利用微分代数方法计算实际电子透镜的高阶像差

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真 空 科 学 与 技 术 学 报
第 25 卷
有解析解 ,其电磁场量的分布只能是通过数值计算 得到的 、 有一系列离散点上的场量构成的数组 。在 本文中 ,我们研究将本组的电子光学微分代数计算 方法和计算软件扩展到应用于以离散数组表达的电 磁场分布的工程实际问题 , 实现实际电子光学系统 的特性包括高阶像差的精确计算 。
Kang Y ongfeng ,Tang Tianton School of Electronic and Information Engineering , Xi ’ an Jiaotong University , Xi ’ an , 710049 , China)
第 25 卷 第6期 真 空 科 学 与 技 术 学 报 2005 年 11 、 12 月 JOURNAL OF VACUUM SCIENCE AND TECHNOLOGY( CHINA) 431
利用微分代数方法计算实际电子透镜的高阶像差
∑
aJ ・ bK , I = 1 , 2 , …, N FJ ・ Fk
( 4)
I
偏微算子 9j 也能在 nDv 中定义 : 9j ( a1 , a2 , …aN ) = ( d1 , d2 , …dN ) ( j = 1 , 2 , …, v)
( 5)
其中
d I ( I = 1 , 2 , …, N ) =
rd in engineering calculation and design of the realistic lenses. Our simulated results of the 3 and 5th order aberration show a rather high accura2
cy ,which is only limited by mechanical precision and arithmetic errors ,and which is good enough for engineering purposes.
0 ≤J , K ≤N M ・ M = M
J K
其中 rf 是粒子轨迹的末坐标 ( 包括位置和斜率 ) , ri 9R 是粒子的初始坐标 ,δ 代表系统的参量 。 δ 称之 9 为系统的灵敏度 。一般来说 , 传递映射无法写出解 析形式 , 通常将 R 沿着一条参考轨迹展开为泰勒级 数 , 线性项称之为一阶高斯光学性质 , 三次方项称之 为三阶像差 , 依此类推 。随着映射展开的阶数越高 , 映射求解越精确 , 求解的复杂度也急剧增大 , 甚至到 了难以使用的程度 。而根据微分代数的原理可知 , 它可以不推导像差的具体表达形式 , 而只要计算一 条 “参考轨迹” , 就可以自动得出系统的高斯光学性 质和各阶像差系数的大小 , 其复杂程度完全与计算 阶数无关 , 并且没有截断误差 , 计算精度仅受限于机
=
( a1 > 0)
log ( a1 ) +
i =1
∑
( - 1)
i +1
1
i
i
0,
( 10)
2 微分代数方法在实际电子光学系统特性
以及高阶像差分析中的应用
任何一个带电粒子光学系统的聚焦和成像系统 等性质均可用一个传递映射来描述 ,表示为 : ) rf = R ( ri ,δ
( 9b) ( 7) 9 ( a・ b) = ( 9a) ・ b + a・ 任意实数 r 在 nDv 结构中表示为 ( r , 0 , …, 0 ) , 在微 分代数中存在一系列第一个分量为 0 , 而以后各分
量不全为 0 的 DA 矢量 ( 0 , q2 , …, qN ) , 它们满足 : ( 0 , 0 , …, 0) < ( 0 , q2 , …, qN ) < ( r , 0 , …, 0) 当 r > 0 时 ( 8) 因此 ( 0 , q2 , …, qN ) 在 0 和任意实数之间 , 也就是说 ,
( 11)
( a1 + b1 , a2 + b2 , …, aN + bN )
( a1 , a2 , …, aN ) = ( t ・ t・ a1 , t ・ a2 , …, t ・ aN ) ( a1 , a2 , …, aN ) ・ ( b1 , b2 , …, bN ) = ( c1 , c2 , …, cN ) ( 3) t 为任意实数 , 系数 c I 为 : c I = FI ・
( a1 , a2 , …, aN ) + ( b1 , b2 , …, bN ) =
a2 a3 aN , , …, a1 a1 a1
i +1
=
i
log ( a1 ) +
i =1
∑
n
( - 1)
1
i
0,
a2 a3 aN , , …, a1 a1 a1 a2 a3 aN , , …, a1 a1 a1
