第六章 常微分方程2014
第6章 常微分方程与差分方程
二阶:
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
3
2.变量可分离的微分方程
形如
y x 1 ay
x
f ( x)
( x 0 ,1, 2 , )
称为一阶常系数线性差分方程.其中 f ( x ) 为已知函 数, a 是非零常数. y x 1 ay x 0 ( x 0 ,1, 2 , ) 称为一阶常系数齐 次线性差分方程.
18
9.一阶常系数线性差分方程
两互不相同的实根 r1 r2 二重根 r1 r2
特征根为:
通解的表达式
y C 1e
r1 x
CБайду номын сангаас2e
r2 x
y (C 1 C 2 x ) e y e
x
r1 x
两个共轭复根 r1, 2 i
( C 1 cos x C 2 sin x )
13
•二阶常系数非齐次线性微分方程
22
2 例3 求微分方程 y d x ( x
4 x )d y 0
的通解.
解
若 y ( x 4 x ) 0 ,方程可以表示成
2
4
dy y
(
1 x
1 x4
)d x ,
x x4 ln | C | ln Cx x4
等式两边积分得, 即
又y
y ( x 4) C x ,
yx
n
3
高等数学6章常微分方程
则
y
u x e
P x dx
uP x e
P x dx
代入（1）中有：
uxeP xd xuxP xeP xdxPxuxePxdx Qx
Qxuxe
Pxdx
，即：u
x
Q x e
P xdx
ux
Qxe
Pxdx
d
xC，从而，
y uxe Pxdx
e
P xdx
Q x e
可化为
y x
的函数
y x
，即：
f
x,
y
y x
，称
该方程为齐次方程．
如： x y y 2 d x x 2 2 x d y 0 y
可化为：dy
dx
xy y 2 x2 2xy
y x
y x
1 2
2
y x
由齐次方程的形式：dy
dx
y x
得其解法为：
对于
dy dx
y x
，令 u
当 y 0 时，原方程有解： y 0 当 p 0 ，即 y 0 时，原方程有解： y C
显 然 此 二 解 是 (*) 式 分 别 当 C2 0 和 C2 C,C1 0 时的特殊情形．
将
d2x dt 2
,
x
代入方程
d2x dt 2
k
2
x
0
得：
k2C 1co k ts C 2sikn tk 2 C 1co k s tC 2sikn t 0
即：x
C1
cos kt
C2
sin
kt
是
d2x dt 2
k
2
x
第六章常微分方程初值问题初步1
【例】 利用四阶泰勒法求解初值问题 1 y ( x y) 2 y(0) 1 其中[a , b] [0,1]。 1 y ( x y) 2 1 y (2 x y ) 4 1 y ( 2 x y ) 8 1 y (4) (2 x y ) 16 解 建立 M 文件 df.m function z=df(x,y) z=[(x-y)/2 (2-x+y)/4 (-2+x-y)/8 (2-x+y)/16]; 在 MATLAB 运行窗口输入 taylor4('df',0,1,1,10)
在Euler算法程序的最后改为 Y1=sqrt(1+2*T); T=[T' Y' Y1']; 可得到解析解和迭代法计算结果比较
6.1.3 微分方程的几何解释 在 xy 平面上，积分曲线上任一点(x,y)的切线斜率等于函数 f(x,y)的值， 如果按函数 f(x,y)在 xy 平面上建立一个向量场，则积分曲线上每一点的切线 方向与向量场在该点的方向相一致。 从初始点 P0 ( x0 , y0 ) 出发，先依向量场在该点的方向推进到 x x1 上一点 P1 ， 再从 P1 依向量场方向推进到 x x2 上一点 P2 ， 这样下去便可作出一条折线 P0 P1 P2 。设已作出折线的顶点为 Pn ，过 Pn ( xn , yn ) 依向量场的方向再推进到 Pn1 ( xn1 , yn1 ) 。 yn 1 yn f ( x n , yn ) x n 1 yn
6.1.7 梯形方法的求解 梯形方法是隐式的，用迭代求解，用欧拉方法提供 的迭代初值的迭代公式为：
(0) yn yn hf ( xn , yn ) 1 ( k 1) h (k ) y y [ f ( x n , yn ) f ( x n 1 , yn n1 n 1 ] 2 ( k 0,1,2, )
第6章 常微分方程与差分方程
