必修2直线与圆典型题型总结
直线与圆(典型例题和练习题)
直线与圆1.本单元知识点本单元的学习重点包括：直线的斜率、直线的方程、直线与直线的位置关系，圆的方程、圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，直线与圆的距离问题，其中直线与圆的位置关系是高考热点.2.典型例题选讲例1. 过点M （0,1）作直线，使它被两直线082:,0103:21=-+=+-y x l y x l 所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线的方程.说明：直线方程有三种基本形式：点斜式、两点式、一般式，求直线方程时应根据题目条件灵活选择，并注意不同形式的适用范围. 如采用点斜式，需要注意讨论斜率不存在的情况. 例2.已知圆0822:221=-+++y x y x C 与圆024102:222=-+-+y x y x C 交于A,B 两点.（1）求直线AB 的方程；（2）求过A 、B 两点且面积最小的圆的方程.说明：应用两圆相减求两圆公共弦的方法，可避免通过求两个交点再求公共弦方程. 另外，在求解与圆有关的问题时，应注意多利用圆的相关几何性质，这样利于简化解题步骤.例3.若过点A （4,0）的直线l 与曲线1)2(22=+-y x 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围. （一题多解）说明：直线与圆的位置关系问题，可以从几何和代数两方面入手. 相切问题应抓住角度问题求斜率；相交问题应抓住半径r 、弦心距d 、半弦长2l 构造的直角三角形使问题简化. 例4.设定点M （－3,4），动点N 在圆422=+y x 上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹.说明：轨迹方程在必修2第122页有例题，求动点的轨迹方程要特别注意考虑轨迹与方程间的等价性，有时求得方程后还要添上或去掉某些点.3.自测题选择题：1.过点A （1，-1）且与线段)11(0323≤≤-=--x y x 相交的直线的倾斜角的取值范围是（ ）A. ]2,4[ππ B. ],2[ππ C. ],2[]4,0(πππ D.),2[]4,0[πππ2.若直线02)1(2=-++ay x a 与直线012=++y ax 垂直，则=a （ ）A.-2B.0C.-1或0D.222±3.若P （2,1）为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. 03=--y xB.032=-+y xC.03=-+y xD.052=--y x4.已知圆1)3()2(:221=-+-y x C ，圆9)4()3(:222=-+-y x C ，M ，N 分别是圆上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM +的最小值为（ ）A. 425-B.117-C.226-D.175.已知)3,0(),0,3(B A -，若点P 在0222=-+x y x 上运动，则PAB ∆面积的最小值为（ ）A.6B. 26C. 2236+D.2236-6.曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A. )125,0(B.),125(+∞C. ]43,31(D.]43,125(填空题：7.圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦长为32，则圆C 的标准方程为______________8.若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ax y x 的公共弦长为32，则=a _______9.设圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为P(3,1),则直线AB 的方程为_____________10.已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PA 、PB 是圆012222=+--+y x y x 的两切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 的面积的最小值为__________解答题：11. 在ABC ∆中，)1,3(-A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为059106=-+y x ，B ∠的平分线BT 的方程为0104=+-y x .(1)求顶点B 的坐标； (2)求直线BC 的方程.12.已知点)3,2(--P ，圆9)2()4(:22=-+-y x C ，过P 点作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B.(1)求过P 、A 、B 三点的圆的方程；(2)求直线AB 的方程.。
高中数学必修2直线与圆常考题型：两直线的交点坐标、两点间的距离(教师版)
两直线的交点坐标、两点间的距离【知识梳理】1．两直线的交点坐标23．(1)公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．【常考题型】题型一、两条直线的交点问题【例1】 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.【类题通法】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 【对点训练】1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.题型二、直线恒过定点问题【例2】 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点．【类题通法】解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．【对点训练】2．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．题型三、两点间距离公式的应用【例3】已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形．【类题通法】1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．2．解答本题还要注意构成三角形的条件．【对点训练】3．已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．【练习反馈】1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐标为()A．(－4，－3)B．(4,3)C．(－4,3) D．(3,4)2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为()A．1 B．－5C．1或－5 D．1－或53．设Q(1,3)，在x轴上有一点P，且|PQ|＝5，则点P的坐标是________．4．若p，q满足p－2q＝1，直线px＋3y＋q＝0必过一个定点，该定点坐标为________．5．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.题型一、两条直线的交点问题【例1】 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－103，y ＝143.所以l 1与l 2相交，且交点坐标为⎝⎛⎭⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合．(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2. 