2018届高三数学一轮复习模拟试题精选：圆锥曲线与方程 含答案
圆锥曲线与方程一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知抛物线的焦点为F,过F 的直线与该抛物线相交于两点,则的最小值是( )A ． 4B ． 8C ． 12D ． 16【答案】B2．已知圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 外一定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相较于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线一支【答案】D3．若直线mx- ny = 4与⊙O: x 2+y 2= 4没有交点，则过点P(m,n)的直线与椭圆22194x y += 的交点个数是( ) A ．至多为1 B ．2C ．1D ．0【答案】B4．椭圆()222210x y a a b +=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．（0，）B ．（0，12） C ．1，1]D ．[12，1]【答案】D5．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于,A B 两点，且AB的中点为(12,15)N --,则双曲线E 的方程为( )A ．22136x y -= B ． 22163x y -= C ．22145x y -= D ．22154x y -= 【答案】C 6．抛物线22 yp x = 的焦点为F ，点ABC 在此抛物线上，点A 坐标为（1,2）.若点F 恰为△ABC的重心，则直线BC 的方程为( ) A ． 0x y += B ． 210x y +-=C ． 0x y -=D ． 210x y --=【答案】B7．已知F 是椭圆12222=+by a x (a >b>0)的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF ⊥x 轴, OP ∥AB(O 为原点),则该椭圆的离心率是( )A ．22 B ．42 C ．21 D ．23 【答案】A8．抛物线 22y x -=的准线方程是( )A ．21=y B ．81=y C ．41=x D ．81=x 【答案】D 9．方程0)1lg(122=-+-y x x 所表示的曲线图形是( )【答案】D10．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆方程是( )A ．221169x y += B ．2211612x y += C ．22143x y += D ．22134x y += 【答案】C11．我们把离心率为黄金比215-的椭圆称为“优美椭圆”．设12222=+b y a x (a>b>0)为“优美椭圆”，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它短轴的一个端点，则∠ABF 等于( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°【答案】C12．设双曲线222:1,(0,1),10x M y C x y a-=-+=点若直线交双曲线的两渐近线于点A 、B ，且2BCAC =，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C D 【答案】B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知过点P （1，0）且倾斜角为60°的直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，则弦长|AB|= . 【答案】16314．设F 为抛物线241x y -=的焦点，与抛物线相切于点)4,4(--P 的直线l 与x 轴的交点为Q ，则PQF ∠的值是 ． 【答案】2π 15．已知P 为椭圆221259x y += 上一点，F 1,F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=900,则△F 1PF 2的面积为___________; 【答案】916．已知椭圆1162522=+y x 的焦点为F 1、F 2，直线CD 过焦点F 1，则∆F 2CD 的周长为_______【答案】20三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知直线L ：1y kx =-与抛物线C ：2y x =，相交于两点,A B ，设点(0,2)M ，MAB ∆的面积为S .(Ⅰ）若直线L 上与M 连线距离为1的点至多存在一个，求S 的范围。
(Ⅱ）若直线L 上与M 连线的距离为1的点有两个，分别记为,C D ，且满足S λ≥⋅｜CD ｜恒成立，求正数λ的范围.【答案】（1）由已知， 直线L 与抛物线相交，所以222110,40y kx x kx k y x=-⎧⇒-+=∆=->⎨=⎩，即24k >… (1) 又直线L 与以M 为圆心的单位圆相离或相切，所以1d =≥，28k ≤ (2)由（1）（2）得：248k <≤1||(0,3]2S AB d =⋅==(2）由题意可知，当直线L 与以M 为圆心的单位圆相交于点C ，D 时，可得28k >，且||CD ==令2()8)||S f k k CD ==>，令28(0)t k t =->，0)y t ==>，当且仅当k =154所以，154λ≤18．已知椭圆m x y y x +==+及直线1422，当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围。
【答案】由⎩⎨⎧+==+mx y y x 1422 得012522=-++m mx x因为直线与椭圆有公共点所以0)1(20422≥--=∆m m ，解得2525≤≤-m 19．抛物线x y C 4:2=与直线k x y +=2相交于B A ,两点，且15=AB(Ⅰ）求k 的值。
(Ⅱ）在抛物线C 上是否存在点P ，使得ABP ∆的重心恰为抛物线C 的焦点F ，若存在，求点P 的坐标，若不存在，请说明理由。
【答案】（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y，由直线与抛物线方程联立可得：2244(1)0x k x k +-+=1221214x x kk x x +=-⎧⎪∴⎨=⎪⎩由AB ==1k =-(Ⅱ）假设存在动点00(,)P x y ，使得ABP ∆的重心恰为抛物线C 的焦点F ， 由题意可知，AB 的中点M 坐标为(1,1)由三角形重心的性质可知，2PFFM =即0(1,)2(0,1)x y --=012x y =⎧∴⎨=-⎩即(1,2)P -满足抛物线方程 故存在动点00(,)P x y ，使得ABP ∆的重心恰为抛物线C 的焦点F20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1(F ，2F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. (Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,设点(3,2)N ，记直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值.【答案】（Ⅰ）依题意，由已知得c =，222a b -=，由已知易得1b OM ==,解得a =则椭圆的方程为2213x y +=. (II) ①当直线l 的斜率不存在时，由221, 13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,3x y ==±.设(1,3A，(1,3B -，则122233222k k -++=+=为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简，得2222(31)6330k x k x k +-+-=.依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+.又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，所以1212122233y y k k x x --+=+--122112(2)(3)(2)(3)(3)(3)y x y x x x --+--=--12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++ 1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k k x x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++ 2212(21)2.6(21)k k +==+综上得12k k +为常数2.21．已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于A 、B 两点，F 1为左焦点． (Ⅰ)求双曲线的方程； (Ⅱ)若1F AB ∆的面积等于，求直线l 的方程．【答案】（Ⅰ）依题意，3,21,2c b a c a=⇒==，∴双曲线的方程为：221.3y x -=（4分） (Ⅱ）设1122(,),(,)A xy B xy ，2(2,0)F ，直线:(2)l y k x =-， 由22(2)13y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消元得2222(3)4430k x k xk --++=，k 时，22121222443,33k k x x x x k k ++==--，1212()y y k x x -=-， 1F AB ∆的面积121222S c yy k xx k =-=⋅-=2k =⋅= 42289011k k k k ⇒+-=⇒=⇒=±， 所以直线l 的方程为(2).y x =±-22．设动点(),P x y ()0x ≥到定点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到y 轴的距离大12．记点P 的轨迹为曲线C ．(1）求点P 的轨迹方程； (2）设圆M 过()1,0A，且圆心M 在P 的轨迹上，BD 是圆Ｍ在y 轴的截得的弦，当Ｍ运动时弦长BD 是否为定值？说明理由；(3）过1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭做互相垂直的两直线交曲线C 于G 、H 、R 、S ，求四边形GRHS 面积的最小值． 【答案】 (1) 由题意知，所求动点(),Px y 为以1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线1:2l x =-为准线的抛物线，方程为22y x =；(2) 设圆心2,2a M a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径r = 圆的方程为()222222122a a x y a a ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令0x =得()()0,1,0,1Ba D a +-+ 2BD ∴=即弦长BD 为定值；(3)设过F 的直线方程为12y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,()()1122,,,G x y H x y 由2122y k x y x⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()2222204k k x k x -++= 由韦达定理得12221x x k +=+ 222GH k=+ 同理得222RS k =+ 四边形GRHS 的面积()22221212222282T k k k k ⎛⎫⎛⎫=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
江苏2018高三数学一轮复习圆锥曲线(供参考)
椭圆考试要求 1.椭圆的实际背景，椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，A级要求；2.椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单几何性质，B级要求．知识梳理1．椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于定长(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．用符号表示为PF1＋PF2＝2a(2a>F1F2)．(2)第二定义：平面内到定点F和定直线l(F不在定直线l上)的距离之比是一个常数e(0<e<1)的点的轨迹叫作椭圆．2．椭圆的标准方程及简单的几何性质椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝ca(0<e<1)，离心率e等于椭圆上任意一点M到焦点F的距离与M到F对应的准线的距离的比．椭圆越扁，离心率e越大；椭圆越圆，离心率越小.x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)|x|≤a，|y|≤b|y|≤a，|x|≤b诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()(5)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．()解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于F1F2时，其轨迹才是椭圆，而常数等于F1F2时，其轨迹为线段F1F2，常数小于F1F2时，不存在这样的图形．(2)因为e＝ca＝a2－b2a＝1－⎝⎛⎭⎪⎫ba2，所以e越大，则ba越小，椭圆就越扁．答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2．(2015·广东卷改编)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝________.解析 依题意有25－m 2＝16，∵m >0，∴m ＝3. 答案 33．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________． 解析 由椭圆的定义可知△AF 1B 的周长为4a ，所以4a ＝43，故a ＝3，又由e ＝c a ＝33，得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，则C 的方程为x 23＋y 22＝1. 答案 x 23＋y 22＝14．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b 2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2，b 2，又F (c,0)， 则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 2－c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得： c 2－34a 2＋b 24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝ca ＝23＝63.答案 635．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________． 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x ＞0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1考点一 椭圆的定义及其应用 【例1】(1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是________．(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝________. 解析 (1)连接QA . 由已知得QA ＝QP .所以QO ＋QA ＝QO ＋QP ＝OP ＝r .又因为点A 在圆内，所以，OA ＜OP ，根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆．(2)由题意得PF 1＋PF 2＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以PF 21＋PF 22－2PF 1PF 2cos 60°＝F 1F 22，所以(PF 1＋PF 2)2－3PF 1PF 2＝4c 2， 所以3PF 1PF 2＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以PF 1PF 2＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12PF 1PF 2sin 60°＝12×43b 2×32＝ 33b 2＝33，所以b ＝3. 答案 (1)椭圆 (2)3规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．(2)椭圆的定义式必须满足2a ＞F 1F 2.【训练1】 (1)已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若PF 1－PF 2＝2，则△PF 1F 2的面积是________．(2)(2017·保定一模)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．解析 (1)由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且PF 1＋PF 2＝2a ＝4，又PF 1－PF 2＝2，所以PF 1＝3，PF 2＝1.又F 1F 2＝2c ＝22，所以有PF 21＝PF 22＋F 1F 22，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 为直角， 所以S △PF 1F 2＝12F 1F 2PF 2＝12×22×1＝ 2.(2)设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有PC 1＝r ＋1，PC 2＝9－r . 所以PC 1＋PC 2＝10＞C 1C 2，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上， 得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 答案 (1)2 (2)x 225＋y 216＝1 考点二 椭圆的标准方程【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________． 解析 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )． 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.106(2)法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二 设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k ＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得(－5)225－k ＋(3)29－k ＝1，解得k ＝5(k ＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.答案 (1)y 210＋x 26＝1 (2)y 220＋x 24＝1规律方法 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，求出m ，n 的值即可． 【训练2】 (1)(2017·常州监测)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆标准方程为________． (2)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________．解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，43(2)法一 若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝3×2b ，9a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3×2b ，0a 2＋9b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝9，b ＝3.所以椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.法二 设椭圆的方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2m ＝3×2n或⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2n ＝3×2m ，解得⎩⎨⎧ m ＝9，n ＝1或⎩⎨⎧m ＝9，n ＝81.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1. 答案 (1)x 24＋y 23＝1 (2)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1 考点三 椭圆的几何性质【例3】 (1)(2016·全国Ⅲ卷改编)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________．(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c ＞0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是________． 解析 (1)设M (－c ，m )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c，所以a ＝3c ，所以e ＝13.(2)因为PT ＝PF 22－(b －c )2(b ＞c )，而PF 2的最小值为a －c ，所以PT 的最小值为(a －c )2－(b －c )2.依题意，有(a －c )2－(b －c )2≥32(a －c )，所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )，所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.①又b ＞c ，所以b 2＞c 2，所以a 2－c 2＞c 2，所以2e 2＜1.② 联立①②，得35≤e ＜22. 答案 (1)13 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，22规律方法 (1)求椭圆离心率的方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解． (2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．【训练3】 (2017·盐城模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是________．解析 由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，AF 2＋BF 2＋AB ＝4a ＝8，所以AB ＝8－(AF 2＋BF 2)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a ＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3. 答案3考点四 直线与椭圆的位置关系【例4】 (2015·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程． 解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2 ＝22(1＋k 2)1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)， 从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2).因为PC ＝2AB ，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.