第六章 常微分方程与差分方程 一、基本盖帘 1.常微分方程含有自变量、自变量未知函数及未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程，当未知函数是一元函数时，则称为常微分方程 2．微分方程的阶在微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶 3.微分方程的解若把某函数及其导数代入微分方程能使该方程称为恒等式，则称这个函数是该微分方程的一个解。
通常要求微分方程的解具有和该微分方程的阶数同样阶数的连续导数 4.微分方程的通解和特解含有与微分方程的阶数同样个数的独立任意常数的解，称为微分方程的通解，不含任意常数的解，称为微分方程的特解 5.微分方程的初始条件给定微分方程中未知函数及其导数在指定点的函数值的条件，称为微分方程的初始条件，初始条件的个数应与微分方程的阶数相同二、一阶微分方程一阶微分方程的基本类型是变量可分离的方程和一阶线性微分方程，而齐次微分方程可通过变量代换为变量可分离的方程 （一）变量可分离的方程 1.变量可分离方程的概念称为变量可分离的方程或dy y N x Q dx y M x P y g x f y )()()()()()('==2.变量可分离方程的特解⎰⎰⎰⎰+=+=≠≠方程的通解就是分别上述两个微分分，然后求积分，所得积端，把变量分离分别同除微分方程的两或时，用或用变量分离法：当,)()()()()()()()()(0)()(,0)(C dx x Q y P dy y M y N C dx x f y g dyy N x Q y g y N x Q y g（二）齐次微分方程1.齐次微分方程的标准形式)('xy f y =2.齐次微分方程的求解丢掉解，在求解过程中不要常数的解也是原微分方程的或注意：即可得到原方程的通解换回最后把可得通解于是有则首先作变量代换，令)()(0)(,0)(;0)(ln )()(','',u u f y M x Q y g xyu Cx C x dxu u f du u u f xu xu u y xyu -===+=+=--=+==⎰⎰(三)一阶线性微分方程1.一阶线性微分方程的标准形式性微分方程否则称为一阶非齐次线方程，称为一阶齐次线性微分即方程，当其中的自由项0)(',0)()()('=+≡=+y x p y x q x q y x p y 2.一阶线性微分方程的求解[]，即得通解公式两端积分后再同乘乘积的导数公式同乘方程的两端，根据，积分因子法，用方法：性微分方程的通解公式代入即得一阶非齐次线积分可求出满足微分方程，把它代入原来的非齐次解即设非齐次微分方程的该为函数把其中的常数的通解，性微分方程先求对应的一阶齐次线：常数变易法方法公式：公式法直接利用通解方法⎰⎰=+⎰=⎰+⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰+==⎰⎰=⎰==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰⎰⎰-----dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p e e x q y x p y e e x yp e y ye e e x q C e y e x q C x C x q e x C x C e x C y x C C Ce y y x p y e x q C e y )(-)()()()()()()()()()()()()()()()(')(''3)()()(),()(')()(),(0)('2)(1三、线性微分厂房解的性质与结构二阶线性方程的一般形式均为连续函数，其中)(),(),()()(')(''x f x q x p x f y x q y x p y =++ 否则称为非齐次方程称二阶线性齐次方程，当右端项0)(≡x f的特解是则的两个特解与分别是方程与，设解的性质（叠加原理）)()()(')('')()()()(')('')()(')('')()(.121212121x f x f y x q y x p y x y x y x f y x q y x p y x f y x q y x p y x y x y +=+++=++=++是非齐次方程的解则其的任意特解一阶、二阶为齐次方程的一个特解，一阶、二阶为非齐次方程若的特解一阶、二阶是对应齐次方程则其差的两个特解一阶、二阶为非齐次方程，若的解一阶、二阶仍为齐次方程则其线性组合的两个特解一阶、二阶为齐次方程，若)()()()()()()3()()(-)()()()()2()()()()()()()1(2121221121x y x y x y