【类题通法】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 【对点训练】1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：(1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，①2x ＋2y ＋3＝0，②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2.题型二、直线恒过定点问题【例2】 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边＝(m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5.故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上， 即直线恒过点P (9，－4)．法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.所以不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)． 【类题通法】解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．【对点训练】2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k ＝2－2＝－1，直线方程为y ＝－x ，一般式为x ＋y ＝0.法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )， 即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0. 将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1， ∴l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.题型三、两点间距离公式的应用【例3】 已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直角三角形． [证明] 法一：∵|AB |＝(5－1)2＋(3－1)2＝25，|AC |＝(0－1)2＋(3－1)2＝5， 又|BC |＝(5－0)2＋(3－3)2＝5，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形．法二：∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．【类题通法】1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 2．解答本题还要注意构成三角形的条件． 【对点训练】3．已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值． 解：设所求点P (x,0)，于是由|P A |＝|PB |得(x ＋1)2＋(0－2)2＝(x －2)2＋(0－7)2，即x 2＋2x ＋5＝x 2－4x ＋11，解得x ＝1. 所以，所求P 点坐标为(1,0)，|P A |＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.【练习反馈】1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点的坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3)D ．(3,4)解析：选C 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5 D ．1－或5解析：选C ∵|AB |＝(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5，∴a ＝－5或a ＝1.3．设Q (1,3)，在x 轴上有一点P ，且|PQ |＝5，则点P 的坐标是________． 解析：由题意设P (a,0)，则|PQ |＝(a －1)2＋(0－3)2＝5，解得a －1＝±4，即a ＝5或－3.故点P 的坐标是(5,0)或(－3,0)．答案：(5,0)或(－3,0)4．若p ，q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，该定点坐标为________． 解析：因为p ＝2q ＋1代入整理：(2x ＋1)q ＋3y ＋x ＝0对q 为一切实数恒成立，即2x ＋1＝0，且3y ＋x ＝0，所以x ＝－12，y ＝16.答案：⎝⎛⎭⎫－12，16 5．分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程． (1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2， ∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1) 即：2x －y －1＝0. (2)若直线与l 2垂直， ∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴y －1＝－23(x －1)即：2x ＋3y －5＝0.。
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆的位置关系》
4．2.1 直线与圆的位置关系1．知道直线与圆的位置关系的分类．2．能根据方程，判断直线和圆的位置关系． 3．能够解决有关直线和圆的位置关系的问题．直线A x ＋B y ＋C ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系及判断【做一做】 直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)＋(y ＋1)＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交答案：两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 【做一做】 D代数法与几何法的比较剖析：代数法的运算量较大，几何法的运算量较小，并且也简单、直观．受思维定式的影响，看到方程就想解方程组，自然就想到代数法．【例】 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a 的取值范围．解法一：(代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8a x ＋a 2－900＝0.则Δ＝(8a)2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000.①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a 2＋90 000＞0，解得－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0，解得a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0，解得a ＜－50或a ＞50. 解法二：(几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10，则圆心到直线4x －3y ＋a ＝0的距离d ＝|a|32＋42＝|a|5.①当直线和圆相交时，d<r ，即|a|5<10，所以－50＜a ＜50；②当直线和圆相切时，d ＝r ，即|a|5＝10，所以a ＝50或a ＝－50；③当直线和圆相离时，d>r ，即|a|5>10，所以a ＜－50或a ＞50.