【例5】 (2017·南通调研)如下图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (2,0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，12在椭圆上(e 为椭圆的离心率)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点B ，C (C 在第一象限)都在椭圆上，满足OC →＝λBA →，且OC →·OB →＝0，求实数λ的值．解 (1)由条件，a ＝2，e ＝c 2，代入椭圆方程，得c 24＋14b 2＝1. ∵b 2＋c 2＝4，∴b 2＝1，c 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线OC 的斜率为k ，则直线OC 方程为y ＝kx ， 代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，即x 2＋4y 2＝4， 得(1＋4k 2)x 2＝4，∴x C ＝21＋4k 2. 则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋4k 2，2k 1＋4k 2. 又直线AB 方程为y ＝k (x －2)， 代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4， 得(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0.∵x A ＝2，∴x B ＝2(4k 2－1)1＋4k 2，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(4k 2－1)1＋4k 2，－4k 1＋4k 2. ∵OC →·OB →＝0，∴2(4k 2－1)1＋4k 2·21＋4k 2＋－4k 1＋4k 2·2k 1＋4k 2＝0. ∴k 2＝12，∵C 在第一象限，∴k ＞0，k ＝22. ∵OC →＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋4k 2，2k 1＋4k 2， BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2(4k 2－1)1＋4k 2，0－－4k 1＋4k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41＋4k 2，4k 1＋4k 2， 由OC→＝λBA →，得λ＝k 2＋14.∵k ＝22，∴λ＝32.规律方法 与椭圆有关的综合问题，往往与其他知识相结合，解决这类问题的常规思路是联立直线方程与椭圆方程，解方程组求出直线与椭圆的交点坐标，然后根据所给的向量条件再建立方程，解决相关问题．涉及弦中点问题用“点差法”解决往往更简单．【训练4】 (2017·南京、盐城模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x ＝2.过椭圆的上顶点A 作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q .(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．(1)解 因为c a ＝22，a 2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝1. 故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 法一 设P 点坐标为(x 1，y 1)，则Q 点坐标为(x 1，－y 1)． 因为k AP ＝y 1－1x 1－0＝y 1－1x 1，所以直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0，解得m ＝－x 1y 1－1. 因为k AQ ＝－y 1－1x 1－0＝－y 1＋1x 1， 所以直线AQ 的方程为y ＝－y 1＋1x 1x ＋1.令y ＝0，解得n ＝x 1y 1＋1. 所以mn ＝－x 1y 1－1·x 1y 1＋1＝x 211－y 21.又因为(x 1，y 1)在椭圆x 22＋y 2＝1上，所以x 212＋y 21＝1，即1－y 21＝x 212， 所以x 211－y 21＝2，即mn ＝2，所以mn 为常数，且常数为2.法二 设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y ＝kx ＋1，令y ＝0得m ＝－1k .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，解得x A ＝0，x P ＝－4k1＋2k 2，所以y P ＝k ·x P ＋1＝1－2k 21＋2k 2，则Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k2，－1－2k 21＋2k 2， 所以k AQ ＝－1－2k 21＋2k 2－1－4k 1＋2k 2＝12k ，故直线AQ 的方程为y ＝12k x ＋1. 令y ＝0得n ＝－2k ， 所以mn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ·(－2k )＝2.所以mn 为常数，常数为2.[思想方法]1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于F 1F 2，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．2．求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)．先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a 2，b 2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程．若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． [易错防范]1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．2．在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．3．椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于________．解析 当m >4时，m －4＝1，∴m ＝5；当0<m <4时，4－m ＝1，∴m ＝3. 答案 32．(2017·苏州调研)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________．解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此其方程是x 24＋y 23＝1.答案 x 24＋y 23＝13．若椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是________．解析 由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝10，又PF 1＝6，∴PF 2＝4. 答案 44．(2017·扬州期末)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________． 解析 在Rt △PF 2F 1中，令PF 2＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以PF 1＝2，F 1F 2＝ 3.故e ＝2c 2a ＝F 1F 2PF 1＋PF 2＝33.答案 335．(2016·全国Ⅰ卷改编)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________．解析 如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝12b .在Rt △OFB 中，OF ×OB ＝BF ×OD ，即cb ＝a ·12b ，即a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝c a ＝12. 答案 126．(2016·南京师大附中模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba 的值为________． 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1， b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－1，∴b a ×(－1)×32＝－1，∴b a ＝233. 答案 2337．(2017·昆明质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．解析 记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有PF 1＋PF 2＝2a ＝10.则m ＝PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝25，当且仅当PF 1＝PF 2＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25. ∴点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)． 答案 (－3,0)或(3,0)8．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22二、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且MN ＝5F 1N ，求a ，b .解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12. (2)由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .① 由MN ＝5F 1N ，得DF 1＝2F 1N . 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则 ⎩⎨⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c .y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝2 7.10．(2017·苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右准线方程为x ＝4，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为255.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，试确定直线l 的斜率．解 (1)由题意知，直线l 的方程为y ＝2(x －a )，即2x －y －2a ＝0， 所以右焦点F 到直线l 的距离为 |2c －2a |5＝255，所以a －c ＝1. 又椭圆C 的右准线方程为x ＝4， 即a 2c ＝4，所以c ＝a 24，将此代入上式解得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)法一 由(1)知B (0，3)，F (1,0)． 所以直线BF 的标准方程为y ＝－3(x －1)， 联立方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x －1)，x 24＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝－335或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3(舍)． 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－335， 所以直线l 的斜率k ＝0－⎝⎛⎭⎪⎫－3352－85＝332.法二 由(1)知B (0，3)，F (1,0)，所以直线BF 的方程为y ＝－3(x －1)，由题意知A (2,0)，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，联立方程组得⎩⎨⎧y ＝－3(x －1)，y ＝k (x －2)，解得⎩⎨⎧x ＝2k ＋3k ＋3，y ＝－3kk ＋3，代入椭圆解得k ＝332或k ＝－32，又由题意知，y ＝－3kk ＋3<0得k >0或k <－3，所以k ＝332.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2016·苏州调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为________． 解析 设F (－c,0)关于直线3x ＋y ＝0的对称点A (m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c ·(－3)＝－1，3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －c 2＋n2＝0，∴m ＝c 2，n ＝32c ，代入椭圆方程可得c 24a 2＋34c2b 2＝1，并把b 2＝a 2－c 2代入，化简可得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，又0＜e ＜1，∴e ＝3－1. 答案3－112．(2017·盐城中学模拟)已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是________． 解析 依题意，知b ＝2，kc ＝2.设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45，解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，解得0＜e ≤255. 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，255 13．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________． 解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24<0，即34x 2<2，∴x 2<83.解得－263<x <263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－263，263 14．(2017·南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b .过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积； (3)若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程． 解 (1)由条件得1a 2＋1b 2＝1，且c 2＝2b 2， 所以a 2＝3b 2，解得b 2＝43，a 2＝4. 所以椭圆C 的方程为x 24＋3y 24＝1.(2)设l 1的方程为y ＋1＝k (x ＋1)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋k －1，x 2＋3y 2＝4， 消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (k －1)x ＋3(k －1)2－4＝0. 因为P 为(－1，－1)，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋6k ＋11＋3k 2，3k 2＋2k －11＋3k 2. 当k ≠0时，用－1k 代替k ， 得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－6k －3k 2＋3，－k 2－2k ＋3k 2＋3， 将k ＝－1代入，得M (－2,0)，N (1,1)． 因为P (－1，－1)，所以PM ＝2，PN ＝22， 所以△PMN 的面积为12×2×22＝2.(3)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21＋3y 21＝4，x 22＋3y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，因为线段MN 的中点在x 轴上，所以y 1＋y 2＝0， 从而可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0. 若x 1＋x 2＝0，则N (－x 1，－y 1)．因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得x 21＋y 21＝2.又因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝±1，所以M (－1,1)，N (1，－1)或M (1，－1)，N (－1,1)． 所以直线MN 的方程为y ＝－x . 若x 1－x 2＝0，则N (x 1，－y 1)，因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得y 21＝(x 1＋1)2＋1. 又因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝－12或－1， 经检验：x 1＝－12满足条件，x 1＝－1不满足条件． 综上，直线MN 的方程为x ＋y ＝0或x ＝－12.第6讲 双曲线考试要求 双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，A 级要求．知 识 梳 理1．双曲线的定义(1)第一定义：平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值为正常数2a (小于两定点之间的距离2c )的动点的轨迹叫作双曲线．(2)双曲线的定义用代数式表示为|MF1－MF2|＝2a，其中2a<F1F2＝2c.(3)当MF1－MF2＝2a时，曲线仅表示靠近焦点F2的双曲线的一支；当MF1－MF2＝－2a时，曲线仅表示靠近焦点F1的双曲线的一支；当2a＝F1F2时，轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在．(4)第二定义：平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的动点轨迹叫作双曲线2．双曲线的标准方程及简单的几何性质x2y2y2x2曲线．(2)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线垂直(位置关系)⇔实轴长＝虚轴长．(3)双曲线的离心率e与ba⎝⎛⎭⎪⎫ba＝e2－1都是刻画双曲线开口的大小的量．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(4)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()解析(1)因为|MF1－MF2|＝8＝F1F2，表示的轨迹为两条射线．(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部．(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线．答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．(2016·全国Ⅰ卷改编)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是________．解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3. 答案 (－1,3)3．(2017·南京调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为2x －y ＝0，则该双曲线的离心率为________．解析 由题意得双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ＝2x ，所以ba ＝2，则双曲线的离心率为e ＝1＋b 2a 2＝ 5.答案54．(2017·南通调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点P (1,1)，其一条渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的方程为________． 解析 由于双曲线过点P (1,1)，则有1a 2－1b 2＝1，又双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，则有b a ＝2，与1a 2－1b 2＝1联立解得a 2＝12，b 2＝1，故所求的双曲线的方程为2x 2－y 2＝1. 答案 2x 2－y 2＝15．(选修1－1P41习题6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．解析 设双曲线的方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求方程为x 28－y 28＝1.答案x28－y28＝1考点一双曲线的定义及其应用【例1】(1)(2017·盐城中学模拟)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以B为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝________.(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x2－y28＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0,66)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．解析(1)如图所示，因为AF1－AF2＝2a，BF1－BF2＝2a，BF1＝AF2＋BF2，所以AF2＝2a，AF1＝4a.所以BF1＝22a，所以BF2＝22a－2a.因为F1F22＝BF21＋BF22，所以(2c)2＝(22a)2＋(22a－2a)2，所以e2＝5－2 2.(2)设左焦点为F1，PF－PF1＝2a＝2，∴PF＝2＋PF1，△APF的周长为AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2＋PF1，△APF周长最小即为AP＋PF1最小，当A，P，F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为x －3＋y66＝1.与x2－y28＝1联立，解得P点坐标为(－2,26)，此时S＝S△AF1F－S △F 1PF ＝12 6. 答案 (1)5－22、(2)126规律方法 “焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用．(2)技巧：经常结合|PF 1－PF 2|＝2a ，运用平方的方法，建立它与PF 1、PF 2的联系．提醒 利用双曲线的定义解决问题，要注意三点①距离之差的绝对值．②2a ＜F 1F 2.③焦点所在坐标轴的位置．【训练1】 (1)如果双曲线x 24－y 212＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的左焦点的距离是________．(2)(2017·扬州模拟)已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，则△MF 1F 2的面积为________．解析 (1)由双曲线方程，得a ＝2，c ＝4.设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，根据双曲线的定义PF 1－PF 2＝±2a ， ∴PF 1＝PF 2±2a ＝8±4，∴PF 1＝12或PF 1＝4. (2)设内切圆的半径为R ，a ＝4，b ＝3，c ＝5， 因为S △PMF 1＝S △PMF 2＋8， 所以12(PF 1－PF 2)R ＝8， 即aR ＝8，所以R ＝2，所以S △MF 1F 2＝12·2c ·R ＝10. 答案 (1)4或12 (2)10考点二 双曲线的标准方程及性质(多维探究) 命题角度一 与双曲线有关的范围问题【例2－1】 (1)(2017·苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知方程x 24－m －y 22＋m ＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围为________．