x y x y x y x y x y x y C x y C x y x y ++**为任意常数其中的通解为解，则二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的特由二阶齐次方程的通解为个线性无关的特解，则为二阶非齐次方程的两，若为任意常数解，其中是一阶非齐次方程的通则个特解是一阶非齐次方程的一又的通解为特解，则一阶齐次方程是一阶齐次方程的非零设通解的结构212211*********,)()()()()()()()()2()()()(),()()1(.2C C x y x y C x y C y x y x y C x y C y x y x y C x y x Cy y x y x Cy y x y ****++=+=+==四、二阶常系数齐次线性微分方程（一）二阶常系数齐次线性微分方程的形式,0)(')(''2=++=++q p q p y x q y x p y λλ为常数，其特征方程为，其中分方程二阶常系数齐次线性微（二）二阶常系数齐次线性微分方程通解的形式 依据特征方程判别式的符号，其通解有三种形式为两个任意实数，其中，通解，特种方程有共轭复根，通解，特种方程有重根，通解，的实根，特种方程有两个相异212121*********),sin cos ()(04.3)()(04.2)(04.11121C C x C x C e x y i q p e x C C x y q p e C e C x y q p x xx x βββαλλλλλλλλ+=±-=∆+===-=∆+=-=∆五、二次常系数非齐次线性微分方程（一）二阶常系数非齐次微分方程的一般形式自由项已知函数，称为方程的的为一个不恒等于为常数，，其中微分方程二阶常系数非齐次线性0)(,)()(')(''x f q p x f y x q y x p y =++（二）二阶常系数非齐次微分方程的通解形式为待定系数次多项式，为系数待定的表中的B A n x R n ,)(六、含变限积分的方程对某些含变限积分的方程，可通过对方程求导的方法，转化为求解相应的微分方程的通解或微分方程初值问题的特解七、差分的概念及其性质 （一）差分的概念tt t t t t t t t t t t t t t t t t n t y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y t t f y +-=--=∆-∆=∆∆=∆-=∆∆-=++++++++1211212112102)(-)()(,...,,...,,,)(二阶差分分，记为的差分，也称为一阶差称为函数差个数列，则其值可以排列成一记其函数值为取所有的非负整数，并中的自变量设函数（二）差分的性质tt t t t t t t t t t t t t z y y z z y y z z y b a z b y a bz ay ∆+∆=∆+∆=⋅∆∆+∆=+∆++11)()2(,,)()1(为常数其中八、一阶常系数线性差分方程（一）一阶常系数线性差分方程的概念及一般形式0),(11=+≠=+++t t t t ay y a t f ay y 对应的齐次方程为其中常数式为线性差分方程的一般形分方程，一阶常系数及其差分方程，称为差自变量，自变量未知数同微分方程类似，含有（二）一阶常系数线性差分方程的通解与特解tt t t t t t t t t t t a C y y y t f ay y a C y C y C a C y ay y )()()(,)(010001-+==+-==-==+**++通解之和，与对应齐次方程的一个特解其通解也是非齐次方程对于非齐次方程即为满足该条件的特解则定初始条件是一个任意常数，若给，其中的通解齐次方程为下表总结了几种常见情形下非齐次方程特解所应具有的形式形式两种情况来设定特解的他们可以分别归结为前，而当，或当是两个待定系数和次多项式，是待定系数的上表特解中t m M t N t M M t N t M B A m t Q )1(sin cos ,sin cos 20)(-=+∏==+∏==ωωωωωωω九、常考题型及其解题方法与技巧题型一、变量可分离的方程与齐次微分方程的解法 题型二、一阶线性微分方程的解法题型三、有关线性微分方程解的性质及解的机构问题题型四、二阶常系数线性微分方程的解法题型五、含变限积分方程的求解题型六、由自变量与因变量增量间的关系给出的一阶方程题型七、综合题与证明题题型八、一阶常系数线性差分方程的解法题型九、微分方程的应用问题。
(整理)第6章+常微分方程
