勾股定理拓展提高题
勾股定理能力提高训练题
勾股定理能力提高训练题一.勾股定理中方程思想的运用例题1．如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）二.勾股定理中分类讨论思想的运用例题2．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积。
三.勾股定理中类比思想的运用例题3．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明四.勾股定理中整体思想的运用例题4．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4=_____．五.勾股定理中数型结合思想的运用例题5．在一棵树的10m 高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m 的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？练习题1、已知Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C ，的对边长分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，周长为L. （1）（2）、仔细观察上表中你填写的数据规律，如果a ，b ，c 为已知的正实数，且a+b-c=m ，那么S/L= （用含m 的式子表示） （3）、请说明你写的猜想的推理过程。
2、在Rt △ABC 中，∠ACB=900，AC=4，BC=3.在Rt △ABC 外部拼接一个合适的三角形， 使得拼成的图形刚好是一个等腰三角形。
要求画出图形并计算出边长。
勾股定理能力提升训练(整理4)
《勾股定理》能力提升训练一、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A ．32，42，52B ．34,5，C ．2,3,5，， D ．1，2，3 2. 下列说法中, 不正确的是 ( )A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形B. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形C. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形D. 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形3、若直角三角形的三边长别离为2，4，x ，则x 的可能值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、如图，在平面直角坐标系中，点P 坐标为（-2，3），以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（ ）A ．-4和-3之间B ．3和4之间C ．-5和-4之间D ．4和5之间五、如图，小亮将升旗的绳索拉到旗杆底端，绳索结尾恰好接触到地面，然后将绳索结尾拉到距离旗杆8m 处，发觉现在绳索结尾距离地面2m ，则旗杆的高度为（滑轮上方的部份忽略不计）为（ ） A ．12m B ．13m C ．16mD ．17m六、如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条抵达底部的直吸管在罐内部份a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）A ．12≤a ≤13B ．12≤a ≤15C ．5≤a ≤12D ．5≤a ≤137、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能组成一个直角三角形三边的线段是（ ）A. CD、EF、GHB. AB、EF、GHC. AB、CD、GHD. AB、CD、EF八、如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无裂缝无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（）A．12厘米B．16厘米C．20厘米D．28厘米9、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，若是以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以那个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、1510. 直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A. ab=h2 B. a2+b2=2h2 C.a1+b1=h1D.21a+21b=21h11.已知，如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的动点，ACPE⊥于E，BDPF⊥于F，若是AB=3，AD=4，那么（）A.512=+PFPE； B.512＜PFPE+＜513；C. 5=+PFPE D. 3＜PFPE+＜412.已知直角三角形两边x、y的长知足｜x2－4｜＋652+-yy＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿.13、如图，每一个小正方形的边长为1，A、B、C 是小正方形的极点，则∠ABC的度数为；14、如图，在△ABC中，∠B=45°，AB= 2，BC= 3+1，则边AC的长为；15、如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为；16、如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为；17、数轴上的点A所表示的数为x，则x2—10的立方根为18、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积别离是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ；A DPE F第6题B A6cm 3cm 1cm19、如图，长方体的底面边长别离为1cm 和3cm ，高为6cm ． ①若是用一根细线从点A 开始通过4个侧面缠绕一圈抵达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ；②若是从点A 开始通过4个侧面缠绕3圈抵达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ．20、一直角三角形斜边的长是2，周长是2+7，则该三角形的面积是； 解答题：21、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个极点均在格点上，请证明△ABC 是直角三角形．20、在一棵树的10米高的B 处有两只猴子，为了抢吃水池边A 处水果，一只猴子爬下树跑到离C 处20米远的A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，若是两只猴子所通过的距离相等，求这棵树的高．21、已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=3，BC=4将△BCD 沿BD所在直线翻折，使点C 落在点F 上，若是BF 交AD 于E ，求AE 的长．22、如图，在△ABC 中，∠C=90°，角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为s ，周长的一半为e ． （1）填写表：（2）观看表，令m=e-a ，n=e-b ，探讨m 、n 与s 之间的关系，并对你的结论给予证明．23.四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．⑴记正方形ABCD 的边长为11=a ，按上述方式所作的正方形的边长依次为n a a a a ,,,,432 ，请求出432,,a a a 的值；⑵依照 以上规律写出n a 的表达式．24、在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 别离为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。
