函数极限连续习题课
高等数学课后习题答案--第一章
《高等数学》习题参考资料第一篇 一元函数微积分第一章 极限与连续§1 函 数习 题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。
1． 【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。
3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。
4． 【答案】 设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。
高等数学 习题课1-2 极限与连续
xn 1 x
n
( x 0)的连续性。
解 当x [0,1)时, f ( x ) 0;
0, 0 x 1 1 1 即 f ( x) , x 1 当x 1时, f ( x ) ; 2 2 1, x 1 1 当x 1时, f ( x ) lim 1 n 1 n ( ) 1 x
x )
lim
x 0
e x sin 2 x e
2 x
x
2
1
例6 问x 1时, f ( x ) 3 x 2 x 1 ln x
2
是x 1的几阶无穷小 ?
解 f ( x ) 3 x 1 x 1 ln[1 ( x 1)]
lim
x 1
2
n
(2)设x0 1, xn 1
1 xn 1
(n 1, 2,), 试证{ xn }收敛 ,
并求 lim xn。
n
5.求极限
(1) lim
x 0
x 1 cos x
(2) lim
x a
tan x tan a xa xe
(a k
2
)
(3) lim
其中 x=0为跳跃间断点,
例 10 证明: 方程 tanx = x 有无穷多个实根。
分析 从图形看 y=tanx与 y = x 有无穷多个交点。 证 设 f(x) = tan x- x (要在无穷个闭区间上用零点定理)
k Z ,
(1) k
lim
x ( k
2
f ( x ) ， lim
8. 设f ( x )在[0,1]上非负连续, 且f (0) f (1) 0, 则对任意实
江苏大数学分析-第四章 函数的连续性习题课
1．函数 f 在点 x0 有极限与函数 f 在点 x0 连续有什么区别与联系？
答：1）从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定 f 在U 0 (x0 ) 内有定义（ f 在点 x0 可
以没有定义）．而 f 在点 x0 连续则要求 f 在某U (x0 ) 内有定义（包括 x0 ）．
2）在极限中，要求 0 <| x - x0 |< d ，而当“ f 在点 x0 连续”时，由 于 x = x0 时，
lim
x®x0
f (x) ¹
f (x0 )
Û $e 0
> 0, "d
> 0, $x¢ÎU °(x0 ;d ) ，使得
f (x¢) - f ( x0 ) ³ e0 ．
例如狄利克雷函数
D(
x)
=
ì1,当x为有理数, íî0,当x为无理数,
"x0
Î
R,
lim
x®x0
D(x)
不存在．
因为："x0
，取 e 0
第四章 函数的连续性习题课
一 概念叙述
1．叙述 f 在在点 x0 连续的定义． f 在点 x0 连续 Û "e > 0, $d > 0 ，当| x - x0 |< d 时，有| f (x) - f (x0 ) |< e ．
2． 叙述 f 在 I 上一致连续的定义．
f 在 I 上一致连续 Û "e > 0, $d (e ) > 0 ， "x¢, x¢¢Î I ，只要 x¢ - x¢¢ < d ，就有
x0 = 0 点不连续．
2）设在点 x0 处， f ( x) 不连续， g ( x) 不连续 ， f ( x) + g ( x) ， f ( x).g ( x ) 在 x0 点
函数极限与连续性知识点及典例
(3) lim f ( x) = f ( x0 ).
x→x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足 , 则称 函数f ( x )在点x 0处不连续 (或间断 ), 并称点 x 0为 f ( x )的不连续点(或间断点).
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5. 间断点的分类 (1) 跳跃间断点 如果f ( x )在点x 0处左, 右极限都
记作 lim f ( x ) = ∞ (或 lim f ( x ) = ∞ ).
x → x0 x →∞
无穷小与无穷大的关系 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大. 零的无穷小的倒数为无穷大.
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无穷小的运算性质 定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 仍是无穷小 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 推论 在同一过程中 有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 乘积是无穷小 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论 有限个无穷小的乘积也是无穷小
∆x→0
末就 函数f (x)在 x 0 连 , 0 称为f (x)的 称 那 点 续x 连 点 续 .
定义2 lim f ( x) = f ( x0 ).
x→x0
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2. 单侧连续
若函数 f ( x )在(a , x 0 ]内有定义 , 且f ( x 0 − 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处左连续; 若函数 f ( x )在[ x 0 , b )内有定义 , 且f ( x 0 + 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处右连续 .
大学高数第一章例题
2
解
x
lim
1 x
0,
| arctan
x |
- 12 -
2
. lim
a rcta n x x
x
0
习题课（一）
(3)
第 一 章 函 数 极 限 连 续
lim
sin 2 x x 2 2
x 0
解
原式
lim
(
x 2
2 ) sin 2 x
x 0
x 22
n
lim x n
N 0,
M 0,
使得当 n
N
时， 恒有
xn M
成立, 则称 x n 是 n
时的负无穷大量
-7-
习题课（一）
(2) lim f ( x ) 2
x 3
第 一 章 函 数 极 限 连 续
0, 0,
使当
0 x 3
第 一 章 函 数 极 限 连 续
x n x n1 x n1 ,
2
证明 lim
n
xn
存在, 并求 lim 解 由于 x 1
n
xn .