例如，方程 ，容易验证 与 是所给方程的两个特解，且 常数，即它们是线性无关的．因此， 就是该方程的通解．
二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法
由前面讨论可知，求方程（6-39）的通解，可归结为求它的两个线性无关的特解，再根据定理6.2写出通解．
从方程（6-39）的结构来看，它的解应有如下特点：未知函数的一阶导数 ，二阶导数 与未知函数 只相差一个常数因子．也就是说，方程中的 应具有相同的形式．而指数函数 正是具有这种特点的函数．因此，设 是方程（6-39）的解，将
案例6.4【降落伞降落】设降落伞从跳伞塔降落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时（ ）速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系．
案例6.5【销售预测】在商品销售预测中， 时刻的销售量用 表示．如果商品销售的增长速度 与销售量 和销售接近饱和水平程度 之积（ 为饱和水平）成正比，求销售量函数 ．
如果微分方程的解中包含有任意常数，并且独立的（即不可合并而使个数减少）任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解．通解中任意常数取某一特定值时的解，称为微分方程的特解．
例如函数（6-3）和（6-8）分别是微分方程（6-1）和（6-5）的通解，函数（6-4）和（6-10）分别是微分方程（6-1）和（6-5）的特解．
引例6.3求微分方程 的通解．
通过这个例子我们可以看到，在一个一阶微分方程中，如果能把两个变量分离，使方程的一端只包含其中一个变量及其微分，另一端只包含另一个变量及其微分，这时就可以通过两边积分的方法来求它的通解，这种求解的方法称为分离变量法，变量能分离的微分方程叫做可分离变量的微分方程．
变量可分离的微分方程的一般形式为
第6章常微分方程数值解法
对y′=f（x，y）等式两边在（xi，xi+1）上取积分
xi1y'dx xi1 f(x,y(x)d ) x
xi
xi
《 计 算
y(xi1)y(xi)xxii1f(x,y(x)d ) x
方 法
(xi+1,yi+1)
》
(xi,yi)
xi
xi+1
第6章 常微分方程数值解法
xi 1
方 法
i0,1,2,...
》
(xi+1,yi+1)
这样得到的点列仍
(xi,yi)
为一折线，只是用 平均斜率来代替原
来一点处的斜率。
xi
xi+1
改进的欧拉公式，又称为梯形公式
第6章 常微分方程数值解法
《 计 算 方 法 》
第6章 常微分方程数值解法
不难发现:
欧拉公式 yi+1=yi +hf(x i,yi)
《 初值问题（6.1）(6.2)的数值解法的基本特点是：
计
算
求解过程顺着节点排列的顺序一步步向前推进，
方
法 》
也即按递推公式由y0，y1…..yi推yi+1，下面各种方法的
实质是建立递推公式。
第6章 常微分方程数值解法
§2 欧拉法和改进的欧拉法
一、欧拉方法
1. 基本思想
《
计 算
区间[a，b]上给定n+1个点x0，x1，x2，……xn
法
》
0.8 0.587322 0.527792
1.0 0.399383 0.367879
1.2 0.239630 0.236938
可见欧拉法的精度是很差的
第六章 常微分方程
第六章 常微分方程6.1 常微分方程的概念（1）定义：含有未知一元函数及其导数或微分的方程称为常微分方程，简称微分方程。
（2）微分方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶。
（3）常微分方程的一般形式：0),,,()('=n y y y x F 。
其中变量)(n y 必须出现，其它变量可以不要。
（4）n 阶线性微分方程：形如)()()()()2(2)1(1)(x f y x a y x a y x a y n n n n =+++-- 的式子。
（5）微分方程的解：①解的定义：设函数)(x y ϕ=在区间I 上具有n 阶导数，且)(x y ϕ=满足0))(),(),(,('=x x x x F n ϕϕϕ ，则)(x y ϕ=是微分方程的解。
②通解：微分方程的解中含有相互独立的常数，且相互独立常数的个数与微分方程的阶数相等，则该解称为通解。
备注：“相互独立的常数”是指不会因为合并而使常数的个数变少。
③特解：不含任意常数的解称为微分方程的特解。
（6）初始条件：确定微分方程通解中的常数的条件称为初始条件。
备注：求特解时，初始条件的个数与微分方程的阶数要相等。