(2)(2015·全国Ⅰ卷改编)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．解析 (1)由题意可得(4－m )(2＋m )>0， 解得－2<m <4.(2)因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＜0，即3y 20－1＜0，解得－33＜y 0＜33.答案 (1)(－2,4) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33命题角度二 与双曲线的离心率、渐近线相关的问题【例2－2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷改编)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为________. (2)(2017·盐城模拟)以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为________． 解析 (1)设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程， 得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2， 所以y ＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝MF 1F 1F 2＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e ＝24，所以e 2－22e －1＝0， 所以e ＝ 2.(2)由题意可得右焦点(c,0)到渐近线y ＝ba x 的距离为a ，则b ＝a ，该双曲线的离心率为e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 2. 答案 (1)2 (2)2规律方法 与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．【训练2】 (1)(2017·苏北四市调研)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使A 1B 1＝A 2B 2，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．(2)(2017·南京模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．解析 (1)因为有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，所以直线A 1B 1和A 2B 2关于x 轴对称，并且直线A 1B 1和A 2B 2与x 轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x 轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意．可得b a ＞tan 30°，即b 2a 2＞13，c 2－a 2a 2＞13，所以e ＞233.同样的，当b a ≤tan 60°，即b 2a 2≤3时，c 2－a 2a2≤3，即4a 2≥c 2，∴e 2≤4，∵e ＞1，所以1＜e ≤2. 所以双曲线的离心率的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2.(2)由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)． 设P (x ，y )(x ≥1)，则P A 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，P A 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x－2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.因为x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，所以当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2.答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2 (2)－2考点三 双曲线的综合问题【例3】 (1)(2017·扬州质检)已知F 是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的一个公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若AF →·BF →＝0，则C 2的离心率是________．(2)(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．解析 (1)设另一个公共焦点为F 2，AF ＝m ，AF 2＝n ，由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a 1＝4，根据对称性知AF 2∥BF ，且AF 2＝BF ，由AF →·BF →＝0可知AF ⊥BF ，所以AF ⊥AF 2，则有m 2＋n 2＝(2c 1)2＝12，与m ＋n ＝4联立，解得m ＝2－2，n ＝2＋2(或m ＝2＋2，n ＝2－2)．根据双曲线的定义可得2a 2＝|m －n |＝22，即a 2＝2，而c 2＝c 1＝3，故双曲线的离心率为e ＝c 2a 2＝62.(2)设P (x ，y )(x ≥1)，因为直线x －y ＋1＝0平行于渐近线x －y ＝0，所以c 的最大值为直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0之间的距离，由两平行线间的距离公式知，该距离为12＝22. 答案 (1)62 (2)22规律方法 解决与双曲线有关综合问题的方法(1)解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时，要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系，再结合双曲线的几何性质求解．(2)解决直线与双曲线的综合问题，通常是联立直线方程与双曲线方程，消元求解一元二次方程即可，但一定要注意数形结合，结合图形注意取舍．【训练3】 (2016·天津卷改编)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为________．解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b4＋b2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b 2，2b 4＋b 2. 由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长分别为84＋b 2，4b 4＋b2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1. 答案 x 24－y 212＝1[思想方法]1．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b>0)的两条渐近线方程． [易错防范]1．双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆．2．求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错．3．双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±ba x，y2a2－x2b2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±a b x.4．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x27－y23＝1的焦距是________．解析由已知，得a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝210.答案2102．(2017·南京模拟)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．解析因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝23，所以c＝3，所以a＝c2－b2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±ba x＝±22x.答案y＝±2 2x3．(2015·广东卷改编)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为________．解析因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e＝ca＝54，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为x216－y29＝1.答案x216－y29＝14．(2017·苏北四市联考)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，右焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为________．解析∵右焦点F到渐近线的距离为2，∴F(c,0)到y＝ba x的距离为2，即|bc|a2＋b2＝2，又b＞0，c＞0，a2＋b2＝c2，∴bcc＝b＝2，又∵点F到原点的距离为3，∴c＝3，∴a＝c2－b2＝5，∴离心率e＝ca＝35＝355.答案35 55．(2017·南通、扬州、泰州三市调研)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点为M，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线l与双曲线交于A，B两点，且满足MA⊥MB，则该双曲线的离心率是________．解析由题意可得AF＝MF，且AF＝b2a，MF＝a＋c，则b2a＝a＋c，即b2＝a2＋ac＝c2－a2，所以e2－e－2＝0(e>1)，解得e＝2.答案26．(2017·南京师大附中模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋(y＋2)2＝1没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________．解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0与圆x 2＋(y ＋2)2＝1没有公共点，则2a a 2＋b2＝2a c >1,2a >c ，故该双曲线的离心率满足1<e ＝ca <2，即双曲线的离心率的取值范围为(1,2)． 答案 (1,2)7．(2017·泰州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为________．解析 由题意知，圆的半径为5，又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y ＝ba x 上，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，4＝3×ba ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 216＝1. 答案 x 29－y 216＝18．(2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2AB ＝3BC ，则E 的离心率是________．解析 由已知得AB ＝2b 2a ，BC ＝2c ，∴2×2b 2a ＝3×2c .又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)． 答案 2 二、解答题9．(2017·镇江期末)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率。
2018届广东省江门市高考数学一轮复习专项检测试题21圆锥曲线与方程(1)
5 A． 2
【答案】 C
B． 5
C． 2
23 D． 3
10．已知直线 y ＝ kx－ 2(k ＞ 0) 与抛物线 C： x2＝ 8y 相交于 A， B 两点， F 为 C的焦点，若 |FA| ＝ 4|FB| ，则 k＝ ( )
A． 3 【答案】 B
5 B． 4
3 C． 4
32 D． 2
11．若直线 l 过点 (3,0) 与双曲线 4x2 9 y2 36 只有一个公共点，则这样的直线有 ( )
A． 1 9
【答案】 A
B． 1 25
C． 1 5
AM平行， 则实数 a 的值是 ( )
D． 1 3
2．在椭圆 x 2 a2
y2 b2
1(a b 0) 中， F， A， B分别为其左焦点，右顶点，上顶点，
O为坐标原
点， M为线段 OB
FMA为直角三角形，则该椭圆的离心率为 ( )
A． 5 2 【答案】 A
2
2
xy
1
B． 4 36
2
2
x 9y
1
C． 4 4
【答案】 C
1 3 ，则所得曲线的方程是
2
2
xy
1
D． 36 4
5．已知椭圆 x 2 3m 2
y2
x2
1 和双曲线
5n 2
2m2
y2 3n2 ＝ 1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线
方程是 ( )
A． x＝± 【答案】 D
15 y 2
B． y＝± 15 x 2
AP BP ( AM BM ) ，其中 R ，设直线 AP 、 BP 、 AM 、 BM 的斜率分别记
为 k1 、 k2 、 k3 、 k4 , k1 k2 5 , 则 k3 k4 ________ .
江苏2018年高三数学一轮复习圆锥曲线
椭 圆考试要求 1.椭圆的实际背景，椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，A 级要求；2.椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单几何性质，B 级要求．知 识 梳 理1．椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于定长(大于F 1F 2)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距． 用符号表示为PF 1＋PF 2＝2a (2a >F 1F 2)．(2)第二定义：平面内到定点F 和定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e (0<e <1)的点的轨迹叫作椭圆． 2．椭圆的标准方程及简单的几何性质椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝ca (0<e <1)，离心率e 等于椭圆上任意一点M 到焦点F 的距离与M 到F 对应的准线的距离的比．椭圆越扁，离心率e 越大；椭圆越圆，离心率越小.x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)|x |≤a ，|y |≤b|y |≤a ，|x |≤b诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (5)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．( )解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于F 1F 2时，其轨迹才是椭圆，而常数等于F 1F 2时，其轨迹为线段F 1F 2，常数小于F 1F 2时，不存在这样的图形． (2)因为e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以e 越大，则b a 越小，椭圆就越扁． 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 2．(2015·广东卷改编)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝________.解析 依题意有25－m 2＝16，∵m >0，∴m ＝3. 答案 33．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________． 解析 由椭圆的定义可知△AF 1B 的周长为4a ，所以4a ＝43，故a ＝3，又由e ＝c a ＝33，得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，则C 的方程为x 23＋y 22＝1. 答案 x 23＋y 22＝14．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2，b 2，又F (c,0)，则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 2－c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2， 又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC→＝0，代入坐标可得：c 2－34a 2＋b24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝ca ＝23＝63.答案 635．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________． 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x ＞0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1考点一 椭圆的定义及其应用 【例1】(1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是________．(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝________. 解析 (1)连接QA . 由已知得QA ＝QP .所以QO ＋QA ＝QO ＋QP ＝OP ＝r .又因为点A 在圆内，所以，OA ＜OP ，根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆．(2)由题意得PF 1＋PF 2＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以PF 21＋PF 22－2PF 1PF 2cos 60°＝F 1F 22，所以(PF 1＋PF 2)2－3PF 1PF 2＝4c 2， 所以3PF 1PF 2＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以PF 1PF 2＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12PF 1PF 2sin 60°＝12×43b 2×32＝ 33b 2＝33，所以b ＝3. 答案 (1)椭圆 (2)3规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．(2)椭圆的定义式必须满足2a ＞F 1F 2.【训练1】 (1)已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若PF 1－PF 2＝2，则△PF 1F 2的面积是________．(2)(2017·保定一模)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．解析 (1)由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且PF 1＋PF 2＝2a ＝4，又PF 1－PF 2＝2，所以PF 1＝3，PF 2＝1.又F 1F 2＝2c ＝22，所以有PF 21＝PF 22＋F 1F 22，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 为直角， 所以S △PF 1F 2＝12F 1F 2PF 2＝12×22×1＝ 2.(2)设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有PC 1＝r ＋1，PC 2＝9－r . 所以PC 1＋PC 2＝10＞C 1C 2，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上， 得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 答案 (1)2 (2)x 225＋y 216＝1 考点二 椭圆的标准方程【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________． 解析 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )． 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二 设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k ＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得(－5)225－k ＋(3)29－k ＝1，解得k ＝5(k ＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.答案 (1)y 210＋x 26＝1 (2)y 220＋x 24＝1规律方法 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，求出m ，n 的值即可． 【训练2】 (1)(2017·常州监测)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆标准方程为________． (2)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________．解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一 若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝3×2b ，9a 2＋0b2＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3×2b ，0a 2＋9b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝9，b ＝3.所以椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.法二 设椭圆的方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2m ＝3×2n或⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2n ＝3×2m ，解得⎩⎨⎧ m ＝9，n ＝1或⎩⎨⎧m ＝9，n ＝81.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1. 答案 (1)x 24＋y 23＝1 (2)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1 考点三 椭圆的几何性质【例3】 (1)(2016·全国Ⅲ卷改编)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________．(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c ＞0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是________． 解析 (1)设M (－c ，m )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c，所以a ＝3c ，所以e ＝13.(2)因为PT ＝PF 22－(b －c )2(b ＞c )，而PF 2的最小值为a －c ，所以PT 的最小值为(a －c )2－(b －c )2.依题意，有(a －c )2－(b －c )2≥32(a －c )，所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )，所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.