Keywords Different algebra ,Electron lenses ,High order aberrations 摘要 微分代数是计算机数值分析领域中的一个非常有效的新方法 ,它以非标准分析理论为基础 ,可以方便地实现任意 高阶微分的运算 。利用微分代数扩展数的映射关系 ,可以非常有效地处理一些困难的非线性动力学问题 [1 ] ,包括电子光学的 高阶像差问题 。但是 ,已有的研究限于电子光学系统的电磁场具有解析表达式的情形 。本文根据微分代数的基本原理 ,将其 用于实际电子光学聚焦系统高阶像差的数值模拟和计算 , 计算了电子透镜的五阶几何像差 。这些电子透镜的电场及磁场的 分布 ,是根据实用的 FEM 或 FDM 等数值方法的计算结果 ,以数组形式给出的 。因而这一计算方法可以应用于工程的设计计 算问题 。编写了相关的计算软件 ,该软件的界面可以方便地应用于实际的电子透镜系统的高阶像差计算 。对于一个电磁透 镜例的计算结果表明 ,这一计算方法具有足够高的精确度 , 其精度仅受限于机器精度和算法误差 , 完全可以满足工程计算的 需要 。
Abstract Differential algebra has been successfully modified and applied to numerical calculation and simulation of high order aberra 2
tions of a set of electron lenses with the electric and/ or magnetic field distributions ,which are given as discrete numerical arrays ,highly close to realistic and well recognized in finite element method( FEM) and finite differential method ( FDM) . The software package developed works well
( 0 , q2 , …, qN ) 是 “无穷小量” 或称之为 “微分” 量。
1 微分代数原理
微分代数是以非标准分析和简正技术理论为基 础的 ,非标准分析的独特性之一就是在分析理论中 引入了无穷小量和无穷大量 。 对于有 v 个变量 x1 , x 2 , …, xv 的任意一个光滑 函数 f ( x1 , x 2 , …, xv ) , 其 0～ n 阶导数在微分代数中 可用 nDv 结构来表示 , 这些导数以特定的顺序排列 , 记为 DA 矢量 a = ( a1 , a2 , …, aN ) 。根据级数理论 , 一个函数在某点附近可级数展开为 :
0 若 M I 为 n 次单项式
aj 若 M I 为低于 n 次单项式 ( 6)
可以证明 , 9j 运算满足微分算子的乘法规则 :
第6期
康永锋等 : 利用微分代数方法计算实际电子透镜的高阶像差
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器精度 。因此用微分代数方法来求解传递函数 , 进 而求解高斯性质和像差 , 将是一个非常好的方法 。 通过传递映射的概念 , 我们把表征粒子的坐标 x , y 和其斜率 x′ , y′ 四个变量令为微分代数量 。本 文中 , 我们构造微分代数变量结构 nD4 。在该结构 中 , 求解研究的带电粒子光学系统的传递映射 , 这样 就可以得到初始位置 ( x 0 , y 0 , x′ 0 , y′ 0 ) 和所考虑的高 斯平面所在位置 ( xf , yf , x′ f , y′ f ) 之间的传递关系 , 这 样结果就可以表示为 :
收稿日期 :2005207215 基金项目 : 教育部博士点基金资助项目 (No. 20020698020) 3 联系人 : 博士生 ,E2mail :yfkang @mail . xjtu. edu. cn , Tel :13193393687
赖所研究的像差阶数的高低 , 并且数值计算结果没 有截断误差 ,计算精度仅受限与机器精度 。因此使 用微分代数方法来计算电子光学的高阶像差 , 是一 个很好的解决方案 。 过去的研究已经实现了电子光学系统特性包括 高阶像差的微分代数计算 [2～4 ] 。由于在微分代数运 算中 ,电磁场参量本身也是一种微分代数扩展数 ,为 了简化有关微分代数算法 ,在上述工作中 ,研究的电 子光学系统不得不限于其电场和磁场能够使用解析 表达式的问题 。 但是 ,在实际的工程问题中 ,电磁场一般不可能
康永锋 3 唐天同 郭小立 任 岩
( 西安交通大学电子与信息工程学院 西安 710049)
Application of Differential Algebra to Calculation of High Order Aberration of Realistic Electron Lenses
f = f0 +
“无穷小” 量有一个重要的性质就是 “幂零” 性 , 对于 nDv 中的 “无穷小量” 求高于 n 次幂 , 其结果为零 , 公式表示为 :