中考数学复习《勾股定理》专项提升训练(附答案)
中考数学复习《勾股定理》专项提升训练(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )A.25B.14C.7D.7或252.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是( )3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为( )A.13B.8C.12D.104.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则AB＝( )A.4B.233C.433D.335.适合下列条件的△ABC中，∠A，∠B，∠C是三个内角，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，直角三角形的个数是( )①a＝7，b＝24，C＝25；②a＝1.5，b＝2，c＝7.5；③∠A：∠B：∠C＝1：2：3; ④a＝1，b＝2，c＝ 3.A.1个B.2个C.3个D.4个6.若△ABC的三边分别为5、12、13，则△ABC的面积是( )A.30B.40C.50D.607.一架250cm的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯脚距墙终端70cm，如果梯子顶端沿着墙下滑40cm，那么梯脚将向外侧滑动( )A.40cmB.80cmC.90cmD.150cm8.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )A.2.5B.2 2C. 3D. 59.如图，在△ACB中，有一点P在AC上移动，若AB＝AC＝5，BC＝6，则AP＋BP＋CP的最小值为( )A.4.8B.8C.8.8D.9.810.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为( )A.12秒B.16秒C.20秒D.30秒.二、填空题11.在△ABC中，三边长分别为8、15、17，那么△ABC的面积为．12.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a2－c2－b2)2＋∣c﹣b∣＝0，则△ABC的形状为_______________.13.已知等腰直角三角形的面积为2，则它的周长为.(结果保留根号)14.如图，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(5，3)，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为 .15.如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM＝3，MN＝5，则BN 的长为____________．16.如图，已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB1C1；再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第三个等边三角形AB2C2；再以等边三角形AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第四个等边三角形AB3C3……记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3……则Sn＝ .三、作图题17.在如图所示的5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，按下列要求画图或填空；(1)画一条线段AB使它的另一端点B落在格点上(即小正方形的顶点)，且AB＝22；(2)以(1)中的AB为边画一个等腰△ABC，使点C落在格点上，且另两边的长都是无理数；(3)△ABC的周长为，面积为．四、解答题18.如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．(1)证明：△ABC是直角三角形．(2)请求图中阴影部分的面积．19.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°.(1)求∠BAC的度数.(2)若AC＝2，求AD的长.20.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一点.过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F.(1)求证：EO＝FO；(2)若CE＝4，CF＝3，你还能得到那些结论？21.在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？(假设绳子是直的，结果保留根号)22.某菜农要修建一个塑料大棚，如图所示，若棚宽a＝4m，高b＝3m，长d＝40m。
勾股定理提高题(含答案)
勾股定理提高训练一、简答题1、如图，矩形ABCD的长AB=4cm．宽BC=3cm，P、Q以1cm/s的速度分别从A、B出发，沿AB、BC方向前进，经多少秒后P、Q之间的距离为 2cm？2、如图，直线表示草原上一条河，在附近有A、B两个村庄，A、B到的距离分别为AC＝30km,BD=40km，A、B两个村庄之间的距离为50km.有一牧民骑马从A村出发到B村，途中要到河边给马饮一次水。
如果他在上午八点出发，以每小时30km的平均速度前进，那么他能不能在上午十点三十分之前到达B村？3、《中华人民共和国道路交通管理条例》规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了吗?(参考数据转换:1m/s=3.6km/h)4、如图，四边形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，AB=4，BC=9．（1）求CD 的长为__________．（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向点C运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，△PDC为等腰三角形？5、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多少cm？6、如图，折叠长方形的一边AD，使点D 落在BC边上的点F处， BC=15cm，AB=9cm 求（1）FC的长，（2）EF的长.9、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，现将直角边AC折叠到AB边上，点C落在AB边上的E点，折痕为AD．若AC=6，BC=8．求△ADB的面积．10、如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=8米，CD=6米，∠ADC=90°，AB=26米，BC=24米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？11、已知三边满足，请你判断的形状，并说明理由．12、如图7,四边形ABCD中,.试判断的形状,并说明理由.13、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．14、已知a、b、c为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状。