①又b ＞c ，所以b 2＞c 2，所以a 2－c 2＞c 2，所以2e 2＜1.② 联立①②，得35≤e ＜22. 答案 (1)13 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，22规律方法 (1)求椭圆离心率的方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解． (2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．【训练3】 (2017·盐城模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是________．解析 由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，AF 2＋BF 2＋AB ＝4a ＝8，所以AB ＝8－(AF 2＋BF 2)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a ＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3. 答案3考点四 直线与椭圆的位置关系【例4】 (2015·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程． 解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3， 解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且 AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2 ＝22(1＋k 2)1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)， 从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2).因为PC ＝2AB ，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.【例5】 (2017·南通调研)如下图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (2,0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，12在椭圆上(e 为椭圆的离心率)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点B ，C (C 在第一象限)都在椭圆上，满足OC →＝λBA →，且OC →·OB →＝0，求实数λ的值．解 (1)由条件，a ＝2，e ＝c 2，代入椭圆方程，得c 24＋14b 2＝1. ∵b 2＋c 2＝4，∴b 2＝1，c 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线OC 的斜率为k ，则直线OC 方程为y ＝kx ， 代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，即x 2＋4y 2＝4， 得(1＋4k 2)x 2＝4，∴x C ＝21＋4k 2. 则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋4k 2，2k 1＋4k 2. 又直线AB 方程为y ＝k (x －2)， 代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4， 得(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0.∵x A ＝2，∴x B ＝2(4k 2－1)1＋4k 2，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(4k 2－1)1＋4k2，－4k 1＋4k 2. ∵OC →·OB →＝0，∴2(4k 2－1)1＋4k 2·21＋4k 2＋－4k 1＋4k 2·2k 1＋4k 2＝0. ∴k 2＝12，∵C 在第一象限，∴k ＞0，k ＝22.∵OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋4k 2，2k 1＋4k 2， BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2(4k 2－1)1＋4k 2，0－－4k 1＋4k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41＋4k 2，4k 1＋4k 2， 由OC→＝λBA →，得λ＝k 2＋14.∵k ＝22，∴λ＝32.规律方法 与椭圆有关的综合问题，往往与其他知识相结合，解决这类问题的常规思路是联立直线方程与椭圆方程，解方程组求出直线与椭圆的交点坐标，然后根据所给的向量条件再建立方程，解决相关问题．涉及弦中点问题用“点差法”解决往往更简单．【训练4】 (2017·南京、盐城模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x ＝2.过椭圆的上顶点A 作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q .(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．(1)解 因为c a ＝22，a 2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝1. 故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 法一 设P 点坐标为(x 1，y 1)，则Q 点坐标为(x 1，－y 1)． 因为k AP ＝y 1－1x 1－0＝y 1－1x 1，所以直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0，解得m ＝－x 1y 1－1.因为k AQ ＝－y 1－1x 1－0＝－y 1＋1x 1， 所以直线AQ 的方程为y ＝－y 1＋1x 1x ＋1.令y ＝0，解得n ＝x 1y 1＋1. 所以mn ＝－x 1y 1－1·x 1y 1＋1＝x 211－y 21.又因为(x 1，y 1)在椭圆x 22＋y 2＝1上，所以x 212＋y 21＝1，即1－y 21＝x 212，所以x 211－y 21＝2，即mn ＝2，所以mn 为常数，且常数为2.法二 设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y ＝kx ＋1，令y ＝0得m ＝－1k .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，解得x A ＝0，x P ＝－4k1＋2k 2，所以y P ＝k ·x P ＋1＝1－2k 21＋2k 2，则Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k2，－1－2k 21＋2k 2， 所以k AQ ＝－1－2k 21＋2k 2－1－4k 1＋2k 2＝12k ，故直线AQ 的方程为y ＝12k x ＋1. 令y ＝0得n ＝－2k ， 所以mn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ·(－2k )＝2.所以mn 为常数，常数为2.[思想方法]1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于F 1F 2，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．2．求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)．先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a 2，b 2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程．若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． [易错防范]1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．2．在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．3．椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于________．解析 当m >4时，m －4＝1，∴m ＝5；当0<m <4时，4－m ＝1，∴m ＝3. 答案 32．(2017·苏州调研)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________．解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此其方程是x 24＋y 23＝1.答案 x 24＋y 23＝13．若椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是________．解析 由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝10，又PF 1＝6，∴PF 2＝4. 答案 44．(2017·扬州期末)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________． 解析 在Rt △PF 2F 1中，令PF 2＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以PF 1＝2，F 1F 2＝ 3.故e ＝2c 2a ＝F 1F 2PF 1＋PF 2＝33.答案 335．(2016·全国Ⅰ卷改编)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________．解析 如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝12b .在Rt △OFB 中，OF ×OB ＝BF ×OD ，即cb ＝a ·12b ，即a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝c a ＝12. 答案 126．(2016·南京师大附中模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba 的值为________． 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1，b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－1，∴b a ×(－1)×32＝－1，∴b a ＝233. 答案2337．(2017·昆明质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．解析 记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有PF 1＋PF 2＝2a ＝10.则m ＝PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝25，当且仅当PF 1＝PF 2＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25. ∴点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)． 答案 (－3,0)或(3,0)8．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，① 将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22二、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且MN ＝5F 1N ，求a ，b .解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12. (2)由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .① 由MN ＝5F 1N ，得DF 1＝2F 1N . 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则 ⎩⎨⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c .y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝2 7.10．(2017·苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右准线方程为x ＝4，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为255.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，试确定直线l 的斜率．解 (1)由题意知，直线l 的方程为y ＝2(x －a )，即2x －y －2a ＝0， 所以右焦点F 到直线l 的距离为 |2c －2a |5＝255，所以a －c ＝1. 又椭圆C 的右准线方程为x ＝4， 即a 2c ＝4，所以c ＝a 24，将此代入上式解得a ＝2，c ＝1， 所以b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)法一 由(1)知B (0，3)，F (1,0)． 所以直线BF 的标准方程为y ＝－3(x －1)， 联立方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x －1)，x 24＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝－335或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3(舍)． 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－335， 所以直线l 的斜率k ＝0－⎝⎛⎭⎪⎫－3352－85＝332.法二 由(1)知B (0，3)，F (1,0)，所以直线BF 的方程为y ＝－3(x －1)，由题意知A (2,0)，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，联立方程组得⎩⎨⎧y ＝－3(x －1)，y ＝k (x －2)，解得⎩⎨⎧x ＝2k ＋3k ＋3，y ＝－3kk ＋3，代入椭圆解得k ＝332或k ＝－32，又由题意知，y ＝－3kk ＋3<0得k >0或k <－3，所以k ＝332. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2016·苏州调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为________． 解析 设F (－c,0)关于直线3x ＋y ＝0的对称点A (m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c ·(－3)＝－1，3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －c 2＋n2＝0，∴m ＝c 2，n ＝32c ，代入椭圆方程可得c 24a 2＋34c2b 2＝1，并把b 2＝a 2－c 2代入，化简可得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，又0＜e ＜1，∴e ＝3－1. 答案3－112．(2017·盐城中学模拟)已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是________． 解析 依题意，知b ＝2，kc ＝2.设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45， 解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，解得0＜e ≤255. 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，255 13．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________． 解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24<0，即34x 2<2，∴x 2<83.解得－263<x <263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－263，263 14．(2017·南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b .过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积； (3)若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程． 解 (1)由条件得1a 2＋1b 2＝1，且c 2＝2b 2， 所以a 2＝3b 2，解得b 2＝43，a 2＝4.所以椭圆C 的方程为x 24＋3y 24＝1.(2)设l 1的方程为y ＋1＝k (x ＋1)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋k －1，x 2＋3y 2＝4， 消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (k －1)x ＋3(k －1)2－4＝0. 因为P 为(－1，－1)，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋6k ＋11＋3k2，3k 2＋2k －11＋3k 2. 当k ≠0时，用－1k 代替k ，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－6k －3k 2＋3，－k 2－2k ＋3k 2＋3， 将k ＝－1代入，得M (－2,0)，N (1,1)． 因为P (－1，－1)，所以PM ＝2，PN ＝22， 所以△PMN 的面积为12×2×22＝2.(3)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21＋3y 21＝4，x 22＋3y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 因为线段MN 的中点在x 轴上，所以y 1＋y 2＝0， 从而可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0. 若x 1＋x 2＝0，则N (－x 1，－y 1)．因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得x 21＋y 21＝2.又因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝±1， 所以M (－1,1)，N (1，－1)或M (1，－1)，N (－1,1)． 所以直线MN 的方程为y ＝－x . 若x 1－x 2＝0，则N (x 1，－y 1)，因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得y 21＝(x 1＋1)2＋1. 又因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝－12或－1， 经检验：x 1＝－12满足条件，x 1＝－1不满足条件．综上，直线MN的方程为x＋y＝0或x＝－1 2.第6讲双曲线考试要求双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，A级要求．知识梳理1．双曲线的定义(1)第一定义：平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值为正常数2a(小于两定点之间的距离2c)的动点的轨迹叫作双曲线．(2)双曲线的定义用代数式表示为|MF1－MF2|＝2a，其中2a<F1F2＝2c.(3)当MF1－MF2＝2a时，曲线仅表示靠近焦点F2的双曲线的一支；当MF1－MF2＝－2a时，曲线仅表示靠近焦点F1的双曲线的一支；当2a＝F1F2时，轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在．(4)第二定义：平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的动点轨迹叫作双曲线2．双曲线的标准方程及简单的几何性质x2y2y2x2曲线．(2)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线垂直(位置关系)⇔实轴长＝虚轴长．(3)双曲线的离心率e与ba⎝⎛⎭⎪⎫ba＝e2－1都是刻画双曲线开口的大小的量．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(4)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()解析(1)因为|MF1－MF2|＝8＝F1F2，表示的轨迹为两条射线．(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部．(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线．答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．(2016·全国Ⅰ卷改编)已知方程x2m2＋n －y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________．解析∵方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3.答案 (－1,3)3．(2017·南京调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为2x －y ＝0，则该双曲线的离心率为________．解析 由题意得双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ＝2x ，所以ba ＝2，则双曲线的离心率为e ＝1＋b 2a 2＝ 5.答案54．(2017·南通调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点P (1,1)，其一条渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的方程为________． 解析 由于双曲线过点P (1,1)，则有1a 2－1b 2＝1，又双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则有b a ＝2，与1a 2－1b 2＝1联立解得a 2＝12，b 2＝1，故所求的双曲线的方程为2x 2－y 2＝1. 答案 2x 2－y 2＝15．(选修1－1P41习题6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．解析 设双曲线的方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求方程为x 28－y 28＝1. 答案 x 28－y 28＝1考点一 双曲线的定义及其应用 【例1】 (1)(2017·盐城中学模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝________.(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A(0,66)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．解析(1)如图所示，因为AF1－AF2＝2a，BF1－BF2＝2a，BF1＝AF2＋BF2，所以AF2＝2a，AF1＝4a.所以BF1＝22a，所以BF2＝22a－2a.因为F1F22＝BF21＋BF22，所以(2c)2＝(22a)2＋(22a－2a)2，所以e2＝5－2 2.