(完整word版)勾股定理拓展与拔高
(2021年整理)勾股定理拓展提高题
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B A6cm3cm1cmCBA勾股定理拓展提高题1、如图,长方体的底面边长分别为1cm 和3cm,高为6cm ．①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要__________cm ；②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ．2、如图1，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数_________图1 图2 图33、如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积4、如图3，数轴上的点A 所表示的数为x,则x 2-10的立方根为5、如图4,一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为图4 图56、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图5所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b,那么()2b a +的值为（ ）（A ）13 (B)19 （C)25 （D ）169• •ABADEBC7、已知△ABC 的三边长满足18,10==+ab b a ，8=c ，则为 三角形8、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄,DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？9、已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE=a,AF=b ，且32=EFGH S 正方形。
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习一、填空题(共5道，每道4分)1.教材1题：△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是_______.2.教材3题：在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．3题图3.教材4题：△ABC周长是24，M是AB4.教材5题：将一根长24cm露在杯子外面的长为hcm5.教材10题：矩形ABCD中，BC=4，DC=3F处，求EF二、解答题(共51.教材9BC沿直线BD折叠，使它落在斜边AB上的点2题图2.EBC与∠DCB互余，求+的值.3.教材12MN折叠，使点B落在CDB´C=3，求CN和AM的长.3题图4题图5题图4.教材14题：如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？5.教材16题：如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向150km的B处有一台风中心正以20km/h的速度向BC方向移动，已知城市A到BC的距离AD=90km（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？（2）如果在距台风中心30km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必顺在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为6km/h）？三、证明题(共3道，每道10分)1.教材2题：如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，F为BC上的一点且BC=4CF，试说明△AEF是直角三角形.1题图2题图3题图2.作业1题：如图，已知P是矩形ABCD内任一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD23.教材6题：如图所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G。
勾股定理全章小结拔高精编
勾股定理考点沙场点兵1．会用勾股定理解决简单问题.2．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形. 3．勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证.经典·考题·赏析【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是( )A ．13B ．26C ．47D ．94【变式题组】01．(安徽)如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长是___________.02．(浙江省温州)在直线l 上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______. 03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1、l 2、l 3上，且l 1、l 2之间的距离为2，l 2、l 3之间的距离为3，则AC 的长是( ) A． B． C． D ．7【例2】(青岛)如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm .如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要_____cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm .第1题图第2题图1 B A 3cm 1cm6cm【变式题组】01．(恩施)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是( )A． B ．25C．5D ．3502．(荆州)如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位:cm )，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm ，小孔到图中边AB 距离为1cm ，到上盖中与AB 相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm ，则h 的最小值大约为_____cm .(精确到个位，参考数据1．4＝1．2．2)03．(荆州)若一边长为40cm 的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径最小值为_____cm .