勾股定理(拓展提高)
勾股定理一、证明及计算1、如图，四边形ABCD中，∠ACB=90O ,CD⊥AB 于点D，若AD=8,BD=2，求CD的长度。
2.如图，P是等边三角形ABC∆内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作60=∠PBQ，且BQ=BP，连结CQ、PQ，若PA:PB:PC=3:4:5,试判断PQC∆的形状。
3.如图，A D C∆和BCE∆都是等边三角形，30=∠ABC，试说明：222BCABBD+=4.在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF。
（1）说明：222EFCFBE=+(2)若BE=12,CF=5，试求DEF∆的面积。
ACD5.为了美化环境，计划在某小区用草地铺设一个等腰三角形，使它的面积为30平方米且有一边长为10米，求另外两条边。
二、勾股定理的应用1．图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm ，则正方形1的边长为__________cm.变式：如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=（ ）A 3.65B 2.42C 2.44 D2.652、已知数3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数的平方是另外两个数的积，这个数是 ．3、已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，则以z y x 、、为三边的三角形是 三角形。
变式：若ABC ∆的三边长c b a 、、满足条件c b a c b a 262410338222++=+++，试判断ABC∆的形状。
4、已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE=a,AF=b,且32=EFGHS 正方形。
勾股定理提升题
一. 勾股定理的构造（添加辅助线：即构造基本图形）1. 如图，已知：，，于P . 求证：.2. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积.二. 用勾股定理求最短问题1. 如图，一圆柱体的底面周长为16cm ，高ＡＢ为6cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．2. 如图，铁路上A ，B 两点相距40km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=20km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，为了降低建设成本, 要使得C ，D 两村到E 站的路程之和最小，这个最小和的路程之和是多少?A B CD3. 如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160m 。
假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？二. 折叠类问题1. 如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EF 的长。
2. 已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求△ABE 的面积.(提示:通过勾股定理列方程求解)3. 如图，把矩形ABCD 纸片折叠，使点B 落在点D 处，点C 落在C ’处，折痕EF 与BD 交于点O ，已知AB=16，AD=12，求折痕EF 的长。
C 'F EO D C B A4. 将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。
中考数学复习《勾股定理》专项提升训练题-附答案
中考数学复习《勾股定理》专项提升训练题-附答案学校:班级:姓名:考号:一、单选题1．以下列长度为边，能构成直角三角形的是（）A．B．C．D．2．如图，四边形是长方形，BC=1，则点表示的数是（）A．B．C．D．3．如图，有一根电线杆垂直立在地面处，在电线杆的点处引拉线固定电线杆，拉线，且和地面成，则电线杆引线处离地面的高度（即的长）是（）A．B．C．D．4．中，将绕点A逆时针旋转后，能与重合，如果，那么的长等于（）A．3 B．C．D．不能确定5．如图，是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标注的尺寸，（单位：），可得两圆孔中心和的距离是（）A．B．C．D．6．在中，a，b，c分别是，和的对边，若，则这个三角形一定是（）．A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形7．如图，在中，和，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接，则的长为（）A．B．C．D．8．如图，在长方体盒子中，和，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触.当木棒的端点I在长方形ABCD 内及边界运动时，GJ长度的最小值为（）A．B．3cm C．D．5cm二、填空题9．在中，则的长是．10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为米．11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，和，和是这个台阶的两个端点，点上有一只蚂蚁想到点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 .12．如图，在中，点、是边上的点，点在边上，连结、EF，将分别沿直线和折叠，使点、的对称点重合在边上的点处．若AB=2，AC=3，则的长是．13．如图，将两个大小、形状完全相同的和拼在一起，其中点与点重合，点落在边AB上，连接．若，则的长度为．三、解答题14．如图，∠AOB=90°，OA=40m，OB=15m．一机器人在B点处看见一球从A点出发沿AO方向匀速滚向O，机器人立即从B点出发，沿直线匀速前进栏截球，在C处截住球．球滚速与机器人行速相同，机器人行走的路程BC为多少？15．如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙上，梯子的底端A到墙根O的距离AO为2米，梯子的顶端B 到地面的距离BO为6米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离A′O等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′．求梯子顶端下滑的距离BB′．16．如图，在涪江笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个景点A、B．其中，因C到A 的路不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（A、H、B三点在同一直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．（1）判断△BCH的形状，并说明理由；（2）求原路线AC的长．17．