处理直线与圆的位置关系的代数法和几何法，都具有普遍性，都要熟练掌握．由这两种解法可看到，几何法比代数法运算量要小，也比较简单、直观．题型一：直线与圆的相交问题【例1】 过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，如果|AB|＝8，求直线l 的方程．反思：(1)讨论直线与圆的相交问题时，通常情况下不求出交点坐标．利用半径、半弦和弦心距组成的直角三角形，由勾股定理能解决弦长问题．(2)解答本题时易出现漏掉x ＋4＝0的错误结果，导致这种错误的原因是对直线点斜式方程存在的条件理解不透，从而思维不严密，分类不完整．题型二：直线与圆的相切问题【例2】 求经过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程．反思：解决直线与圆的相切问题时，通常利用圆心到切线的距离等于半径来解决．答案：【例1】 解：将圆的方程配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l 的距离d ＝(25)2－⎝⎛⎭⎫822＝3.当l 的斜率不存在时，x ＝－4满足题意．当l 的斜率存在时，设方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.由点到直线的距离公式，得3＝|－k －2＋4k |1＋k 2，解得k ＝－512.所以直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋4＝0或5x ＋12y ＋20＝0.【例2】 解：(1)当直线斜率不存在时，其方程为x ＝1，不与圆相切；(2)当直线斜率存在时，设斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)，即kx －y －k －7＝0.∴|－k －7|k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43或k ＝－34.∴所求切线方程为y ＋7＝43(x －1)或y ＋7＝－34(x －1)，即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.1．(2011·山东济南一模)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－683．直线l：3x－4y－5＝0被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为__________．4．(2011·北京丰台高三期末)过点(－3,4)且与圆(x－1)2＋(y－1)2＝25相切的直线方程为__________．5．已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x－3y＝0上，且在直线l2：x－y＝0上截得的弦长为C的方程．答案：1．A 2.B 3.4 4.4x－3y＋24＝05．解：∵圆心C在直线l1：x－3y＝0上，∴可设圆心为C(3t，t)．又∵圆C与y轴相切，∴圆的半径为r＝|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形，可得2＋2＝|3t|2，解得t＝±1.∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。
高中数学必修2直线与圆常考题型：倾斜角与斜率
倾斜角与斜率【知识梳理】1.倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．如图所示，直线l 的倾斜角是∠APx ，直线l ′的倾斜角是∠BPx .2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.3．倾斜角与直线形状的关系的正切值叫做这条直线的斜率．即k ＝tan_α.5．斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时，直线P 1P 2没有斜率．6．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度． 【常考题型】题型一、直线的倾斜角【例1】 (1)若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°(2)下列说法中，正确的是( )A ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0D ．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α[解析] (1)如图，直线l 有两种情况，故l 的倾斜角为60°或120°.(2)对于A ，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B ，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C ，当直线平行于x 轴时，α＝0°，sin α＝0，故C 不正确，故选D.[答案](1)D(2)D【类题通法】求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.【对点训练】1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()A．[0°，90°)B．[90°，180°)C．(90°，180°) D．(0°，180°)解析：选C直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是(90°，180°)．2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°解析：选D当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角是α＋45°.当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°，故应选D.题型二、直线的斜率【例2】(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________；(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．[解析](1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，又k ＝－3－y 2－4，由－3－y 2－4＝－1，得y ＝－5. (2)由斜率公式k ＝4－m m ＋2＝1，得m ＝1. (3)当m ＝3时，直线AB 平行于y 轴，斜率不存在．当m ≠3时，k ＝－2－1m －3＝－3m －3＝1，解得m ＝0. [答案] (1)－5 (2)1 (3)0【类题通法】利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．【对点训练】3．若直线过点 (1,2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 设直线的倾斜角为α，直线斜率k ＝(2＋3)－24－1＝33， ∴tan α＝33. 又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.题型三、直线的斜率的应用【例3】 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求y x的最大值和最小值． [解] 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x的最大值为2，最小值为23.【类题通法】根据题目中代数式的特征，看是否可以写成y 2－y 1x 2－x 1的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．