(2)设左焦点为F1，PF－PF1＝2a＝2，∴PF＝2＋PF1，△APF的周长为AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2＋PF1，△APF周长最小即为AP＋PF1最小，当A，P，F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为x －3＋y66＝1.与x2－y28＝1联立，解得P点坐标为(－2,26)，此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝12 6.答案(1)5－22、(2)12 6规律方法“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用．(2)技巧：经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立它与PF1、PF2的联系．提醒利用双曲线的定义解决问题，要注意三点①距离之差的绝对值．②2a＜F1F2.③焦点所在坐标轴的位置．【训练1】(1)如果双曲线x24－y212＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是________．(2)(2017·扬州模拟)已知点P为双曲线x216－y29＝1右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为________．解析 (1)由双曲线方程，得a ＝2，c ＝4.设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，根据双曲线的定义PF 1－PF 2＝±2a ， ∴PF 1＝PF 2±2a ＝8±4，∴PF 1＝12或PF 1＝4. (2)设内切圆的半径为R ，a ＝4，b ＝3，c ＝5， 因为S △PMF 1＝S △PMF 2＋8， 所以12(PF 1－PF 2)R ＝8， 即aR ＝8，所以R ＝2， 所以S △MF 1F 2＝12·2c ·R ＝10. 答案 (1)4或12 (2)10考点二 双曲线的标准方程及性质(多维探究) 命题角度一 与双曲线有关的范围问题【例2－1】 (1)(2017·苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知方程x 24－m －y 22＋m ＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围为________．(2)(2015·全国Ⅰ卷改编)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________． 解析 (1)由题意可得(4－m )(2＋m )>0， 解得－2<m <4.(2)因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＜0，即3y 20－1＜0，解得－33＜y 0＜33.答案 (1)(－2,4) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33命题角度二 与双曲线的离心率、渐近线相关的问题【例2－2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷改编)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为________. (2)(2017·盐城模拟)以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为________． 解析 (1)设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程， 得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2， 所以y ＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝MF 1F 1F 2＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e ＝24，所以e 2－22e －1＝0， 所以e ＝ 2.(2)由题意可得右焦点(c,0)到渐近线y ＝ba x 的距离为a ，则b ＝a ，该双曲线的离心率为e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 2. 答案 (1)2 (2) 2规律方法 与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．【训练2】 (1)(2017·苏北四市调研)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使A 1B 1＝A 2B 2，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．(2)(2017·南京模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________． 解析 (1)因为有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，所以直线A 1B 1和A 2B 2关于x 轴对称，并且直线A 1B 1和A 2B 2与x 轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x 轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意．可得ba＞tan 30°，即b 2a 2＞13，c 2－a 2a 2＞13，所以e ＞233.同样的，当b a ≤tan 60°，即b 2a 2≤3时，c 2－a 2a2≤3，即4a 2≥c 2，∴e 2≤4，∵e ＞1，所以1＜e ≤2. 所以双曲线的离心率的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2.(2)由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)． 设P (x ，y )(x ≥1)，则P A 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，P A 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x－2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.因为x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，所以当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2.答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2 (2)－2考点三 双曲线的综合问题【例3】 (1)(2017·扬州质检)已知F 是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的一个公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若AF →·BF →＝0，则C 2的离心率是________．(2)(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．解析 (1)设另一个公共焦点为F 2，AF ＝m ，AF 2＝n ，由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a 1＝4，根据对称性知AF 2∥BF ，且AF 2＝BF ，由AF →·BF →＝0可知AF ⊥BF ，所以AF ⊥AF 2，则有m 2＋n 2＝(2c 1)2＝12，与m ＋n ＝4联立，解得m ＝2－2，n ＝2＋2(或m ＝2＋2，n ＝2－2)．根据双曲线的定义可得2a 2＝|m －n |＝22，即a 2＝2，而c 2＝c 1＝3，故双曲线的离心率为e ＝c 2a 2＝62.(2)设P (x ，y )(x ≥1)，因为直线x －y ＋1＝0平行于渐近线x －y ＝0，所以c 的最大值为直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0之间的距离，由两平行线间的距离公式知，该距离为12＝22. 答案 (1)62 (2)22规律方法 解决与双曲线有关综合问题的方法(1)解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时，要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系，再结合双曲线的几何性质求解．(2)解决直线与双曲线的综合问题，通常是联立直线方程与双曲线方程，消元求解一元二次方程即可，但一定要注意数形结合，结合图形注意取舍．【训练3】 (2016·天津卷改编)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为________．解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b 2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2. 由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长分别为84＋b2，4b 4＋b 2，故8×4b 4＋b2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案 x 24－y 212＝1[思想方法]1．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程． [易错防范]1．双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆．2．求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错． 3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±ab x .4．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________． 解析 由已知，得a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 答案 2102．(2017·南京模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x . 答案 y ＝±22x3．(2015·广东卷改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为________．解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.答案 x 216－y 29＝14．(2017·苏北四市联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为________． 解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c,0)到y ＝b a x 的距离为2，即|bc |a 2＋b 2＝2，又b ＞0，c ＞0，a 2＋b 2＝c 2，∴bcc ＝b ＝2，又∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3，∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a ＝35＝355.答案3555．(2017·南通、扬州、泰州三市调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为M ，右焦点为F ，过点F 作垂直于x 轴的直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且满足MA ⊥MB ，则该双曲线的离心率是________．解析 由题意可得AF ＝MF ，且AF ＝b 2a ，MF ＝a ＋c ，则b 2a ＝a ＋c ，即b 2＝a 2＋ac ＝c 2－a 2，所以e 2－e －2＝0(e >1)，解得e ＝2.答案 26．(2017·南京师大附中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋(y ＋2)2＝1没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________． 解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0与圆x 2＋(y ＋2)2＝1没有公共点，则2a a 2＋b2＝2a c >1,2a >c ，故该双曲线的离心率满足1<e ＝ca <2，即双曲线的离心率的取值范围为(1,2)． 答案 (1,2)7．(2017·泰州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为________．解析 由题意知，圆的半径为5，又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y ＝b a x 上，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，4＝3×ba ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 216＝1. 答案 x 29－y 216＝18．(2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2AB ＝3BC ，则E 的离心率是________．解析 由已知得AB ＝2b 2a ，BC ＝2c ，∴2×2b 2a ＝3×2c .又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)． 答案 2 二、解答题9．(2017·镇江期末)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．。
2018年高三数学一诊圆锥曲线题目精选30题
1．已知椭圆()22:10E a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，过F 且与x 轴垂直的弦长为3.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过F 作直线l 与椭圆交于A B 、两点，问：在x 轴上是否存在点P ，使PA PB ⋅uu r uu r为定值，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由.解：（1）由题意知222a b c =+，1c =.又当x c =时，2b y a =±.∴223b a⋅=. 则224,3a b ==.∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）假设存在点P 满足条件，设其坐标为(),0t ，设()11,A x y ，()22,B x y ，当l 斜率存在时，设l 方程为()1y k x =-，联立()221,143y k x x y ⎧=-⎪⇒⎨+=⎪⎩()22224384120k x k x k +-+-=，0∆>恒成立.∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+.∴()11,PA x t y =-uu r ，()22,PB x t y =-uu r.∴()()1212PA PB x t x t y y ⋅=--+uu r uu r ()()()()2121211x t x t k x x =--+-- ()()()222212121k x x k t x x k t =+-++++()()()()()22222222141284+34+3k k k t k k t k k +--+⋅++=()()2222485312=43t t k t k --+-+.当PA PB ⋅uu r uu r 为定值时，2248531243t t t ---=.∴118t =.此时223121354364t PA PB t -⋅==-=-uu r uu r .当l 斜率不存在时，11,08P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭.33,82PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu r ，33,82PB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭uu r ，13564PA PB ⋅=-uu r uu r . ∴存在满足条件的点P ，其坐标为11,08⎛⎫⎪⎝⎭.此时PA PB ⋅u u r u u r 的值为13564-.2.已知圆22:1O x y +=与x 轴负半轴相交于点A ，与y 轴正半轴相交于点B .（1）若过点2C ⎝⎭的直线l 被圆Ol 的方程；（2）若在以B 为圆心半径为r 的圆上存在点P，使得PA (O 为坐标原点)，求r 的取值范围；（3）设()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线12QM QM 、与y 轴分别交于()0,m 和()0,n ，问m n ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由. 解：（1）1︒若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为：12x =，符合题意.2︒若直线l 的斜率存在，设l的方程为：12y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即220kx y k --∴点O 到直线l 的距离d =l 被圆O∴221d +=⎝⎭∴k =，此时l 的方程为：10x +=∴所求直线l的方程为12x =或10x += （2）设点P 的坐标为(),x y ，由题得点A 的坐标为()1,0-，点B的坐标为()0,1 由PA ==()2212x y -+=∵点P 在圆B上，∴r r≤0r<≤∴所求r 的取值范围是0r <≤（3）∵()11,M x y ，则()()111211,,,M x y M x y ---∴直线1QM 的方程为()211121y y y y x x x x ++=++令0x =，则122112x y x y m x x -=+同理可得122112x y x y n x x +=-∴()()2212211221122122121212x y x y x y x y x y x y mn x x x x x x --+=⋅=+--()()222212212212111x x x x x x ---==- ∴m n ⋅为定值1.4．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0ab >>）的离心率e =，过点R (1,0)-的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，且2PR RQ =.（Ⅰ）当直线l 的倾斜角为060时，求三角形OPQ 的面积； （Ⅱ）当三角形OPQ 的面积最大时，求椭圆C 的方程．解:由e =得223a b =，所以222:33C x y b +=．设1122(,),(,),P x y Q x y ，则由2P R R Q=uur uuu r ，R(1,0)-，得1212213203x x y y +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩由2PR RQ =uu r uu u r 知直线l 斜率存在设为k ,得直线l 的方程(1)y k x =+，代入222:33C x y b +=得22222(31)6330k x k x k b +++-=，由2PR RQ =uur uuu r 知0∆>，且2122221226313331k x x k k b x x k ⎧-+=⋅⎪⎪+⎨-⎪=⋅⎪+⎩解得21222233313331k x k k x k ⎧-+=⋅⎪⎪+⎨--⎪=⋅⎪+⎩， 12122312231OPQ k k S OR y y x x k =-=-=+V（1）k =2331OPQ k S k ==+V （2）（0k ≠时）1212231322313OPQ k k S OR y y x x k k k=-=-==≤++V21,3k k ==时三角形OPQ 的面积最大，把213k =代入得253b =．25a ∴= 于是椭圆C 的方程为223155x y +=． 5．如图，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左顶点(2,0)A -，且点3(1,)2-在椭圆上，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点。
2018高考文科数学圆锥曲线与方程专项100题(WORD版含答案)
2018高考文科数学圆锥曲线与方程专项100题（WORD 版含答案）一、选择题（本题共40道小题） 1.双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的渐近线在第一象限交于点A ，点O 为坐标原点，点H 满足•=0， =4，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．3 2.已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，A ，B 分别为双曲线C 左、右两支上的点，且四边形ABOF （O 为坐标原点）为菱形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．2C ． +1D ．2 3.已知抛物线C ：y 2=﹣8x 的焦点为F ，直线l ：x=1，点A 是l 上的一动点，直线AF 与抛物线C 的一个交点为B ，若，则|AB|=（ ）A ．20B ．16C ．10D ．54.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为2，过点E(4, 0)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则2AF BF +的最小值为A. 3+B. 7C. 3+D. 9 5. 已知双曲线22:1(0)1x y C m m m-=>+的左焦点F 在圆2226150x y x y +---=上，则双曲线C 的离心率为A.95 B. 94 D. 326.已知曲线y=x 2+2x ﹣2在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是（ ）A ．（﹣1，3）B ．（﹣1，﹣3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（﹣2，3） 7.已知双曲线x 2﹣m y 2=1与抛物线y 2=8x 的准线交于点P ，Q ，抛物线的焦点为F ，若△PQF 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．34 B ．35 C ．925 D ．916 8.已知过双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．（1，）B ．（1，） C ．（，） D ．（，）9. 抛物线y 2=8x 与双曲线C ：22a x ﹣22b y =1（a ＞0，b ＞0）有相同的焦点，且该焦点到双曲线C 的渐近线的距离为1，则双曲线C 的方程为（ ）A ．x 2﹣3y 2=1B ．y 2﹣3x 2=1C ．9x 2﹣y 2=1D ．3x 2﹣y 2=1 10.椭圆=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F 1，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 11. 双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 12.直线l 过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 交抛物线C 于A 、B 两点，则的取值范围为（ ）A ．{1}B ．（0，1]C ．[1，+∞）D ． 13.已知抛物线C ：y 2=6x 的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，点Q 在l 上，若=，则直线PQ 的斜率为（ ）A ．±1B ．±C ．±D ．±2 14.已知双曲线﹣=1，则其渐近线方程为（ ）A ．y=±x B ．y=±x C ．y=±x D ．y=±3x 15.