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE=a,AF=b,且3
2
=
EFGH S 正方形。
求：a b -的值。
10、在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。
（1）说明：2
22EF CF BE =+
(2)若BE=12,CF=5，试求DEF ∆的面积。
勾股定律逆定理应用
考点一 证明三角形是直角三角形
例1、已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD·BD.
求证：△ABC 是直角三角形.
H
G
F
E
C
B
F
E
A
针对训练：1、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.
2(如图) 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41
BC ，
求证：∠EFA=90︒.
3、如图，已知：在ΔABC 中，∠C=90︒，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ，求证：AD 2=AC 2+BD 2.
4、如图，长方形ABCD 中，AD=8cm,CD=4cm.
⑴若点P 是边AD 上的一个动点,当P 在什么位置时PA=PC?
⑵在⑴中,当点P 在点P ＇时，有C P A P ''=，Q 是AB 边上的一个动点,若4
15AQ =
时, QP' 与C P '垂直吗？为什么？
A
B D
C
F
E A
B
C
M
D
D
C
A
B
考点二 运用勾股定理的逆定理进行计算 例、如图，等腰△ABC 中，底边BC ＝20，D 为AB 上一点，CD ＝16，BD ＝12，
求△ABC 的周长。
针对训练：1、.已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，
BC=6，CD=5，AD=3.
求：四边形ABCD 的面积.
3.已知：如图，DE=m,BC=n,∠EBC 与∠DCB 互余，求BD 2+CD 2.
考点三、与勾股定理逆定理有关的探究和应用
例1.阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，试判断△ABC 的形状.
解：∵a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，(A)∴c 2(a 2－b 2)=(a 2+b 2)(a 2－b 2)，(B)∴c 2=a 2+b 2，（C)∴△ABC 是直角三角形.
问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______； ②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.
B
E
C
D
例2. 学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足2
2
2c
b
a=
+,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验！
(1)画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是
=
a ______mm；=
b_______mm；较长的一条边长=
c_______mm。
比较2
2
2_____c
b
a+ (填写“＞”,“＜”,或“＝”)；
(2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是
=
a______mm；=
b_______mm；较长的一条边长=
c_______mm。
比较2
2
2_____c
b
a+ (填写“＞”,“＜”,或“＝”)；
(3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题, 你猜想的结论是:
；。
⑷对你猜想22
a b
+与2c的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。
(1)
C B
A
(2)
C B
A
(3)
C B
A
例3.如图，南北向MN为我国的领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A通知反走私艇B:A和C 两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里.反走私艇B测得距离C艇是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
针对训练：1观察下列各式：32＋42＝52；82＋62＝102；152＋82＝172；242＋102＝262…，你有没有发现其中的规律？请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．
2、如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)并在AD上平行移动：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延
长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.
3.喜欢爬山的同学都知道,很多名山上都有便于游人观光的索道,如图所示,山的高度AC为800 m,从山上A与山下B处各建一索道口,且BC=1 500 m,一游客从山下索道口坐缆车到山顶,知缆车每分钟走50 m,那么大约多长时间后该游客才能到达山顶?说明理由.
延伸训练：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.
（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？。