杆件的应力
杆件的应力
σ
B A
D
C
E
O
ε
1. 弹性阶段 OAB：这一阶段可分为：斜直线 和微弯曲 ：这一阶段可分为：斜直线OA和微弯曲
线AB，该段范围内，试件变形是弹性的，卸载后变形可完全恢复。 ，该段范围内，试件变形是弹性的，卸载后变形可完全恢复。 去外力后变形完全消失的性质称为弹性
σ
D
B A
C
E
O
ε
1.OB段：弹性阶段 段
一、薄壁圆筒的扭转 等厚度的薄壁圆筒,平均半径为 壁厚为 等厚度的薄壁圆筒 平均半径为 r,壁厚为 t
壁厚t<<r
m 薄壁圆筒扭转试验
m
预先在圆筒的表面画上等间距 的纵向线和圆周线， 的纵向线和圆周线，从而形成 一系列的正方格子。 一系列的正方格子。 观察到的现象 圆周线保持不变； 圆周线保持不变；纵向线发生倾斜 设想 薄壁圆筒扭转后，横截面保持为大小均无改变的平面， 薄壁圆筒扭转后，横截面保持为大小均无改变的平面，相邻 两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。 两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。
标准试件 标距 l，通常取 l
= 5d
或l
= 10 d
夹头
夹头
液压式万能试验机 活塞
油管
活动试台
底座
低碳钢——含碳量在0.3%以下的碳素钢。 (I)低碳钢Q235(A3钢)试件的拉伸图：
（P— ∆L) 曲线——拉伸图 P
D B A
C
E
O
∆l
P
σ
P A
∆l
ε ∆l
l
（Ⅱ）低碳钢 Q 235 的应力—应变图（ σ−ε ）曲线
二、剪应力互等定理
纯剪切：单元体上只有 剪应力而无正应力。
《工程力学》第四章 杆件的应力与强度计算
正应力均匀分布 F
FN
4.应力的计算公式：
拉压杆横截面上各点处只产生正应力，且正应力在截面上均匀分布 。
F
FN
A
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。
FN
式中：
为横截面上的正应力； FN为横截面上的轴力； A为横截面面积。
解:作出砖柱的轴力图 AB段柱横截面上的正应力
BC段柱横截面上的正应力 最大工作应力为
二、轴向拉压杆斜截面上应力的计算
1.斜截面上应力确定
(1) 内力确定：
F
F
FNa= F
(2)应力确定：
F
①应力分布——均布 ②应力公式——
F
a
x
a
FNa
pa FNa
pa
FNa Aa
F A
F cosa cosa
b
问题：正应变是单位长度的线变形量？
三、应力与应变关系(胡克定律 )
一点的应力与该点的应变之间存在对应的关系。
1.单向受力试验表明：在正应力作用下，材料沿应
力作用方向发生正应变，若在弹性范围内加载，正
应力与正应变存在线性成正比：
E ——胡克定律
E 称为材料的弹性模量或杨氏模量。 钢的弹性模量： E 200 GPa 铜的弹性模量： E 120 GPa
直角的改变量。
切应变的特点：
1.切应变为无量纲量;
2.切应变单位为弧度（rad）。
K 3.单元体受力最基本、最简单的两种形式:
单向应力状态：单元体仅在一对互相平行的截面上承受正应力； 纯剪切应力状态：单元体仅承受切应力。
正应变与切应变：
机械基础——第三章第三节 杆件的应力及强度计算
2、挤压强度条件
挤压应力：由挤压力产生的应力。 设挤压力为Fjy，挤压面积为Ajy，则挤压应力为：
式中：σiy——平均挤应力，单位MPa；
Fjy——受压处的挤压力，单位N；
Ajy——挤压面积，单位mm2。 为了保证联接件具有足够的挤压强度而正常工作，其强度条件为 ：
例：如图所示，拖车挂钩靠销钉连接。已知挂钩部分的钢板厚度 δ＝8 mm，销钉材料的许用剪切应力[τ]＝60 MPa，许用挤压 应力[σiy]＝100 MPa， 拖力F＝15 KN。试设计销钉的直径d。
（2）强度条件校核：