已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且=， •=0，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．﹣1 B ． C ． +1 D ． +1 16.设F 1，F 2分别为双曲线C ：的两个焦点，M ，N 是双曲线C 的一条渐近线上的两点，四边形MF 1NF 2为矩形，A 为双曲线的一个顶点，若△AMN 的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．D ． 17.在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A （0，4），C （0，﹣4），顶点B 在椭圆上，则=（ ）A ．B ．C ．D ．18.已知双曲线C 2：的一个顶点是抛物线C 1：y 2=2x 的焦点F ，两条曲线的一个交点为M ，|MF|=，则双曲线C 2的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．19.双曲线2221y x b -=的离心率e = ）A ．12y x =±B ．15y x =± C. y =±2x D ．y =±5x 20. 已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2=1的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH|= ( )A ．1B ．2 C.4 D ．1221. 若双曲线3x 2﹣y 2=1的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上，则p 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．42 22.已知椭圆，双曲线和抛物线y 2=2px （p ＞0）的离心率分别为e 1、e 2、e 3，则（ ）A ．e 1e 2＞e 3B ．e 1e 2=e 3C ．e 1e 2＜e 3D ．e 1e 2≥e 3 23.设F 1、F 2是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|+|PF 2|=6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A ．x ±y=0 B ．x ±y=0 C ．x ±2y=0 D ．2x ±y=0 24.过抛物线y 2=4x 的焦点且与x 轴垂直的直线交双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则AB=（ ）A ．B ．C ．6D ． 25.已知在椭圆方程+=1中，参数a ，b 都通过随机程序在区间（0，t ）上随机选取，其中t ＞0，则椭圆的离心率在（，1）之内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．26.M 为双曲线C ： =1（a ＞0，b ＞0）右支上一点，A 、F 分别为双曲线的左顶点和右焦点，且△MAF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．﹣1 B ．2 C ．4 D ．6 27.在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x 其中x ∈（0，1），以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，若对任意x ∈（0，1）不等式t ＜e 1+e 2恒成立，则t 的最大值为（ ）A ．B ．C ．2D ． 28.已知斜率为3的直线l 与双曲线C ： =1（a ＞0，b ＞0）交于A ，B 两点，若点P （6，2）是AB 的中点，则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．B ．C ．2D ． 29.已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0），圆M ：（x ﹣a ）2+y 2=c 2，双曲线以椭圆C 的焦点为顶点，顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆M 相切，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 30.函数y=2x 2的焦点坐标为（ ）A ．（） B ．（1，0） C ．（0，） D ．（0，） 31.已知F 1、F 2是双曲线E ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点M 在E 的渐近线上，且MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=，则E 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．232.双曲线﹣=1的顶点到渐近线的距离为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．过抛物线y 2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 34.已知椭圆C ：的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点的直线l （斜率不为零）与椭圆C 交于A ，B 两点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，则四边形AF 1BF 2的周长为（ ）A ．4B ．C ．8D ． 35.斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 36.过抛物线y 2=4ax （a ＞0）的焦点F 作斜率为﹣1的直线l ，l 与离心率为e 的双曲线1b y a x 2222=-(b ＞0)的两条渐近线的交点分别为B ，C ．若x B ，x C ，x F 分别表示B ，C ，F 的横坐标，且C B 2F x x x ⋅-=，则e=（ ）A ．6B ．6C ．3D ．337. 已知椭圆C ：2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的离心率为22，双曲线 x 2﹣y 2=1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为8，则椭圆C 的方程为（ ）A ．2y 8x 22+=1 B ．6y 12x 22+=1 C ．3y 6x 22+=1 D ．5y 20x 22+=1 38. 若抛物线y 2=ax 的焦点到其准线的距离是2，则a=（ ）A ．±1B ．±2C ．±4D ．±839.抛物线y 2=4x 上有两点A ，B 到焦点的距离之和为7，则A ，B 到y 轴的距离之和为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5已知共线，则圆锥曲线+y2=1的离心率为（）A．B．2 C．D．或2二、填空题（本题共13道小题）41.抛物线 M：y2=2px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，抛物线M与椭圆N交于A，B，若F，A，B共线，则椭圆N的离心率等于．42.设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为．43.两个正数a，b的等差中项为2，等比中项为，且a＞b，则双曲线的离心率e等于．44.已知双曲线的一个焦点为，且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程为．45.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线被圆x2+y2﹣6x+5=0截得的弦长为2，则离心率e= ．46.已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．47.设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做x轴的垂线交双曲线于B，C两点，若A1B⊥A2C，则双曲线的离心率为．48.抛物线 M：y2=2px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，抛物线M与椭圆N交于A，B，若F，A，B共线，则椭圆N的离心率等于．49.双曲线17y ax 222=-（a ＞0）的右焦点为圆（x ﹣4）2+y 2=1的圆心，则此双曲线的离心率为 ．50.若双曲线x 2﹣=1的离心率为，则实数m= ．51. 直线y=2b 与双曲线22a x ﹣22by =1（a ＞0，b ＞0）的左支、右支分别交于B ，C 两点，A 为右顶点，O 为坐标原点，若∠AOC=∠BOC ，则该双曲线的离心率为 ．52.定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的焦距为4，焦点三角形的周长为4+12，则椭圆C 的方程是 ． 53.设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于两点A ，B ，若|AF 1|：|AB|=3：4，且F 2是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．5三、解答题（本题共47道小题）54.已知椭圆C 的左、右焦点分别为（﹣）、（），且经过点（）．（ I ）求椭圆C 的方程： （ II ）直线y=kx （k ∈R ，k ≠0）与椭圆C 相交于A ，B 两点，D 点为椭圆C 上的动点，且|AD|=|BD|，请问△ABD 的面积是否存在最小值？若存在，求出此时直线AB 的方程：若不存在，说明理由．55.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为B （0，﹣1），且其右焦点到直线的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为k （k ≠0），且过定点的直线l ，使l 与椭圆交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．56.已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）离心率为，右焦点为F（c，0）到直线x=的距离为1（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）不经过坐标原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB中点在直线y=x上，求△OAB面积的最大值．57.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且经过点，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点（点M与点A不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．（1）求椭圆C的方程．（2）求证：AP⊥OM．（3）试问：•是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．58.已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+（y﹣b）2=a2相切．（1）求椭圆C的方程；（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下求△AMN面积的最大值．59.已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的右焦点为F，上顶点为G，直线FG与直线x-=垂直，椭圆E经过点3 (1)2 P，.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点F 作椭圆E 的两条互相垂直的弦AB ，CD. 若弦AB ，CD 的中点分别为M ，NM ， 证明：直线MN 恒过定点. 60.已知椭圆C 的中心的中心在中心在坐标原点，焦点在x 轴上且过点12P ⎫⎪⎭，离心率是． （1）求椭圆C 的标准方程．（2）直线l 过点(1,0)E -且与椭圆C 交于A 、B 两点，若||2||EA EB =，求直线l 的方程． 61.已知椭圆C 的离心率为23，F 1，F 2分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上任意一点，△PF 1F 2的周长为4+23，直线l ：y=kx+m （k≠0）与椭圆C 相交于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 与圆x 2+y 2=1相切，过椭圆C 的右焦点F 2作垂直于x 轴的直线，与椭圆相交于M ，N 两点，与线段AB 相交于一点（与A ，B 不重合）．求四边形MANB 面积的最大值及取得最大值时直线l 的方程． 62.已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，直线y=2与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|=2|PQ| （Ⅰ）求C 的方程（Ⅱ）判断C 上是否存在两点M ，N ，使得M ，N 关于直线l ：x+y ﹣4=0对称，若存在，求出|MN|，若不存在，说明理由． 63.如图，在平面平直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）的离心率e=23，在顶点为A （﹣2，0），过点A 作斜率为k （k≠0）的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k （k≠0）都有OP ⊥EQ ？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由； （3）若过点O 作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求|OM ||AE ||AD |+的最小值．64.已知F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的交点，直线l1：y=﹣x与抛物线C的一个交点横坐标为8．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A、B，若线段AB的中点为P，且|OP|=|AB|，求△FAB的面积．65.如图，在平面直角坐标系xOy中，A和B分别是椭圆C1： +=1（a＞b＞0）和C2： +=1（m＞n＞0）上的动点，已知C1的焦距为2，且•=0，又当动点A在x轴上的射影为C1的焦点时，点A恰在双曲线2y2﹣x2=1的渐近线上．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴长度相等，求|AB|2的取值范围．66.已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l2：y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线l1上，求△OAB 的面积S 的最大值．（其中O 为坐标原点）． 67.已知椭圆的中心是原点O ，焦点在x 轴上，离心率为，短轴长为2，定点A （2，0）．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F 的直线与椭圆交于点M 、N ，当|MN|最小时，求△AMN 的面积． 68.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，且离心率是21，过坐标原点O 的任一直线交椭圆C 于M 、N 两点，且|NF 2|+|MF 2|=4． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l ：y=kx+m 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且与圆x 2+y 2=1相切， （i ）求证：m 2=k 2+1；（ii ）求•的最小值． 69.已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，|AB|=，点P 是椭圆C 上的动点，且cos ∠F 1PF 2的最小值为．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点（﹣2，0）的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，求•的取值范围．70.已知点在抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）上．（1）求抛物线C 的方程；（2）设定点D （0，m ），过D 作直线y=kx+m （k ＞0）与抛物线C 交于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）（y 1＜y 2）两点，连接ON （O 为坐标原点），过点M 作垂直于x 轴的直线交ON 于点G ．①证明点G 在一条定直线上； ②求四边形ODMG 的面积的最大值．71.已知椭圆C n ： +=n （a ＞b ＞0，n ∈N *），F 1、F 2是椭圆C 4的焦点，A （2，）是椭圆C 4上一点，且•=0；（1）求C n 的离心率并求出C 1的方程；（2）P 为椭圆C 2上任意一点，过P 且与椭圆C 2相切的直线l 与椭圆C 4交于M ，N 两点，点P 关于原点的对称点为Q ；求证：△QMN 的面积为定值，并求出这个定值．72.已知椭圆Γ：=1（a ＞b ＞0）的左顶点为A ，右焦点为F 2，过点F 2作垂直于x 轴的直线交该椭圆于M 、N 两点，直线AM 的斜率为． （1）求椭圆Γ的离心率；（2）若△AMN 的外接圆在点M 处的切线与椭圆交于另一点D ，△F 2MD 的面积为，求椭圆Γ的标准方程． 73.已知椭圆经过点M （﹣2，﹣1），离心率为．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论． 74.已知椭圆C 的两个焦点为()1F 1,0-，()2F 1,0，且经过点E .(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若11AF 2F B =，求直线l 的斜率k 的值. 75.（14分）已知椭圆E ：1by a x 2222=+（a ＞b ＞0）经过点A （2，3），离心率e=21．（1）求椭圆E 的方程；（2）若∠F 1AF 2的角平分线所在的直线l 与椭圆E 的另一个交点为B ，C 为椭圆E 上的一点，当△ABC 的面积最大时，求C 点的坐标． 76.（14分）已知椭圆22a x +22by =1（a ＞b ＞0）离心率为22．（1）椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是椭圆上的一点，且点A 到此两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程；（2）求b 为何值时，过圆x 2+y 2=t 2上一点M （2，2）处的切线交椭圆于Q 1、Q 2两点，且OQ 1⊥OQ 2． 77.已知椭圆C ：的右焦点为F 1（1，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及左顶点P 的坐标；（Ⅱ）设过点F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△PAB 的面积为，求直线AB 的方程．78.已知椭圆C ：，离心率为．（I ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C 的下顶点为A ，直线l 过定点，与椭圆交于两个不同的点M 、N ，且满足|AM|=|AN|．求直线l 的方程． 79.如图，在矩形ABCD 中，|AB|=4，|AD|=2，O 为AB 中点，P ，Q 分别是AD 和CD 的中点，且直线AQ 与BP 的交点在椭圆E ： +y 2=1（a ＞0）上．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设R 为椭圆E 的右顶点，T 为椭圆E 的上顶点，M 为椭圆E 第一象限部分上一点，求梯形ORMT面积的最大值．80.已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点为F1，F2，点M为椭圆C上的任意一点，的最小值为2．（I）求椭圆C的标准方程；（II）已知椭圆C的左、右顶点为A，B，点D（a，t）为第一象限内的点，过F2作以BD 为直径的圆的切线交直线AD于点P，求证：点P在椭圆C上．81.已知抛物线的方程为C：x2=4y，过点Q（0，2）的一条直线与抛物线C交于A，B两点，若抛物线在A，B两点的切线交于点P．（1）求点P的轨迹方程；（2）设直线PQ与直线AB的夹角为α，求α的取值范围．82.已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值．83.已知抛物线C：y2=4x，点M与抛物线C的焦点F关于原点对称，过点M且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同两点A，B，线段AB的中点为P，直线PF与抛物线C交于两点E，D．（Ⅰ）判断是否存在实数k使得四边形AEBD为平行四边形．若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）求的取值范围．84.（12分）已知点A 、B 分别是左焦点为（﹣4，0）的椭圆C ：2222by a x =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，且椭圆C 过点P （23，235）．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知F 是椭圆C 的右焦点，以AF 为直径的圆记为圆M ，过P 点能否引圆M 的切线？若能，求出这条切线与x 轴及圆M 的弦PF 所对的劣弧围成的图形面积；若不能，说明理由． 85.已知点F 是拋物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点，若点M （x 0，1）在C 上，且|MF|=．（1）求p 的值；（2）若直线l 经过点Q （3，﹣1）且与C 交于A ，B （异于M ）两点，证明：直线AM 与直线BM 的斜率之积为常数． 86.已知直线l 过点P （2，0），斜率为，直线l 和抛物线y 2=2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求： （1）点M 的坐标； （2）线段AB 的长|AB|． 87.已知椭圆的两个焦点分别为，，点M （1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点M （1，0）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点N （3，2），记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1+k 2为定值． 88.椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的短轴两端点为B 1（0，﹣1）、B 2（0，1），离心率e=，点P 是椭圆C 上不在坐标轴上的任意一点，直线B 1P 和B 2P 分别与x 轴相交于M ，N两点，（Ⅰ）求椭圆C 的方程和|OM|•|ON|的值；（Ⅱ）若点M 坐标为（1，0），过M 点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试求△ABN 面积的最大值．89.已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（1，0），离心率为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P （0，3）的直线m 与C 交于A 、B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的方程． 90.（14分）已知椭圆E ：2222by a x =1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，离心率e=21，点D(0，3)在椭圆E 上．（Ⅰ） 求椭圆E 的方程；（Ⅱ） 设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E 于A ，B 两点，△DAF 的面积为S △DAF ，△DBF 的面积为S △DBF ，且S △DAF ：S △DBF =2：1，求直线AB 的方程． 