(铁丝粗细忽略不计)【例3】(荆州)如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为NM ，则线段CN 的长是( )A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm【解法指导】对折问题即对称问题，设CN ＝x ，DN ＝NE ＝8－x .在Rt △CEN 中，(8－x )2＝42＋x 2 x ＝5.故选C【变式题组】01．在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，CD ＝13，AD ＝12．求S 四边形ABCD ．02．如图，△ABC 中，AB ＝13，AD ＝6，AC ＝5 ，D 为BC 边的中点.求S △ABC ．第1题第2题图AB吸管106 5A D CF MNA BC D03．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠CAB ，BC ＝4，CD ＝32.求AC ．【例4 】（四川省初二数学联赛试题)如图，直线OB 是一次函数y ＝－2x 的图象，点A 的坐标为(0，2)，在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 坐标.【解法指导】求C 点坐标需分类讨论.(1)若以O 为顶点，OA 为腰，则C 在以O 为圆心，OA 的长为半径的圆与y ＝－2x 的交点处.(2)若以A 为顶点，AO 为腰，则C 在以A 为圆心， AO 的长为半径的圆与y ＝－2x 的交点处.(3)若以C 为顶点，则C 在OA 的中垂线与y ＝－2x 的交点处.【变式题组】 01．若A （3，2），B 为x 轴上一点，O 为坐标原点.若△AOB 是等腰三角形.求B 点坐标.02．如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B 为y ＝2x 上一点，若△AOB 为等腰三角形.求B 点坐标.03．如图.在平面直角坐标系中，A (0，4)，B 为y ＝2x 上一点，若△AOB 为直角三角形.求B 点坐标.y【例5】(福建省漳州)几何模型：条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点. 问题：在直线l 上确定一点P ，使P A ＋PB 的值最小.方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A 'B 交l 于点P ，则P A ＋PB ＝A 'B 的值最小(不必证明).模型应用：⑴如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点.连接BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称.连接ED 交AC 于P ，则PB ＋PE 的最小值是__________；(2)如图2，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值.【变式题组】01．(荆门)一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）.⑴求该函数的解析式；⑵O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标.02．（四川联赛试题)已知矩形ABCD 的AB ＝12，AD＝3，E 、F 分别是AB ，DC 上的点，则折线AFEC长的最小值为____________. 03．(陕西)如图，在锐角△ABC 中，AB ＝BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是___________.【例6.图1 图2 2xC ABD MN【变式题组】01.（恩施自治州）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x.⑴用含x的代数式表示AC＋CE的长；⑵请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?02．(咸宁)问题背景:在△ABC中，AB、BC、AC.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网络(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示.这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.⑴请你将△ABC的面积直接填写在横线上______；思维拓展:⑵我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．．．.若△ABC、a、(a＞0)，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积；探索创新:⑶若△ABC（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法．．．求出这三角形的面积.【例7】.(天津)已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.⑴当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2＝AM2＋BN2；【思路点拨】考虑MN2＝AM2＋BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决.可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连接DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了.请你完成证明过程:⑵当扇形GEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2＝AM2＋BN2是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【变式题组】01．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB边的中点，DE⊥DF.求证：EF2＝AE2＋BF202．我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.⑴写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称________；⑵如图1，请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；⑶如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，∠DCB＝30°.求证：四边形ABCD是勾股四边形.03．(台州)如图1，Rt △ABC ≌Rt △EDF ，∠ACB ＝∠F ＝90°，∠A ＝∠E ＝30°.△EDF 绕着边AB的中点D 旋转，DE 、DF 分别交线段AC 于点M 、K .⑴观察:①如图2、图3，当∠CDF ＝0°或60°时，AM ＋CK ______MK (填“＞”、“＜”或“＝”).