FN 4 A
p( D 2 d 2 )
4 32.7(MPa)
d2
p( D 2 d 2 ) 2 (752 182 ) 2 d 182
32.7MPa
所以，活塞杆的强度足够。
思 考 题 P.76
3
（二）剪切与挤压强度计算 1、剪切强度
2 2 FN pA D d ) 1 p( 4 4
例3-4 某铣床工作台进给油缸如图所示，缸内工作油压p＝ 2MPa，油缸内径D＝75mm，活塞杆直径d＝18mm，已知活 塞杆材料的许用应力[σ]＝50MPa，试求校核活塞杆的强度。 解：（1）活塞的轴力：
2 2 FN pA D d ) 1 p( 4 4
复习提问
1、轴向拉压时的内力是轴力，轴力的正负是如何规定的？
FN F
轴力离开截面为正，反之为负。计算时先以正向假设。
复习提问
2、轴扭转时的内力是什么？内力的正负号如何确定？ 扭转轴的内力称为扭矩，用T表示。 正负用右手螺旋定则确定。
T
_
指向截面
计算时先以正向假设。
建筑力学大纲 知识点第六章 杆件的应力与强度计算
第6章 杆件的应力与强度计算6.1 轴向拉压杆的应力与强度计算6.1.1 应力的概念为了分析内力在截面上的分布情况，从而对杆件的强度进行计算，必须引入应力的概念。
图6-1（a ）所示的受力体代表任一受力构件。
pc)F图6-1由于截面上内力的分布一般不是均匀的，所以平均应力m p 与所取小面积A ∆的大小有关。
令A ∆趋于零，取极限0limA Fp A∆→∆=∆ (b)6.1.2轴向拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的内力为轴力N F ，与轴力N F 对应的应力为正应力σ。
NF Aσ=(6-1) 式（6-1）就是轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。
6.1.3轴向拉压杆的强度条件 1.强度条件材料所能承受的应力值有限，它所能承受的最大应力称为该材料的极限应力，用u σ表示。
材料在拉压时的极限应力由试验确定。
为了使材料具有一定的安全储备，将极限应力除以大于1的系数n ，作为材料允许承受的最大应力值，称为材料的许用应力，以符号[]σ表示，即u []nσσ=(6-2)式中n 称为安全系数。
为了确保拉压杆不致因强度不足而破坏，应使其最大工作应力max σ不超过材料的许用应力，即Nmax F Aσ=≤[]σ (6-3) 2.强度条件的三方面应用(1) 强度校核：杆件的最大工作应力不应超过许用应力，即Nmax F Aσ=≤[]σ (2) 选择截面尺寸 ： 由强度条件式（6-3），可得A ≥N[]F σ 式中A 为实际选用的横截面积，(3) 确定许用荷载： 由强度条件可知，杆件允许承受的最大轴力N []F 的范围为N F ≤[]A σ6.2材料在轴向拉压时的力学性质在计算拉压杆的强度与变形时，要涉及材料的极限应力u σ和弹性模量E 等，这些反映材料在受力过程中所表现出的有关性质，统称为材料的力学性质。
6.2.1低碳钢在拉伸时的力学性质1．拉伸图与应力-应变曲线将试件装入试验机的夹头后启动机器，使试件受到从零开始缓慢增加的拉力F 作用，试件在标距l 长度内产生相应的变形l ∆。
杆件正应力怎么求计算公式
杆件正应力怎么求计算公式杆件正应力的计算公式。
在工程力学中，杆件正应力是指在杆件内部由外部加载引起的正向拉伸或压缩应力。
正应力的计算是工程设计中非常重要的一部分，它可以帮助工程师确定杆件是否能够承受外部加载，并且可以帮助工程师选择合适的材料和尺寸来设计结构。
杆件正应力的计算公式可以通过简单的力学原理推导得出。
在这篇文章中，我们将介绍杆件正应力的计算公式，并且讨论一些实际应用中的例子。
杆件正应力的计算公式可以表示为：σ = P / A。
其中，σ表示杆件的正应力，P 表示施加在杆件上的外部力，A 表示杆件的横截面积。