【对点训练】4．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围． 解：y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率． ∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16， ∴－16≤y ＋1x ＋1≤53. ∴y ＋1x ＋1的取值范围为[－16，53]． 【练习反馈】1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是( )A ．任一直线都有倾斜角，都存在斜率B ．倾斜角为135°的直线的斜率为1C ．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan αD ．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)解析：选D 任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以A 、C 错误；倾斜角为135°的直线的斜率为－1，所以B 错误；只有D 正确．2．已知经过两点(5，m )和(m,8)的直线的斜率等于1，则m 的值是( )A ．5B ．8 C.132 D ．7解析：选C 由斜率公式可得8－m m －5＝1，解之得m ＝132. 3．直线l 经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角为________．解析：k l ＝1－0－1－0＝－1， 因此倾斜角为135°.答案：135°4．已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，实数a 的值为________． 解析：∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即53－a ＝9a ＋75，∴a ＝2或29. 答案：2或295．已知A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，求m 的值．解：由题意直线AC 的斜率存在，即m ≠－1.∴k AC ＝(－m ＋3)－4m ＋1，k BC ＝(m －1)－42－(－1). ∴(－m ＋3)－4m ＋1＝3·(m －1)－42－(－1). 整理得：－m －1＝(m －5)(m ＋1)，即(m ＋1)(m －4)＝0，∴m ＝4或m ＝－1(舍去)．∴m ＝4.。
高中数学必修2直线与圆常考题型：两条直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定【知识梳理】1．对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.2．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.【常考题型】题型一、两条直线平行的判定【例1】 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行．(1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)；(2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)；(3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)；(4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5)．[解] (1)由题意知，k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，又k BC ＝5－(－3)－3－3＝－43≠－45，故l 1∥l 2. (2)由题意知，k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，k FG ＝4－(－1)3－(－2)＝1，故直线l 1与直线l 2重合．(3)由题意知，k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合．(4)由题意知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2.【类题通法】判断两条不重合直线是否平行的步骤【对点训练】1．试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行．解：由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．k AB＝m－0－5－(m＋1)＝m－6－m，k CD＝5－30－(－4)＝12，由于AB∥CD，即k AB＝k CD，所以m－6－m＝12，得m＝－2.经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.题型二、两条直线垂直的问题【例2】已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值．[解]设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，∴l2的斜率存在．当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意．当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0，由k1·k2＝－1，得－3－aa－2－3·a－2－3－1－2＝－1，解得a＝－6.综上可知，a的值为5或－6.【类题通法】使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1·k2＝－1.【对点训练】2．已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A、B为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．解析：以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x,0)，则k AC＝－3x＋1，k BC＝－2x－4，所以－3x＋1·－2x－4＝－1，得x＝1或2，所以C(1,0)或(2,0)．答案：(1,0)或(2,0)题型三、平行与垂直的综合应用【例3】 已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．[解] 由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得k AB ＝5－32－(－4)＝13， k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3， k BC ＝3－56－2＝－12. 所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，所以AB ∥CD .由k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行．又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1， 所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．【类题通法】1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．2．证明两直线平行时，仅有k 1＝k 2是不够的，注意排除两直线重合的情况．