②如图4，当∠CDF ＝30°时，AM ＋CK ______MK （只填“＞”或“＜”).⑵猜想:如图1，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM ＋CK ______MK ，证明你所得到的结论. ⑶如果MK 2＋CK 2＝AM 2，请直接写出∠CDF 的度数和AMMK的值.演练提高01．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则AC 边上的高为（）AB ．310C ．35D ．4502．(哈尔滨)如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8cm ，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF ＝254cm ，则AD 的长为( ) A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．7cm03．(滨州)已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AD 为8，则边BC的长为( ) A ．21 B ．15 C ．6 D ．21或904．在同一平面内把边BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5的三角形沿最长边AB 翻折后得到△ABC '，则CC '的长等于( )A ．125B ．135C ．56D ．24505．一个三角形三边长度之比为3:4:5，则这个三角形的三边上高的之比为( )A ．3:4:5B ．5:4:3C ．20:15:12D ．9:16:2506．(山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的A．32B．76C．256D．207．(湖州)如图，在正三角形ABC中，AB＝1，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF面积为_____.08．(安顺)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_______.09．(安徽)长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了_______m.10．(滨州)某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB＝4米，∠BAC＝30°，∠C＝90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为______.11．(湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2则S1＋S2的值等于________.12．(呼和浩特)如图，四边形ABDC中，∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB＝4，CD＝则该四边形的面积是_______.13．已知等腰三角形ABC的底边AB＝20cm，P是腰AC上一点，且AP＝12cm，BP＝16cm，则腰长是_________.14．(沪州)如图，△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，D是BC的中点，且它关于AC的对称点为D′，则BD′＝_______.15．如图，点A在反比例函数6y的图象上，OA＝4，AC⊥x轴，OA的中垂线交x轴于B．求△ABC 的周长.16．有一人字形屋架(等腰三角形)，其顶角为120°，两腰长均为4米，现拟定以其中一腰和底重新组成一个三角架，试问将屋架的第三边改为多少时，新的三角架为直角三角形?17．(牡丹江)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6m ，8m .现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以原来绿地8m 长的边为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.18．如图A (3，4)，B (a ，1)，AB ＝5，C 、D 分别为x 轴、y 轴上的两动点.求四边形ABCD 周长的最小值.19．如图，在正△ABC 中，DC ＝4，DB ＝3，DA ＝5，求∠CDB ．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为三角形内一点，DC ＝2，DB ＝1，DA ＝3．求∠CDB ．特种升级检测DAE ＝45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转，使AC 与AB 重合，得到△AFB ，连接EF ，则下列结论:①△AED ≌AEF ；②△ABE ≌△ACD ；③BE ＋DC ＝DE ；④BE 2＋DC 2＝DE 2其中正确的是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③ D ．①③02．(四川联赛试题)BD 是△ABC 的中线，AC ＝6且∠ADB ＝45°，∠C ＝30°，则AB ＝( )AB．C．D ．603．（江西竞赛）若将三条高线长度分别为x 、y 、z 的三角形记为(x ，y ，z )，现在以下四个三角形(6，8，10)，(8，15，17)，(12，15，20)，(20，21，29)中，直角三角形的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个04．(北京竞赛)如图，ABCD 是一张长方形纸片，将AD ，BC 折起、使A 、B 两点重合于CD 边上的P 点，然后压平得折痕EF 与GH .若PE ＝8cm ，PG ＝6cm ，EG ＝10cm ，则长方形纸片ABCD 的面积为（）cm 2 A ．105.6 B ．110.4 C ．115.2 D ．124.805．如图，在由单位正方形组成的网格图中标出了AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( ) A ．CD 、EF 、GH B ．AB 、CD 、EF C ．AB 、CD 、GH D ．AB 、EF 、GH06．(四川省初二数学联赛试题)如图，等边三角形ABC 内有一点P ，过点P 向三边作垂线，垂足分别为S 、Q 、R ，且PQ ＝6，PR ＝S ，PS ＝10，则△ABC 的面积等于( )A．B．C．D．07．(四川省初二数学联赛试题)如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC＝，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，当P 点移动____秒时，P A 与腰垂直.08．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，AB ＝AD ＝2，AC ＝4，且BD :DC ＝2:3则BC ＝______.09．