这个公式的推导可以通过简单的力学原理来进行。
当一个外部力 P 作用在杆件上时，杆件内部会产生一个与外部力方向相反的内部应力。
根据牛顿第三定律，这个内部应力的大小与外部力的大小相等，方向相反。
而杆件的横截面积 A 则可以用来表示内部应力的分布情况。
因此，杆件的正应力可以表示为外部力 P 与横截面积 A 的比值。
在实际应用中，杆件正应力的计算可以通过这个简单的公式来进行。
例如，当一个钢杆承受一个拉力时，我们可以通过测量钢杆的横截面积和外部拉力来计算钢杆的正应力。
这个计算可以帮助工程师确定钢杆是否能够承受这个拉力，并且可以帮助工程师选择合适的钢材来设计结构。
除了上面提到的简单拉力的情况，杆件正应力的计算公式也可以应用在其他复杂的情况中。
例如，在梁的设计中，梁的横截面积不是均匀的，因此我们可以通过积分的方法来计算梁的正应力分布。
这个计算可以帮助工程师确定梁在不同位置的正应力大小，并且可以帮助工程师选择合适的梁的尺寸和材料来设计结构。
除了简单的拉力和梁的设计，杆件正应力的计算公式也可以应用在其他工程结构的设计中。
例如，在桥梁的设计中，我们可以通过计算桥梁的正应力来确定桥梁的承载能力，并且可以帮助工程师选择合适的桥梁的尺寸和材料来设计结构。
总之，杆件正应力的计算公式是工程设计中非常重要的一部分。
通过这个简单的公式，工程师可以确定杆件是否能够承受外部加载，并且可以帮助工程师选择合适的材料和尺寸来设计结构。
【土木建筑】04杆件的应力、强度和刚度
I 2 dA
A
dA 2π d
I dA
2 A
R
0
πR4 πD4 2π d 2 32
2
由于 I I z I y ，圆截面对任意通过圆心的轴对称，所以 I z I y 3.13
iz iy
Iz A
πD 4 64
πD 2 D R 4 4 2
第4章
可得：
杆件的应力、强度和刚度
截面的几何性质
πD4 Iz I y I / 2 64
iz iy Iz A πD 4 64 πD 2 D R 4 4 2
(3) 计算惯性半径
(4) 计算抗弯截面模量：
W
I ymax
πD 4 64 πD3 D2 32
2 A b 2 b 2
图4.6 矩形截面
b3 h z bdx 12
2
(2) 计算矩形截面对z轴和y轴的惯性半径：
iz Iz bh3 /12 h h A bh 12 2 3
iy
Iy
b3 h /12 b b A bh 12 2 3
3.12
第4章
杆件的应力、强度和刚度
图4.8 惯性矩的平行移轴
第4章
杆件的应力、强度和刚度
截面的几何性质
z zc b
y yc a
根据惯性矩定义，图形对z轴的惯性矩为：
I zc yc2 dA ( yc a)2dA yc2dA 2a yc dA a 2 dA
A A A A A
式中：
yc
图4.2 矩形截面
Ay
i 1 i
n
ci
杆件横截面上的应力
F
F:横截面上的轴力 A：横截面的面积
拉压杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面----是指任意方位的截面。
F
F
F
①全应力：
②正应力：
③切应力：
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
在上下边缘处：
y = 0，
b
h
max
图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三点处的切应力。 作出剪力图 各点处的切应力
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
二、工字形截面梁的切应力
横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5) ％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.