如图，已知为的中线，延长，分别过点，作， CF ⊥AD .（1）求证： .（2）若， AF=12 ， DC=13 ，求的长.18．如图，D为内一点，连接并延长至点E，使得．延长至点F，使得，连接．（1）求证：；（2）若，试探究线段之间满足的数量关系．参考答案：1．A2．D3．D4．B5．D6．B7．A8．A9．10．2.711．12．13．14．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等∴BC=AC设BC=AC=xm则OC=（40﹣x）m在Rt△BOC中∵∴解得．∴机器人行走的路程BC为m．15．解：在Rt△AOB中，由勾股定理可知AB2=AO2+OB2=40，在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2=A′O2+OB′2．∵AB=A′B′∴A′O2+OB′2=40．∴OB′= = ．∴BB′=6﹣16．（1）解：是直角三角形理由是：在中是直角三角形且；（2）解：设千米，则千米在Rt中，由已知得由勾股定理得：解得答：原来的路线的长为千米．17．（1）证明：∵AD是△ABC的中线∴BD=CD∵∴∠CFD=∠BED=90°∵∠FDC=∠EDB∴（AAS）；（2）解：由（1）可得：，∠AFC=90°∴ED=FD∵∴△AFC是等腰直角三角形∴AF=FC∵∴在Rt△DFC中∴EF=2DF=10.18．（1）证明：在与中∵∴∴∴；（2）解：，证明如下：延长交于点H，连接由（1）得∵∴∴∵∴∴。
勾股定理拓展提高
勾股定理拓展与提高一、基础要点回顾：1、直角三角形中，两锐角______。
反过来，在三角形中，有两个锐角______，那么这个三角形是直角三角形。
如图1，Rt △ABC 中，∠A+∠B=_____。
反过来，△ABC 中，如果∠A+∠B=______，那么△ABC 是Rt △。
2、直角三角形中，300的锐角所对的直角边等于斜边的______。
反过来，直角三角形中，有一直角边等于斜边的______，那么这条直角边所对的锐角是300。
如图1，Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300，则AB BC _____=。
反过来，Rt △ABC 中，∠C=900，AB BC _____=，则∠A=300。
3、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的______。
反过来，在三角形中，如果一边上的中线等于这边的_______，那么这边所对的角是直角。
如图，Rt △ABC 中，CD 是AB 边的中线，则AB CD _____= 反过来，如果△ABC 中，CD 是AB 边的中线，且，AB CD _____=那么△ABC 是Rt △。
4、勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于___________。
如图3，Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ， 那么，____________________。
5、勾股定理的逆定理：三角形中，如果两边的平方和等于 第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
如图3，△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，如果22c b a =+， 那么，____________________ 二、应用举例：例1、如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =15°，CD ⊥AB 于D ，AC 边的垂直平分线交AB 于E ，那么AE ∶ED 等于( ) A ．1∶1 B ．1∶2 C ．3∶2 D ．2∶3变式练习1：A图1A图2A图3ABEDAC1、如下图，一块直角三角形的纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm2、如图，折叠长方形的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB = 8cm ，BC = 10 cm ，求EC 的长3、如图矩形纸片ABCD 的长AD=9cm ，宽AB=3cm ，将其折叠，使点D 与B 重合，那么折叠后DE 的长和CF 的长分别是多少？例2、如图，C 是AB 上一点，BC =2AC =2 cm ，以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACD 与等边△BCE ，则DE 长为( )变式练习2：1、如图，四边形ABCD ，已知∠A=90°，AB=3，BC=12，CD=13，DA=4。
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3、如图2,直线I 上有三个正方形
a, b, c ,若a, c 的面积分别为5和11,则b 的面积
4、如图3,数轴上的点 A 所表示的数为x ，则X 2
—10的立方根为 ___________
5、如图4, 一只蚂蚁沿棱长为 a 的正方体表面从顶点 A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为
6、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方 图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图 5所
示）.如果大正方形的面积是 13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边为 a,较 长直角边为b ,那么（a + b f 的值为（ ）
7、已知△ ABC 的三边长满足 a • b = 10,ab = 18 , c = 8，则为 ______ 三角形
勾股定理拓展提高题
1、如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和3cm,咼为6cm ①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点 B,
那么所用细线最短需要 ___________ cm
②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B, 那么所用细线最短需要 ___________ cm
2、如图1,每个小正方形的边长为 1, A B C 是小正方形的顶点，则/ ABQ 的度数
图1
图
2
(A ) 13
(B ) 19 (C ) 25
(D ) 169
8、如图，铁路上A, B 两点相距25km, C,D 为两村庄，DAIAB 于A, CB 丄AB 于B,已知DA=15km
CB=10km 现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E ，使得C, D 两村到E 站的距离相 等，则E 站应建在离 A 站多少km 处？
9、已知：正方形 ABCD 的边长为1,正方形 ABCD 的边长为1，正方形 EFGH 内接于 ABCD
2
AE =a
，AF=b,且 S
正方形
EFGH
「。
求:
AB=AC 点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB AC 边上的点,
且 DEI DF 。
(1)说明：BE 2 • CF 2 二 EF 2
⑵若BE=12,CF=5,试求 DEF 的面积。
勾股定律逆定理应用
考点一 证明三角形是直角三角形
例1、已知：如图，在△ ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD=AD ・BD.