(黑龙江竞赛)小宇同学在布置班级文化园地时，想从一块长为20cm ，宽为8cm 的长方形彩色纸板上剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形，并使其一个顶点在长方形的一边上，另两个顶点落在对边上，请你帮他计算出所剪下的等腰三角形的底边长.第5题图C第6题图第7题图B 第8题图10．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，若BE ＝12，CF ＝5.求.S △DEF11．如图①，已知直线y ＝－2x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，以OA 、OC 为边在第一象限内作长方形OABC ．⑴求点A 、C 的坐标；⑵将△ABC 对折，使得点A 与点C 重合，折痕交AB 于点D ，求直线CD 的解析式（图②）； ⑶在坐标平面内，是否存在点P (除点B 外)，使得△APC 与△ABC 全等，若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由.12．(浙江省义乌)如图1，已知∠ABC ＝90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点(点P 与B 不重合)，连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连接QE 并延长交射线BC 于点F .⑴如图2，当BP ＝BA 时，∠EBF ＝_____°，猜想∠QFC ＝_______°；⑵如图l ，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；⑶已知线段AB＝BP ＝x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式.13．一条笔直的公路l 穿过草原，公路边有一卫生站A ，距公路30km 的地方有一居民点B ，A 、B之间的距离为60km .一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km /h .在草地上行驶的最快速度是30km /h ，问司机应以怎样的路线行驶，所用的行车时间最短?最短时间是多少?图② 图②图①14．是否存在这样的直角三角形，它的两条直角边长为整数，且它的周长与面积的数值相等?若存在，求出它的边长；若不存在，说明理由.。
勾股定理的探索方法及教法(最全)word资料
勾股定理的探索方法及教法(最全)word资料勾股定理的探索方法及教法岗子中学齐玲玲2020 年4月内容摘要:勾股定理的三种探索方法及教法,主要有以下三个方面:1.数格子，即在格子纸上建构直角三角形及相关正方形，通过数格子探索其面积关系与勾股定理的联系；2.拼图法的运用，通过补直角三角形和割直角三角形，表示其相关的面积关系导出勾股定理;3.无字证明，“青朱出入图”等面积填补法直观易懂的探索出勾股定理。
关键词：勾股定理、数格子、拼图法、补直角三角形、割直角三角形、青朱出入图、直观易懂。
勾股定理的悠久广远，它的发现与证明是古代人类智慧的鉴定和骄傲。
古巴比伦人和古代中国人看出了这一关系，古希腊的华达哥拉斯学派首先证明了这个关系,总结其法，趣味无穷，我主要从下面三种探索方法及教法谈起。
一、数格子。
即在格子纸上构造直角三角形，以它的勾、股、弦为三个边长分别建立相关正方形（尽量取易数的完整格子）通过学生数格子，得出以勾为边长形成的正方形的面积，加上以股为边长的正方形的面积之和，等于以弦为边长的正方形的面积。
（如图1）再适当引导：这三个正方形的面积与这个直角三角形的三边有什么关系？（每个方格为一个面积单位）学生发言说出结论： S A+S B=9+9=18=S cS A’+S B’=4+4=8=S C'讲解：它们各自的面积刚好就是这个直角三角形勾的平方，股的平方和弦的平方。
学生自己得出：直角三角形，两直角边的平方之和等于斜边的平方这一理论.令:勾--------a股--------b弦--------c则它们之间的关系又可以用怎样的表达式呢？学生说出：a2+b2=c2老师板书其内容。
这样就可以通过最直观形象的图形加上简单的理论证明，让学生观察、归纳、总结出勾股定理的由来。
二、拼图法的运用。
拼图法的运用又分为两个方案：第一种方案“补”；第二种方案“切割”.（一）“补”,即“作出RT△ABC，分别以它的勾、股、弦为正方形的边长，作出三个正方形，延长它的两条直角边a、b到以c为边长的正方形的外部，过以斜边c为边长的正方形上顶点，右顶点，在它的外部分别补作平行于a、b的线段作一个大的正方形。
勾股定理拓展与拔高
勾股定理拓展与拔高勾股定理拓展与拔尖二.知识点回顾1、勾股定理的应用：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c）（2）验证c2与a2b2是否具有相等关系（3）若c2= a2b2，则△ ABC是以/ C为直角的直角三角形；若c2工a2b2 则厶ABC不是直角三角形。
3.勾股数：满足a2b2= c2的三个正整数，称为勾股数如（1）3, 4, 5; （2）5, 12，13; （3）6, 8, 10; （4）8, 15, 17 （5）7, 24, 25 （6）9, 40, 41三.典型题剖析：针对训练、延伸训练考点一证明三角形是直角三角形1、在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点,1且EC= 4 BC,求证：EFA=90 .FE针对训练：1、已知：在厶ABC中，/ A、/ B、/ C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c试判断△ ABC的形状.考点二运用勾股定理的逆定理进行计算例、如图，等腰△ ABC中，底边BC= 20, 为AB 上A 一点，CD = 16, BD = 12, 求厶ABC的周长。
针对训练：1、.已知：如图，四边形ABCD , AD II BC, AB=4, BC=6, CD=5, AD=3.求：四边形ABCD的面积. yA考点三勾股定理的折叠问题例、如图，在矩形ABC冲，AB=3 BC=5在CD上任取一点E，连接BE将厶BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为针对训练：1、如图，在矩形ABCD中，BC=6 , CD=3，将ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1考点四勾股定理的卡车通过大门问例、某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形，上部是以的半圆，其中AD = 2.3 m，AB = 2 m，现有一辆装满货物的大卡车，宽1.6m，试猜想这辆大卡车能否通过厂门？请说明理由.题AB为直径高 2.5C考点五勾股定理的探究和应用问题例、如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10 cm,宽为4 cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合）并在AD上平行移动：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B,另一直角边PF 与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2 cm?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.针对训练：1观察下列图形，回答问题：问题（1 ）:若图①中的△ DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为。