主应力及最大切应力
①切应力等于零的截面称为主平面 由主平面定义，令tα =0
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
②令
得：
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
④由s１、s３、0按代数值大小排序得出：s1≥0≥s3
极值切应力：
①令：
②
可求出两个相差90o 的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
C
A
B
40
yc
FS
_
+
M
0.25
0.5
+
_
平面应力状态的应力分析 主应力
一、公式推导：
工程力学中的杆件和梁的应力分析
工程力学中的杆件和梁的应力分析工程力学是工程学科的重要分支之一，它研究物体在受力作用下的力学性质。
在工程实践中，杆件和梁是常见的结构构件，其应力分析是工程设计和计算的基础。
本文将从杆件和梁的应力分析角度探讨工程力学中的相关知识。
一、杆件的应力分析杆件是一种细长的结构构件，承受轴向力的作用。
在杆件的静力学中，应力是一个重要参数，用于描述杆件内部受力的强度和稳定性。
杆件的应力可以分为正应力和切应力。
1. 正应力正应力是指垂直于杆件截面的作用力在该截面上的单位面积，通常用σ表示。
正应力的计算可以使用公式：σ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。
正应力可以分为拉应力和压应力两种情况。
当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向一致时，称为拉应力。
拉应力是正值，表示杆件受拉的状态。
当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向相反时，称为压应力。
压应力是负值，表示杆件受压的状态。
2. 切应力切应力是指杆件截面上作用力的切向力与该截面上的单位面积之比，通常用τ表示。
切应力的计算可以使用公式：τ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。
切应力主要存在于杆件的连接部分，例如螺纹连接、焊接连接等。
切应力会引起杆件的剪切变形和破坏，需要在设计过程中加以考虑。
二、梁的应力分析梁是一种用于承受弯曲力的结构构件，具有横截面的特点。
在梁的应力分析中，主要考虑的是弯矩和截面弯曲应力。
1. 弯矩弯矩是指作用在梁上的力对其产生的弯曲效应。
在工程实践中，梁通常是直线形状，因此弯矩在横截面上呈现出分布的特点。
弯矩可以通过力学平衡和弹性力学原理进行计算。
弯矩的大小与力的大小和作用点的位置有关，计算公式为：M = F * d其中，M为弯矩，F为作用力的大小，d为作用点到梁的某一端的距离。
2. 截面弯曲应力截面弯曲应力是指由于弯曲效应，在梁的横截面上产生的应力。
截面弯曲应力的大小与弯矩和横截面的几何形状有关，计算可以使用弯曲应力公式进行。
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的内外直径之比 = 0.5。二轴长
度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
实心轴
Mx
T
9549
P n
9549 7.5 100
716.2N m
max1
MT x
WP1
16MT x
§6-4 圆轴扭转切应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力
变形几何关系 从三方面考虑：物理关系
静力学关系
1.变形几何关系
观察到下列现象: (1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距
离没有变化 (2)纵向线仍为直线, 但都倾斜了同一角度γ （3）表面方格变为平行四边形。
平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它
mn
a
a
b
b
mn
M
M
根据观察，梁变形后： 1. 侧面上的两纵向线 aa ， bb 弯成弧线； 2. 横向线 mm , nn 仍为直线，但相对转了一个角度且
与弯曲后的 aa ，bb垂直； 3. 靠近底面的纵线 bb 伸长，而靠近顶面的纵线 aa 缩短；
mn
a
a
b
b
mn
(a)
M
m
a
b m
M
n a b n
所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 剪应力
dA dA
dA dA M dA Q dA Q dA M
M Q
在横截面上，只有法向内力元素dN=σdA才能 合成弯矩M，只有切向内力元素dQ=τdA才能 合成剪力Q
6.5 梁的弯曲正应力
1.纯弯曲的概念
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
d
dx rd
r d
dx
在圆轴表面 r d
dx
横截面上距形心为的任一点处应变
dx d
d
dx
2. 物理关系
根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时
G
G d
dx
剪应力方向垂直于半径
3.静力学关系
dA
dA T
A
A
G
d
(b)
梁在纯弯曲时的平面假设：
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面， 并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一 轴旋转了一个角度。
再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间 互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或 受压的状态。
推论： 梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，