求证：△ ABC 是直角三角形.
b - a 的值。
10、在等腰直角三角形中
,
针对训练： 1、已知：在厶 ABC 中，/ A 、/ B 、/ C 的对边分别是 a 、b 、c ，满足 2 2 2
a +
b +
c +338=10a+24b+26c.试判断△ ABC 的形状.
求证：A D=A C+B D.
4、如图，长方形 ABCD 中, AD=8cm,CD=4cm.
⑴若点P 是边AD 上的一个动点，当P 在什么位置时 PA=PC?
15
⑵在⑴中，当点P 在点P/时，有P'A^P'C , Q 是AB 边上的一个动点，若AQ 二一时,
4
QP'与P'C 垂直吗？为什么?
2（如图） 在正方形 ABCD 中, F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且 丄
EC=4 BC, 求证: .
EFA=90.
3、如图, 已知：在厶ABC 中，.C=90 , M 是BC 的中点, MD AB 于
考点二运用勾股定理的逆定理进行计算例、如图，等腰△ABC中，底边BC= 20, D为AB上一点，CD= 16, BD= 12,
求厶ABC的周长。
针对训练：1、•已知：如图，四边形 ABCD AD// BC AB=4, BC=6 CD=5 AD=3.
求：四边形ABCD的面积•
3.已知：如图， DE=m,BC=n上EBW £DCB互余 ,求B D+C D.
考点三、与勾股定理逆定理有关的探究和应用
例1.阅读下列解题过程：已知a、b、c ABC的三边，且满足 a2c2- b2c2=a4— b4，试判断△ ABC的形状.
2 2 . 2 2 4 . 4 2Z2.2、Z2.2、Z2 . 2 2 2.2
解：.a c — b c =a — b , (A) •• c (a — b )=(a +b )(a — b ) , (B) •• c =a +b , ( C) - •△ ABC
是直角三角形.
问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_____________ ;
②错误的原因是________________ ;③本题的正确结论是 ____________ .
例2.学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足a2 b2二c2,或许其他的三角形三边也有这样的关系”•让我们来做一个实验！
（1）画出任意的一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米）,较短的两条边长分别是
a = ______ mm；
b =________ mm 较长的一条边长C=___________ mm
比较a2十b2 ____ c2（填写“〉”，“v”,或“=”）；
（2）画出任意的一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米）,较短的两条边长分别是
a =_______ mm
b = __________ mm 较长的一条边长
c = _________ mm
比较a2 +b2_______ c2（填写“〉”，“v”，或“=”）；
（3）根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是：
⑷对你猜想a2 b2与c2的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。
分，我国反走私艇 A发现正东方有一走私艇 C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意•反走私艇A通知反走私艇 B:A和C 两艇的距离是13海里，A B两艇的距离是 5海里.反走私艇B测得距离C艇是12海里,
若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海?
针对训练：1 观察下列各式：32 + 42 = 52; 82 + 62 = 102; 152+ 82= 172; 242+ 102= 262…，你有没有发现其中的规律？请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式
子.
2、如图所示，有一块塑料模板ABCD长为10叫宽为4叫将你手中足够大的直角三角
板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合）并在AD上平行移动：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时 AP的长；
若不能，请说明理由•
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B,另
一直角边PF与DC的延
长线交于点Q与BC交于点E,能否使CE=2c m?若能，请你求出这时 AP的长；若不能，请说明理由•
3.喜欢爬山的同学都知道，很多名山上都有便于游人观光的索道，如图所示，山的高度 AC为
800 m,从山上A与山下B处各建一索道口，且BC=1 500 m, 一游客从山下索道口坐缆车到
山顶，知缆车每分钟走 50 m,那么大约多长时间后该游客才能到达山顶？说明理由•
延伸训练：如图，在△ ABC中，/ ACB=90 , AC=BC P是厶ABC内的一点，且 PB=1, PC=2 PA=3,求/ BPC的度数.
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市 A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心 20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15 千米/时的速度沿北偏东 30。
方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响
（1 ）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
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