【对点训练】3．已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，试求点D 的坐标． 解：设D (x ，y )，则k AB ＝23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－23，k CD ＝y －4x ，k DA ＝y x －1.因为AB ⊥CD ，AD ∥BC ，所以，k AB ·k CD ＝－1，k DA ＝k BC ，所以⎩⎨⎧ 1×y －4x ＝－1，y x －1＝－23.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－6.即D (10，－6)． 【练习反馈】1．下列说法正确的有( )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直； ④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 若k 1＝k 2，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于x 轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．2．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直解析：选D 设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1.3．已知△ABC 中，A (0,3)、B (2，－1)，E 、F 分别为AC 、BC 的中点，则直线EF 的斜率为________．解析：∵E 、F 分别为AC 、BC 的中点，∴EF ∥AB .∴k EF ＝k AB ＝－1－32－0＝－2. 答案：－24．经过点(m,3)和(2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________．解析：由题意可知k l ＝14，又因为k l ＝m －32－m ，所以m －32－m ＝14，解得m ＝145. 答案：1455．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系．(1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)；(3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)；(4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)．解：(1)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110. ∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．k2＝40－4010－(－10)＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.(3)k1＝0－11－0＝－1，k2＝0－32－(－1)＝－1，∴k1＝k2.又k AM＝3－1－1－0＝－2≠k1，∴l1∥l2.(4)∵l1与l2都与x轴垂直，∴l1∥l2.。
必修2直线与圆典型题型汇总
直线与圆方程复习专题注：标*的为易错题，标**为有一定难度的题。
一：斜率与过定点问题1．已知点(1,3)A 、(2,6)B 、(5,)C m 在同一条直线上，那么实数m 的值为_______直线的斜率=_____． 2．已知0m ≠，则过点(1,1)-)的直线320ax my a ++=的斜率为________**3．已知线段PQ 两端点的坐标分别为(1,1)-、(2,2)，若直线:0l mx y m +-=与线段PQ 有交点，求m 的范围．二：截距问题：4.若三点(2,2)A ,B(,0)a ，(0,)C b (0ab ≠)共线，则11a b+=______ **5.已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限*6.（1）过点(1,2)A 且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程是 .（2）过点(1,2)A 且在x 轴，y 轴截距互为相反数的直线方程是 .三：平行垂直：7、已知过点()2A m -，和()4B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则m =______8、若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则m =___ （若垂直呢）9、过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为__________10、已知直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=，（1）若12l l ⊥，则________m =*（2）若12//l l ，则________m =五：交点问题：11、过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程.是____________（垂直呢？）**12．若直线:1l y kx =-与直线10x y +-=的交点位于第一象限，求实数k 的取值范围. 六：距离问题13．已知点(3,)m 到直线340x +-=的距离等于1，则m =_________14．已知直线0323=-+y x 和016=++my x 互相平行，则它们之间的距离是_________15. ①平行于直线34120x y +-=,且与它的距离是7的直线的方程是________________________ ②垂直于直线350x y +-=, 且与点(1,0)P -)的距离是1053的直线的方程是___________ 16.过点(1,2)A 且与原点距离最大的直线方程是____________七：圆的方程例1、 若方程014222=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆，则a 的取值范围是圆心坐标是__________________,半径是________________例2、 求过点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程，并判断点)4,2(P 与圆的关系．例3 圆心在直线30x y -=上，与直线0=y 相切，且被直线0x y -=所截得的弦长为的圆的方程．**练习. 方程(0x y +-=所表示的曲线是 ( )A ．一个圆和一条直线B ． 两个点C ． 一个点D ．一个圆和两条射线八：点与圆，直线与圆的位置关系：1、直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是*2、设点（00,y x ）在圆222r y x =+的外部，则直线200r y y x x =+与圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ． 相离D ．不确定*3、原点与圆22(1)()2(01)x y a a a -+-=<<的位置关系是___________ 九：直线与圆的位置关系（一）相交例1、已知圆 042:22=--+y x y x C 和点(0,2)P ，（1）求直线1:360l x y --=被圆C 截得的弦AB 的长；（2）直线2l 与圆 C 交与MN 两点，弦MN 被点P 平分，求2l 的方程（*3）过P点的直线l 截圆C 所得的弦长为4，求直线l 的方程。
高中数学_必修二_圆与方程_经典例题 整理