勾股定理的拓展
勾股定理的拓展
例在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=C、假设∠C=90°〔如图1〕，根据勾股定理，那么a2+b2=c2、假设△ABC不是直角三角形〔如图2和图3〕，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并说明你的结论、
【分析】：要类比勾股定理，就要把斜三角形化为直角三角形，即化斜为直，最常用的方法是作锐角或钝角三角形的高、
【解】：
假设△ABC是锐角三角形，那么有a2+b2>c2；
假设△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，那么有a2+b2<c2、
〔1〕当△ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥CB，
垂足为D、
设CD为x，那么有DB=a－x、
根据勾股定理得，b2－x2＝c2－(a－x)2，
即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2、
∴a2+b2＝c2+2ax，
∵a>0，x>0，
∴2ax>0，
∴a2+b2>c2、
〔2〕当△ABC是钝角三角形时，过点B作BD⊥AC，
交AC的延长线于点D、
设CD为x，那么有DB2=a2－x2、
根据勾股定理得，(b+x)2+(a2－x2)＝c2，
即b2+2bx+x2+a2－x2＝c2、
∴a2+b2+2bx＝c2，
∵b>0，x>0，
∴2bx>0，
∴a2+b2<c2、。
(完整版)勾股定理思维导图+题型总结
(一)勾股定理1：勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c,那么a 2+b 2＝c 2我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.要点诠释：2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证cbaHG F EDCBAa bcc baED CBA bacbac cabcab 弦股勾4：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）5、注意：（1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
勾股定理(知识点+题型分类练习)(word文档物超所值)
A B Ca c 弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
常用关系式由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜c 边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；；8,15,17等3,4,56,8,105,12,137,24,25③用含字母的代数式表示组勾股数：n （为正整数）；221,2,1n n n -+2,n ≥n （为正整数）2221,22,221n n n n n ++++n （，为正整数）2222,2,m n mn m n -+,m n >m n 4.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（4）如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）A5.直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°⇒ （2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
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勾股定理拓展与拔尖二. 知识点回顾1、 勾股定理的应用： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、如何判定一个三角形是直角三角形（1） 先确定最大边（如c ）（2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系（3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a + 则△ABC 不是直角三角形。
3. 勾股数： 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41三．典型题剖析：针对训练、延伸训练考点一 证明三角形是直角三角形1、 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=BC ，求证：∠EFA=90︒.针对训练：1、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.41AB DCFE考点二运用勾股定理的逆定理进行计算例、如图，等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12，求△ABC的周长。
针对训练：1、.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积.考点三勾股定理的折叠问题例、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD 边上的点F处，则CE的长为．针对训练：1、如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为（）A．3 B．C．5 D．考点四勾股定理的卡车通过大门问题例、某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形，上部是以AB为直径的半圆，其中AD＝2.3 m，AB＝2 m，现有一辆装满货物的大卡车，高2.5 m，宽1.6 m，试猜想这辆大卡车能否通过厂门？请说明理由．考点五勾股定理的探究和应用问题例、如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)并在AD上平行移动：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF 与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.针对训练：1观察下列图形，回答问题：问题（1）：若图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为。