2
x 0 x 0 x 0 ( 1 x 0 ),
0 x 0 1,
所以 0
x1 1 .
- 11 -
习题课（一）
(1)
第 一 章
x 8
lim
1 x 3 2
3
x
( 1 x 3 )(
1 1
1
2
解
原式
x 8
lim
1 x 3 )( 4 2 x 3 x 3 )
清华大学微积分A习题课1_多元函数极限、连续、可微及偏导)
1 ( x + y +1) x + y −1
= e2 ；
( x , y ) → (0,0)
lim ( x + y ) ln( x 2 + y 2 ) = 0.
x 2 + y 2 ln( x 2 + y 2 ) 。
提示：考虑不等式 0 ≤ ( x + y ) ln( x 2 + y 2 ) ≤ 2
y →0 x →0 x →0 y →0
x →0 y →0
例.3 f ( x, y ) =
x2 y 2 ，证明： lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y ) = 0 ，而二重极限 y →0 x →0 x →0 y →0 x 2 y 2 + ( x − y)2
lim f ( x, y ) 不存在。
证明: 存在 a > 0, b > 0, 使 a x ≤ f (x) ≤ bx . 证 明 : 由 (2) 知 f ( 0 ) = 0 满 足 不 等 式 ； 当 x ≠ 0 时 ， 因 f 连 续 ，
x 属于有界闭集 x
{y |
x 有 界 且 可 取 到 最 大 值 和 最 小 值 。 从 而 存 在 a > 0, b > 0, 使 得 y = 1} ， 故 f x
习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导）
一．累次极限与重极限
1 1 x sin + y sin , x ⋅ y ≠ 0 y x 例.1 f ( x, y ) = 0, x⋅ y = 0
两个二次极限都不存在，但二重极限 lim f ( x, y ) = 0
x →0 y →0
高等数学第1章课后习题答案(科学出版社)
第一章 函数、极限、连续习题1-11．求下列函数的自然定义域：(1)321x y x=+-(2) 1arctany x=+(3) 1arccosx y -=；(4) 313 , 1x y x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩. 解：(1)解不等式组23010x x +≥⎧⎨-≠⎩得函数定义域为[3,1)(1,1)(1,)---+∞U U ; (2)解不等式组230x x ⎧-≥⎨≠⎩得函数定义域为[U ;(3)解不等式组2111560x x x -⎧-≤≤⎪⎨⎪-->⎩得函数定义域为[4,2)(3,6]--U ; (4)函数定义域为(,1]-∞.2．已知函数()f x 定义域为[0,1]，求(cos ),()() (0)f f x f x c f x c c ++->的定义域．解：函数f要有意义，必须01≤≤，因此f 的定义域为[0,1]；同理得函数(cos )f x 定义域为[2π-,2π]22k k ππ+；函数()()f x c f x c ++-要有意义，必须0101x c x c ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，因此，（1）若12c <，定义域为：[],1c c -；（2）若12c =，定义域为：1{}2；（3）若12c >，定义域为：∅． 3．设21()1,||x a f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1||x a f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，所以 21(2)104a f a a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，22 ,>1,11(1)10 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭． 4. 证明下列不等式:(1) 对任何x R ∈有 |1||2|1x x -+-≥; (2) 对任何n Z +∈有 111(1)(1)1n n n n++>++;(3) 对任何n Z +∈及实数1a >有 111na a n--≤.证明：（1）由三角不等式得|1||2||1(2)|1x x x x -+-≥---= （2）要证111(1)(1)1n n n n++>++，即要证111n +>+= 111(1)(1)(1)11111n n n n n +++++++<=+++L 得证。
高数习题课
e −b 有无穷间断点 x =0 例7. 设函数 f (x) = (x−a)(x−1 ) 及可去间断点 x =1, 试确定常数 a 及 b . x e −b 为无穷间断点, ∴lim 解: =∞ ) x→ (x−a)(x−1 0 (x−a)(x−1 ) a lim = 即 =0 x x→ 0 1−b e −b 由此得 a = 0, b ≠1 ex −b ∵x =1为可去间断点 , ∴lim 极限存在, ) x→ x(x−1 1
1+tan x x3 ) . 例5. 求极限 lim ( x→ 1+sin x 0 1 1+tan x x3 解: 原式 = lim [1+( −1 )] 1+sin x x→ 0 1 tan x−sin x x3 = lim [1+ ] 1+sin x x→ 0
1
lim 1± f (x)]g(x) [
3
3
练习： 练习： (1) 求 lim
x→ ∞
x2 + x2 +3
4
2x− 2x −1 (2) lim(3 1−x3 −ax+b) =0 确定常数 a 及 b
x→ ∞ +
解:
原式 = lim x(3
∞ x→
x 1 ∴ lim(3 x3 −1−a+b ) =0 x x→ ∞
1 x3
−1−a+ b ) =0
习题课 函数与极限
一. 函数 1. 函数的概念 定义: x∈D
f
对应规律
y∈W={y y = f (x), x∈D }
值域
定义域
y
图形: } C ={(x, y) y = f (x), x∈D ( 一般为曲线 )
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定理 : lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
x x0
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2、无穷小与无穷大
无穷小: 极限为零的变量称为无穷小.