91.双曲线C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴垂直的直线交双曲线C 于A 、B 两点，△F 1AB 的面积为12，抛物线E ：y 2=2px （p ＞0）以双曲线C 的右顶点为焦点．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）如图，点为抛物线E 的准线上一点，过点PM作y 轴的垂线交抛物线于点，连接PO 并延长交抛物线于点N ，求证：直线MN 过定点．92.（14分）已知椭圆Ω：1by a x 2222=+(a ＞b ＞0)，直线22x+y=1经过Ω的右顶点和上顶点．（1）求椭圆Ω的方程；（2）设椭圆Ω的右焦点为F ，过点G （2，0）作斜率不为0的直线交椭圆Ω于M ，N 两点．设直线FM 和FN 的斜率为k 1，k 2． ①求证：k 1+k 2为定值； ②求△FMN 的面积S 的最大值．93.（12分）已知椭圆 C ：2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点分别是F 1，F 2，点 D 在椭圆C 上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2|=43|DF|，△DFF 的面积为23． （1）求椭圆C 的方程；（2）圆x 2+y 2=b 2的切线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求|AB|的最大值． 94.已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0），圆Q ：（x ﹣2）2+（y ﹣）2=2的圆心Q 在椭圆C上，点P （0，）到椭圆C 的右焦点的距离为．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线l 1，l 2，且l 1交椭圆C 于A ，B 两点，直线l 2交圆Q 于C ，D 两点，且M 为CD 的中点，求△MAB 的面积的取值范围．95.已知椭圆C ：2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的离心率是22，且过点P(2，1)．直线y=22x+m 与椭圆C 相交于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求△PAB 的面积的最大值；（Ⅲ）设直线PA ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ．判断|PM|，|PN|的大小关系，并加以证明． 96.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>(1,0)M 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线10x y -+=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点(3,2)N ，和平面内一点(,)(3)P m n m ≠，过点M 任作直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，设直线,,AN NP BN 的斜率分别为123,,k k k ，2313k k k =+，试求,m n 满足的关系式. 97.已知椭圆C ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）的离心率为21，且椭圆C 与圆M ：x 2+（y ﹣3）2=4的公共弦长为4 （1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，过椭圆C 的右顶点A 作直线l 与圆x 2+y 2=58相切并交椭圆C 于另一点，求•的值． 98.已知抛物线y 2=2px （p ＞0），过点C （﹣2，0）的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，且=12（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当以AB 为直径的圆的面积为16π时，求△AOB 的面积S 的值． 99.已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴，离心率为，且长轴长是短轴长的倍．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设P （2，0）过椭圆Γ左焦点F 的直线l 交Γ于A ，B 两点，若对满足条件的任意直线l ，不等式恒成立，求λ的最小值．100.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO|=|AF|=23； （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．试卷答案1.C【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用射影定理，确定c=|OA|，可得∠AOF=60°，=tan60°=，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由射影定理可得，|OF|2=|OH|•|OA|，∵=4，∴c=|OA|，∴∠AOF=60°，∴=tan60°=，∴c==2a，∴e==2，故选：C．2.C【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用四边形ABOF（O为坐标原点）为菱形，结合双曲线的对称性，求出A的坐标，代入双曲线方程然后求解离心率．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，A，B分别为双曲线C左、右两支上的点，且四边形ABOF（O为坐标原点）为菱形，不妨A在x轴上方，可知A（，），代入双曲线方程可得：．可得e4﹣8e2+4=0，e＞1，可得e2=．可得e=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，判断A的位置是解题的关键，考查计算能力．3.A【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A （﹣1，a ），B （m ，n ），且n 2=﹣8m ，利用向量共线的坐标表示，由，确定A ，B 的坐标，即可求得．【解答】解：由抛物线C ：y 2=﹣8x ，可得F （﹣2，0）， 设A （1，a ），B （m ，n ），且n 2=﹣8m ，∵，∴1+2=﹣3（m+2）， ∴m=﹣3，∴n=±2，∵a=﹣3n ，∴a=±6，∴|AB|==20．故选：A ．【点评】本题考查抛物线的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题． 4.C由抛物线C 的焦点F 到其准线的距离为2，得p=2，设直线l 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，设221212()()44y y A y B y ，，，，则1216y y =-，所以2212212(1)44y y AF BF +=+++221233342y y =++≥=+221242y y =，即22122y y =时，取等号），故选C. 5.C设(0)(0)F c c ->，，将(0)F c -，代入2226150x y x y +---=中得，22150c c +-=，解得c=3，所以2194m m c m ++===，，所以双曲线C 的离心率e == C. 6.B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出M （m ，n ），求出导数，求得切线的斜率，由题意可得2m+2=0，解得m ，进而得到n ，即可得到切点坐标．【解答】解：y=x2+2x﹣2的导数为y′=2x+2，设M（m，n），则在点M处的切线斜率为2m+2，由于在点M处的切线与x轴平行，则2m+2=0，解得m=﹣1，n=1﹣2﹣2=﹣3，即有M（﹣1，﹣3）．故选B．7.B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，x=﹣2，等边三角形的边长为，将（﹣2，）代入双曲线，可得方程，即可求出m的值．【解答】解：由题意，x=﹣2，等边三角形的边长为，将（﹣2，）代入双曲线，可得=1，∴，故选：B．8.B【考点】双曲线的简单性质．【分析】要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．【解答】解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1，即b＜a，∴＜a，整理得c＜a，∴e=＜∵双曲线中e＞1∴e的范围是（1，）．故选：B．9.D【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】先求出抛物线的焦点坐标，即可得到c=2，再求出双曲线的渐近线方程，根据点到直线的距离求出b的值，再求出a，问题得以解决．【解答】解：∵抛物线y2=8x中，2p=8，∴抛物线的焦点坐标为（2，0）．∵抛物线y2=8x与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点，∴c=2，∵双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，且该焦点到双曲线C的渐近线的距离为1，∴=1，即=1，解得b=1，∴a2=c2﹣b2=3，∴双曲线C的方程为﹣y2=1，故选：D．10.D【考点】椭圆的简单性质．【分析】设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，利用OM是△FPF2的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF1的三边之长，使用勾股定理求离心率．【解答】解：设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，由题意知，OM=b，又OM是△FPF1的中位线，∴OM=PF2=b，PF2=2b，由椭圆的定义知 PF1=2a﹣PF2=2a﹣2b，又MF1=PF1=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF1=c，直角三角形OMF1中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率 e==，故选：D．11.D【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c 的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程得y=即M（c，）在△MF1F2中tan30°=即=解得e==故选：D．【点评】本题考查双曲线中三参数的关系：c2=a2+b2，注意与椭圆中三参数关系的区别；求圆锥曲线的离心率就是求三参数的关系．12.A【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1代入答案可得．【解答】解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=﹣1．设过F点直线方程为y=k（x﹣1）代入抛物线方程，得 k2（x﹣1）2=4x．化简后为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2=1，根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，∴=+==1，故选A．13.C【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，结合=，求出P的坐标，即可求解直线的斜率．【解答】解：抛物线Γ：y2=6x的焦点F（，0），=，|QF|=|PF|=|PA|，∵2p=6，P（，±3）∴直线PQ的斜率就是直线PF的斜率k PF=±=，故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．14.A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得其焦点在x轴上，且a==2，b==2，将a、b的值代入焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为：﹣=1，则其焦点在x轴上，且a==2，b==2，故其渐近线方程为y=±x；故选：A．【点评】本题考查双曲线的集合性质，注意分析双曲线的标准方程的形式，确定其焦点的位置．15.A【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件可得P是Q，F2的中点，⊥，由条件求出Q坐标，由中点坐标公式，求出P的坐标，代入双曲线方程，即可求解双曲线的离心率．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P为双曲线C上一点，Q为双曲线C渐近线上一点，P、Q均位于第一象限，且=，•=0，可知P是Q，F2的中点，⊥，Q在直线bx﹣ay=0上，并且|OQ|=c，则Q（a，b），则P（，），代入双曲线方程可得：﹣=1，即有=，即1+e=．可得e=﹣1．故选：A．16.D【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（x， x），由题意，|MO|=c，则x=a，∴M（a，b），利用△AMN的面积为，建立方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设M（x， x），由题意，|MO|=c，则x=a，∴M（a，b），∵△AMN的面积为，∴，∴4a2（c2﹣a2）=c4，∴e4﹣4e2+4=0，∴e=．故选D．17.C【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先根据所给的椭圆的方程写出椭圆的长轴的长，两个焦点之间的距离，根据正弦定理得到角的正弦值之比就等于边长之比，把边长代入，得到比值【解答】解：∵△ABC的顶点A（0，4），C（0，﹣4），顶点B在椭圆上∴a=2，即AB+CB=2a，AC=2c∵由正弦定理知，∴则=．故选：C．【点评】本题考查椭圆的性质和正弦定理的应用，解题的关键是把角的正弦值之比写成边长之比，进而和椭圆的参数结合起来．18.C【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过题意可知F（，0）、不妨记M（1，），将点M、F代入双曲线方程，计算即得结论．【解答】解：由题意可知F（，0），由抛物线的定义可知：x M=﹣=1，∴y M=±，不妨记M（1，），∵F（，0）是双曲线的一个顶点，∴=1，即a2=，又点M在双曲线上，∴=1，即b2=，∴e==，故选：C．19.C在双曲线2221yxb-=中，a=1，由e=5ac=，得c=5，故b=22ac-=2，故双曲线的渐近线方程为y=±2x，故选C.20.A21.C【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，即可求出p．【解答】解：双曲线的左焦点（﹣2，0）在抛物线y2=2px的准线x=﹣上，可得﹣2=﹣，解得p=4．故选：C．【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基础题．22.C【考点】K4：椭圆的简单性质；K8：抛物线的简单性质；KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意先分别表示出e1，e2和e3，然后求得e1e2的取值范围，检验选项中的结论即可．【解答】解：依题意可知e1=，e2=，e3=1∴e1e2=•=＜1，A，B，D不正确．故选C．23.A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】不妨设P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，求出△PF1F2的三边，比较即可得到最小的角，再由余弦定理，即可得到c=a，再由a，b，c的关系，结合渐近线方程，即可得到所求．【解答】解：不妨设P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得，|PF1|=4a，|PF2|=2a，且|F1F2|=2c，由于2a最小，即有∠PF1F2=30°，由余弦定理，可得，cos30==．则有c2+3a2=2ac，即c=a，则b==a，。
2018届广东省江门市高考数学一轮复习专项检测试题22圆锥曲线与方程(2)
圆锥曲线与方程02三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．过点C(0，1)的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，椭圆与x 轴交于两点(,0)A a 、(,0)A a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．(I ） 当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；(Ⅱ）当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ⋅为定值．【答案】（Ⅰ）由已知得31,c b a ==2a =，所以椭圆方程为2214x y +=．椭圆的右焦点为(3,0)，此时直线l 的方程为 31y =+，代入椭圆方程得 27830x x -=，解得12830,x x ==代入直线l 的方程得 1211,7y y ==-，所以831()7D -，故2283116||(0)(1)777CD =-+--=．(Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为11(0)2y kx k k =+≠≠且．代入椭圆方程得22(41)80k x kx ++=．解得12280,41kx x k -==+，代入直线l 的方程得2122141,41k y y k -==+，所以D 点的坐标为222814(,)4141k kk k --++．又直线AC 的方程为12x y +=，又直线BD 的方程为12(2)24ky x k +=+-，联立得4,2 1.x k y k =-⎧⎨=+⎩因此(4,21)Q k k -+，又1(,0)P k-．所以1(,0)(4,21)4OP OQ k k k⋅=--+=．故OP OQ ⋅为定值．18．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>P 1）求出此双曲线C 的方程；【答案】2213x y -= 19．已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1()022，-，F 2（0，22），且离心率e =223。
最新-2018年河南省重点高中数学一轮复习练习---圆锥曲线及答案 精品
高中数学一轮复习练习---圆锥曲线（1）一、选择题(每题5分)1)如果实数y x ,满足等式3)2(22=+-y x ，那么xy的最大值是（ ） A 、21 B 、33 C 、23 D 、3 2)若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为（ ）A 、1,1-B 、2,2-C 、1D 、1-3)已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）（A ）10 （B ）20 （C ）241（D ） 414 4)椭圆13610022=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）85)椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）（A ）9 （B ）12 （C ）10 （D ）86)椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ） （A ）3（B ）11（C ）22（D ）107)以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（ ）（A ）222=-y x （B ）222=-x y（C ）422=-y x 或422=-x y （D ）222=-y x 或222=-x y8)双曲线191622=-y x 右支点上的一点P 到右焦点的距离为2，则P 点到左准线的距离为（ ） （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）129)过双曲线822=-y x 的右焦点F 2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F 1是左焦点，那么△F 1PQ 的周长为（ ）（A ）28 （B ）2814-（C ）2814+（D ）2810)双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F 1、F 2，︒=∠12021MF F ，则双曲线的离心率为（ ）（A ）3（B ）26（C ）36（D ）3311)过抛物线2y ax =(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则11p q+等于（ ） （A ）2a （B ）12a （C ）4a （D ）4a12) 如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）（A ）02=-y x （B ）042=-+y x （C ）01232=-+y x （D ）082=-+y x二、填空题(每题5分)13)与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，_____ 14）离心率35=e ，一条准线为3=x 的椭圆的标准方程是_______。
2018年高考数学模拟试卷分项第02期专题07圆锥曲线
专题 圆锥曲线一、选择题1．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知抛物线C ： 28x y =的焦点为F ， ()00A x y ，是C 上一点，且02AF y =，则0x =（ ） A. 2 B. 2± C. 4 D. 4± 【答案】D【解析】28x y =，如图，由抛物线的几何意义，可知0022AF Al y y ===+，所以02y =， 所以04x =±，故选D 。
点睛：首先将抛物线化为标准方程，求得焦点和准线，利用抛物线的几何意义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，求得点A 的0y 值，代回抛物线方程求得0x 的值。
要求学生对抛物线的几何意义熟悉掌握。
2．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知双曲线C ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）的离心率为3，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. y x =±B. y =C. 2y x =±D. y =± 【答案】D【解析】3c e a ==，则222229c a b a a+==，所以228b a =，即b =，所以by x a=±=±，故选D 。