习题精选精讲圆标准方程已知圆心),(b a C 和半径r ，即得圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题.一、求圆的方程例1 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( )(A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x(C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x二、位置关系问题例2 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+三、切线问题例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31=(B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 31=四、弦长问题例4设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a .五、夹角问题例5 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) (A)21 (B)53 (C)23 (D) 0六、圆心角问题例6 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率=k .七、最值问题例7 圆0104422=---+y x y x 上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( )(A) 30 (B) 18 (C)26 (D)25八、综合问题例8 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) (A)]4,12[ππ (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π圆的方程1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径；(2) 圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2,2E D --)，半径为r ＝2422F E D -+ 2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A CBb Aa 22. 3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下：｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离；｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切；｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交；｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切；０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含.●点击双基1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是A.－1<t <71B.－1<t <21C.－71<t <1 D .1<t <2 2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是 A.｜a ｜＜1 B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜1313.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点B.当a =r 时，圆与y 轴相切C.当b =r 时，圆与x 轴相切D .当b <r 时，圆与x 轴相交●典例剖析【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.夯实基础1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则A.D +E =0B. B.D +F =0C.E +F =0D. D +E +F =02.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条 D .4条3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________.4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________.5.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足·=0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.培养能力7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）xy 的最大值和最小值；（2）y －x 的最小值；（3）x 2+y 2的最大值和最小值.8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.“求经过两圆04622=-++x y x 和028622=-++y y x 的交点，并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。
苏教版高中数学必修二知识讲解_直线与圆的位置关系_基础
直线与圆的位置关系：：【学习目标】1．依据直线和圆的方程，能熟练求出他们的交点坐标.2．能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系.3．理解直线和圆的三种位置关系（相离、相切、相交）与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解（无解、有唯一解、有两组解）的对应关系.4．能利用直线和圆的方程研究与圆有关的问题，提高学生的思维能力.【要点梳理】要点一：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l与圆C有公共点.有两组实数解时，直线l与圆C相交；有一组实数解时，直线l与圆C相切；无实数解时，直线l与圆C相离.(2)几何法：由圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系判断：<时，直线l与圆C相交；当d r=时，直线l与圆C相切；当d r>时，直线l与圆C相离.当d r要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点二：圆的切线方程的求法 1．点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1O M l k k ⋅=-．法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．2．点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点三：求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．3．利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：12|l x x =-．【典型例题】类型一：直线与圆的位置关系例1.已知直线y=2x+1和圆x 2+y 2=4，试判断直线和圆的位置关系.【思路点拨】解决本题的方法主要有两个，其一是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系；其二是引入一元二次方程，利用方程根来解决. 