（7）初值问题：带有初始条件的微分方程称为初值问题。
①一阶线性微分方程的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧===0'0),(y y y x f y x x 其几何意义是：求过点),(00y x 的积分曲线。
②二阶线性微分方程的初值问题⎩⎨⎧===10'00''')(,)(),,(y x y y x y y y x f y 其几何意义：求过点),(00y x 且在该点斜率为1y 的积分曲线。
例1：判断函数1312-=-x C e C y 是否为99''=-y y 的通解？例2：设dt t f t x x x f x⎰--=0)()(sin )(，其中)(x f 为连续函数，求)(x f 所满足的微分方程。
第六章 常微分方程数值解(龙格-库塔法)
h yn 1 yn f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 ) 2
即
k1 k2 yn 1 yn hk yn h 2 k1 f ( xn , yn ) k2 f ( xn 1 , yn hk1 )
1. （更一般地）二阶龙格-库塔方法 （选k1，k2）： xn为一点，区间[xn, xn+1]再选一点
则：
其中
（复合函数 求导）
h2 y ( xn 1 ) y ( xn ) hy ( xn ) y ( xn ) O (h 3 ) 2
y ( xn )=f ( xn , yn ) f n y ( xn ) ( y ( xn )) ( f ( xn , yn )) ( f n ) [
xn xn 1
y ( xn 1 ) y ( xn ) y ( xn h ), h
y ( xn 1 ) y ( xn ) hy ( xn h ),
平均斜率
0 1
0 1
k * y ( xn h )
y ( xn 1 ) y ( xn ) hk *
1. 分别用欧拉法和改进欧拉法求初值问题，
y 2 xy y (0) 1 0 x 0.5
取步长h=0.1，并与精确解 y e x 进行比较。
2
2. P93, 实验六 6.1 (1) 分别用二阶(Ⅱ)和四阶龙格库塔公式求解此初值问题(0≤x≤1, 取步长h=0.2)
龙格-库塔方法
y ( xn 1 ) y ( xn ) hk *
xn
xn+1
龙格-库塔方法（特例） 欧拉法 即 改进欧拉法
yn 1 yn hf ( xn , yn )
第六章 常微分方程解法
§6.1 概述
常微分方程数值解法所考虑的主要问 题有：
(1) 方法推导。即用什么样的途径来导出 递推格式； (2) 收敛性。即差分方程的解能否充分逼 近微分方程初值问题的解； (3) 误差传播。在递推过程中，每一步 都会产生截断误差和舍入误差，这个误 差是否对后续各步产生严重影响。
第六章 常微分方程的数值解法
§6.4 改进欧拉方法
(modified Euler’s method)
§6.4 改进欧拉方法
梯形方法比欧拉方法更精确，但是一 种隐式方法，求解方程计算量大。 实际计算中，迭代初始值yn+1可取欧拉 方程结果，迭代一次即可，这样的计算 公式叫改进欧拉法。
§6.4 改进欧拉方法
§6.1 概述 理论做了系统阐述。在代数数论领域，他引进了相 应的符号表示法及其计算法则，建立起被称为“李 普希兹代数”的超复数系。在微分几何方面，他自 1869年起对黎曼关于n维流形的度量结构的工作做 出进一步阐述和推广，开创了微分不变量理论的研 究，因此被认为是协变微分的奠基人之一。他的工 作后来被里奇有效地用于张量分析。
§6.1 概述
本章我们将学习一阶常微分方程的初 值问题的数值解：
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0 (1) (2)
一般情况下，方程(1)有无穷多个解， 式(2)是确定解的初始条件。
§6.1 概述
定义： 如果一元函数y(x)对一切 a x b 满足 (1) ( x, y( x)) 平面区域D
计算方法 (力学系本科生)
第六章 常微分方程 的数值解法 (Integration of ordinary differential equations)
第六章 常微分方程
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6.1 可分离变量的微分方程 6.2 一阶线性微分方程 6.3 二阶常系数齐次线性微 分方程
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