问题（2）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是；（用图中字母表示）问题（3）：如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积．考点六勾股定理的设计问题例、国家电力总公司为了改善农村用电费用过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某村六组有四个村庄A，B，C，D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．针对训练：1如图所示，铁路上有A、B两点（看做直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看做两个点），AD⊥AB，BC垂直AB，垂足分别为A、B，AD=24千米，BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？考点七勾股定理的最短路径问题例、在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）针对训练：1如图，是一块长、宽、高分别是4cm，2cm和1cm的长方体木块、一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．5cm B．5.4cm C．6.1cm D．7cm考点八勾股定理的勾股数问题常见的勾股数及几种通式有：(1) （3， 4， 5）, （6， 8，10）…… 3n,4n,5n (n是正整数)(2) （5，12，13） ,（ 7，24，25）, （ 9，40，41）……(3) (8，15，17), (12，35，37) ……(4)m2－n2,2mn,m2＋n2 (m、n均是正整数，m>n) 简单列出一些：课堂小测试（8分钟）1. 一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（ ）A.第三边一定为10B.三角形的周长为24C.三角形的面积为24D.第三边有可能为10 2．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或253．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2, c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6, b=8, c=10 D 、a=3,b=4,c=5 3．三角形的三边长为（a+b ）2=c 2+2ab,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4、一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是( ) A ．4 B ．310 C.25 D ．512 5．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、24cm 2 B 、36cm 2 C 、48cm 2 D 、60cm 2 6、直角三角形中，斜边长为5cm ，周长为12cm ，则它的面积为( )。
A ．122cm B ．62cm C ．82cm D ．92cm7．等腰三角形底边上的高为6，周长为36，则三角形的面积为（ ） A 、56 B 、48 C 、40 D 、328．Rt △一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则Rt △的周长为（ ） A 、121 B 、120 C 、90 D 、不能确定9．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A 、25海里 B 、30海里 C 、35海里 D 、40海里10. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）。
A 、600米 B 、800米 C 、1000米 D 、不能确定勾股定理独立作业（20分钟）1．下列各组数据中，可以构成直角三角形的是（ ）A ．13、16、19B ．17、21、23C ．18、24、36D ．12、35、372．有长度为9cm 、12cm 、15cm 、36cm 、39cm 的五根木棒，可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．在△ABC 中，AB=12cm ，BC=16cm ，AC=20cm ，则S △ABC 为（ ） A ．96cm 2 B ．120 cm 2 C ．160 cm 2 D ．200 cm 2 4．若线段a 、b 、c 能组成直角三角形，则它们的比可以是（ ） A ．1︰2︰4 B ．1︰3︰5 C ．3︰4︰7 D ．5︰12︰13 5．若直角三角形的两直角边的长分别是10cm 、24cm ，则斜边上的高为（ ）A ．6cmB ．17cmC ．cmD ．cm6．有下面的判断：①△ABC 中，，则△ABC 不是直角三角形。
②△ABC 是直角三角形，∠C=90°，则。
③若△ABC 中，，则△ABC 是直角三角形。
④若△ABC 是直角三角形，则。
以上判断正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．Rt △ABC 的两边长分别是3和4，若一个正方形的边长是△ABC 的第三边，则这个正方形的面积是（ ）A ．25B ．7C ．12D ．25或78．一个三角形的三边之比是3︰4︰5，则这个三角形三边上的高之比是（ ） A ．20︰15︰12 B ．3︰4︰5 C ．5︰4︰3 D ．10︰8︰2 9．在△ABC 中，如AB=2BC ，且∠B=2∠A ，则△ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定2401312013222a b c +≠222a b c +=222a b c -=2a b a b c （+）(-)=10．如图是一个边长为60cm 的立方体ABCD —EFGH ，一只甲虫在菱EF 上且距F 点10cm 的P 处，它要爬到顶点D ，需要爬行的最近距离是（ ）A ．130B ．C ．D ．不确定11．若△ABC 中，∠A=2∠B=3∠C ，则此三角形的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定12．如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，下面等式错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．222AC +DC =AD 222AD DE AE -=222AD =DE +AC 2221BD BE BC 4-=。