【答案】相交 【解析】解法一：∵x 2+y 2=4， ∴圆心为(0，0)，半径r=2.又∵y=2x+1，∴圆心到直线的距离为2d r ==<=.∴直线与圆相交. 解法二：∵⎩⎨⎧=++=,4,1222y x x y ∴(2x+1)2+x 2=4， 即5x 2+4x-3=0.判别式Δ=42-4×5×(-3)=76＞0. ∴直线与圆相交.【总结升华】判断直线与圆的位置关系可以从代数方法和几何意义两个方面加以考虑.例2．已知直线方程mx ―y ―m ―1=0，圆的方程x 2+y 2―4x ―2y+1=0．当m 为何值时，圆与直线 （1）有两个公共点；（2）只有一个公共点； （3）没有公共点． 【答案】（1）m ＞0或43m <-（2）m=0或43m =-（3）403m -<< 【解析】 解法一：将直线mx ―y ―m ―1=0代入圆的方程化简整理得， (1+m 2)x 2―2(m 2+2m+2)x+m 2+4m+4=0． ∵Δ=4m(3m+4)，∴当Δ＞0时，即m ＞0或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ=0时，即m=0或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ＜时，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 解法二：已知圆的方程可化为(x ―2)2+(y ―1)2=4， 即圆心为C （2，1），半径r=2．圆心C （2，1）到直线mx ―y ―m ―1=0的距离d ==．当d ＜2时，即m ＞0或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当d=2时，即m=0或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d ＞2时，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 【总结升华】解决此类问题是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用联立方程．举一反三：【变式】求实数m 的范围，使直线30x my -+=与圆22650x y x +-+=分别满足： (1)相交；(2)相切；(3)相离．【答案】（1）m <-m >2）m =±3）m -<<【解析】圆的方程化为标准为22(3)4x y -+=，故圆心(3，0)到直线30x my -+=的距离d =，圆的半径2r =．(1)若相交，则d r <2<，所以m <-m >(2)若相切，则d r =2=，所以m =±(3)若相离，则d r >2>，所以m -<<【总结升华】一般来讲，选择此方法要比选择计算判别式的方法在运算上简单． 类型二：圆的切线问题【与圆有关的位置关系370892 典型例题1】例3．过点(7,1)P 作圆2225x y +=的切线,求切线的方程.【思路点拨】先判断点在圆上或圆外，如果点在圆上则有一条切线．如果点在圆外，则有两条切线．本例中很明显点在圆外．【答案】43250x y --=或34250x y +-= 【解析】因为22715025+=>，所以点在圆外。
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直线与圆方程复习专题注：标*的为易错题，标**为有一定难度的题。
一：斜率与过定点问题1．已知点(1,3)A 、(2,6)B 、(5,)C m 在同一条直线上，那么实数m 的值为_______直线的斜率=_____． 2．已知0m ≠，则过点(1,1)-)的直线320ax my a ++=的斜率为________**3．已知线段PQ 两端点的坐标分别为(1,1)-、(2,2)，若直线:0l mx y m +-=与线段PQ 有交点，求m 的范围．二：截距问题：4.若三点(2,2)A ,B(,0)a ，(0,)C b (0ab ≠)共线，则11a b +=______ **5.已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A. 一、二、三象限B. 一、二、四象限C. 一、三、四象限D. 二、三、四象限*6.（1）过点(1,2)A 且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程是 .（2）过点(1,2)A 且在x 轴，y 轴截距互为相反数的直线方程是 .三：平行垂直：7、已知过点()2A m -，和()4B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则m =______8、若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则m =___ （若垂直呢）9、过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为__________10、已知直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=，（1）若12l l ⊥，则________m =*（2）若12//l l ，则________m =五：交点问题：11、过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程.是____________（垂直呢？）**12．若直线:1l y kx =-与直线10x y +-=的交点位于第一象限，求实数k 的取值范围.六：距离问题13．已知点(3,)m 到直线340x +-=的距离等于1，则m =_________14．已知直线0323=-+y x 和016=++my x 互相平行，则它们之间的距离是_________15. ①平行于直线34120x y +-=,且与它的距离是7的直线的方程是________________________②垂直于直线350x y +-=, 且与点(1,0)P -)的距离是1053的直线的方程是___________16.过点(1,2)A 且与原点距离最大的直线方程是____________七：圆的方程例1、 若方程014222=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆，则a 的取值范围是圆心坐标是__________________,半径是________________例2、 求过点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程，并判断点)4,2(P 与圆的关系．例3 圆心在直线30x y -=上，与直线0=y 相切，且被直线0x y -=所截得的弦长为的圆的方程．**练习. 方程(0x y +-=所表示的曲线是 ( )A ．一个圆和一条直线B ． 两个点C ． 一个点D ．一个圆和两条射线 八：点与圆，直线与圆的位置关系：1、直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是*2、设点（00,y x ）在圆222r y x =+的外部，则直线200r y y x x =+与圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ． 相离D ．不确定*3、原点与圆22(1)()2(01)x y a a a -+-=<<的位置关系是___________ 九：直线与圆的位置关系（一）相交例1、已知圆 042:22=--+y x y x C 和点(0,2)P ，（1）求直线1:360l x y --=被圆C 截得的弦AB 的长；（2）直线2l 与圆 C 交与MN 两点，弦MN 被点P 平分，求2l 的方程（*3）过P点的直线l 截圆C 所得的弦长为4，求直线l 的方程。