记作 lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
x x0 x
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
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( 3) 如果 lim k C (C 0, k 0), 就说 是是k阶的 无穷小.
8、等价无穷小的性质
定理(等价无穷小替换定理) 设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
9、极限的唯一性
x 0 1 x
某过程
lim
sin
1;
(2)
某过程
lim (1 ) e .
1
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7、无穷小的比较
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0, 就说 是比高阶的无穷小 , 记作 o( );
( 2) 如果 lim C (C 0), 就说 与是同阶的无穷小 ; 特殊地 如果 lim 1, 则称 与是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
( x , f ( x ))
x
2 y f ( x )与y f 1 ( x )的
图象对称于直线y x .
o
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6、基本初等函数
1）幂函数 y x
y ax 2）指数函数
(是常数) (a 0, a 1)
3）对数函数 y loga x 4）三角函数 y sin x;
1、函数的定义
定义 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数 集．如果对于每个数x D，变量 y 按照一定法 则总有确定的数值和它 对应，则称 y 是 x 的函数， 记作 y f ( x )．
数集 D 叫做这个函数的定义域 x 叫做自变量， ， y 叫做因变量．
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域 .
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函数的分类
代 数 函 数
有 理 函 数
有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数)
函 数
初 等 函 数
无理函数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
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2、函数的性质
(1) 单值性与多值性:
若对于每一个 x D ,仅有一个值 y f ( x ) 与之对 应,则称 f ( x ) 为单值函数,否则就是多值函数.数
o
x
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奇函数
(3) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上 任意两点 x1 x2，当 x1 x2时，恒有： 及 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的； 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
推论2
如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则 lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n .
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4、求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
函数、极限与连续
习 题 课
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一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念
（三）连续的概念
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基本初等函数
复合函数 初等函数
函 数 的定义
反函数 隐函数
函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性
双曲函数与 反双曲函数
反函数与直接 函数之间关系
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1
o
1
x
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(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x D,有 ( x l ) D .且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通 常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
x x
双曲函数常用公式
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sinh( x y ) sinh x cosh y cosh x sinh y ; cosh( x y ) cosh x cosh y sinh x sinh y ;
cosh x sinh x 1; sinh 2 x 2 sinh x cosh x ;
2 2
cosh 2 x cosh x sinh x .
2 2
反双曲正弦 y arsinh x ; 反双曲余弦 y ar cosh x ; 反双曲正切 y artan x ;
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数列极限
lim x n a
n x
函
数
极
x x0
限
无穷大
lim f ( x )
记作 lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x x0 x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
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无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
定理 若lim f ( x ) 存在,则极限唯一.
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连
x 0
续
定
义
lim y 0
x x0
lim f ( x ) f ( x 0 )
间断点定义
左右连续
在区间[a,b] 上连续 非初等函数 的连续性
连续的 充要条件
连续函数的 运算性质 初等函数 的连续性
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第一类 第二类 可跳 去跃 间间 断断 点点 无振 穷荡 间间 断断 点点
连续函数 的 性 质
1、连续的定义
定义1 设函数 f ( x ) 在点x 0 的某一邻域内有定义, 如果当自变量的增量 x 趋向于零时,对应的函数 的增量y 也趋向于零,即
x x0
" " 定义 0, 0, 使当0 x x 0 时,
恒有 f ( x ) A .
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左极限 0, 0, 使当x 0 x x 0时,
恒有 f ( x ) A .
记作 lim f ( x ) A 或
y f [( x )]为x 的复合函数.
8、初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
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9、双曲函数与反双曲函数
e e 双曲正弦 sinh x 2 x x e e 双曲余弦 cosh x 2 sinh x e x e x 双曲正切 tanh x x cosh x e e x
x x0 0 ( x x0 )
f ( x 0 0) A.
右极限
0, 0, 使当x 0 x x 0 时, 恒有 f ( x ) A .
f ( x 0 0) A.
记作 lim f ( x ) A 或
x x0 0 ( x x0 )
定义 2
如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ,使得对于适合不等式0 x x 0 的 一切 x ,对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式
f ( x) A , 那末常数A 就叫函数 f ( x ) 当 x x 0 时的极限,记作 lim f ( x ) A 或 f ( x ) A(当 x x 0 )
lim f ( x ) A
lim f ( x ) A
两者的 关系
极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则
左右极限
无穷小的比较
无穷小
lim f ( x ) 0
两个重要 极限
等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
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1、极限的定义
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切x n ,不
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3、极限的性质
定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B 推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限.
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5、判定极限存在的准则
准则Ⅰ′ 如果当 x U ( x 0 , r ) (或 x M )时,有
0
(1) g ( x ) f ( x ) h( x ), ( 2) lim g ( x ) A, lim h( x ) A,