3．【2018福建四校联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上下左右顶点分别为,,,A B C D ，且左右焦点为12,F F ，且以12F F 为直径的圆内切于菱形ABCD ，则椭圆的离心率e 为（ ）A.12 B. 12 C. 12+ D. 12- 【答案】D点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．4．【2018福建四校联考】设点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，点F 到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为1:6，则双曲线的渐近线方程为( )A. 0y ±=B. 0x ±=C. 0x =0y ±=【答案】B点睛：双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a =±，而双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的渐近线方程为a y x b =±(即bx x a=±)，应注意其区别与联系. 5．【2018广西贺州桂梧高中联考】过双曲线()222210,0x y a b a bΩ-=>>：的右焦点F 作x 轴的垂线，与Ω在第一象限的交点为M ，且直线AM 的斜率大于2，其中A 为Ω的左顶点，则Ω的离心率的取值范围为（ ）A. ()1,3B. ()3,+∞C. (1,D. ()+∞ 【答案】B【解析】2b FM a = ， AF c a =+，∴()()22212AM FM b c a c ak e AF a c a a c a a--=====->++，∴3e >.选B.6．【2018陕西西安长安区联考】已知直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有43OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是A.)+∞ B. )+∞ C. D.【答案】C【解析】试题分析：设AB 的中点为D ，则OD A B ⊥，因为OA OB AB +≥ ，所以2OD AB ≥，所以AB ≤ ，因为22144OD AB += ，所以21OD ≥ ，因为直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点，所以24OD < ，所以214OD ≤< ，即214≤<，解得k ≤<C ．考点：直线与圆的位置关系；向量的应用．7．【2018湖南株洲两校联考】已知双曲线E ： 22x a﹣22y b =1（a ＞0，b ＞0），点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足|PF |=3|F Q|，若|OP |=b ，则E 的离心率为（ ）【答案】B11,,,PF a OP b OF c ∴=== 190OPF ∴∠=︒在1 O PF 中， 112,3,PQ b QF a PF a ===则()()22223b a a +=，整理得222b a =则双曲线的离心率c e a ===故答案选B点睛：题目中P 关于原点的对称点为Q ，那么四边形1PFQF 为平行四边形，再根据双曲线定义和已知条件判定直角三角形，利用c e a ==8．【2018河北衡水武邑中学三调】若直线():00l mx ny m n n +--=≠将圆()()22:324C x y -+-=的周长分为2:1两部分，则直线l 的斜率为（ ） A. 0或32 B. 0或43 C. 43- D. 43【答案】B9．【2018山西名校联考】已知椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为12,F F ，且122F F c =，点A 在椭圆上， 1120AF F F ⋅= ， 212AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率e =（ ）D. 2【答案】C【解析】由于1120AF F F ⋅= ，则2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()()12,0,,0F c F c -， 22120,,2,b b AF AF c a a ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 42122b AF AF c a ⋅== ， 2b ac = ， 22a c ac -=， 21e e -= ， 210e e +-= ，e = ，01e <<，则e =，选C.10．【2018云南昆明一中一模】已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点A l ∈，线段AF 交抛物线C 于点B ，若3FA FB = ，则AF =（ ）A. 3B. 4C. 6D. 7 【答案】B 【解析】由已知B 为AF 的三等分，作BH l ⊥于H ，如图，则244,333BH FK BF BH ==∴== ，34AF BF ∴==，故选B.11．【2018广西贵州摸底联考】已知焦点在x 轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为13，则椭圆的方程是（ ） A.2214x y += B. 22198x y += C. 22143x y += D. 22189x y += 【答案】B【解析】21,263,1,8,3e a a c b ==∴===∴22198x y +=，选B. 12．【2018河南名校联考】已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（ ）A.B.C.D.13．【2018江西南昌摸底】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F , P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线by x a=恰为线段2PF 的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为 （ ）【答案】C点睛：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1﹣，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题；设出2F 的坐标，渐近线方程为by x a=，对称点为(),P m n ，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1﹣，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值.14．【2018江西南昌摸底】已知动直线l 与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅ 的值为A. 3B. 2 D. 3- 【答案】A【解析】动直线l 与圆O ： 224x y +=相交于A ， B 两点，且满足2AB =，则OAB 为等边三角形，于是可设动直线l 为2y =+，根据题意可得()2,0B -， (A -，∵M 是线段AB 的中点，∴32M ⎛- ⎝⎭，设(),C x y ，∵52C BC A =，∴()()52,132x y y ---=-，∴())5212{ 52x x y y--=---=，解得13{x y =-=，∴133C ⎛- ⎝⎭，∴133315,,3332222O CO M ⎛⎫⎫⋅=-⋅-=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．15．【2018贵州黔东南联考】把离心率e =的曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>称之为黄金双曲线．若以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆O ，则圆O 与黄金双曲线C （ ） A. 无交点 B. 有1个交点 C. 有2个交点 D. 有4个交点 【答案】D16．【2018辽宁凌源二中联考】抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为（ ） A. 43-B. 43C. 43±D. 169- 【答案】A【解析】令y=1,代入24y x =，得14x =，即114A （，）,由抛物线的光学性质可知，直线AB 经过焦点F(1,0),所以 直线AB 的斜率为1041314k -==--，故选A17．【2018河南郑州一中联考】已知点A 是双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）右支上一点， F 是右焦点，若AOF ∆（O 是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率e 为（ ）1+1 【答案】D点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.18．【2018山西五校联考】设双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ，122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭，22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. ⎫+∞⎪⎪⎝⎭B. 71,6⎛⎫⎪⎝⎭C. 76⎛ ⎝⎭D. ⎛ ⎝⎭ 【答案】B【解析】2AF 垂直于x 轴，则2F A 为双曲线的通径的一半， 22b F A a =， A 的坐标为2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则222222221222211b a c c b c a b AF a b a a ⎛⎫⎪⎝⎭-=⇒-=⇒=+⇒==222b a a += ， 3,2a Q c ⎛⎫ ⎪⎝⎭232a F Q ∴=，又22232a b F Q F A a >⇒> ，故有23;2a b AQ a ==- A 在第1象限上即在右支上，则有11232AF AQ F F +> ，即2222223343623762227b a a b a ac c c a c e a a a a +++->⨯⇒>⇒>⇒=< ，故选B. 二、填空题19．【2018四川德阳联考】已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点， 12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，已知12F PF ∠=120°，且123PFPF =，则椭圆的离心率为___________.【解析】设21,3,24PF x PF x a x ===，由余弦定理知()22213c x =，所以4ca =，故填4. 20．【2018河南名校联考】已知直线l 的方程为20x y -+=，抛物线为22y x =，若点P 是抛物线上任一点，则点P 到直线l 的最短距离是__________． 【答案】4【点睛】曲线上的一点到直线的最短距离，就是与直线平行的曲线的切线到该直线的距离。
2018届高三数学 圆锥曲线测试卷
2018届高三数学 圆锥曲线测试卷（一）选择题（12*5=60分）1．直线50ax y +-=截圆C ：224210x y x y +--+=的弦长为4，则a =（ ） A ．2- B ．3-C ．2D ．3【答案】C【解析】圆心为()2,1，半径为2r =，弦长为4等于半径，故直线过圆心，即2150,2a a +-==. 2．若过点(1,1)P 可作圆C ：2220x y mx my ++++=的两条切线，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．(4,)-+∞C ．(2,)-+∞D ．(4,2)(2,)--+∞【答案】A3．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知双曲线C ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）的离心率为3，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. y x =±B. y =C. 2y x =±D. y =± 【答案】D【解析】3c e a ==，则222229c a b a a+==，所以228b a =，即b =，所以b y x a =±=±，故选D .4．已知双曲线221()my x m R -=∈与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.y =B.y x =C.13y x =±D.3y x =±【答案】A【解析】椭圆2215y x +=的焦点坐标为()0,2±，所以11143m m +=⇒=，所以双曲线方程为2213y x -=，渐近线方程为y =. 5．过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点F 作直线by a =-x 的垂线，垂足为A ，交双曲线的左支于B 点，若2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A B ．2C D 【答案】C6．已知抛物线22y x =上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5:4，且2AF >，则A 点到原点的距离为（ ）A ．．4 D ．8【答案】B【解析】设2(,)2y A y ，则215122||2||42y y y +=⇒=或，因为2AF >，所以21222y +>，所以2y =，因此(2,2)A ±，其到原点的距离为 B.7．设椭圆2211612x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且满足129PF PF ⋅= ，则12||||PF PF ⋅的值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．15 【答案】D8．设,m n R ∈，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）A．1⎡-⎣ B．(),11⎡-∞+∞⎣C．22⎡-+⎣ D．(),22⎡-∞-++∞⎣【答案】D1=，化简得2mn m n =++，由基本不等式得222m n m n mn +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，令t m n =+，则2480t t --≥，解得(),22t ⎡∈-∞-++∞⎣ .9．【2018山西名校联考】已知椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为12,F F ，且122F F c =，点A 在椭圆上， 1120AF F F ⋅= ， 212AF AF c ⋅= ，则椭圆的离心率e =（ ）A.3B. 12C. 12D. 2【答案】C【解析】由于1120AF F F ⋅= ，则2,b Ac a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()()12,0,,0F c F c -， 22120,,2,b b AF AF c a a ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 42122b AF AF c a ⋅==， 2b ac = ， 22a c ac -=， 21e e -= ，210e e +-= ，e =， 01e <<，则e = ，选C. 10．【2018，点的斜率，则的面积为（ ）【答案】CN直线在直角三角形，，根据抛物线定义知，所以C.11．【2018江西南昌摸底】已知动直线l 与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅ 的值为A. 3B. 2 D. 3- 【答案】A12．设椭圆1121622=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满足921=⋅PF ，则21PF PF ⋅的值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．15 【答案】D（二）填空题（4*5=20分）13．已知双曲线C ：2213y x -=的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，(0,2)M ，则△PFM 周长最小值为 ．【答案】2+【解析】依题意，双曲线2,1c a ==，所以MF =12PM PF PM PF a +=++，1F 为左焦点，1,,M P F 三点共线时，1PM PF +最小，1MF =22+=+.14．已知圆C :228150x y x +++=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围为 ．【答案】4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．【2018河南名校联考】已知直线l 的方程为20x y -+=，抛物线为22y x =，若点P 是抛物线上任一点，则点P 到直线l 的最短距离是__________．【解析】设抛物线22y x =的与直线l 平行的切线方程为0x y k -+=，由22{y x x y k =-+= 得2220y y k -+=，所以21=2802k k ∆--=∴=（）.切线方程为102x y -+=.当点P 为切点时，点P 到直线l 的距离是最短距离，最短距离为直线l 到切线102x y -+=的距离，所以最短距离为4d ==. 16．【陕西省榆林市第二中学2018届第七次模拟】若M 为双曲线1C ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）右支上一点， A ， F 分别为双曲线1C 的左顶点和右焦点，且MAF ∆为等边三角形，双曲线1C 与双曲线2C ： 222'214x y b-=（'0b >）的渐近线相同，则双曲线2C 的虚轴长是__________．【答案】（三）解答题（10+5*12=70分）17．已知椭圆Γ：22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为，且椭圆Γ上一点M 到其两焦点1F ，2F的距离之和为（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设直线l ：y x m =+（m R ∈）与椭圆Γ交于不同两点A ，B，且||AB =，若点0(,2)P x 满足||||PA PB =，求0x 的值．【解析】（1）由已知2a =a =，又c =2224b a c =-=，∴椭圆Γ的方程为221124x y +=． （2）由22,1,124y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22463120x mx m ++-= ①∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴223616(312)0m m ∆=-->，得216m <，设1232m x x +=-，2123124m x x -=，∴12|||AB x x =-==||AB =，得231294m -+=，解得2m =±．据题意知，点P 为线段AB 的中垂心与直线2y =的交点，设AB 的中点为00(,)E x y ，则120324x x x m +==-，004m y x m =+=，当2m =时，31(,)22E -，此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--．令2y =，得03x =-．当2m =-时，31(,)22E ，∴此时，线段AB 中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+．令2y =，得01x =-．综上所述，0x 的值为3-或1-． 18．在平面直角坐标系中，点P 为曲线C 上任意一点，且P 到定点(1,0)F 的距离比到y 轴的距离多1．（1）求曲线C 的方程；（2）点M 为曲线C 上一点，过点M 分别作倾斜角互补的直线MA ，MB 与曲线C 分别交于A ，B 两点，过点F 且与AB 垂直的直线l 与曲线C 交于D ，E 两点，若||8DE =，求点M 的坐标．19．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知椭圆C ： 22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线1l 与椭圆C 交于A ， B 两点，且AB =，直线2l ： ()y k x m =-34m R m ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，与椭圆C 交于M ， N 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点504R ⎛⎫⎪⎝⎭，，若·RM RN 是一个与k 无关的常数，求实数m 的值.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，两焦点分别为12F F 、，过1F 的直线交椭圆C 于M N 、两点，且2MF N ∆的周长为8.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(),0P m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆C 于A B 、两点，求弦长AB 的最大值．【解析】（1）由题得：c a =， 48a =，所以2,a c ==．又222b a c =-，所以1b =，即椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）由题意知，1m >，设切线l 的方程为()(),0y k x m k =-≠，由()2214y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22222148440k xk mx k m +-+-=．设()()1122,,A x y B x y 、，则()()42222264161444480k m k k m k ∆=-+-=>． 222121222844,1414k m k m x x x x k k-+==++，由过点()(),01P m m ≠±的直线l 与圆221x y +=相切得1d ==，即2211k m =-，所以AB ===2m m=≤+，当且仅当m =2AB =，所以AB 的最大值为2．21．【2018江西南昌摸底联考】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点， O 为坐标原点，若54OM ON k k ⋅=，求原点O 到直线l 的距离的取值范围.∴()221212124445k x x km x x m x x +++=，∴()()22222418454404141m km k km m k k -⎛⎫-⋅+-+= ⎪++⎝⎭，即()()()2222224518410km k m m k --++=﹣，化简得2254m k +=，②，由①②得2605m ≤<， 215204k <≤，∵原点O 到直线l的距离d =，∴()22222259411141k m d k k k -===-++++，又∵215204k <≤，∴2807d ≤<，∴原点O 到直线l的距离的取值范围是0,7⎡⎢⎣⎭22．已知定点()0,1M 和直线1-=x 上的动点()t N ,1-，线段MN 的垂直平分线交直线t y =于点R ，设点R 的轨迹为曲线E . （I ）求曲线E 的方程；（II ）直线)0(≠+=k b kx y 交x 轴于点C ，交曲线E 于不同的两点B A ,，点B 关于x 轴的对称点为P ，点C 关于y 轴的对称点为Q ，求证：Q P A ,,三点共线.。
【高考数学】2018最新江苏省高三数学一轮复习备考试题：圆锥曲线(含答案)(专题拔高特训)
高考一轮复习备考试题(附参考答案)圆锥曲线一、填空题1、（2013年江苏高考）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 。
2、（2012年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为 ▲ ．3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 。
4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）抛物线24y x =的焦点坐标为 ▲ ．6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知抛物线y 2＝2px 过点M (2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为 ▲ 8、（南通市2014届高三第三次调研）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的离心率为2,且过点(1,2),则曲线C 的标准方程为 ▲ ．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2219x y m-=的一个焦点为（5，0），则实数m = ▲10、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知点(1,0)P 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的距离为12，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲Y二、解答题1、（2014年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2 分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连结BF 2交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.（1） 若点C 的坐标为（错误！未找到引用源。