**例2、 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线340x y b ++=的距离为1的点有三个，则_____b =， **例3、.已知方程04222=+--+m y x y x 表示圆,（1）求m 的取值范围；（2）若该圆与直线042=-+y x 相交于两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m 的值；（3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.**例4. 已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=。
（1） 求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总相交；（2）设l 与圆C 交与不同两点A 、B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程；练习、1、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 2、已知圆16)1()2(22=++-y x 的一条直径通过直线032=+-y x 被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为_____________________3、圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有______个（二）相切例1 已知圆422=+y x O ：，（1） 求过点M 与圆O 相切的切线方程；（2） *求过点()42，P 与圆O 相切的切线方程并求切线长； （3） 求斜率为2且与圆O 相切的切线方程；（4） **若点(,)x y 满足方程224x y +=，求2y x -的取值范围；（5） **若点(,)x y 满足方程224x y +=，求43y x ++的取值范围。
**例2、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
**例3、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.若有两个公共点呢？练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程是____________________________.2、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 . 3. 过圆422=+y x 外一点)1,4(-M 引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是______________4．已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PB PA ,是圆012222=+--+y x y x 的两条切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为 ．**5、已知对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围是____________**6．曲线)2|(|412≤-+=x x y 与直线4)2(+-=x k y 有两个交点时，实数k 的取值范围是（ ）A ．]43,125(B ．),125(+∞C ．)43,31( D ．)125,0( （三）相离例1： 圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 十：圆与圆的位置关系例1、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，例2、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦所在的直线方程及公共弦长。
例3：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。
1、若圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切，则实数m 的取值集合是 .2、与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程是___________十一：直线与圆中的对称问题例1、（1） 圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是（2）已知圆522=+y x 与圆224430x y x y ++-+=关于直线l 对称，求直线l 的方程。
例2．一束光线从点()33，-A 出发经x 轴反射到圆222690x y x y +--+=的最短路程是 ．例3、已知圆074422=+--+y x y x C ：，自点()33，-A 发出的光线l 被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆C 相切，（1）求反射光线所在的直线方程．（2）光线自A 到切点所经历的路程．例4、 已知直线:33l y x =+，（1）(1,1)P -关于直线l 对称点的坐标是____________（2） 直线2y x =-关于直线l 对称的直线方程是_______________（3） 已知点(1,2)A ，(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线的方程为_________**例5、已知点M(3,5)，在直线:220l x y -+=和y 轴上各找一点P 和Q ，使ABC ∆的周长最小.例6. （1）直线:3l y x b =+是圆222690x y x y +--+=的一条对称轴，则b =______(2) 圆222690x y x y +--+=关于点M(3,5)对称的圆的方程是_____________________ 十二：直线与圆中的最值问题例1、已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，则 22x y +的最小值是_________ 例2、已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则22PB PA +的最小值是 .例3.点(,)A x y 满足30x y +-=,[]21x ，∈，求x y 的最大值和最小值例4.（1）点A(1,3),(5,1)B -，点P 在x 轴上使||||PA PB +最小，则P 的坐标为（ ）（2）点A(1,3),(5,1)B ，点P 在x 轴上使||||PA PB +最小，则P 的坐__________（3）点A(1,3),(5,1)B ，点P 在x 轴上使||||PA PB -最大，则P 的坐标为_________例5.点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则（1________________（2________________(3)22x y +的最小值是________________（4）222x y x ++的最小值是________________（5）若点Q 在直线2230x y ++=上则||PQ 的最小值是___________练习、1、已知22430x y x +-+=，则22x y +的最小值是______；222x y y +-的最大值是_________2、已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ，点P 在圆422=+y x 上运动，求222PC PB PA ++的最大值和最小值.3、已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 21=上，求22PB PA +取得最小值时P 点的坐标。