下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既 不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤 维层称为中性层。
上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算：
1）由于中性轴z的位置未确定，故y无法标定； 2）式中未知，（若已知M，与M有何关系？）
三、静力学关系 设中性轴为z
N dA 0
A
M y z dA 0
A
Mz y dA M
A
y
z dA
N dA 0
A
A
E
y
dA
0
E
A
ydA
0
ydA Sz yc A 0 中性轴Z必过截面形心
d /2
d /2
I p 2dA 2 2 d 2 3d
A
2
d 2
4
0
d
4
4 32
0
d
Wp
Ip
max
Ip d
d3
16
o
2
对于空心圆，外径为D，内径为d
I p
2dA
A
D/2
22
d /2
d
(D4 d 4)
32
D4 (1 4 )
32
Wp
Ip
max
Ip D
2
D3 (1 4 )
中性层与横截面的交线称为中性轴
横截面的 对称轴
横截面
中性层
中性轴
C d
O
O
dx
中性层
中性轴
中性层
将梁的轴线方向取为 x 轴， 横截面的对称轴取为 y 轴， 中性轴取为 z 轴。
Z
O
x
y
C d
O
O
dx
纯弯曲梁的正应力
二、物理关系
胡克定理 E
E y
目录
二、物理关系
E
E
y
正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的 正应力为零
作用于物体某一局部区域内的外力系，可 以用一个与之静力等效的力系来代替。而两力 系所产生的应力分布只在力系作用区域附近有 显著的影响，在离开力系作用区域较远处，应 力分布几乎相同
应力集中的概念
• 在局部区域应力突然增大的现象，称 为应力集中。
横截面上的最大应力max与平均应力n 的比值称为应力集中系数，以K表示。
dx
dA
T
dA
o
G
d
dx
2dA
T
A
令 I p 2dA
A
I p 2dA 极惯性矩
A
则 d T
dx G I p
d T
dx G I p
G
d
dx
G T
GIp
T
Ip
max
T max
Ip
T Wp
Wp
I p 抗扭截面模量
max
T I
p
max
T Wp
max
max
下面求极惯性矩I p 和抗扭截面模量Wt
解：（1）作弯矩图，求最大弯矩 梁的弯矩图如图5-8b所示，由图知 梁在固定端横截面上的弯矩最大，
其值为
M ql 2 600012 3000N m
max
2
2
（2）求最大应力
因危险截面上的弯矩为负，故截 面上缘受最大拉应力，其值为
在截面的下端受最大压应力，其值 为
T max
M max Iz
y1
解：
A
TA
Ip
1000 0.015 0.044 (1 0.54 )
63.66MPa
32
max
T Wp
1000
0.043 (1 0.54 )
84.88MPa
16
min
max
10 20
42.44 MPa
圆轴扭转时截面上的应力计算
例2：在最大切应力相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆
剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上, 剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同 时指向或背离两平面的交线。
G
其中，比例常数G 称为切变模量。常用单位GPa
剪切弹性模量G 材料常数：拉压明:E、G、μ 三个弹 性常数之间存在着如下关系
G E
2(1 )
3000 25.6 108
0.0152
178106 Pa 178MPa
C max
M max Iz
y2
3000 25.6 108
0.0328
385106 Pa 385MPa
惯性矩的计算 一、简单截面的惯性矩的计算
矩形：
dy
I z
y 2dA
A
y
h/2
y2bdy
h / 2
bh 3
Iy
2Iz
d 4
32
Iz
Iy
Iz 2
d 4 )
64
圆环：
I y I z I z大 I z小
D4 d 4
64 64
D4 (1 4 )
64 其中 d
D
y
x d D
bh3 I Z 12
W bh2 6
d4
I Z 64
W d3
32
IZ
(D4 d 4)
64
D4
64
(1 4 )
2.纯弯曲时的正应力 变形几何关系
从三方面考虑： 物理关系 静力学关系
一、变形几何关系 用较易变形的材料制成的具有对称截面(如
矩形截面)等直梁作纯弯曲试验:
几何方面 取纯弯曲梁来研究。梁的任一横截面上只有弯矩M。梁 在加载前先在其侧面上画两条相邻的横向线 mm 和 nn , 并在两横向线间靠近顶面和底面处分别画两条纵向线 aa 和 bb 。
胡克定律
• 实验结果表明，在弹性范围内加载（应力 小于某一极限值）
E
和
G
E 弹性模量（或杨氏模量）
G 切变模量
E
G
6.3轴向拉压时的正应力
F
F
平面假设：变形前为平面的横截面变 形后仍为平面
平面假设——轴向变形均匀分布
1)只有轴向正应力 2)正应力在横截上均匀分布
FN
A
圣维南(Saint Venant)原理：
EI z
正应力计算公式：
My
Iz
1）沿y轴线性分布，同一 坐标y处，正应力相等。中 性轴上正应力为零。
2）中性轴将截面分为受 拉、受压两个区域。
3）最大正应力发生在距 中性轴最远处。
横截面上的最大正应力：
t
M y1 IZ
,
c
M y2 IZ
当中性轴是横截面的对称轴时：
y1 y2 ymax
t c max
max
M ymax IZ
M W
W Iz ym ax
W 称为抗弯截面模量
公式适用条件： 1）符合平面弯曲条件（平面假设， 横截面具有一根对称轴） 2）p(材料服从虎克定律）
例 图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度q=6kN/m； 梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大 拉应力和最大压应力。